资源简介 章末检测（九） 解三角形（时间：120分钟 满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在△ABC中，a＝2，b＝，c＝1，则最小角为（ ）A. B. C. D.2.已知锐角三角形ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为（ ）A.75° B.60°C.45° D.30°3.如图，甲、乙二人同时从点A出发，甲沿正东方向走，乙沿北偏东30°方向走.当乙走了2 km到达B点时，甲走到C点，此时两人相距 km，则甲走的路程AC＝（ ）A.2 km B.2 km C. km D.1 km4.在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝（ ）A. B.C. D.5.在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos A＝，则△ABC的面积S为（ ）A. B.C. D.66.在△ABC中，若（a－acos B）sin B＝（b－ccos C）sin A，则这个三角形是（ ）A.底角不等于45°的等腰三角形B.锐角不等于45°的直角三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形或等腰三角形7.如图，在山脚A测得山顶P的仰角α为30°，沿倾斜角β为15°的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角γ为60°，则山PQ的高h＝（ ）A.a m B. mC.a m D.a m8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则＋的最大值为（ ）A.2 B.C.2 D.4二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2＋c2－b2）tan B＝ac，则角B＝（ ）A. B.C. D.10.已知锐角三角形ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝4，B＝60°，则b的可能取值为（ ）A.2 B.3C.4 D.511.在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，若（a＋b＋c）（a＋c－b）＝（2＋）ac，则cos A＋sin C的可能取值是（ ）A. B.C.1 D.2三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos B＝sin C，则△ABC的形状为 .13.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里写道：“问有沙田一段，有三斜.其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按0.5 km计算，则该沙田的面积为 km2.14.如图，甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶.已知甲船的速度是a n mile/h，问甲船应沿着 方向前进，才能最快与乙船相遇？四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且m＝（2b－c，cos C），n＝（a，cos A），m∥n.（1）求角A的大小；（2）若a＝4，S△ABC＝4，试判定△ABC的形状.16.（本小题满分15分）如图，在△ABC中，B＝，BC＝2，点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足.（1）若△BCD的面积为，求AB的长；（2）若DE＝，求A的大小.17.（本小题满分15分）某市发生水灾，国家抗震救灾指挥部紧急从A处调飞机去某地运救灾物资到受灾的B处.现有以下两个方案供选择：方案一：飞到位于A处正东方向上的C市调运救灾物资，再飞到B处；方案二：飞到位于A处正南方向上的D市调运救灾物资，再飞到B处.已知AD＝500 km，AB＝800 km，∠ACB＝2∠DAB＝120°.那么选择哪种方案，能使得飞行距离最短？18.（本小题满分17分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.（1）求A；（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值.19.（本小题满分17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，过△ABC内一点M的直线l与直线AB交于点D，记与夹角为θ.（1）已知c－acos B＝bsin A，①求角A；②若M为△ABC的重心，b＝c＝1，θ＝30°，求｜｜；（2）请用向量方法探究θ与△ABC的边和角之间的等量关系.章末检测（九） 解三角形1.B ∵a＞b＞c，∴C最小.∵cos C＝＝＝，0＜C＜π，∴C＝.2.B 面积S＝ BC·CA·sin C 3＝×4×3×sin C sin C＝，又因为△ABC为锐角三角形，所以C＝60°.3.D 依题意知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即3＝22＋AC2－2×2×AC×cos 60°，AC2－2AC＋1＝0，解得AC＝1.4.A 由余弦定理得cos C＝＝＝，可得AB＝3，又由余弦定理得cos B＝＝＝.5.A 由b2－bc－2c2＝0可得（b＋c）（b－2c）＝0，∴b＝2c.在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，即6＝4c2＋c2－4c2×.∴c＝2，从而b＝4.∴S＝bcsin A＝×2×4×＝.6.D 由正弦定理及题意，得sin Asin Bcos B＝sin Csin Acos C.∵sin A≠0，∴sin 2B＝sin 2C，∴B＝C或2B＝π－2C，即B＋C＝.∴这个三角形为直角三角形或等腰三角形.7.A 在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，∠BPA＝（90°－α）－（90°－γ）＝γ－α＝30°，∴＝，∴PB＝a，∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β＝a×sin 60°＋asin 15°＝ a（m）.故选A.8.C 由题意可得×a×＝bcsin A，即a2＝2bcsin A，代入cos A＝中，得b2＋c2＝2bc（cos A＋sin A），所以＋＝2（cos A＋sin A）＝2sin.因为A∈（0，π），所以当A＝时，＋取得最大值2，故选C.9.BC 因为（a2＋c2－b2）tan B＝ac，所以2accos B·tan B＝ac，又ac≠0，所以sin B＝，所以B＝或B＝，故选B、C.10.CD 在△ABC中，c＝4，B＝60°，由＝，得b＝＝＝.因为0＜C＜，所以sin C∈（0，1），即有b＞2.若b＝4，则b＝c，即B＝C＝60°，△ABC为等边三角形，符合题意；若b＝5，则sin C＝∈，且b＞c，即B＞C，所以30°＜C＜60°，所以60°＜A＜90°，符合题意.故选C、D.11.BC 由（a＋b＋c）（a＋c－b）＝（2＋）ac，得a2＋c2－b2＝ac，所以根据余弦定理，得cos B＝＝，又B是锐角，所以B＝，所以A＋C＝，所以C＝－A，所以cos A＋sin C＝cos A＋sin＝cos A＋sincos A－cossin A＝sin A＋cos A＝sin.因为△ABC是锐角三角形，所以即解得＜A＜，所以＜A＋＜，所以cos A＋sin C∈，所以cos A＋sin C的可能取值是和1.故选B、C.12.等腰三角形 解析：法一 由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin（A－B）＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B，所以△ABC是等腰三角形.法二 由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c a2 b2 a＝b.所以△ABC是等腰三角形.13.21 解析：设在△ABC中，BC＝13里，AC＝14里，AB＝15里，∴cos C＝＝，∴sin C＝，故△ABC的面积为×13×14××0.52＝21（km2）.14.北偏东30° 解析：设经过t h两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at，AC＝at，B＝180°－60°＝120°，由＝，得sin∠CAB＝＝＝.∵0°＜∠CAB＜90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.15.解：（1）∵m∥n，m＝（2b－c，cos C），n＝（a，cos A），∴（2b－c）cos A－acos C＝0，由正弦定理得（2sin B－sin C）cos A－sin Acos C＝0，∴2sin Bcos A－sin（C＋A）＝0，即sin B（2cos A－1）＝0，∵0＜B＜π，∴sin B≠0，∴cos A＝，又∵0＜A＜π，∴A＝.（2）∵S△ABC＝bcsin A＝4，∴bc＝16，又∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴b2＋c2＝32，∴b＝c＝4，且A＝，∴△ABC为等边三角形.16.解：（1）∵△BCD的面积为，B＝，BC＝2，∴×2×BD×sin＝，∴BD＝.在△BCD中，由余弦定理得CD＝＝＝，∴AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝＋＝.（2）∵DE＝，∴CD＝AD＝＝.在△BCD中，由正弦定理可得＝.∵∠BDC＝2A，∴＝，∴cos A＝，∴A＝.17.解：方案一：在△ABC中，易知∠CAB＝90°－∠DAB＝30°，∠ACB＝120°，AB＝800 km，由＝得BC＝km，且△ABC为等腰三角形，所以AC＋BC＝2BC＝（km）.方案二：在△ADB中，∠DAB＝60°，AD＝500 km，AB＝800 km，所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos ∠DAB＝8002＋5002－2×800×500×cos 60°＝4.9×105，所以BD＝700 km，所以BD＋AD＝700＋500＝1 200（km）.因为1 200＞≈923.2，故选择方案一，能使飞行距离最短.18.解：（1）由正弦定理和已知条件得a2－b2－c2＝b·c. ①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2b·ccos A. ②由①②得cos A＝－.因为0＜A＜π，所以A＝.（2）法一 由（1）知A＝，因为BC＝3，即a＝3.由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，所以9＝b2＋c2＋bc＝（b＋c）2－bc.由基本不等式≤知bc≤，结合上式得9＝（b＋c）2－bc≥（b＋c）2，（b＋c）2≤12，所以b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时取等号，所以△ABC周长的最大值为3＋2.法二 由正弦定理及（1）得＝＝＝2，从而b＝2sin B，c＝2sin（π－A－B）＝3cos B－sin B.故a＋b＋c＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin.又因为0＜B＜，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.19.解：（1）①因为c－acos B＝bsin A，由正弦定理可得sin C－sin Acos B＝sin Bsin A，即sin（A＋B）－sin Acos B＝sin Bsin A，所以cos Asin B＝sin Bsin A，又0°＜B＜180°，所以sin B＞0，所以cos A＝sin A，所以tan A＝1，又0°＜A＜180°，所以A＝45°.②由题意b＝c＝1，θ＝30°，因为M为△ABC的重心，所以＝（＋），所以｜AM｜＝｜｜＝｜＋｜＝ ＝＝cos，在△ADM中，由正弦定理知＝，所以｜AD｜＝·sin∠AMD，显然△ABC为等腰三角形，则AM平分∠BAC，所以｜｜＝｜AD｜＝·sin（ ＋30°）＝2｜AM｜sin（ ＋30°）＝cossin（ ＋30°）＝cos（ sin＋cos）＝（ ×2sincos＋cos2）＝（ sin A＋cos A＋）＝（ ×＋×＋）＝.（2）直线l与△ABC的边AC相交于点E，如图所示，因为＝＋，所以·＝·（＋）＝·＋·，又因为·＝｜｜｜｜cos∠EDA＝c｜｜cos θ，·＝｜｜｜｜cos（B－θ）＝a｜｜·cos（B－θ），·＝｜｜｜｜cos（A＋θ）＝b｜｜·cos（A＋θ），所以c｜｜cos θ＝a｜｜cos（B－θ）＋b｜｜·cos（A＋θ），即ccos θ＝acos（B－θ）＋bcos（A＋θ）.3 / 3(共41张PPT)章末检测（九） 解三角形（时间：120分钟 满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在△ABC中，a＝2，b＝ ，c＝1，则最小角为（ ）解析： ∵a＞b＞c，∴C最小.∵ cos C＝ ＝＝ ，0＜C＜π，∴C＝ .123456789101112131415161718192. 已知锐角三角形ABC的面积为3 ，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为（ ）A. 75° B. 60°C. 45° D. 30°解析： 面积S＝ BC·CA· sin C 3 ＝ ×4×3× sin C sin C＝ ，又因为△ABC为锐角三角形，所以C＝60°.123456789101112131415161718193. 如图，甲、乙二人同时从点A出发，甲沿正东方向走，乙沿北偏东30°方向走.当乙走了2 km到达B点时，甲走到C点，此时两人相距 km，则甲走的路程AC＝（ ）B. 2 kmD. 1 km解析：依题意知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos ∠BAC，即3＝22＋AC2－2×2×AC× cos 60°，AC2－2AC＋1＝0，解得AC＝1.123456789101112131415161718194. 在△ABC中， cos C＝ ，AC＝4，BC＝3，则 cos B＝（ ）解析：由余弦定理得 cos C＝ ＝ ＝ ，可得AB＝3，又由余弦定理得 cos B＝ ＝ ＝ .123456789101112131415161718195. 在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝ ， cos A＝ ，则△ABC的面积S为（ ）12345678910111213141516171819解析： 由b2－bc－2c2＝0可得（b＋c）（b－2c）＝0，∴b＝2c.在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A，即6＝4c2＋c2－4c2× .∴c＝2，从而b＝4.∴S＝ bc sin A＝×2×4× ＝ .123456789101112131415161718196. 在△ABC中，若（a－a cos B） sin B＝（b－c cos C） sin A，则这个三角形是（ ）A. 底角不等于45°的等腰三角形B. 锐角不等于45°的直角三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形解析： 由正弦定理及题意，得 sin A sin B cos B＝ sin C· sin A cosC. ∵ sin A≠0，∴ sin 2B＝ sin 2C，∴B＝C或2B＝π－2C，即B＋C＝ .∴这个三角形为直角三角形或等腰三角形.123456789101112131415161718197. 如图，在山脚A测得山顶P的仰角α为30°，沿倾斜角β为15°的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角γ为60°，则山PQ的高h＝（ ）D. a m12345678910111213141516171819解析： 在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，∠BPA＝（90°－α）－（90°－γ）＝γ－α＝30°，∴ ＝ ，∴PB＝ a，∴PQ＝PC＋CQ＝PB· sin γ＋a sin β＝a× sin 60°＋a sin 15°＝ a（m）.故选A.123456789101112131415161718198. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为 ，则 ＋ 的最大值为（ ）A. 2D. 4解析： 由题意可得 ×a× ＝ bc sin A，即a2＝2bc sin A，代入 cos A＝ 中，得b2＋c2＝2bc（ cos A＋ sin A），所以＋ ＝2（ cos A＋ sin A）＝2 sin .因为A∈（0，π），所以当A＝ 时， ＋ 取得最大值2 ，故选C.12345678910111213141516171819二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2＋c2－b2）tan B＝ ac，则角B＝（ ）12345678910111213141516171819解析： 因为（a2＋c2－b2）tan B＝ ac，所以2ac cos B·tan B＝ ac，又ac≠0，所以 sin B＝ ，所以B＝ 或B＝ ，故选B、C.1234567891011121314151617181910. 已知锐角三角形ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝4，B＝60°，则b的可能取值为（ ）A. 2 B. 3C. 4 D. 512345678910111213141516171819解析： 在△ABC中，c＝4，B＝60°，由 ＝ ，得b＝ ＝ ＝ .因为0＜C＜ ，所以 sin C∈（0，1），即有b＞2 .若b＝4，则b＝c，即B＝C＝60°，△ABC为等边三角形，符合题意；若b＝5，则 sin C＝ ∈ ，且b＞c，即B＞C，所以30°＜C＜60°，所以60°＜A＜90°，符合题意.故选C、D.1234567891011121314151617181911. 在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，若（a＋b＋c）（a＋c－b）＝（2＋ ）ac，则 cos A＋ sin C的可能取值是（ ）C. 1 D. 212345678910111213141516171819解析： 由（a＋b＋c）（a＋c－b）＝（2＋ ）ac，得a2＋c2－b2＝ ac，所以根据余弦定理，得 cos B＝ ＝，又B是锐角，所以B＝ ，所以A＋C＝ ，所以C＝ －A，所以 cos A＋ sin C＝ cos A＋ sin ＝ cos A＋ sin cosA－ cos sin A＝ sin A＋ cos A＝ sin .12345678910111213141516171819因为△ABC是锐角三角形，所以即解得 ＜A＜ ，所以 ＜A＋ ＜ ，所以 cos A＋ sin C∈ ，所以 cos A＋ sin C的可能取值是 和1.故选B、C.12345678910111213141516171819三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2 sin Acos B＝ sin C，则△ABC的形状为 .解析：法一 由已知得2 sin A cos B＝ sin C＝ sin （A＋B）＝ sinA cos B＋ cos A sin B，即 sin （A－B）＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B，所以△ABC是等腰三角形.等腰三角形 法二 由正弦定理得2a cos B＝c，再由余弦定理得2a· ＝c a2 b2 a＝b.所以△ABC是等腰三角形.1234567891011121314151617181913. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里写道：“问有沙田一段，有三斜.其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按0.5 km计算，则该沙田的面积为 km2.解析：设在△ABC中，BC＝13里，AC＝14里，AB＝15里，∴ cos C＝ ＝ ，∴ sin C＝ ，故△ABC的面积为×13×14× ×0.52＝21（km2）.21 1234567891011121314151617181914. 如图，甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以a nmile/h的速度向北行驶.已知甲船的速度是 a n mile/h，问甲船应沿着 方向前进，才能最快与乙船相遇？北偏东30° 12345678910111213141516171819解析：设经过t h两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at，AC＝ at，B＝180°－60°＝120°，由 ＝ ，得 sin∠CAB＝ ＝ ＝ .∵0°＜∠CAB＜90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.12345678910111213141516171819四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且m＝（2b－c， cos C），n＝（a， cos A），m∥n.（1）求角A的大小；12345678910111213141516171819解：∵m∥n，m＝（2b－c， cos C），n＝（a， cos A），∴（2b－c） cos A－a cos C＝0，由正弦定理得（2 sin B－ sin C） cos A－ sin A cos C＝0，∴2 sin B cos A－ sin （C＋A）＝0，即 sin B（2 cos A－1）＝0，∵0＜B＜π，∴ sin B≠0，∴ cos A＝ ，又∵0＜A＜π，∴A＝ .12345678910111213141516171819（2）若a＝4，S△ABC＝4 ，试判定△ABC的形状.解：∵S△ABC＝ bc sin A＝4 ，∴bc＝16，又∵a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴b2＋c2＝32，∴b＝c＝4，且A＝ ，∴△ABC为等边三角形.1234567891011121314151617181916. （本小题满分15分）如图，在△ABC中，B＝ ，BC＝2，点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足.（1）若△BCD的面积为 ，求AB的长；12345678910111213141516171819解：∵△BCD的面积为 ，B＝ ，BC＝2，∴ ×2×BD× sin ＝ ，∴BD＝ .在△BCD中，由余弦定理得CD＝＝＝ ，∴AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝ ＋ ＝ .12345678910111213141516171819（2）若DE＝ ，求A的大小.解：∵DE＝ ，∴CD＝AD＝ ＝ .在△BCD中，由正弦定理可得 ＝ .∵∠BDC＝2A，∴ ＝ ，∴ cos A＝ ，∴A＝ .1234567891011121314151617181917. （本小题满分15分）某市发生水灾，国家抗震救灾指挥部紧急从A处调飞机去某地运救灾物资到受灾的B处.现有以下两个方案供选择：方案一：飞到位于A处正东方向上的C市调运救灾物资，再飞到B处；方案二：飞到位于A处正南方向上的D市调运救灾物资，再飞到B处.已知AD＝500 km，AB＝800 km，∠ACB＝2∠DAB＝120°.那么选择哪种方案，能使得飞行距离最短？12345678910111213141516171819解：方案一：在△ABC中，易知∠CAB＝90°－∠DAB＝30°，∠ACB＝120°，AB＝800 km，由 ＝ 得BC＝ km，且△ABC为等腰三角形，所以AC＋BC＝2BC＝ （km）.12345678910111213141516171819方案二：在△ADB中，∠DAB＝60°，AD＝500 km，AB＝800 km，所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD· cos ∠DAB＝8002＋5002－2×800×500× cos 60°＝4.9×105，所以BD＝700 km，所以BD＋AD＝700＋500＝1 200（km）.因为1 200＞ ≈923.2，故选择方案一，能使飞行距离最短.1234567891011121314151617181918. （本小题满分17分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c. sin 2A－ sin 2B－ sin 2C＝ sin B sin C.（1）求A；解：由正弦定理和已知条件得a2－b2－c2＝b·c. ①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2b·c cos A. ②由①②得 cos A＝－ .因为0＜A＜π，所以A＝ .12345678910111213141516171819（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值.解：法一 由（1）知A＝ ，因为BC＝3，即a＝3.由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以9＝b2＋c2＋bc＝（b＋c）2－bc.由基本不等式 ≤ 知bc≤ ，结合上式得9＝（b＋c）2－bc≥ （b＋c）2，（b＋c）2≤12，所以b＋c≤2 ，当且仅当b＝c＝ 时取等号，所以△ABC周长的最大值为3＋2 .12345678910111213141516171819法二 由正弦定理及（1）得 ＝ ＝ ＝2 ，从而b＝2sin B，c＝2 sin （π－A－B）＝3 cos B－ sin B.故a＋b＋c＝3＋ sin B＋3 cos B＝3＋2 sin （B＋ ）.又因为0＜B＜ ，所以当B＝ 时，△ABC周长取得最大值3＋2 .12345678910111213141516171819①求角A；②若M为△ABC的重心，b＝c＝1，θ＝30°，求｜ ｜；19. （本小题满分17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，过△ABC内一点M的直线l与直线AB交于点D，记与 夹角为θ.（1）已知c－a cos B＝b sin A，12345678910111213141516171819解：①因为c－a cos B＝b sin A，由正弦定理可得 sin C－ sin A cos B＝ sin B sin A，即 sin （A＋B）－ sin A cos B＝ sin B sin A，所以 cos A sin B＝ sin B sin A，又0°＜B＜180°，所以 sin B＞0，所以 cos A＝ sin A，所以tan A＝1，又0°＜A＜180°，所以A＝45°.12345678910111213141516171819②由题意b＝c＝1，θ＝30°，因为M为△ABC的重心，所以 ＝ （ ＋ ），所以｜AM｜＝｜ ｜＝ ｜ ＋ ｜＝＝ ＝ cos ，在△ADM中，由正弦定理知 ＝ ，所以｜AD｜＝ · sin ∠AMD，显然△ABC为等腰三角形，则AM平分∠BAC，12345678910111213141516171819所以｜ ｜＝｜AD｜＝ · sin （ ＋30°）＝2｜AM｜ sin （ ＋30°）＝ cos sin （ ＋30°）＝ cos （ sin ＋ cos ）＝ （ ×2 sin cos ＋ cos 2 ）＝ （ sin A＋ cos A＋ ）＝ （ × ＋ × ＋ ）＝ .12345678910111213141516171819（2）请用向量方法探究θ与△ABC的边和角之间的等量关系.解：直线l与△ABC的边AC相交于点E，如图所示，因为 ＝ ＋ ，所以 · ＝·（ ＋ ）＝ · ＋ · ，又因为 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos∠EDA＝c｜ ｜ cos θ，· ＝｜ ｜｜ ｜ cos （B－θ）＝a｜ ｜· cos （B－θ），12345678910111213141516171819· ＝｜ ｜｜ ｜ cos （A＋θ）＝b｜ ｜· cos （A＋θ），所以c｜ ｜ cos θ＝a｜ ｜ cos （B－θ）＋b｜ ｜· cos （A＋θ），即c cos θ＝a cos （B－θ）＋b cos （A＋θ）.12345678910111213141516171819谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 章末检测（九） 解三角形.docx 章末检测（九） 解三角形.pptx
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