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9.2　正弦定理与余弦定理的应用
1.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平线，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角∠CAD的大小是（　　）
A.30°　　　　　　　　　　B.45°　　　　　　　　　　C.60°　　　　　　　　　　D.75°
2.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（　　）
A.10 m B.100 m C.20 m D.30 m
3.一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，经过 h船实际航程为（　　）
A.2 km B.6 km C.2 km D.8 km
4.如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处.设连杆AB长100 mm，曲柄CB长35 mm，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）约为（结果保留整数）（参考数据：sin 53.2°≈0.8）（　　）
A.17 mm B.18 mm C.19 mm D.20 mm
5.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（　　）
A.10 海里 B.10 海里 C.20 海里 D.20 海里
6.如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A—C—B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶.已知AC＝10 km，A＝30°，B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走（结果精确到0.1 km）（参考数据：≈1.41，≈1.73）（　　）
A.3.4 km B.2.3 km
C.5.1 km D.3.2 km
7.如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为　　　　尺.
8.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为　　　　km.
9.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡角为15°的看台上，同一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，若同一列的第一排和最后一排之间的距离为10 m（如图所示），则旗杆的高度为　　　　 m.
10.如图所示，一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东20°方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°方向，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海域为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？（≈1.414，sin 115°≈0.906，sin 20°≈0.342）
11.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）：
①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.
则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为（　　）
A.3 B.2 C.1 D.0
12.（多选）一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S可能在B处的（　　）
A.北偏东75° B.南偏东15° C.东北方向 D.东南方向
13.如图，某人在塔的底端B的正东方向上的C处，与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行1分钟后到达D处，在D处望见塔的底端B在东北方向上.已知沿途某点E处塔的仰角∠AEB＝α，且α的最大值为60°.
（1）该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大处时，走了几分钟？
（2）求塔高.
14.如图，一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，则此船航行的方向为北偏东　　　度，航行路程为　　　海里.
15.为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机信号屏蔽仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
9.2　正弦定理与余弦定理的应用
1.B　AD2＝602＋202＝4 000，AC2＝602＋302＝4 500.在△CAD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝＝，故∠CAD＝45°.故选B.
2.D　如图，设炮台顶为A，底为D，两船为B，C，则∠ABD＝45°，∠ACD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB＝30，DC＝30，∴BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos 30°＝900，∴BC＝30.
3.B　如图所示，在△ACD中，AC＝2，CD＝4，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2×4×＝36.∴AD＝6.即该船实际航程为6 km.故选B.
4.B　在△ABC中，AB＝100，BC＝35，∠ACB＝53.2°，因为sin 53.2°≈0.8，所以cos 53.2°≈0.6.由余弦定理得：AB2＝CB2＋CA2－2CA·CB·cos 53.2°，所以1002＝352＋CA2－2CA×35×0.6 CA2－42CA－8 775＝0 CA＝117或CA＝－75（舍去）.因为135－117＝18，所以A0A＝18 mm.故选B.
5.A　如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10海里.
6.A　如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△CAD中，A＝30°，AC＝10 km，
CD＝AC·sin 30°＝5（km），
AD＝AC·cos 30°＝5（km）.
在Rt△BCD中，B＝45°，BD＝CD＝5（km），
BC＝＝5（km）.
AB＝AD＋BD＝（5＋5）（km），
AC＋BC－AB＝10＋5－（5＋5）
＝5＋5－5≈5＋5×1.41－5×1.73
＝3.4（km）.
7.4.55　解析：设折断处离地面的高为x尺，由勾股定理得x2＋32＝（10－x）2，化简得20x＝91，解得x＝4.55.
8.7　解析：因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos（π－D）＝32＋52－2×3×5×cos D，解得cos D＝－，代入得AC2＝32＋52－2×3×5×＝49，故AC＝7.
9.30　解析：如图所示，依题意可知∠PCB＝45°，
∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，
∴∠CPB＝180°－45°－105°＝30°，
∴在△PBC中，由正弦定理，可知PB＝＝20（m），
∴在Rt△POB中，OP＝PB×sin∠PBO＝20×＝30（m），即旗杆的高度为30 m.
10.解：在△ABS中，AB＝32.2×0.5＝16.1 n mile，
∠ABS＝115°，
根据正弦定理，得＝，
AS＝＝AB×sin∠ABS×＝16.1×sin 115°×，
S到直线AB的距离是
d＝AS×sin 20°＝16.1×sin 115°××sin 20°≈7.06（n mile）＞6.5（n mile）.
所以这艘船可以继续沿正北方向航行.
11.A　对于①，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于②，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c.故选A.
12.AB　画出示意图如图，客船半小时航行的路程为32×＝16（n mile），∴AB＝16 n mile.又∵BS＝8 n mile，∠BAS＝30°，∴＝，∴sin∠ASB＝，∴∠ASB＝45°或∠ASB＝135°.当船在B处时，∠ASB＝45°，∠B'BS＝75°，当船在B'处时，∠ASB'＝135°，∠AB'S＝15°.综上，灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°，故选A、B.
13.解：（1）依题意知在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝100米，D＝180°－135°－30°＝15°.
由正弦定理得＝，
故BC＝＝＝＝＝50（－1）（米）.
在Rt△ABE中，tan α＝，∵AB为定长，
∴当BE的长最小时，α取得最大值60°，此时BE⊥CD.
当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，
EC＝BCcos∠BCE＝50（－1）×＝25（3－）（米）.
设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大处时，走了t分钟.
则t＝＝＝（分钟），故走了分钟.
（2）由（1）知当α取得最大值60°时，BE⊥CD.
在Rt△BEC中，BE＝BCsin∠BCE，
∴在Rt△ABE中，AB＝BEtan 60°＝BCsin∠BCEtan 60°＝50（－1）××＝25（3－）（米）.
∴所求塔高为25（3－）米.
14.65　20（＋）　解析：由题意，在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40，
根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos ∠ABC＝402＋（40）2－2×40×40×＝3 200＋1 600，∴AC＝20（＋）.
根据正弦定理得＝，
得sin∠CAB＝，
又BC＜AC，∴∠CAB＝45°，
∴此船航行的方向和路程分别为北偏东65°，20（＋）海里.
15.解：如图所示，考点为A，检查开始处为B，
设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1 km.
在△ABC中，AB＝ km，AC＝1 km，∠ABC＝30°，
由正弦定理，得sin∠ACB＝×AB＝，
∴∠ACB＝120°（∠ACB＝60°不合题意），
∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1 km.
在△ACD中，AC＝AD＝1，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1 km.
∵×60＝5（min），
∴在BC上需5 min，CD上需5 min.
∴最长需要5 min检查员开始收不到信号，并至少持续5 min该考点才算合格.
2 / 39.2　正弦定理与余弦定理的应用
新课程标准解读 核心素养
1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度的测量问题 直观想象
2.能够运用正弦、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题 数学建模、数学运算
在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量.
【问题】　假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　实际应用问题中的有关名词、术语
名称 定义 图示
仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线　　　方时与水平线的夹角
俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线　　方时与水平线的夹角
方向 角 从指定方向线到　　　　的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°）
方位 角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
【想一想】
　李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）方位角是从正北方向逆时针旋转到目标方向线的水平角.（　　）
（2）东偏北45°的方向就是东北方向.（　　）
（3）俯角和仰角都是对于水平线而言的.（　　）
（4）仰角与俯角所在的平面是铅垂面.（　　）
（5）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.（　　）
2.若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（　　）
A.东偏北45°10'方向上
B.东偏北44°50'方向上
C.南偏西44°50'方向上
D.西偏南44°50'方向上
3.两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a（km），灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为（　　）
A.a km　B.a km　C.a km　D.2a km
4.如图，为测量塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20（－1）m到达D点，测得∠ADB＝30°，则塔高为（　　）
A.40 m B.20 m C.40 m D.20 m
题型一 测量距离问题
【例1】　（1）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是　　　　m.
（2）如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点间的距离是　　　　 m.
尝试解答
通性通法
测量距离的基本类型及方案
类 型 A，B两点间不可通或不可视 A，B两点间可视但有一点不可达 A，B两点都不可达
简 图
方 法 先测∠ACB，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 先测∠ACB，∠ABC，BC＝a，再用正弦定理求AB 先测CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB
结 论 AB＝ AB＝ ①AC＝ ； ②BC＝ ； ③AB＝
【跟踪训练】
1.海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是（　　）
A.10 海里　　 　　B. 海里
C.5 海里 D.5 海里
2.某海轮以每小时30海里的速度航行，在点A测得海面上油井P在其南偏东60°方向上；海轮向北航行40分钟后到达点B，测得油井P在其南偏东30°方向上；海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达点C，则P，C两点的距离为（　　）
A.20 海里 B. 海里
C.20 海里 D. 海里
题型二 测量高度问题
【例2】　如图，CD是一座铁塔，线段AB和塔底D在同一水平地面上，在A，B两点测得塔顶C的仰角分别为60°，45°，又测得AB＝24 m，∠ADB＝30°，则此铁塔的高度为（　　）
A.18 m B.120 m
C.32 m D.24 m
尝试解答
通性通法
　　测量高度的基本类型及方案
类型 简图 计算方法
底部可达 测得BC＝a， ∠BCA＝C， AB＝a·tan C
底部 不可 达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值
点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数. 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值
【跟踪训练】
如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为（　　）
A.m B.m
C.m D.m
题型三 测量角度问题
【例3】　在海岸A处发现北偏东45°方向，距A点n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的我方缉私船，奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？
尝试解答
通性通法
　　测量角度问题画示意图的基本步骤
【跟踪训练】
如图，当甲船位于A处时，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，现乙船朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则cos θ＝　　　　.
题型四 求速度问题
【例4】　如图，某交警队为了了解山底一段水平公路上行驶车辆的车速情况，现派交警进行测量.交警小明在山顶A处观测到一辆汽车在这段水平公路上沿直线匀速行驶，交警小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度为　　　　 m/s.
尝试解答
通性通法
解决实际问题应注意的问题
（1）首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步；
（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题.
【跟踪训练】
一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向上，且与它相距8 海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，则此船的航行速度为（　　）
A.8（＋）海里/时 B.8（－）海里/时
C.16（＋）海里/时 D.16（－）海里/时
1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（　　）
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
2.如图所示，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是（　　）
A.a，c，α B.b，c，α
C.c，a，β D.b，α，γ
3.如图，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100 m，点C位于BD上，则山高AB＝（　　）
A.100 m B.50 m
C.50 m D.50m
4.一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的航行速度是（　　）
A.5海里/时 B.5海里/时
C.10海里/时 D.10海里/时
5.已知A，B，C，D四个景点，如图所示，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D相距2 km，C，D相距km，求A，B两景点间的距离.
9.2　正弦定理与余弦定理的应用
【基础知识·重落实】
知识点
上　下　目标方向线　
想一想
提示：东南方向.
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）√　（5）×
2.C　如图所示.
3.A　如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝a.
4.D　在Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°可知AC＝x，在Rt△ABD中，AD＝x＋20，∠ADB＝30°，所以＝tan 30°，＝，解得x＝20.则塔高为20 m.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）60　（2）20　解析：（1）tan 30°＝，tan 75°＝，又∵AD＋DB＝120，∴AD·tan 30°＝（120－AD）·tan 75°，∴AD＝60，故CD＝60 m.
（2）在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝ ＝40.在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－（30°＋105°）＝45°.由正弦定理，得AC＝＝20.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA＝（20）2＋（40）2－2×40×20cos 60°＝2 400，∴AB＝20，故A，B两点之间的距离为20 m.
跟踪训练
1.D　如图所示，根据题意，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10海里，所以C＝45°.由正弦定理可得＝，即＝，所以BC＝5 海里.故选D.
2.A　如图，过点P作AB的垂线，垂足为点E.由题意得∠APB＝∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝30×＝20（海里）.在Rt△PAE中，PE＝APsin 60°＝10（海里）.在Rt△PBE中，PB＝＝20（海里）.由已知可得∠PBC＝90°，BC＝30×＝40（海里），∴在Rt△PBC中，PC＝＝＝20（海里）.
【例2】　D　设塔高为h m，
因为∠CAD＝60°，∠CBD＝45°，CD⊥AD，CD⊥BD，
所以AD＝＝，BD＝＝h.
在△ABD中，由余弦定理得
242＝＋h2－2××h×cos 30°，
解得h＝24.故选D.
跟踪训练
A　在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin（45°－30°）＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，由正弦定理，得PB＝＝30（m），所以建筑物的高度为PBsin 45°＝30×＝（m）.
【例3】　解：如图，设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获（在D点）走私船，
则CD＝10t n mile，
BD＝10t n mile.
在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A
＝＋22－2·2cos 120°＝6，
∴BC＝，∵＝，
∴sin∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝45°，
∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
在△BCD中，由正弦定理得＝，
∴sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°.
故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船.
跟踪训练
　解析：在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝202＋102－2×20×10×cos 120°＝700，所以BC＝10海里.由正弦定理＝，得sin∠ACB＝＝＝，则cos∠ACB＝.从而cos θ＝cos（∠ACB＋30°）＝cos∠ACBcos 30°－sin ∠ACBsin 30°＝.
【例4】　　解析：由题意知∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，∴在△ABD和△ACD中，AB＝200 m，AC＝100 m，∴在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC＝100 000，即BC＝100 m，∴这辆汽车的速度为＝＝ m/s.
跟踪训练
D　如图，由题意得，在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得＝，即＝，得AB＝8（－），因此该船的航行速度为＝16（－）（海里/时）.
随堂检测
1.D　由条件及题图可知，A＝B＝40°，又因为∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2.D　a，c不可到达无法测量，故排除A、B、C，选D.
3.D　设山高为h，则由题意知CB＝h，DB＝h，∴h－h＝100，即h＝50.
4.D　如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，可得AB＝5海里，于是这艘船的航行速度是10海里/时.
5.解：在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，
由正弦定理得＝，即BD＝＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，所以△ABD为等边三角形，所以AB＝2.所以A，B两景点间的距离为2 km.
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9.2　正弦定理与余弦定理的应用
新课程标准解读 核心素养
1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距
离、高度、角度的测量问题 直观想象
2.能够运用正弦、余弦定理进一步解决一些有关
三角形的计算问题 数学建模、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如
图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能
直接测量.
【问题】　假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的
岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算
方法；如果不能，说明理由.




知识点　实际应用问题中的有关名词、术语
名称 定义 图示
仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平
线 方时与水平线的夹角
俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平
线 方时与水平线的夹角
上　
下　
名称 定义 图示
方向
角 从指定方向线到 的水
平角（指定方向线是指正北或正南或
正东或正西，方向角小于90°）
方位
角 从正北的方向线按顺时针到目标方向
线所转过的水平角
目标方向线　
【想一想】
李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你
认为李尧的家在学校的哪个方向？
提示：东南方向.
1. 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）方位角是从正北方向逆时针旋转到目标方向线的水平角.
（　×　）
（2）东偏北45°的方向就是东北方向. （　√　）
（3）俯角和仰角都是对于水平线而言的. （　√　）
（4）仰角与俯角所在的平面是铅垂面. （　√　）
（5）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，
β的关系为α＋β＝180°. （　×　）
×
√
√
√
×
2. 若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（　　）
A. 东偏北45°10'方向上 B. 东偏北44°50'方向上
C. 南偏西44°50'方向上 D. 西偏南44°50'方向上
解析：　如图所示.
3. 两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a（km），灯塔A在C
北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为（　　）
C. a km D. 2a km
解析：　如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝ a.
4. 如图，为测量塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点
测得∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20 m到达D点，测
得∠ADB＝30°，则塔高为（　　）
C. 40 m D. 20 m
解析：　在Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°可知AC
＝x，在Rt△ABD中，AD＝x＋20（ －1），∠ADB＝30°，
所以 ＝tan 30°， ＝ ，解得x＝20.则塔
高为20 m.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 测量距离问题
【例1】　（1）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，
B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝
120 m，则河的宽度是 m.
60　
解析：tan 30°＝ ，tan 75°＝ ，又∵AD＋DB＝120，∴AD·tan
30°＝（120－AD）·tan 75°，∴AD＝60 ，故CD＝60 m.
（2）如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m
的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝
60°，∠ADC＝30°，则A，B两点间的距离是 m.
20 　
解析：在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝
45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，
BC＝ ＝40 .在△ACD中，∠ADC＝30°，
∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－（30°＋
105°）＝45°.由正弦定理，得AC＝ ＝20 .在
△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC× cos
∠BCA＝（20 ）2＋（40 ）2－2×40 ×20 cos 60°＝
2 400，∴AB＝20 ，故A，B两点之间的距离为20 m.
通性通法
测量距离的基本类型及方案
类 型 A，B两点间不可通或不可视 A，B两点间可视但有
一点不可达 A，B两点都不可达
简 图
类 型 A，B两点间不可通或不可视 A，B两点间可视但有一点不可达 A，B两点都不可达
方 法 先测∠ACB，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 先测∠ACB，
∠ABC，BC＝a，再用正弦定理求AB 先测CD＝a，
∠BCD，∠BDC，
∠ACD，∠ADC，
∠ACB，在△ACD中
用正弦定理求AC；
在△BCD中用正弦定理求BC；
在△ABC中用余弦定理求AB
类 型 A，B两点间不可通或不可视 A，B两点间可视但有一点不可达 A，B两点都不可达
结 论
【跟踪训练】
1. 海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视
角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是（　）
解析：　如图所示，根据题意，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10海里，所以C＝45°.由正弦定理可得 ＝ ，即 ＝ ，所以BC＝5 海里.故选D.
2. 某海轮以每小时30海里的速度航行，在点A测得海面上油井P在其
南偏东60°方向上；海轮向北航行40分钟后到达点B，测得油井P
在其南偏东30°方向上；海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟
到达点C，则P，C两点的距离为（　　）
解析：　如图，过点P作AB的垂线，垂足为点E.
由题意得∠APB＝∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝
30× ＝20（海里）.在Rt△PAE中，PE＝AP sin
60°＝10 （海里）.在Rt△PBE中，PB＝
＝20 （海里）.由已知可得∠PBC＝90°，BC
＝30× ＝40（海里），∴在Rt△PBC中，PC＝ ＝ ＝20 （海里）.
题型二 测量高度问题
【例2】　如图，CD是一座铁塔，线段AB和塔底D在同一水平地面
上，在A，B两点测得塔顶C的仰角分别为60°，45°，又测得AB＝
24 m，∠ADB＝30°，则此铁塔的高度为（　　）
C. 32 m
解析：　设塔高为h m，因为∠CAD＝60°，∠CBD＝45°，
CD⊥AD，CD⊥BD，所以AD＝ ＝ ，BD＝ ＝h.
在△ABD中，由余弦定理得242＝（ ）2＋h2－2× ×h× cos
30°，解得h＝24 .故选D.
通性通法
测量高度的基本类型及方案
类型 简图 计算方法
底部可达
测得BC＝a，
∠BCA＝C，
AB＝a·tan C
类型 简图 计算方法
底 部 不 可 达 点B与C，
D共线
测得CD＝a及C与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD，再解直
角三角形得AB的值
点B与C，
D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的
度数.
在△BCD中，由正弦定理求得BC，再
解直角三角形得AB的值
【跟踪训练】
如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，
B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A，B两点间的
距离为60 m，则该建筑物的高度为（　　）
解析：　在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，
sin 15°＝ sin （45°－30°）＝ sin 45°· cos 30°－ cos 45° sin
30°＝ ，由正弦定理，得PB＝ ＝30
（m），所以建筑物的高度为PB sin 45°＝30 × ＝（30
＋30 ）（m）.
题型三 测量角度问题
【例3】　在海岸A处发现北偏东45°方向，距A点 n mile的
B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的我方
缉私船，奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10
n mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方
向行驶才能最快截获走私船？
解：如图，设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能
最快截获（在D点）走私船，则CD＝10 t n
mile，BD＝10t n mile.
在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos A
＝ ＋22－2（ －1）·2 cos 120°＝6，
∴BC＝ ，
∵ ＝ ，
∴ sin ∠ABC＝ ＝ ＝ ，
∴∠ABC＝45°，
∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
在△BCD中，由正弦定理得
＝ ，
∴ sin ∠BCD＝ ＝ ＝ ，
∴∠BCD＝30°.
故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船.
通性通法
测量角度问题画示意图的基本步骤
【跟踪训练】
如图，当甲船位于A处时，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔
船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏
西30°，相距10海里C处的乙船，现乙船朝北偏东θ角的方向沿直线
前往B处救援，则 cos θ＝ .
　
解析：在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝202＋102－2×20×10×
cos 120°＝700，所以BC＝10 海里.由正弦定理 ＝
，得 sin ∠ACB＝ ＝ ＝ ，则 cos
∠ACB＝ .从而 cos θ＝ cos （∠ACB＋30°）＝ cos ∠ACB cos
30°－ sin ∠ACB sin 30°＝ .
题型四 求速度问题
【例4】　如图，某交警队为了了解山底一段水平公路上行驶车辆的
车速情况，现派交警进行测量.交警小明在山顶A处观测到一辆汽车
在这段水平公路上沿直线匀速行驶，交警小明在A处测得公路上B，
C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝
100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度为 m/s.
　
解析：由题意知∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，∴在△ABD和
△ACD中，AB＝200 m，AC＝100 m，∴在△ABC中，BC2＝AB2
＋AC2－2AB×AC cos ∠BAC＝100 000，即BC＝100 m，∴这辆
汽车的速度为 ＝ ＝ m/s.
通性通法
解决实际问题应注意的问题
（1）首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知
与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要
的一步；
（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用
正、余弦定理解决问题.
【跟踪训练】
一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向上，且与
它相距8 海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达
B处，此时测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，则此船的航行速度
为（　　）
解析：　如图，由题意得，在△SAB中，∠BAS＝
30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.
由正弦定理得 ＝ ，即 ＝
，得AB＝8（ － ），因此该船的航行速
度为 ＝16（ － ）（海里/时）.
1. 如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察
站C的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在
灯塔B的（　　）
A. 北偏东10° B. 北偏西10°
C. 南偏东80° D. 南偏西80°
解析：　由条件及题图可知，A＝B＝40°，又因为∠BCD＝
60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯
塔B南偏西80°.
2. 如图所示，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，
较适宜的是（　　）
A. a，c，α B. b，c，α
C. c，a，β D. b，α，γ
解析：　a，c不可到达无法测量，故排除A、B、C，选D.
3. 如图，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和
30°，已知CD＝100 m，点C位于BD上，则山高AB＝（　　）
A. 100 m
解析：　设山高为h，则由题意知CB＝h，DB＝ h，∴ h
－h＝100，即h＝50（ ＋1）.
4. 一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰
好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南
偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的航行
速度是（　　）
B. 5海里/时
D. 10海里/时
解析：　如图所示，依题意有∠BAC＝
60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA
＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角
形ABC中，可得AB＝5海里，于是这艘船的航
行速度是10海里/时.
5. 已知A，B，C，D四个景点，如图所示，∠CDB＝45°，
∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D相距2 km，C，D相距
km，求A，B两景点间的距离.
解：在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，
由正弦定理得 ＝ ，
即BD＝ ＝2.
在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，
所以△ABD为等边三角形，所以AB＝2.
所以A，B两景点间的距离为2 km.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50
m，BD为水平线，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角
∠CAD的大小是（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
解析：　AD2＝602＋202＝4 000，AC2＝602＋302＝4 500.在
△CAD中，由余弦定理，得 cos ∠CAD＝ ＝ ，故
∠CAD＝45°.故选B.
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2. 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得两条船的
俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则
两条船相距（　　）
解析：D　如图，设炮台顶为A，底为D，
两船为B，C，则∠ABD＝45°，∠ACD
＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB
＝30，DC＝30 ，∴BC2＝DB2＋DC2－
2DB·DC· cos 30°＝900，∴BC＝30.
D. 30 m
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3. 一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水
流速为2 km/h，经过 h船实际航程为（　　）
B. 6 km
D. 8 km
解析：　如图所示，在△ACD中，AC＝2 ，
CD＝4 ，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－
2×2 ×4 × ＝36.∴AD＝6.即该船实际航
程为6 km.故选B.
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4. 如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传
递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一
条直线，连杆的端点A在A0处.设连杆AB长100 mm，曲柄CB长35
mm，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离
（即连杆的端点A移动的距离A0A）约为（结果保留整数）（参考
数据： sin 53.2°≈0.8）（　　）
A. 17 mm B. 18 mm
C. 19 mm D. 20 mm
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解析：　在△ABC中，AB＝100，BC＝35，∠ACB＝53.2°，
因为 sin 53.2°≈0.8，所以 cos 53.2°≈0.6.由余弦定理得：AB2＝
CB2＋CA2－2CA·CB· cos 53.2°，所以1002＝352＋CA2－
2CA×35×0.6 CA2－42CA－8 775＝0 CA＝117或CA＝－75
（舍去）.因为135－117＝18，所以A0A＝18 mm.故选B.
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5. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向
直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观
察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东
65°，那么B，C两点间的距离是（　　）
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解析：　如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得 ＝ ，解得BC＝10 海里.
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6. 如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地
沿折线A—C—B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶.
已知AC＝10 km，A＝30°，B＝45°，则隧道开通后，汽车从A
地到B地比原来少走（结果精确到0.1 km）（参考数据：
≈1.41， ≈1.73）（　　）
A. 3.4 km B. 2.3 km
C. 5.1 km D. 3.2 km
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解析：　如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△CAD中，A＝30°，AC＝10 km，
CD＝AC· sin 30°＝5（km），
AD＝AC· cos 30°＝5 （km）.
在Rt△BCD中，B＝45°，BD＝CD＝5（km），
BC＝ ＝5 （km）.
AB＝AD＋BD＝（5 ＋5）（km），
AC＋BC－AB＝10＋5 －（5 ＋5）
＝5＋5 －5 ≈5＋5×1.41－5×1.73＝3.4（km）.
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7. 如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一
丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原
高一丈（1丈＝10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根
的距离三尺，问折断处离地面的高为 尺.
4.55　
解析：设折断处离地面的高为x尺，由勾股定理得x2＋32＝（10－x）2，化简得20x＝91，解得x＝4.55.
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8. 如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两
点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB＝5，BC＝
8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长
为 km.
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解析：因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.在△ABC和
△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5× cos （π－D）＝32
＋52－2×3×5× cos D，解得 cos D＝－ ，代入得AC2＝32＋52－
2×3×5× ＝49，故AC＝7.
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9. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡角为15°的看台上，同一
列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，若
同一列的第一排和最后一排之间的距离为10 m（如图所示），
则旗杆的高度为 m.
30　
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解析：如图所示，依题意可知∠PCB＝
45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝
105°，∴∠CPB＝180°－45°－105°
＝30°，
∴在△PBC中，由正弦定理，可知PB＝
＝20 （m），
∴在Rt△POB中，OP＝PB× sin ∠PBO
＝20 × ＝30（m），即旗杆的高度为30 m.
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10. 如图所示，一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行.在A处看灯
塔S在船的北偏东20°方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔
在船的北偏东65°方向，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海域为
航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？（
≈1.414， sin 115°≈0.906， sin 20°≈0.342）
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解：在△ABS中，AB＝32.2×0.5＝16.1 n mile，
∠ABS＝115°，
根据正弦定理，得 ＝ ，
AS＝ ＝AB× sin ∠ABS× ＝16.1× sin
115°× ，
S到直线AB的距离是d＝AS× sin 20°＝16.1× sin 115°× ×
sin 20°≈7.06（n mile）＞6.5（n mile）.
所以这艘船可以继续沿正北方向航行.
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11. 如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先
选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案
（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）：①测量
A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定
A，B间距离的所有方案的个数为（　　）
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
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解析：　对于①，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利
用正弦定理 ＝ 解出c；对于②，直接利用余弦定理c2＝a2
＋b2－2ab cos C即可解出c；对于③，先利用内角和定理求出C
＝π－A－B，再利用正弦定理 ＝ 解出c.故选A.
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12. （多选）一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东
30°，之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航
行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n
mile，则灯塔S可能在B处的（　　）
A. 北偏东75° B. 南偏东15°
C. 东北方向 D. 东南方向
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解析：　画出示意图如图，客船半小时航行
的路程为32× ＝16（n mile），∴AB＝16 n mile.
又∵BS＝8 n mile，∠BAS＝30°，
∴ ＝ ，
∴ sin ∠ASB＝ ，∴∠ASB＝45°或∠ASB＝135°.当船在B处时，∠ASB＝45°，
∠B'BS＝75°，当船在B'处时，∠ASB'＝135°，∠AB'S＝15°.综上，灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°，故选A、B.
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13. 如图，某人在塔的底端B的正东方向上的C处，与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行1分钟后到达D处，在D处望见塔的底端B在东北方向上.已知沿途某点E处塔的仰角∠AEB＝α，且α的最大值为60°.
（1）该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大处时，走了几
分钟？
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解：依题意知在△DBC中，∠BCD
＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝100米，D＝180°－135°－30°＝15°.
由正弦定理得 ＝ ，
故BC＝ ＝ ＝
＝ ＝50（ －1）（米）.
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在Rt△ABE中，tan α＝ ，∵AB为定长，
∴当BE的长最小时，α取得最大值60°，此时BE⊥CD.
当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，
EC＝BC cos ∠BCE＝50（ －1）× ＝25（3－ ）（米）.
设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大处时，走了t分钟.
则t＝ ＝ ＝ （分钟），故走了 分钟.
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（2）求塔高.
解：由（1）知当α取得最大值60°
时，BE⊥CD.
在Rt△BEC中，BE＝BC sin ∠BCE，
∴在Rt△ABE中，AB＝BEtan 60°＝BC
sin ∠BCE·tan 60°＝50（ －1）×
× ＝25（3－ ）（米）.
∴所求塔高为25（3－ ）米.
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14. 如图，一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到
达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了40 海里
到达海岛C. 如果下次航行直接从A出发到C，则此船航行的方向
为北偏东 度，航行路程为 海里.
65　
20（ ＋ ）　
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解析：由题意，在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，
AB＝40，BC＝40 ，
根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC× cos ∠ABC＝
402＋（40 ）2－2×40×40 × ＝3 200＋1 600 ，
∴AC＝20（ ＋ ）.
根据正弦定理得 ＝ ，
得 sin ∠CAB＝ ，又BC＜AC，∴∠CAB＝45°，
∴此船航行的方向和路程分别为北偏东65°，20（ ＋ ）海里.
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15. 为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机信号屏蔽
仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号，检查员抽查某市
一考点，在考点正西 km有一条北偏东60°方向的公路，在此
处检查员用手机接通电话，以每小时12 km的速度沿公路行驶，问
最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间
该考点才算合格？
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解：如图所示，考点为A，检查开始处为B，
设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不
到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1 km.
在△ABC中，AB＝ km，AC＝1 km，∠ABC＝30°，
由正弦定理，得 sin ∠ACB＝ ×AB＝ ，
∴∠ACB＝120°（∠ACB＝60°不合题意），
∴∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝1 km.
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在△ACD中，AC＝AD＝1，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1 km.
∵ ×60＝5（min），
∴在BC上需5 min，CD上需5 min.
∴最长需要5 min检查员开始收不到信号，并至
少持续5 min该考点才算合格.
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