资源简介

10.1.1　复数的概念
1.－（2－i）的虚部是（　　）
A.－2 B.－
C. D.2
2.复数z＝＋（a2－1）i是实数，则实数a的值为（　　）
A.1或－1 B.1
C.－1 D.0或－1
3.已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，a∈R，若z1＝z2，则a＝（　　）
A.2 B.3
C.－3 D.9
4.“复数4－a2＋（1－a＋a2）i（a∈R）是纯虚数”是“a＝－2”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.若复数z1＝sin 2θ＋icos θ，z2＝cos θ＋isin θ（θ∈R），z1＝z2，则θ＝（　　）
A.kπ（k∈Z） B.2kπ＋（k∈Z）
C.2kπ±（k∈Z） D.2kπ＋（k∈Z）
6.（多选）在给出的下列几个命题中错误的是（　　）
A.若x是实数，则x可能不是复数
B.若z是虚数，则z不是实数
C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D.－1没有平方根
7.若实数x，y满足（x＋y）＋（x－y）i＝2，则xy的值是　　　　.
8.已知a，b∈R，i为虚数单位，复数z＝a＋bi与4－b2＋（4b－8）i均是纯虚数，则z＝　　　　.
9.若复数m－3＋（m2－9）i≥0，则实数m的值为　　　　.
10.已知M＝{1，（m2－2m）＋（m2＋m－2）i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值.
11.（多选）下列命题错误的是（　　）
A.（－i）2＝－1 B.－i2＝－1
C.若a＞b，则a＋i＞b＋I D.若z∈C，则z2＞0
12.若复数（a2－a－2）＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚数，则a的取值范围是　　　　.
13.如果lo（m＋n）－（m2－3m）i＞－1，如何求自然数m，n的值？
14.已知复数z1＝m＋（4－m2）i（m∈R），z2＝2cos θ＋（λ＋3sin θ）i（λ，θ∈R），并且z1＝z2，则λ的取值范围为（　　）
A.－7≤λ≤ B.≤λ≤7
C.－1≤λ≤1 D.－≤λ≤7
15.定义运算＝ad－bc，若（x＋y）＋（x＋3）i＝，求实数x，y的值.
10.1.1　复数的概念
1.C　∵－（2－i）＝－2＋i，∴其虚部是.
2.C　因为复数z＝＋（a2－1）i是实数，且a为实数，则解得a＝－1.故选C.
3.B　因为z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，且z1＝z2，所以有解得a＝3.故选B.
4.B　因为1－a＋a2＝＋＞0，所以若复数4－a2＋（1－a＋a2）i（a∈R）是纯虚数，则4－a2＝0，即a＝±2.故选B.
5.D　由复数相等的定义可知，
∴cos θ＝，sin θ＝.∴θ＝＋2kπ，k∈Z.
6.ACD　实数是复数，故A错；根据虚数的定义可知B正确；复数为纯虚数的要求为实部为零，虚部不为零，故C错；－1的平方根为±i，故D错，故选A、C、D.
7.1　解析：因为实数x，y满足（x＋y）＋（x－y）i＝2，所以所以x＝y＝1，所以xy＝1.
8.－2i　解析：由题意知且得
∴z＝－2i.
9.3　解析：依题意知解得即m＝3.
10.解：∵M∪P＝P，∴M P，
∴（m2－2m）＋（m2＋m－2）i＝－1或（m2－2m）＋（m2＋m－2）i＝4i.
由（m2－2m）＋（m2＋m－2）i＝－1得
解得m＝1；
由（m2－2m）＋（m2＋m－2）i＝4i得
解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
11.BCD　（－i）2＝i2＝－1，A正确；－i2＝－（－1）＝1，B错误；虚数无法比较大小，C错误；若z＝i，则z2＝－1＜0，D错误；故选B、C、D.
12.（－∞，－1）∪（－1，＋∞）　解析：若复数为纯虚数，则有即
∴a＝－1.故复数不是纯虚数时，a≠－1.
13.解：因为lo（m＋n）－（m2－3m）i＞－1，
所以lo（m＋n）－（m2－3m）i是实数，
从而有
由①得m＝0或m＝3，
当m＝0时，代入②得n＜2，又m＋n＞0，
所以n＝1；
当m＝3时，代入②得n＜－1，与n是自然数矛盾.
综上可得，m＝0，n＝1.
14.D　由z1＝z2，得消去m，得λ＝4sin2θ－3sin θ＝4－.由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7.
15.解：由定义得＝3x＋2y＋yi，
所以（x＋y）＋（x＋3）i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以
即解得
1 / 210.1.1　复数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过方程的解，了解引入复数的必要性 数学抽象
2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件 数学运算
　　数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：
　　因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解；
　　因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解；
　　因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解.
【问题】　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　复数的有关概念
1.定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数.其中i称为　　　　　　，满足i2＝　　　　.
2.表示方法：复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re（z）＝　　　　，Im（z）＝　　　　.
【想一想】
1.复数m＋ni的实部是m，虚部是ni，对吗？
2.复数a＋bi的实部是a，虚部是b吗？
3i2＋7i的实部为　　　，虚部为　　　　.
知识点二　复数的分类
1.复数（a＋bi，a，b∈R）
2.复数集及包含关系
所有复数组成的集合称为复数集，即C＝{z｜z＝a＋bi，a，b∈R}.
【想一想】
1.两个虚数能比较大小吗？
2.复数z＝a＋bi（a，b∈R）在什么情况下表示实数？
在2＋，i，8＋5i，（1－）i，0.68这几个数中，纯虚数的个数为（　　）
A.0　　　　　　　　　　B.1
C.2 D.3
知识点三　复数相等
如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di 　　　　　　　　，即它们的实部与虚部都对应相等.
【想一想】
1.若复数z＝a＋bi（a，b∈R），z＝0，则a＋b的值为多少？
2.若复数z1，z2分别为z1＝3＋ai（a∈R），z2＝b＋i（b∈R），且z1＝z2，则a＋b的值为多少？
判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.（　　）
（2）复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2.（　　）
（3）复数z＝bi（b∈R）是纯虚数.（　　）
（4）实数集与复数集的交集是实数集.（　　）
（5）若a－2i＝bi＋1（a，b∈R），则b＋ai＝－2＋i.（　　）
题型一 复数的概念
【例1】　分别指出下列复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
5＋i，－2，－i，－i，i2.
尝试解答
通性通法
复数中实部与虚部的判断
（1）a＝a＋0i（a∈R），故a的实部是a，虚部是0；
（2）bi＝0＋bi（b∈R），故bi的实部是0，虚部是b；
（3）复数a＋bi（a，b∈R）中，i的系数即复数的虚部.
【跟踪训练】
1.已知i为虚数单位，以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是（　　）
A.2－2i　　　　　　　　B.－＋i
C.2＋i D.＋i
2.欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的，根据欧拉公式可知复数的虚部为　　　　.
题型二 复数的分类
【例2】　当m为何实数时，复数z＝＋（m2－2m－15）i.（1）是虚数；（2）是纯虚数.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z为实数.
2.（变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z＞0.
通性通法
解决复数分类问题的方法与步骤
（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部；
（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可；
（3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R），
①z为实数 b＝0；
②z为虚数 b≠0；
③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
【跟踪训练】
已知复数z＝＋（a2－5a－6）i（a∈R）.
（1）若复数z是实数，求实数a的值；
（2）若复数z是虚数，求实数a的取值范围；
（3）判断复数z是否可能为纯虚数.若可能为纯虚数，求出实数a的值；若不可能为纯虚数，请说明理由.
题型三 两个复数相等
【例3】　（1）已知（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，其中x，y∈R，i为虚数单位，求实数x，y的值；
（2）已知（m2＋7m＋10）＋（m2－5m－14）i＝0，求实数m的值.
尝试解答
通性通法
复数相等问题的解题技巧
（1）复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解；
（2）运用复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di 时，应注意前提条件a，b，c，d∈R，否则易出错.
【跟踪训练】
1.已知i是虚数单位，若（3x＋2y）＋（5x－y）i＝17－2i，x，y∈R，则x＋y＝（　　）
A.6　　　　　　 　　　　B.7
C.8 D.－7
2.若a，b，c，d∈R，则复数a＋｜b｜i与c－｜d｜i相等的充要条件是　　　　.
1.设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关系为（　　）
A.A B C B.B A C
C.B C A D.A C B
2.下列命题：
①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；
②若（x2－1）＋（x2＋3x＋2）i（x∈R）是纯虚数，则x＝±1；
③两个复数不能比较大小.
其中错误命题的序号是　　　　.
3.若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m＝　　　　.
4.若复数z1＝m2＋1＋（m3＋3m2＋2m）i，z2＝4m－2＋（m2－5m）i，m为实数，且z1＞z2，求实数m的值.
10.1.1　复数的概念
【基础知识·重落实】
知识点一
1.虚数单位　－1　2.a　b
想一想
1.提示：不对.
2.提示：不一定，对于复数z＝a＋bi（a，b∈R），实部才是a，虚部才是b.
自我诊断
－3　7　解析：3i2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为7.
知识点二
想一想
1.提示：不能.
2.提示：b＝0.
自我诊断
C　由纯虚数的定义可知i， （1－）i是纯虚数.故选C.
知识点三
a＝c且b＝d
想一想
1.提示：0.
2.提示：4.
自我诊断
（1）×　（2）×　（3）×　（4）√　（5）√
【典型例题·精研析】
【例1】　解：5＋i的实部是5，虚部是.
－2＝－2＋0i，∴－2的实部是－2，虚部是0.
－i的实部是，虚部是－1.
－i＝0＋i，∴－i的实部是0，虚部是－.
i2＝－1＝－1＋0i，∴i2的实部是－1，虚部是0.
－2，i2是实数；5＋i，－i，－i是虚数；－i是纯虚数.
跟踪训练
1.A　设所求新复数z＝a＋bi（a，b∈R），由题意知，复数－＋2i的虚部为2，复数i＋2i2＝i＋2×（－1）＝－2＋i的实部为－2，则所求的新复数z＝2－2i.故选A.
2.－ 　解析：因为＝cos＋isin ＝－i，
所以复数的虚部为－.
【例2】　解：（1）当
即m≠5且m≠－3时，z是虚数.
（2）当
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数.
母题探究
1.解：当即m＝5时，z是实数.
2.解：因为z＞0，
所以z为实数，需满足
解得m＝5.
跟踪训练
解：（1）若复数z是实数，则
即
所以a＝6.
（2）若复数z是虚数，则
即
所以实数a的取值范围为{a｜a≠±1且a≠6}.
（3）复数z不可能为纯虚数.理由如下：
若复数z是纯虚数，则
即此时无解，故复数z不可能为纯虚数.
【例3】　解：（1）根据复数相等的充要条件，由（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，得解得
（2）由已知得
解得m＝－2.
跟踪训练
1.C　由（3x＋2y）＋（5x－y）i＝17－2i，
所以
解得则x＋y＝8.故选C.
2.a＝c且b＝d＝0　解析：由两个复数相等的充要条件，得
所以
随堂检测
1.B　根据复数的分类，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示，故选B.
2.①②③　解析：当a＝－1时，（a＋1）i＝0，故①错误；若（x2－1）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则即x＝1，故②错误；两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，③中忽视了这一特殊情况，故③错误.
3.－3　解析：∵z＜0，∴∴m＝－3.
4.解：∵z1 ＞z2，∴解得m＝0.
4 / 4(共54张PPT)
10.1.1　复数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过方程的解，了解引入复数的必要性 数学抽象
2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：
　　因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了
负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内
有解；
　　因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分
数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内
有解；
　　因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了
无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围
内有解.
【问题】　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解.那
么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数
进行扩充呢？




　　
知识点一　复数的有关概念
1. 定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数.其中i称
为 ，满足i2＝ .
2. 表示方法：复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi（a，
b∈R），其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re（z）
＝ ，Im（z）＝ .
虚数单位　
－1　
a　
b　
【想一想】
1. 复数m＋ni的实部是m，虚部是ni，对吗？
提示：不对.
2. 复数a＋bi的实部是a，虚部是b吗？
提示：不一定，对于复数z＝a＋bi（a，b∈R），实部才是a，
虚部才是b.
3i2＋7i的实部为 ，虚部为 .
解析：3i2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为7.
－3　
7　
知识点二　复数的分类
1. 复数（a＋bi，a，b∈R）
2. 复数集及包含关系
所有复数组成的集合称为复数集，即C＝{z｜z＝a＋bi，a，b∈R}.
【想一想】
1. 两个虚数能比较大小吗？
提示：不能.
2. 复数z＝a＋bi（a，b∈R）在什么情况下表示实数？
提示：b＝0.
在2＋ ， i，8＋5i，（1－ ）i，0.68这几个数中，纯虚数的个
数为（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　由纯虚数的定义可知 i， （1－ ）i是纯虚数.故选C.
知识点三　复数相等
如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di ，即它们的实部与虚部都对应相等.
a＝c且b＝d
【想一想】
1. 若复数z＝a＋bi（a，b∈R），z＝0，则a＋b的值为多少？
提示：0.
2. 若复数z1，z2分别为z1＝3＋ai（a∈R），z2＝b＋i（b∈R），且
z1＝z2，则a＋b的值为多少？
提示：4.
判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数. （　×　）
（2）复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2. （　×　）
（3）复数z＝bi（b∈R）是纯虚数. （　×　）
（4）实数集与复数集的交集是实数集. （　√　）
（5）若a－2i＝bi＋1（a，b∈R），则b＋ai＝－2＋i.
（　√　）
×
×
×
√
√
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数的概念
【例1】　分别指出下列复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪
些是虚数，哪些是纯虚数.
5＋ i，－2， －i，－ i，i2.
解：5＋ i的实部是5，虚部是 .
－2＝－2＋0i，∴－2的实部是－2，虚部是0.
－i的实部是 ，虚部是－1.
－ i＝0＋ i，∴－ i的实部是0，虚部是－ .
i2＝－1＝－1＋0i，
∴i2的实部是－1，虚部是0.
－2，i2是实数；5＋ i， －i，－ i是虚数；
－ i是纯虚数.
通性通法
复数中实部与虚部的判断
（1）a＝a＋0i（a∈R），故a的实部是a，虚部是0；
（2）bi＝0＋bi（b∈R），故bi的实部是0，虚部是b；
（3）复数a＋bi（a，b∈R）中，i的系数即复数的虚部.
【跟踪训练】
1. 已知i为虚数单位，以－ ＋2i的虚部为实部，以 i＋2i2的实部
为虚部的新复数是（　　）
A. 2－2i B. － ＋ i
C. 2＋i D. ＋ i
解析：　设所求新复数z＝a＋bi（a，b∈R），由题意知，复
数－ ＋2i的虚部为2，复数 i＋2i2＝ i＋2×（－1）＝－2＋
i的实部为－2，则所求的新复数z＝2－2i.故选A.
2. 欧拉公式eiθ＝ cos θ＋i sin θ（e为自然对数的底数，i为虚数单
位）是瑞士著名数学家欧拉提出的，根据欧拉公式可知复数 的
虚部为 .
解析：因为 ＝ cos ＋i sin ＝ － i，所以复数
的虚部为－ .
－ 　
题型二 复数的分类
【例2】　当m为何实数时，复数z＝ ＋（m2－2m－15）i.
（1）是虚数；（2）是纯虚数.
解：（1）当
即m≠5且m≠－3时，z是虚数.
（2）当
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数.
【母题探究】
1. （变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z为实数.
解：当即m＝5时，z是实数.
2. （变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z＞0.
解：因为z＞0，所以z为实数，需满足解得
m＝5.
通性通法
解决复数分类问题的方法与步骤
（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）
的形式，以确定实部和虚部；
（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满
足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满
足的方程（不等式）即可；
（3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R），
①z为实数 b＝0；
②z为虚数 b≠0；
③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
【跟踪训练】
已知复数z＝ ＋（a2－5a－6）i（a∈R）.
（1）若复数z是实数，求实数a的值；
解：若复数z是实数，则
即
所以a＝6.
（2）若复数z是虚数，求实数a的取值范围；
解：若复数z是虚数，则
即
所以实数a的取值范围为{a｜a≠±1且a≠6}.
（3）判断复数z是否可能为纯虚数.若可能为纯虚数，求出实数a的
值；若不可能为纯虚数，请说明理由.
解：复数z不可能为纯虚数.理由如下：
若复数z是纯虚数，则
即
此时无解，故复数z不可能为纯虚数.
题型三 两个复数相等
【例3】　（1）已知（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，其中x，y∈R，
i为虚数单位，求实数x，y的值；
解：根据复数相等的充要条件，由（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，得
解得
（2）已知（m2＋7m＋10）＋（m2－5m－14）i＝0，求实数m的值.
解：由已知得
解得m＝－2.
通性通法
复数相等问题的解题技巧
（1）复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求
解参数.解决复数相等问题的步骤：分别分离出两个复数的
实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程
（组）求解；
（2）运用复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di 时，应注意
前提条件a，b，c，d∈R，否则易出错.
【跟踪训练】
1. 已知i是虚数单位，若（3x＋2y）＋（5x－y）i＝17－2i，x，
y∈R，则x＋y＝（　　）
A. 6 B. 7
C. 8 D. －7
解析：　由（3x＋2y）＋（5x－y）i＝17－2i，所以
解得则x＋y＝8.故选C.
2. 若a，b，c，d∈R，则复数a＋｜b｜i与c－｜d｜i相等的充要
条件是 .
解析：由两个复数相等的充要条件，得
所以
a＝c且b＝d＝0　
1. 设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间
的关系为（　　）
A. A B C B. B A C
C. B C A D. A C B
解析：根据复数的分类，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示，故选B.
2. 下列命题：
①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；
②若（x2－1）＋（x2＋3x＋2）i（x∈R）是纯虚数，则x＝±1；
③两个复数不能比较大小.
其中错误命题的序号是 .
解析：当a＝－1时，（a＋1）i＝0，故①错误；若（x2－1）＋
（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则即x＝1，故②错
误；两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，③中忽视了
这一特殊情况，故③错误.
①②③　
3. 若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m＝ .
解析：∵z＜0，∴∴m＝－3.
4. 若复数z1＝m2＋1＋（m3＋3m2＋2m）i，z2＝4m－2＋（m2－
5m）i，m为实数，且z1＞z2，求实数m的值.
解：∵z1 ＞z2，∴解得m＝0.
－3　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. －（2－ i）的虚部是（　　）
A. －2 B. －
C. D. 2
解析：　∵－（2－ i）＝－2＋ i，∴其虚部是 .
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2. 复数z＝ ＋（a2－1）i是实数，则实数a的值为（　　）
A. 1或－1 B. 1
C. －1 D. 0或－1
解析：　因为复数z＝ ＋（a2－1）i是实数，且a为实数，则
解得a＝－1.故选C.
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3. 已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，a∈R，若z1＝z2，则a
＝（　　）
A. 2 B. 3
C. －3 D. 9
解析：　因为z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，且z1＝z2，所以有
解得a＝3.故选B.
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4. “复数4－a2＋（1－a＋a2）i（a∈R）是纯虚数”是“a＝－2”
的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：　因为1－a＋a2＝ ＋ ＞0，所以若复数4－a2
＋（1－a＋a2）i（a∈R）是纯虚数，则4－a2＝0，即a＝±2.
故选B.
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5. 若复数z1＝ sin 2θ＋i cos θ，z2＝ cos θ＋i sin θ（θ∈R），
z1＝z2，则θ＝（　　）
A. kπ（k∈Z） B. 2kπ＋ （k∈Z）
C. 2kπ± （k∈Z） D. 2kπ＋ （k∈Z）
解析：　由复数相等的定义可知，
∴ cos θ＝ ， sin θ＝ .∴θ＝ ＋2kπ，k∈Z.
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6. （多选）在给出的下列几个命题中错误的是（　　）
A. 若x是实数，则x可能不是复数
B. 若z是虚数，则z不是实数
C. 一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D. －1没有平方根
解析：　实数是复数，故A错；根据虚数的定义可知B正确；复数为纯虚数的要求为实部为零，虚部不为零，故C错；－1的平方根为±i，故D错，故选A、C、D.
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7. 若实数x，y满足（x＋y）＋（x－y）i＝2，则xy的值是 .
解析：因为实数x，y满足（x＋y）＋（x－y）i＝2，所以
所以x＝y＝1，所以xy＝1.
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8. 已知a，b∈R，i为虚数单位，复数z＝a＋bi与4－b2＋（4b－
8）i均是纯虚数，则z＝ .
解析：由题意知且得∴z＝－2i.
－2i　
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9. 若复数m－3＋（m2－9）i≥0，则实数m的值为 .
解析：依题意知解得即m＝3.
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10. 已知M＝{1，（m2－2m）＋（m2＋m－2）i}，P＝{－1，1，
4i}，若M∪P＝P，求实数m的值.
解：∵M∪P＝P，∴M P，
∴（m2－2m）＋（m2＋m－2）i＝－1或（m2－2m）＋（m2＋
m－2）i＝4i.
由（m2－2m）＋（m2＋m－2）i＝－1得
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解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
解得m＝1；
由（m2－2m）＋（m2＋m－2）i＝4i得
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11. （多选）下列命题错误的是（　　）
A. （－i）2＝－1 B. －i2＝－1
C. 若a＞b，则a＋i＞b＋i D. 若z∈C，则z2＞0
解析：　（－i）2＝i2＝－1，A正确；－i2＝－（－1）＝1，
B错误；虚数无法比较大小，C错误；若z＝i，则z2＝－1＜0，D
错误；故选B、C、D.
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12. 若复数（a2－a－2）＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚
数，则a的取值范围是 .
解析：若复数为纯虚数，则有即
∴a＝－1.故复数不是纯虚数时，a≠－1.
（－∞，－1）∪（－1，＋∞）　
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13. 如果lo （m＋n）－（m2－3m）i＞－1，如何求自然数m，n
的值？
解：因为lo （m＋n）－（m2－3m）i＞－1，
所以lo （m＋n）－（m2－3m）i是实数，
从而有
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当m＝3时，代入②得n＜－1，与n是自然数矛盾.
综上可得，m＝0，n＝1.
由①得m＝0或m＝3，
当m＝0时，代入②得n＜2，又m＋n＞0，所以n＝1；
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14. 已知复数z1＝m＋（4－m2）i（m∈R），z2＝2 cos θ＋（λ＋3
sin θ）i（λ，θ∈R），并且z1＝z2，则λ的取值范围为（　　）
A. －7≤λ≤ B. ≤λ≤7
C. －1≤λ≤1 D. － ≤λ≤7
解析：　由z1＝z2，得消去m，得λ＝4
sin 2θ－3 sin θ＝4 － .由于－1≤ sin θ≤1，故－
≤λ≤7.
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15. 定义运算 ＝ad－bc，若（x＋y）＋（x＋3）i＝
，求实数x，y的值.
解：由定义得 ＝3x＋2y＋yi，
所以（x＋y）＋（x＋3）i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以
即解得
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