资源简介

10.1.2　复数的几何意义
1.已知i为虚数单位，若（x－4）＋（y＋2）i和2x－2i互为共轭复数，则实数x，y的值分别是（　　）
A.3，3 B.5，1
C.－1，－1 D.－4，0
2.当＜m＜1时，复数z＝（3m－2）＋（m－1）i在复平面内对应的点位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.如果复数z与3＋4i对应的有序实数对关于虚轴对称，那么z对应的向量的模是（　　）
A.1 B.
C. D.5
4.已知复数z＝a＋（a－1）i（a∈R），若｜z｜＝，则z在复平面内对应的点位于（　　）
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
5.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为（　　）
A.－2－i B.－2＋i
C.1＋2i D.－1＋2i
6.（多选）已知复数z＝x＋yi（x，y∈R），则（　　）
A.z2≥0
B.z的虚部是yi
C.若z＝1＋2i，则x＝1，y＝2
D.｜z｜＝
7.在复平面内表示复数z＝（m－3）＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为　　　　.
8.若复数z1＝1－i，z2＝3－5i，则复平面上与z1，z2对应的点Z1与Z2的距离为　　　　.
9.若复数z＝a2－1＋（a＋1）i（a∈R）是纯虚数，则｜z｜＝　　　　.
10.已知i为虚数单位，复数z满足｜z｜＋z＝8＋4i.
（1）求z；
（2）在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是z，c＋（2－c）i，若∠AOB是直角，求实数c的值.
11.若复数z＝a＋i（a∈R）在复平面内对应点Z，则｜z｜＝时，a＝　　　　，此时Z与点（1，2）的距离是　　　　.
12.若复数z＝cos θ＋isin θ在复平面内对应点Z，则由点Z构成的图形是　　　　.
13.在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.
（1）求向量，，对应的复数；
（2）判定△ABC的形状.
14.（多选）下列命题中，是假命题的是（　　）
A.复数的模是非负实数
B.若z＝－＋i，则＝－i
C.两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件
D.复数z1＞z2＞0的充要条件是｜z1｜＞｜z2｜
15.已知复数z＝（1＋2m）＋（3＋m）i（m∈R）.
（1）若m＝1，且｜｜＝｜x＋（x－1）i｜，求实数x的值；
（2）求当m为何值，｜｜最小，并求｜｜的最小值.
10.1.2　复数的几何意义
1.D　∵（x－4）＋（y＋2）i和2x－2i互为共轭复数，∴解得
2.D　复数z在复平面内对应的点为Z（3m－2，m－1）.由＜m＜1，得3m－2＞0，m－1＜0.所以点Z位于第四象限.故选D.
3.D　复数z对应的向量的坐标为（－3，4），其模为＝5.故选D.
4.C　由｜z｜＝，得a2＋（a－1）2＝5，解得a＝－1或a＝2，所以z＝－1－2i或2＋i，所以z所对应的点的坐标为（－1，－2）或（2，1），所以z所对应的点在第三或第一象限，故选C.
5.B　因为复数－1＋2i对应的点为A（－1，2），点A关于直线y＝－x的对称点为B（－2，1），所以对应的复数为－2＋i.
6.CD　对于A选项，取z＝i，则z2＝－1＜0，A选项错误；对于B选项，复数z的虚部为y，B选项错误；对于C选项，若z＝1＋2i，则x＝1，y＝2，C选项正确；对于D选项，｜z｜＝，D选项正确.故选C、D.
7.9　解析：∵z＝（m－3）＋2i表示的点在直线y＝x上，∴m－3＝2，解得m＝9.
8.2　解析：z1＝1－i对应的点为（1，－1），z2＝3－5i对应的点为（3，－5），由两点间距离公式得＝2.
9.2　解析：∵复数z＝a2－1＋（a＋1）i是纯虚数，∴解得a＝1，∴z＝2i，∴｜z｜＝2.
10.解：（1）设z＝a＋bi（a，b∈R），
由｜z｜＋z＝8＋4i，得a＋＋bi＝8＋4i，
∴解得∴z＝3＋4i.
（2）由题意，得＝（3，4），＝（c，2－c），
∵∠AOB是直角，∴·＝3c＋4（2－c）＝0，
解得c＝8.
11.±1　1或　解析：∵｜z｜＝＝，∴a＝±1.∴z＝1＋i或z＝－1＋i.当z＝1＋i时，Z为（1，1），两点间距离为＝1；当z＝－1＋i时，Z为（－1，1），两点间的距离为＝.
12.圆心在原点，半径为1的圆　解析：∵｜z｜＝＝1.∴向量的长度等于1，即点Z到原点的距离始终等于1.∴由点Z构成的图形是圆心在原点，半径为1的圆.
13.解：（1）由复数的几何意义知：
＝（1，0），＝（2，1），＝（－1，2），
所以＝－＝（1，1），＝－＝（－2，2），＝－＝（－3，1），所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
（2）因为｜｜＝，｜｜＝2，｜｜＝，
所以｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
14.BD　任意复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模｜z｜＝≥0恒成立，故A是真命题；＝－－i，故B是假命题；若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i（a1，b1，a2，b2∈R），若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴｜z1｜＝｜z2｜，反之由｜z1｜＝｜z2｜推不出z1＝z2，如当z1＝1＋3i，z2＝1－3i时，｜z1｜＝｜z2｜，但z1≠z2，故C是真命题；不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模能比较大小，所以｜z1｜＞｜z2｜推不出复数z1＞z2，但复数z1＞z2＞0能推出｜z1｜＞｜z2｜，所以复数z1＞z2＞0的必要条件是｜z1｜＞｜z2｜，故D是假命题.
15.解：（1）由m＝1，得z＝3＋4i，＝3－4i，
则由｜｜＝｜x＋（x－1）i｜，
得＝，
整理得x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3.
（2）｜｜＝＝＝≥ ，
当且仅当m＝－1时，｜｜取得最小值，最小值为.
2 / 210.1.2　复数的几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.了解复平面的概念，理解实轴、虚轴、模的概念，理解共轭复数的概念 数学抽象
2.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系 直观想象
　　我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型.
【问题】　（1）你能否为复数找一个几何模型？
（2）怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　复平面
1.复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用平面直角坐标系内的　　　　　　来表示.
2.复平面、实轴与虚轴
复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面.
实轴：在复平面内，x轴上的点对应的都是　　　　，因此x轴称为实轴.
虚轴：y轴上的点除了　　　　外，对应的都是　　　　，因此y轴称为虚轴，如图：
知识点二　复数的几何意义
1.共轭复数
（1）定义：一般地，如果两个复数的实部　　　，而虚部互为　　　　　，则称这两个复数互为　　　　　　　.复数z的共轭复数用　　　　表示，当z＝a＋bi（a，b∈R）时，有＝a－bi.
（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于　　　　对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数.
2.几何意义
3.复数的模
（1）定义：一般地，向量＝（a，b）的长度称为复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模（或绝对值），复数z的模用｜z｜表示.
（2）公式：复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模为｜z｜＝.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若z＝a＋bi（a，b∈R），则当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值.（　　）
（2）在复平面内，对应实数的点都在实轴上.（　　）
（3）原点是实轴与虚轴的交点.（　　）
（4）复数的模一定是正实数.（　　）
（5）两个复数互为共轭复数，则它们的模相等.（　　）
2.复数z＝－1－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　）
A.第一象限　　　　 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知i为虚数单位，若（x－2）＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x，y的值分别是（　　）
A.3，3　　B.5，1 C.－1，－1　D.－1，1
4.已知复数z＝1＋2i（i是虚数单位），则｜z｜＝　　　　.
题型一 复数与复平面内点的关系
【例1】　在复平面内，若复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i对应的点：（1）在虚轴上；（2）在第二象限或第四象限，分别求实数m的取值范围.
尝试解答
【母题探究】
（变设问）本例条件不变，若复数在直线y＝x上，求m的值.
通性通法
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，是解决此类问题的根据；
（2）列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解.
提醒　复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示.
【跟踪训练】
1.已知复数z＝（m＋3）＋（m－1）i（m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（　　）
A.（－3，1）　　　　　　 B.（－1，3）
C.（1，＋∞） D.（－∞，－3）
2.（多选）设z＝（2t2＋5t－3）＋（t2＋2t＋2）i，t∈R，则以下结论中正确的是（　　）
A.z在复平面内对应的点在第一象限
B.z可能是纯虚数
C.z在复平面内对应的点在实轴上方
D.z一定是实数
题型二 复数与复平面内向量的关系
【例2】　在复平面内的长方形ABCD中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.
尝试解答
通性通法
复数与平面向量的对应关系
（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量；
（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点及向量之间的转化.
【跟踪训练】
已知复数z1＝－1＋2i，z2＝4＋2i分别对应复平面上的点A，B.若＝＋对应的复数为z，求z的共轭复数（其中O为坐标原点）.
题型三 与复数的模有关的问题
【例3】　已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.
（1）求｜z1｜及｜z2｜并比较大小；
（2）设z∈C，满足条件｜z｜＝｜z1｜的复数z对应的点为Z，则点Z组成的集合是什么图形？
尝试解答
通性通法
复数模的计算
（1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小；
（2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.
【跟踪训练】
1.已知复数z＝1－2mi（m∈R），且｜z｜≤2，则实数m的取值范围是　　　　.
2.若t∈R，t≠－1，t≠0，则复数z＝＋i的模的取值范围是　　　　.
1.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（　　）
A.4＋80i　　　　　　 B.8＋2i
C.2＋4i D.4＋i
2.已知平行四边形OABC中，O，C两点在复平面内对应的复数分别为0，3－2i，则｜｜＝（　　）
A.　 　B.2 C.4　 　D.
3.已知复数z的实部为1，且｜z｜＝2，则复数z的虚部是（　　）
A.－　　B.i C.±i　　D.±
4.i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝　　　.
5.实数m取什么值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）i.
（1）对应的点在x轴上方；
（2）对应的点在直线x＋y＋4＝0上.
10.1.2　复数的几何意义
【基础知识·重落实】
知识点一
1.一个点Z（a，b）　2.实数　原点　纯虚数
知识点二
1.（1）相等　相反数　共轭复数　　（2）实轴
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）√　（4）×　（5）√
2.C　z＝－1－2i在复平面内对应的点为（－1，－2），它位于第三象限.故选C.
3.D　∵（x－2）＋yi和3x－i互为共轭复数，
∴解得
4.　解析：∵z＝1＋2i，∴｜z｜＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.
（1）由题意得m2－2m－8＝0，且m2＋3m－10≠0.
解得m＝－2或m＝4.
（2）由题意，得或
解得2＜m＜4或－5＜m＜－2.
故实数m的取值范围是（－5，－2）∪（2，4）.
母题探究
解：由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝.
跟踪训练
1.A　由复数z＝（m＋3）＋（m－1）i在复平面内对应的点在第四象限，可得解得－3＜m＜1.故选A.
2.BC　2t2＋5t－3的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝（t＋1）2＋1≥1，结合选项知选B、C.
【例2】　解：记O为复平面的原点，由题意得＝（2，3），＝（3，2），＝（－2，－3）.
设＝（x，y），则＝（x－2，y－3），＝（－5，－5）.
∵＝，∴
解得
∴＝（－3，－2），故点D对应的复数为－3－2i.
跟踪训练
解：由题意得A（－1，2），B（4，2），
∴＝（－1，2），＝（4，2），
∴＝＋＝（－1，2）＋（4，2）＝（3，4），
∴z＝3＋4i，∴＝3－4i.
【例3】　解：（1）｜z1｜＝｜＋i｜＝＝2，
｜z2｜＝＝1，所以｜z1｜＞｜z2｜.
（2）法一　设z＝x＋yi（x，y∈R），
则点Z的坐标为（x，y）.
由｜z｜＝｜z1｜＝2得＝2，即x2＋y2＝4，
所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆.
法二　由｜z｜＝｜z1｜＝2知｜｜＝2（O为坐标原点），
所以Z到原点的距离为2，
所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆.
跟踪训练
1.　解析：由｜z｜＝≤2，解得－≤m≤.
2.[，＋∞）　解析：｜z｜2＝＋≥2··＝2，∴｜z｜≥.
随堂检测
1.C　两个复数对应的点分别为A（6，5），B（－2，3），则C（2，4）.故其对应的复数为2＋4i.
2.D　由于四边形OABC是平行四边形，故＝，因此｜｜＝｜｜＝｜3－2i｜＝，故选D.
3.D　设复数z的虚部为b，∵｜z｜＝2，z的实部为1，∴1＋b2＝4，∴b＝±，故选D.
4.－2＋3i　解析：∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为（2，－3），关于原点的对称点为（－2，3）.∴z2＝－2＋3i.
5.解：（1）由m2－2m－15＞0，得m＜－3或m＞5，所以当m＜－3或m＞5时，复数z对应的点在x轴上方.
（2）由（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）＋4＝0，得2m2＋3m－5＝0，解得m＝1或m＝－，
所以当m＝1或m＝－时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上.
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10.1.2　复数的几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.了解复平面的概念，理解实轴、虚轴、模的概念，
理解共轭复数的概念 数学抽象
2.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复
数，及它们之间的一一对应关系 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看
成实数的一个几何模型.
【问题】　（1）你能否为复数找一个几何模型？
（2）怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？




　　
知识点一　复平面
1. 复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用平面直角坐标系内的
来表示.
2. 复平面、实轴与虚轴
复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面.
实轴：在复平面内，x轴上的点对应的都是 ，因此x轴称
为实轴.
一个点
Z（a，b）　
实数　
虚轴：y轴上的点除了 外，对应的都是 ，因此
y轴称为虚轴，如图：
原点　
纯虚数　
知识点二　复数的几何意义
1. 共轭复数
（1）定义：一般地，如果两个复数的实部 ，而虚部互
为 ，则称这两个复数互为 .复数z的
共轭复数用 表示，当z＝a＋bi（a，b∈R）时，有
＝a－bi.
（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于 对称；反
之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这
两个复数互为共轭复数.
相等　
相反数　
共轭复数　
　
实轴　
2. 几何意义
3. 复数的模
（1）定义：一般地，向量 ＝（a，b）的长度称为复数z＝a
＋bi（a，b∈R）的模（或绝对值），复数z的模用｜z｜
表示.
（2）公式：复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模为｜z｜＝
.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若z＝a＋bi（a，b∈R），则当b＝0时，z的模就是实数a
的绝对值.（　　）
√
（2）在复平面内，对应实数的点都在实轴上. （　√　）
（3）原点是实轴与虚轴的交点. （　√　）
（4）复数的模一定是正实数. （　×　）
（5）两个复数互为共轭复数，则它们的模相等. （　√　）
√
√
×
√
2. 复数z＝－1－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　z＝－1－2i在复平面内对应的点为（－1，－2），它位
于第三象限.故选C.
3. 已知i为虚数单位，若（x－2）＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数
x，y的值分别是（　　）
A. 3，3 B. 5，1
C. －1，－1 D. －1，1
解析：　∵（x－2）＋yi和3x－i互为共轭复数，
∴解得
4. 已知复数z＝1＋2i（i是虚数单位），则｜z｜＝ .
解析：∵z＝1＋2i，∴｜z｜＝ ＝ .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数与复平面内点的关系
【例1】　在复平面内，若复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－
10）i对应的点：（1）在虚轴上；
解：复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i的实部为m2－2m
－8，虚部为m2＋3m－10.
（1）由题意得m2－2m－8＝0，且m2＋3m－10≠0.
解得m＝－2或m＝4.
（2）在第二象限或第四象限，分别求实数m的取值范围.
解：由题意，得
或
解得2＜m＜4或－5＜m＜－2.
故实数m的取值范围是（－5，－2）∪（2，4）.
【母题探究】
（变设问）本例条件不变，若复数在直线y＝x上，求m的值.
解：由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝ .
通性通法
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，
b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，是解决此类
问题的根据；
（2）列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，
通过解方程（组）或不等式（组）求解.
提醒　复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用
点来表示.
【跟踪训练】
1. 已知复数z＝（m＋3）＋（m－1）i（m∈R）在复平面内对应的
点在第四象限，则实数m的取值范围是（　　）
A. （－3，1） B. （－1，3）
C. （1，＋∞） D. （－∞，－3）
解析：　由复数z＝（m＋3）＋（m－1）i在复平面内对应的点
在第四象限，可得解得－3＜m＜1.故选A.
2. （多选）设z＝（2t2＋5t－3）＋（t2＋2t＋2）i，t∈R，则以下
结论中正确的是（　　）
A. z在复平面内对应的点在第一象限
B. z可能是纯虚数
C. z在复平面内对应的点在实轴上方
D. z一定是实数
解析：　2t2＋5t－3的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝（t
＋1）2＋1≥1，结合选项知选B、C.
题型二 复数与复平面内向量的关系
【例2】　在复平面内的长方形ABCD中，点A，B，C对应的复数分
别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.
解：记O为复平面的原点，由题意得 ＝（2，3）， ＝（3，
2）， ＝（－2，－3）.
设 ＝（x，y），则 ＝（x－2，y－3）， ＝（－5，－5）.
∵ ＝ ，∴
解得
∴ ＝（－3，－2），
故点D对应的复数为－3－2i.
通性通法
复数与平面向量的对应关系
（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原
点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对
应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数
对应的向量；
（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面
内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点及向量之间
的转化.
【跟踪训练】
已知复数z1＝－1＋2i，z2＝4＋2i分别对应复平面上的点A，B. 若
＝ ＋ 对应的复数为z，求z的共轭复数（其中O为坐标原点）.
解：由题意得A（－1，2），B（4，2），
∴ ＝（－1，2）， ＝（4，2），
∴ ＝ ＋ ＝（－1，2）＋（4，2）＝（3，4），
∴z＝3＋4i，∴ ＝3－4i.
题型三 与复数的模有关的问题
【例3】　已知复数z1＝ ＋i，z2＝－ ＋ i.
（1）求｜z1｜及｜z2｜并比较大小；
解：｜z1｜＝｜ ＋i｜＝ ＝2，
｜z2｜＝ ＝1，
所以｜z1｜＞｜z2｜.
（2）设z∈C，满足条件｜z｜＝｜z1｜的复数z对应的点为Z，则点Z
组成的集合是什么图形？
解：法一　设z＝x＋yi（x，y∈R），
则点Z的坐标为（x，y）.
由｜z｜＝｜z1｜＝2得 ＝2，即x2＋y2＝4，
所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆.
法二　由｜z｜＝｜z1｜＝2知｜ ｜＝2（O为坐标原点），
所以Z到原点的距离为2，
所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆.
通性通法
复数模的计算
（1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长
公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比
较大小；
（2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.

解析：由｜z｜＝ ≤2，
解得－ ≤m≤ .
　
2. 若t∈R，t≠－1，t≠0，则复数z＝ ＋ i的模的取值范围
是 .
解析：｜z｜2＝ ＋ ≥2· ·
＝2 ，
∴｜z｜≥ .
[，＋∞）　
1. 在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B. 若C为线
段AB的中点，则点C对应的复数是（　　）
A. 4＋80i B. 8＋2i
C. 2＋4i D. 4＋i
解析：　两个复数对应的点分别为A（6，5），B（－2，3），
则C（2，4）.故其对应的复数为2＋4i.
2. 已知平行四边形OABC中，O，C两点在复平面内对应的复数分别
为0，3－2i，则｜ ｜＝（　　）
C. 4
解析：　由于四边形OABC是平行四边形，故 ＝ ，因此｜
｜＝｜ ｜＝｜3－2i｜＝ ，故选D.
3. 已知复数z的实部为1，且｜z｜＝2，则复数z的虚部是（　　）
解析：　设复数z的虚部为b，∵｜z｜＝2，z的实部为1，∴1＋
b2＝4，∴b＝± ，故选D.
4. i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，
若z1＝2－3i，则z2＝ .
解析：∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为（2，－3），关于原点的对称
点为（－2，3）.∴z2＝－2＋3i.
－2＋3i　
5. 实数m取什么值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）i.
（1）对应的点在x轴上方；
解：由m2－2m－15＞0，得m＜－3或m＞5，所以当
m＜－3或m＞5时，复数z对应的点在x轴上方.
（2）对应的点在直线x＋y＋4＝0上.
解：由（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）＋4＝0，
得2m2＋3m－5＝0，
解得m＝1或m＝－ ，
所以当m＝1或m＝－ 时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知i为虚数单位，若（x－4）＋（y＋2）i和2x－2i互为共轭复
数，则实数x，y的值分别是（　　）
A. 3，3 B. 5，1
C. －1，－1 D. －4，0
解析：　∵（x－4）＋（y＋2）i和2x－2i互为共轭复数，
∴解得
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2. 当 ＜m＜1时，复数z＝（3m－2）＋（m－1）i在复平面内对应
的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　复数z在复平面内对应的点为Z（3m－2，m－1）.由
＜m＜1，得3m－2＞0，m－1＜0.所以点Z位于第四象限.故选D.
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3. 如果复数z与3＋4i对应的有序实数对关于虚轴对称，那么z对应的
向量 的模是（　　）
A. 1
D. 5
解析：　复数z对应的向量 的坐标为（－3，4），其模为
＝5.故选D.
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4. 已知复数z＝a＋（a－1）i（a∈R），若｜z｜＝ ，则z在复
平面内对应的点位于（　　）
A. 第一或第二象限 B. 第二或第三象限
C. 第一或第三象限 D. 第二或第四象限
解析：　由｜z｜＝ ，得a2＋（a－1）2＝5，解得a＝－1或a
＝2，所以z＝－1－2i或2＋i，所以z所对应的点的坐标为（－1，
－2）或（2，1），所以z所对应的点在第三或第一象限，故选C.
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5. 在复平面内，O为原点，向量 对应的复数为－1＋2i，若点A关
于直线y＝－x的对称点为点B，则向量 对应的复数为（　　）
A. －2－i B. －2＋i
C. 1＋2i D. －1＋2i
解析：　因为复数－1＋2i对应的点为A（－1，2），点A关于
直线y＝－x的对称点为B（－2，1），所以 对应的复数为－
2＋i.
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6. （多选）已知复数z＝x＋yi（x，y∈R），则（　　）
A. z2≥0
B. z的虚部是yi
C. 若z＝1＋2i，则x＝1，y＝2
解析：　对于A选项，取z＝i，则z2＝－1＜0，A选项错误；对
于B选项，复数z的虚部为y，B选项错误；对于C选项，若z＝1＋
2i，则x＝1，y＝2，C选项正确；对于D选项，｜z｜＝
，D选项正确.故选C、D.
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7. 在复平面内表示复数z＝（m－3）＋2 i的点在直线y＝x上，则
实数m的值为 .
解析：∵z＝（m－3）＋2 i表示的点在直线y＝x上，∴m－3
＝2 ，解得m＝9.
9　
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8. 若复数z1＝1－i，z2＝3－5i，则复平面上与z1，z2对应的点Z1与Z2
的距离为 .
解析：z1＝1－i对应的点为（1，－1），z2＝3－5i对应的点为
（3，－5），由两点间距离公式得 ＝
2 .
2 　
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9. 若复数z＝a2－1＋（a＋1）i（a∈R）是纯虚数，则｜z｜＝ .
解析：∵复数z＝a2－1＋（a＋1）i是纯虚数，
∴解得a＝1，
∴z＝2i，∴｜z｜＝2.
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10. 已知i为虚数单位，复数z满足｜z｜＋z＝8＋4i.
（1）求z；
解：设z＝a＋bi（a，b∈R），
由｜z｜＋z＝8＋4i，得a＋ ＋bi＝8＋4i，
∴解得∴z＝3＋4i.
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（2）在复平面内，O为坐标原点，向量 ， 对应的复数分
别是z，c＋（2－c）i，若∠AOB是直角，求实数c的值.
解：由题意，得 ＝（3，4）， ＝（c，2－c），
∵∠AOB是直角，∴ · ＝3c＋4（2－c）＝0，
解得c＝8.
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11. 若复数z＝a＋i（a∈R）在复平面内对应点Z，则｜z｜＝
时，a＝ ，此时Z与点（1，2）的距离是 .
解析：∵｜z｜＝ ＝ ，∴a＝±1.∴z＝1＋i或z＝－1
＋i.当z＝1＋i时，Z为（1，1），两点间距离为
＝1；当z＝－1＋i时，Z为（－1，
1），两点间的距离为 ＝ .
±1　
1或 　
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12. 若复数z＝ cos θ＋i sin θ在复平面内对应点Z，则由点Z构成的
图形是 .
解析：∵｜z｜＝ ＝1.∴向量 的长度等于1，即
点Z到原点的距离始终等于1.∴由点Z构成的图形是圆心在原
点，半径为1的圆.
圆心在原点，半径为1的圆　
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13. 在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋
2i.
（1）求向量 ， ， 对应的复数；
解：由复数的几何意义知：
＝（1，0）， ＝（2，1）， ＝（－1，2），
所以 ＝ － ＝（1，1）， ＝ － ＝（－2，
2）， ＝ － ＝（－3，1），所以 ， ， 对
应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
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（2）判定△ABC的形状.
解：因为｜ ｜＝ ，｜ ｜＝2 ，｜ ｜＝ ，
所以｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
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14. （多选）下列命题中，是假命题的是（　　）
A. 复数的模是非负实数
C. 两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件
D. 复数z1＞z2＞0的充要条件是｜z1｜＞｜z2｜
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解析：　任意复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模｜z｜＝
≥0恒成立，故A是真命题； ＝－ － i，故B是假命
题；若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i（a1，b1，a2，b2∈R），若z1
＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴｜z1｜＝｜z2｜，反之由｜z1｜
＝｜z2｜推不出z1＝z2，如当z1＝1＋3i，z2＝1－3i时，｜z1｜
＝｜z2｜，但z1≠z2，故C是真命题；不全为实数的两个复数不能
比较大小，但任意两个复数的模能比较大小，所以｜z1｜＞｜
z2｜推不出复数z1＞z2，但复数z1＞z2＞0能推出｜z1｜＞｜z2｜，
所以复数z1＞z2＞0的必要条件是｜z1｜＞｜z2｜，故D是假命题.
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15. 已知复数z＝（1＋2m）＋（3＋m）i（m∈R）.
（1）若m＝1，且｜ ｜＝｜x＋（x－1）i｜，求实数x的值；
解：由m＝1，得z＝3＋4i， ＝3－4i，
则由｜ ｜＝｜x＋（x－1）i｜，
得 ＝ ，
整理得x2－x－12＝0，
解得x＝4或x＝－3.
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（2）求当m为何值，｜ ｜最小，并求｜ ｜的最小值.
解：｜ ｜＝ ＝
＝ ≥ ，
当且仅当m＝－1时，｜ ｜取得最小值，
最小值为 .
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谢 谢 观 看！

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