资源简介

9.1.2　余弦定理
1.在△ABC中，若a＝2，b＝，c＝＋1，则A＝（　　）
A.45° B.30°
C.135° D.150°
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，A＝60°，则c＝（　　）
A.1 B.2
C.4 D.6
3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝（　　）
A. B.
C. D.
4.在△ABC中，若B＝，AB＝，BC＝3，则sin A＝（　　）
A. B.
C. D.
5.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，若＝，（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，则△ABC的形状为（　　）
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形
6.（多选）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b＜c，则（　　）
A.b＝2 B.b＝2
C.B＝60° D.B＝30°
7.在△ABC中，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝　　　　.
8.在△ABC中，ccos B＝bcos C且cos A＝，则sin B＝　　　　.
9.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝　　　　.
10.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，sin A＝，求cos A与a的值.
11.（多选）在△ABC中，下列结论正确的是（　　）
A.csin A＝asin C
B.c＝bcos A＋acos B
C.a2＋b2－c2＝2abcos C
D.b＝csin A＋asin C
12.在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝　　　　；cos ∠MAC＝　　　　.
13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
（1）求角A的大小；
（2）若2sin Bsin C＋cos 2A＝1，判断△ABC的形状.
14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，已知向量m＝（a＋b，sin C），n＝（a＋c，sin B－sin A），若m∥n，则角B＝（　　）
A. B.
C. D.
15.在①b2＋ac＝a2＋c2；②acos B＝bsin A；③sin B＋cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，　　　　，A＝，b＝，求△ABC的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
9.1.2　余弦定理
1.A　在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝，所以A＝45°.
2.C　由a2＝c2＋b2－2cbcos A，得13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1（舍去），故选C.
3.B　由b2＝ac，又∵c＝2a，∴b＝a，由余弦定理，得cos B＝＝＝.
4.C　由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ＝2＋9－2××3×＝5，∴AC＝.由正弦定理，得＝，∴sin A＝＝＝.
5.C　由＝及正弦定理，得＝，所以b＝c.因为（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝，又0＜A＜π，所以A＝.所以△ABC是等边三角形.故选C.
6.AD　由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 （b－2）（b－4）＝0，由b＜c，得b＝2.又因为a＝2，cos A＝，所以B＝A＝30°，故选A、D.
7.3　解析：由余弦定理，得5＝b2＋4－2×b×2×，
即3b2－8b－3＝0，
解得b＝3.
8.　解析：∵ccos B＝bcos C，
∴sin Ccos B＝sin Bcos C，
∴sin（B－C）＝0，∴B＝C，
又∵cos A＝，∴A＝60°，
∴B＝60°，∴sin B＝.
9.　解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab＝52－3×2＝19，
所以c＝.
10.解：∵sin A＝，
∴cos A＝±＝±＝±.
当cos A＝时，根据已知及余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×3×1×＝8，
∴a＝2.
当cos A＝－时，根据已知及余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×3×1×＝12，∴a＝2.
11.ABC　对于A、C，由正弦、余弦定理，知一定成立；对于B，由正弦定理及sin C＝sin （A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B知显然成立；对于D，利用正弦定理，变形得sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，又因为sin B＝sin（A＋C）＝cos Csin A＋cos Asin C，与上式不一定相等，所以D不正确，故选A、B、C.
12.2　　解析：法一　由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·AB·cos ∠B＝4＋64－2×8×2×＝52，所以AC＝2，所以在△AMC中，由余弦定理得cos ∠MAC＝＝＝.
法二　由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，则BD＝4，AD＝2，CD＝4.所以在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝48＋4＝52，得AC＝2.在△AMC中，由余弦定理得cos ∠MAC＝＝＝.
13.解：（1）∵sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C，
∴由正弦定理，得b2＋c2＝a2＋bc.
∴由余弦定理，得cos A＝＝＝，
又∵0＜A＜π，∴A＝.
（2）由2sin Bsin C＋cos 2A＝1及cos 2A＝1－2sin2 A，
得sin Bsin C＝sin2A，由正弦定理，得bc＝a2， ①
易知a2＝b2＋c2－2bccos ， ②
由①②，得（b－c）2＝0，∴b＝c，∴△ABC为等边三角形.
14.D　因为m∥n，所以（a＋b）（sin B－sin A）＝sin C（a＋c）.由正弦定理，得（a＋b）（b－a）＝c（a＋c），即a2＋c2－b2＝－ac，由余弦定理，得cos B＝－，所以B＝.故选D.
15.解：若选择①，b2＋ac＝a2＋c2，
由余弦定理，cos B＝＝＝，
因为B∈（0，π），所以B＝；
由正弦定理＝，得a＝＝＝，
因为A＝，B＝，所以C＝π－－＝，
所以sin C＝sin＝sin＝sincos＋cossin＝，
所以S△ABC＝absin C＝×××＝.
若选择②，acos B＝bsin A，则sin Acos B＝sin Bsin A，
因为sin A≠0，所以sin B＝cos B，
因为B∈（0，π），所以B＝；
由正弦定理＝，
得a＝＝＝，
因为A＝，B＝，所以C＝π－－＝，
所以sin C＝sin＝sin＝sincos＋cossin＝，
所以S△ABC＝absin C＝×××＝.
若选择③，sin B＋cos B＝，
则sin＝，所以sin＝1，
因为B∈（0，π），所以B＋∈，
所以B＋＝，所以B＝；
由正弦定理＝，得a＝＝＝，
因为A＝，B＝，所以C＝π－－＝，
所以sin C＝sin＝sin＝sincos＋cossin＝，
所以S△ABC＝absin C＝×××＝.
1 / 29.1.2　余弦定理
新课程标准解读 核心素养
1.借助向量的运算，能推导余弦定理并掌握余弦定理 逻辑推理
2.会运用余弦定理解决三角形的一些问题 数学运算
　　利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角.
【问题】　如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小.你能根据这三个量求出AB的距离吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　余弦定理
文字语言 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍
符号语言 a2＝　　　　　　　　， b2＝　　　　　　　　， c2＝　　　　　　　
推论 cos A＝　　　　　　， cos B＝　　　　　　， cos C＝　　　　　
提醒　对余弦定理的理解：①适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立；②结构特征：“平方”“夹角”“余弦”；③揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系；④主要功能：实现三角形中边角关系的互化.
【想一想】
解三角形时利用余弦定理可解决哪几类问题？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.（　　）
（2）已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的.（　　）
（3）在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC一定为锐角三角形.（　　）
2.在△ABC中，符合余弦定理的是（　　）
A.c2＝a2＋b2－2abcos C
B.c2＝a2－b2－2bccos A
C.b2＝a2－c2－2bccos A
D.cos C＝
3.在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c＝（　　 ）
A.　　B.8　　C.10　　D.7
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝　　　　.
　　
题型一 已知两边及一角解三角形
【例1】　（1）在△ABC中，已知b＝60，c＝60，A＝，则a＝　　　　；
（2）在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝　　　　.
尝试解答
通性通法
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
三角形中已知的元素 解三角形的方法
两边及其夹角 先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形内角和定理求出第三个角
两边和其中一边的对角 ①先利用正弦定理求出另一条边所对角，再利用三角形内角和定理求出第三个角（这里注意对解的判断），最后用正弦定理求出第三边； ②先利用余弦定理列一元二次方程，求出第三边，再利用正弦定理求其他的两个角
【跟踪训练】
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，c＝2，A＋C＝，则b＝（　　）
A. B.6
C.7 D.8
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝30°，a＝8，b＝8，求△ABC的面积.
题型二 已知三边（或三边关系）解三角形
【例2】　（1）在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
（2）在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶∶2，则A＝　　　　.
尝试解答
通性通法
已知三角形的三边（或三边关系）解三角形的两种方法
（1）先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角；
（2）利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角.
【跟踪训练】
1.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，则角C＝　　　　.
2.在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为　　　　.
题型三 判断三角形的形状
【例3】　在△ABC中，若acos B＝bcos A，试判断这个三角形的形状.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）本例条件变为“若cos2＝”问题不变.
通性通法
1.判断三角形形状的常用方法
（1）用余弦定理将条件转化为边之间的代数关系式，利用代数变形对边的关系进行判断；
（2）用正弦定理将条件转化为角的三角函数关系式，利用三角函数变形对角的关系进行判断.
2.判断三角形形状的常用结论
（1）cos A＝cos B A＝B；
（2）cos （A－B）＝1 A＝B；
（3）cos A＞0 b2＋c2－a2＞0 A是锐角 / △ABC是锐角三角形；
cos A＝0 b2＋c2－a2＝0 A是直角 △ABC是直角三角形；
cos A＜0 b2＋c2－a2＜0 A是钝角 △ABC是钝角三角形.
【跟踪训练】
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝acos B＋bcos A，则△ABC的形状为（　　）
A.锐角三角形　　　B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
题型四 余弦定理的综合应用
【例4】　已知向量m＝（0，－1），向量n＝，A，B，C是△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，a2＋c2－b2＝ac，a＝1，求｜m＋n｜的取值范围及｜m＋n｜最小时△ABC的周长l.
尝试解答
通性通法
　　本例是一道余弦定理与向量、三角恒等变换相结合的综合题，解此类问题时要注意条件的变化与已有知识的联系.如本例中首先要发现a2＋c2－b2＝ac具备余弦定理的结构特征，进而用余弦定理求角B，然后结合向量与三角函数有关知识正确解题.
【跟踪训练】
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝　　　　.
1.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝（　　）
A.30°　　　　　　　 B.45°
C.60° D.90°
2.在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是（　　）
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
3.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝　　　　.
4.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，cos B＝，a＝7，且·＝－21，则角C的大小为　　　　，△ABC的面积为　　　　.
9.1.2　余弦定理
【基础知识·重落实】
知识点
b2＋c2－2bccos A　c2＋a2－2cacos B　a2＋b2－2abcos C
　　
想一想
提示：①已知三边，求三角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和另两个角；③已知两边和其中一边对角求第三边和另两个角.
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）×
2.A　由余弦定理及其推论知只有A正确.故选A.
3.D　由余弦定理得c＝
＝＝7.故选D.
4.150°　解析：由余弦定理，得cos B＝＝＝－.又∵0°＜B＜180°，∴B＝150°.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）60　（2）4或5　解析：（1）由余弦定理得，
a＝
＝ ＝60.
（2）由余弦定理得（）2＝52＋BC2－2×5×BC×，
所以BC2－9BC＋20＝0，
解得BC＝4或BC＝5.
跟踪训练
1.A　∵A＋C＝，∴B＝π－（A＋C）＝.∵a＝3，c＝2，∴由余弦定理可得b＝＝＝.
2.解：法一　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，代入数据得c2－24c＋128＝0，解得c＝8或c＝16.
当c＝8时，S△ABC＝16；
当c＝16时，S△ABC＝32.
法二　由＝，得sin B＝sin A，
∴sin B＝sin 30°＝.
∴B＝60°或B＝120°，∴C＝90°或C＝30°.
∴S△ABC＝absin C＝×8×8×sin 90°＝32或S△ABC＝×8×8×sin 30°＝16.
【例2】　（1）B　（2）　解析：（1）∵c＜a，c＜b，∴角C为最小角且为锐角.
由余弦定理得cos C＝＝.
∵0＜C＜π，∴C＝.
（2）由于a∶b∶c＝1∶∶2，故可设a＝x，b＝x，c＝2x，x＞0，∴角A为锐角.由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝，故A＝.
跟踪训练
1.　解析：由已知可得（a＋b）2－c2＝ab，即a2＋b2－c2＝－ab，∴cos C＝＝－.∵C∈（0，π），∴C＝.
2.7　解析：由已知条件，得cos A＝＝＝.设AC边上的中线长为x，由余弦定理，得x2＝＋AB2－2··ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49，解得x＝7，所以所求中线长为7.
【例3】　解：法一（边化角）　利用正弦定理知sin Acos B＝sin Bcos A，
即sin Acos B－sin Bcos A＝0，
故sin（A－B）＝0，
因为A，B是三角形内角，
所以A－B＝0，则A＝B，故△ABC是等腰三角形.
法二（角化边）　利用余弦定理知a×＝b×，
因此a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2，即a＝b，
故△ABC是等腰三角形.
母题探究
解：在△ABC中，∵cos2＝，
∴＝＋，
∴cos A＝.
由余弦定理，知＝，
∴b2＋c2－a2＝2b2，
即a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形.
跟踪训练
D　∵a＝acos B＋bcos A，∴由余弦定理可得a＝a×＋b×，整理可得2ac＝2c2，∴a＝c，则△ABC的形状为等腰三角形.
【例4】　解：∵a2＋c2－b2＝ac，
∴由余弦定理知cos B＝＝.
又∵0＜B＜π，∴B＝，∴A＋C＝，即C＝－A.
∵m＝（0，－1），n＝，
∴m＋n＝（cos A，cos C）.
∴｜m＋n｜＝＝
＝
＝
＝.
∵0＜A＜，∴＜2A＋＜.
∴－1≤cos＜.
∴｜m＋n｜∈.当｜m＋n｜最小时，A＝.
∴A＝B＝C＝，l＝3a＝3.
跟踪训练
2　解析：由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，
则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，
所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，
则b＝2.
随堂检测
1.C　∵a＝，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得，cos A＝＝＝，又由A∈（0°，180°），得A＝60°.
2.C　∵2cos Bsin A＝sin C，∴2··a＝c，∴a＝b.故△ABC为等腰三角形.
3.2　解析：根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝2.
4.45°　14　解析：∵·＝－21，∴·＝21，∴·＝｜｜×｜｜cos B＝accos B＝21.又cos B＝，∴sin B＝，ac＝35.又a＝7，∴c＝5，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝32，∴b＝4.由正弦定理＝，得sin C＝sin B＝×＝.∵c＜b，∴C是锐角，∴C＝45°，S△ABC＝absin C＝×7×4×＝14.
4 / 4(共68张PPT)
9.1.2　余弦定理
新课程标准解读 核心素养
1.借助向量的运算，能推导余弦定理并掌握余弦
定理 逻辑推理
2.会运用余弦定理解决三角形的一些问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角，
从而可得到未知的距离与角.
【问题】　如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意
选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小.你能
根据这三个量求出AB的距离吗？




知识点　余弦定理
文字语言 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两
边与它们夹角余弦的积的2倍
符号 语言 a2＝ ，
b2＝ ，
c2＝
b2＋c2－2bc cos A　
c2＋a2－2ca cos B　
a2＋b2－2ab cos C　
推论 cos A＝ ，
cos B＝ ，
cos C＝
提醒　对余弦定理的理解：①适用范围：余弦定理对任意的三角形都
成立；②结构特征：“平方”“夹角”“余弦”；③揭示的规律：余
弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它描
述了任意三角形中边与角的一种数量关系；④主要功能：实现三角形
中边角关系的互化.
　
　
　
【想一想】
解三角形时利用余弦定理可解决哪几类问题？
提示：①已知三边，求三角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和
另两个角；③已知两边和其中一边对角求第三边和另两个角.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.
（　√　）
（2）已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的. （　√　）
（3）在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC一定为锐角三角形.
（　×　）
√
√
×
2. 在△ABC中，符合余弦定理的是（　　）
A. c2＝a2＋b2－2ab cos C
B. c2＝a2－b2－2bc cos A
C. b2＝a2－c2－2bc cos A
解析：　由余弦定理及其推论知只有A正确.故选A.
3. 在△ABC中，已知a＝9，b＝2 ，C＝150°，则c＝（　　）
解析：　由余弦定理得
c＝ ＝ ＝7 .故
选D.
4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b
＝ ，c＝ ，则B＝ .
解析：由余弦定理，得 cos B＝ ＝ ＝－ .又∵0°
＜B＜180°，∴B＝150°.
150°　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 已知两边及一角解三角形
【例1】　（1）在△ABC中，已知b＝60，c＝60 ，A＝ ，则a
＝ ；
60　
解析：由余弦定理得，
a＝
＝ ＝60.
（2）在△ABC中，若AB＝ ，AC＝5，且 cos C＝ ，则BC＝
.
解析：由余弦定理得（ ）2＝52＋BC2－2×5×BC× ，
所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.
4
或5　
通性通法
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
三角形中已知的元素 解三角形的方法
两边及其
夹角 先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形内角和定理求出第三个角
两边和其
中一边的
对角 ①先利用正弦定理求出另一条边所对角，再利用三角形内角和定理求出第三个角（这里注意对解的判断），最后用正弦定理求出第三边；
②先利用余弦定理列一元二次方程，求出第三边，再利用正弦定理求其他的两个角
【跟踪训练】
1. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3 ，c＝
2，A＋C＝ ，则b＝（　　）
B. 6
C. 7 D. 8
解析：　∵A＋C＝ ，∴B＝π－（A＋C）＝ .∵a＝3 ，
c＝2，∴由余弦定理可得b＝ ＝
＝ .
2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝
30°，a＝8，b＝8 ，求△ABC的面积.
解：法一　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，代入数据得c2－
24c＋128＝0，解得c＝8或c＝16.
当c＝8时，S△ABC＝16 ；当c＝16时，S△ABC＝32 .
法二　由 ＝ ，得 sin B＝ sin A，
∴ sin B＝ sin 30°＝ .
∴B＝60°或B＝120°，∴C＝90°或C＝30°.
∴S△ABC＝ ab sin C＝ ×8×8 × sin 90°＝32 或S△ABC＝
×8×8 × sin 30°＝16 .
题型二 已知三边（或三边关系）解三角形
【例2】　（1）在△ABC中，a＝7，b＝4 ，c＝ ，则△ABC
的最小角为（　B　）
解析：∵c＜a，c＜b，∴角C为最小角且为锐角.由余弦定理得 cos
C＝ ＝ .∵0＜C＜π，∴C＝ .
B
（2）在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶ ∶2，则A＝ 　 　.
解析：由于a∶b∶c＝1∶ ∶2，故可设a＝x，b＝ x，c
＝2x，x＞0，∴角A为锐角.由余弦定理的推论，得 cos A＝
＝ ＝ ，故A＝ .
　
通性通法
已知三角形的三边（或三边关系）解三角形的两种方法
（1）先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利
用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个
角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角；
（2）利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角.
【跟踪训练】
1. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若（a＋b－
c）（a＋b＋c）＝ab，则角C＝ .
解析：由已知可得（a＋b）2－c2＝ab，即a2＋b2－c2＝－ab，
∴ cos C＝ ＝－ .∵C∈（0，π），∴C＝ .
　
2. 在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长
为 .
解析：由已知条件，得 cos A＝ ＝ ＝ .
设AC边上的中线长为x，由余弦定理，得x2＝ ＋AB2－
2· ·AB cos A＝42＋92－2×4×9× ＝49，解得x＝7，所以所
求中线长为7.
7
题型三 判断三角形的形状
【例3】　在△ABC中，若a cos B＝b cos A，试判断这个三角形的
形状.
解：法一（边化角）　利用正弦定理知 sin A cos B＝ sin B cos A，即
sin A cos B－ sin B cos A＝0，故 sin （A－B）＝0，因为A，B是三角
形内角，
所以A－B＝0，则A＝B，故△ABC是等腰三角形.
法二（角化边）　利用余弦定理知a× ＝b× ，因
此a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2，
即a＝b，故△ABC是等腰三角形.
【母题探究】
（变条件）本例条件变为“若 cos 2 ＝ ”问题不变.
解：在△ABC中，∵ cos 2 ＝ ，∴ ＝ ＋ ，∴ cos A＝ .
由余弦定理，知 ＝ ，∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形.
通性通法
1. 判断三角形形状的常用方法
（1）用余弦定理将条件转化为边之间的代数关系式，利用代数变
形对边的关系进行判断；
（2）用正弦定理将条件转化为角的三角函数关系式，利用三角函
数变形对角的关系进行判断.
2. 判断三角形形状的常用结论
（1） cos A＝ cos B A＝B；
（2） cos （A－B）＝1 A＝B；
（3） cos A＞0 b2＋c2－a2＞0 A是锐角 / △ABC是锐角三角形；
cos A＝0 b2＋c2－a2＝0 A是直角 △ABC是直角三角形；
cos A＜0 b2＋c2－a2＜0 A是钝角 △ABC是钝角三角形.
【跟踪训练】
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝a cos B＋b
cos A，则△ABC的形状为（　　）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形
解析：　∵a＝a cos B＋b cos A，∴由余弦定理可得a＝
a× ＋b× ，整理可得2ac＝2c2，∴a＝c，则
△ABC的形状为等腰三角形.
题型四 余弦定理的综合应用
【例4】　已知向量m＝（0，－1），向量n＝（ cos A，2 cos 2 ），
A，B，C是△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，a2＋c2－
b2＝ac，a＝1，求｜m＋n｜的取值范围及｜m＋n｜最小时△ABC
的周长l.
解：∵a2＋c2－b2＝ac，
∴由余弦定理知 cos B＝ ＝ .
又∵0＜B＜π，∴B＝ ，∴A＋C＝ ，即C＝ －A.
∵m＝（0，－1），n＝ ，
∴m＋n＝（ cos A， cos C）.
∴｜m＋n｜＝
＝
＝
＝
＝ .
∵0＜A＜ ，∴ ＜2A＋ ＜ .
∴－1≤ cos ＜ .∴｜m＋n｜∈ .
当｜m＋n｜最小时，A＝ .∴A＝B＝C＝ ，l＝3a＝3.
通性通法
　　本例是一道余弦定理与向量、三角恒等变换相结合的综合题，解
此类问题时要注意条件的变化与已有知识的联系.如本例中首先要发
现a2＋c2－b2＝ac具备余弦定理的结构特征，进而用余弦定理求角
B，然后结合向量与三角函数有关知识正确解题.
【跟踪训练】
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B＝
60°，a2＋c2＝3ac，则b＝ .
解析：由题意得S△ABC＝ ac sin B＝ ac＝ ，则ac＝4，所以a2＋
c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12－2×4× ＝
8，则b＝2 .
2 　
1. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝ ，b
＝3，c＝2，则A＝（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：　∵a＝ ，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得， cos A＝
＝ ＝ ，又由A∈（0°，180°），得A＝60°.
2. 在△ABC中，若2 cos B sin A＝ sin C，则△ABC的形状一定是
（　　）
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
解析：　∵2 cos B sin A＝ sin C，∴2· ·a＝c，∴a＝b.
故△ABC为等腰三角形.
3. 在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝ .
解析：根据余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C＝16＋36－2×4×6 cos
120°＝76，c＝2 .
4. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边， cos B＝
，a＝7，且 · ＝－21，则角C的大小为 ，△ABC的面
积为 .
2 　
45°　
14　
解析：∵ · ＝－21，∴ · ＝21，
∴ · ＝｜ ｜×｜ ｜ cos B＝ac cos B＝21.
又 cos B＝ ，∴ sin B＝ ，ac＝35.
又a＝7，∴c＝5，∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝32，∴b＝4 .
由正弦定理 ＝ ，
得 sin C＝ sin B＝ × ＝ .
∵c＜b，∴C是锐角，∴C＝45°，S△ABC＝ ab sin C＝ ×7×4
× ＝14.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在△ABC中，若a＝2，b＝ ，c＝ ＋1，则A＝（　　）
A. 45° B. 30°
C. 135° D. 150°
解析：　在△ABC中，由余弦定理的推论，得 cos A＝
＝ ＝ ，所以A＝45°.
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2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝
，b＝3，A＝60°，则c＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 6
解析：　由a2＝c2＋b2－2cb cos A，得13＝c2＋9－2c×3× cos
60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1（舍去），故选C.
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3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满
足b2＝ac，且c＝2a，则 cos B＝（　　）
解析：　由b2＝ac，又∵c＝2a，∴b＝ a，由余弦定理，得
cos B＝ ＝ ＝ .
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4. 在△ABC中，若B＝ ，AB＝ ，BC＝3，则 sin A＝（　　）
解析：　由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC· cos ＝2＋
9－2× ×3× ＝5，∴AC＝ .由正弦定理，得 ＝ ，
∴ sin A＝ ＝ ＝ .
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5. 在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，若
＝ ，（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，则△ABC的形状为
（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形
C. 等边三角形 D. 钝角三角形
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解析：　由 ＝ 及正弦定理，得 ＝ ，所以b＝c.因为（b
＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以 cos A
＝ ＝ ＝ ，又0＜A＜π，所以A＝ .所以△ABC是等
边三角形.故选C.
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6. （多选）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a
＝2，c＝2 ， cos A＝ ，且b＜c，则（　　）
A. b＝2
C. B＝60° D. B＝30°
解析：　由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b
＋8＝0 （b－2）（b－4）＝0，由b＜c，得b＝2.又因为a＝
2， cos A＝ ，所以B＝A＝30°，故选A、D.
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7. 在△ABC中，已知a＝ ，c＝2， cos A＝ ，则b＝ .
解析：由余弦定理，得5＝b2＋4－2×b×2× ，即3b2－8b－3＝
0，解得b＝3 .
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8. 在△ABC中，c cos B＝b cos C且 cos A＝ ，则 sin B＝ 　 　.
解析：∵c cos B＝b cos C，∴ sin C cos B＝ sin B cos C，∴ sin （B
－C）＝0，∴B＝C，又∵ cos A＝ ，∴A＝60°，∴B＝60°，
∴ sin B＝ .
　
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9. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是
方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝ .
解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理，得c2＝a2＋b2
－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab＝52－3×2＝19，所
以c＝ .
　
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解：∵ sin A＝ ，
∴ cos A＝± ＝± ＝± .
当 cos A＝ 时，根据已知及余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A
＝32＋12－2×3×1× ＝8，∴a＝2 .
当 cos A＝－ 时，根据已知及余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos
A＝32＋12－2×3×1× ＝12，∴a＝2 .
10. 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝
3，c＝1， sin A＝ ，求 cos A与a的值.
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11. （多选）在△ABC中，下列结论正确的是（　　）
A. c sin A＝a sin C
B. c＝b cos A＋a cos B
C. a2＋b2－c2＝2ab cos C
D. b＝c sin A＋a sin C
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解析：　对于A、C，由正弦、余弦定理，知一定成立；
对于B，由正弦定理及 sin C＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋
cos A sin B知显然成立；对于D，利用正弦定理，变形得 sin B
＝ sin C sin A＋ sin A sin C＝2 sin A sin C，又因为 sin B＝ sin
（A＋C）＝ cos C sin A＋ cos A sin C，与上式不一定相等，所
以D不正确，故选A、B、C.
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12. 在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝
2 ，则AC＝ 　2 　； cos ∠MAC＝ 　 　.
解析：法一　由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2 ，及余弦定理可
得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.在△ABC中，由余
弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·AB· cos ∠B＝4＋64－
2×8×2× ＝52，所以AC＝2 ，所以在△AMC中，由余弦定
理得 cos ∠MAC＝ ＝ ＝ .
2 　
　
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法二　由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2 ，及余弦定理可得BM＝
4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.过点C作CD⊥BA交BA的延长
线于点D，则BD＝4，AD＝2，CD＝4 .所以在Rt△ADC中，AC2
＝CD2＋AD2＝48＋4＝52，得AC＝2 .在△AMC中，由余弦定理
得 cos ∠MAC＝ ＝ ＝ .
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解：∵ sin 2B＋ sin 2C＝ sin 2A＋ sin B sin C，
∴由正弦定理，得b2＋c2＝a2＋bc.
∴由余弦定理，得 cos A＝ ＝ ＝ ，
又∵0＜A＜π，∴A＝ .
13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 sin 2B
＋ sin 2C＝ sin 2A＋ sin B sin C.
（1）求角A的大小；
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（2）若2 sin B sin C＋ cos 2A＝1，判断△ABC的形状.
解：由2 sin B sin C＋ cos 2A＝1及 cos 2A＝1－2 sin 2 A，
得 sin B sin C＝ sin 2A，由正弦定理，得bc＝a2，　①
易知a2＝b2＋c2－2bc cos ，　②
由①②，得（b－c）2＝0，∴b＝c，∴△ABC为等边三角形.
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14. 在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，已
知向量m＝（a＋b， sin C），n＝（ a＋c， sin B－ sin
A），若m∥n，则角B＝（　　）
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解析：　因为m∥n，所以（a＋b）（ sin B－ sin A）＝ sin C
（ a＋c）.由正弦定理，得（a＋b）（b－a）＝c（ a＋
c），即a2＋c2－b2＝－ ac，由余弦定理，得 cos B＝－ ，所
以B＝ .故选D.
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15. 在①b2＋ ac＝a2＋c2；②a cos B＝b sin A；③ sin B＋ cos B
＝ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解
决该问题.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c， 　　　　，A＝ ，b＝ ，求△ABC的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解：若选择①，b2＋ ac＝a2＋c2，
由余弦定理， cos B＝ ＝ ＝ ，
因为B∈（0，π），所以B＝ ；
由正弦定理 ＝ ，
得a＝ ＝ ＝ ，
因为A＝ ，B＝ ，所以C＝π－ － ＝ ，
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所以 sin C＝ sin ＝ sin ＝ sin cos ＋ cos sin ＝
，
所以S△ABC＝ ab sin C＝ × × × ＝ .
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若选择②，a cos B＝b sin A，则 sin A cos B＝ sin B sin A，
因为 sin A≠0，所以 sin B＝ cos B，
因为B∈（0，π），所以B＝ ；
由正弦定理 ＝ ，
得a＝ ＝ ＝ ，
因为A＝ ，B＝ ，所以C＝π－ － ＝ ，
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所以 sin C＝ sin ＝ sin ＝ sin cos ＋ cos sin ＝
，
所以S△ABC＝ ab sin C＝ × × × ＝ .
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若选择③， sin B＋ cos B＝ ，
则 sin ＝ ，所以 sin ＝1，
因为B∈（0，π），所以B＋ ∈ ，
所以B＋ ＝ ，所以B＝ ；
由正弦定理 ＝ ，
得a＝ ＝ ＝ ，
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因为A＝ ，B＝ ，所以C＝π－ － ＝ ，
所以 sin C＝ sin ＝ sin ＝ sin cos ＋ cos sin ＝
，
所以S△ABC＝ ab sin C＝ × × × ＝ .
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