资源简介

一、数学运算
　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，求得运算结果等.在本章中，数学运算主要表现在利用正、余弦定理解三角形上.
培优一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3＋，求c.
尝试解答
二、逻辑推理
　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.在本章中，逻辑推理主要表现在利用正、余弦定理判定三角形的形状上.
培优二 判断三角形的形状
【例2】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形.
尝试解答
三、数学建模
　　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.在本章中，数学建模主要表现在利用正、余弦定理解决实际问题上.
培优三 正、余弦定理在解决实际问题中的应用
【例3】　如图，为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，A，B两点的距离为 km.
（1）求△ABD的面积；
（2）求C，D间的距离.
尝试解答
章末复习与总结
【例1】　解：（1）由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，
对比已知a2＋b2－c2＝ab，
可得cos C＝＝＝，
因为C∈（0，π），所以C＝，
又sin C＝cos B，所以＝cos B，
即cos B＝，又B∈（0，π），所以B＝.
（2）由（1）可得A＝，
则sin A＝sin＝sin（＋）＝×＋×＝，由正弦定理有＝，
从而a＝·c＝c，
又S△ABC＝acsin B＝3＋，即ac＝4（＋1），
将a＝c代入，解得c＝2.
【例2】　证明：法一　由b－c＝a可得a＝（b－c），
又∵cos A＝＝，即b2＋c2－a2＝bc，
∴b2＋c2－3（b－c）2＝bc （b－2c）（2b－c）＝0，
∴b＝2c或c＝2b（舍），
∴a＝c，即a2＋c2＝b2，故△ABC为直角三角形.
法二　∵b－c＝a，
∴由正弦定理得sin B－sin C＝sin A＝，
∵A＋B＋C＝π，∴sin－sin C＝，
又∵sin－sin C＝cos C＋sin C－sin C＝cos C－sin C＝sin＝，
∴－C＝或－C＝（舍），
∴C＝，∴B＝π－A－C＝，故△ABC为直角三角形.
【例3】　解：（1）在△ABD中，因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝30°＋45°＝75°，
所以∠ADB＝180°－∠BAD－∠ABD＝180°－75°－45°＝60°，
由＝，得AD＝＝，
则△ABD的面积S＝AB×ADsin∠BAD＝×××＝，即△ABD的面积为 km2.
（2）因为∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝45°＋75°＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，
所以BC＝AB＝，所以AC＝3.
在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2AC×ADcos∠DAC＝5，
即CD＝.
故C，D间的距离为 km.
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章末复习与总结
一、数学运算
　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学
问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方
向，选择运算方法，求得运算结果等.在本章中，数学运算主要表现
在利用正、余弦定理解三角形上.
培优一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边
分别为a，b，c，已知 sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab.
（1）求B；
解：由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C，
对比已知a2＋b2－c2＝ ab，
可得 cos C＝ ＝ ＝ ，
因为C∈（0，π），所以C＝ ，
又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cos B，
即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ .
（2）若△ABC的面积为3＋ ，求c.
解：由（1）可得A＝ ，
则 sin A＝ sin ＝ sin （ ＋ ）＝ × ＋ × ＝ ，
由正弦定理有 ＝ ，
从而a＝ · c＝ c，
又S△ABC＝ ac sin B＝3＋ ，即ac＝4（ ＋1），
将a＝ c代入，解得c＝2 .
二、逻辑推理
　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命
题的思维过程.在本章中，逻辑推理主要表现在利用正、余弦定理判
定三角形的形状上.
培优二 判断三角形的形状
【例2】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝
，b－c＝ a，证明：△ABC是直角三角形.
证明：法一　由b－c＝ a可得a＝ （b－c），
又∵ cos A＝ ＝ ，即b2＋c2－a2＝bc，
∴b2＋c2－3（b－c）2＝bc （b－2c）（2b－c）＝0，
∴b＝2c或c＝2b（舍），
∴a＝ c，即a2＋c2＝b2，故△ABC为直角三角形.
法二　∵b－c＝ a，
∴由正弦定理得 sin B－ sin C＝ sin A＝ ，
∵A＋B＋C＝π，∴ sin － sin C＝ ，
又∵ sin － sin C＝ cos C＋ sin C－ sin C＝ cos C－ sin
C＝ sin ＝ ，
∴ －C＝ 或 －C＝ （舍），
∴C＝ ，∴B＝π－A－C＝ ，
故△ABC为直角三角形.
三、数学建模
　　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用
数学知识与方法构建模型解决问题的过程.在本章中，数学建模主要
表现在利用正、余弦定理解决实际问题上.
培优三 正、余弦定理在解决实际问题中的应用
【例3】　如图，为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距
离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D
在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得∠BAC＝30°，∠DAC＝
45°，∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，A，B两点的距离为 km.
（1）求△ABD的面积；
解：在△ABD中，因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝30°＋45°
＝75°，所以∠ADB＝180°－∠BAD－∠ABD＝180°－75°
－45°＝60°，
由 ＝ ，得AD＝ ＝ ，
则△ABD的面积S＝ AB×AD sin ∠BAD＝ × ×
× ＝ ，即△ABD的面积为 km2.
（2）求C，D间的距离.
解：因为∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝45°＋75°＝120°，
∠BAC＝∠BCA＝30°，所以BC＝AB＝ ，所以AC＝3.
在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD cos
∠DAC＝5，即CD＝ .
故C，D间的距离为 km.
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