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拓 视 野　复数中的最值问题
　　在复平面内，复数z对应的点为Z，复数a＋bi（a，b∈R）对应的点为Z0，那么｜z－（a＋bi）｜的几何意义是点Z与点Z0之间的距离，｜z－（a＋bi）｜＝r的几何意义是以点Z0为圆心，r为半径的圆.
【问题探究】
1.已知z∈C，且｜z＋3－4i｜＝1，求｜z｜的最大值与最小值.
提示：由于｜z＋3－4i｜＝｜z－（－3＋4i）｜＝1，所以在复平面内，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C（－3，4）为圆心，半径为1的圆，而｜z｜表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又｜OC｜＝5，所以点Z到原点O的最大距离为圆心C到原点的距离加上半径长，得5＋1＝6，最小距离为圆心到原点的距离减去半径长，得5－1＝4.即｜z｜max＝6，｜z｜min＝4.
2.若复数z满足｜z＋2i｜＋｜z－2i｜＝4，求｜z＋i＋1｜的最小值.
提示：设复数z，－2i，2i，－（1＋i）在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，
∵｜z＋2i｜＋｜z－2i｜＝4，｜Z1Z2｜＝4，
∴Z的集合为线段Z1Z2，
如图所示，则问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动，求｜ZZ3｜的最小值.
作Z3Z0⊥Z1Z2交Z1Z2于点Z0，
则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，
易知｜Z3Z0｜＝1，故｜z＋i＋1｜的最小值为1.
【迁移应用】
已知复数z满足｜z＋2－2i｜＝2，且复数z在复平面内的对应点为M.
（1）确定点M的集合的形状；
（2）求｜z－1＋2i｜的最大值和最小值.
1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1－z2＝（　　）
A.－1＋2i　　　　　　B.－2－2i
C.1＋2i D.1－2i
2.实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为　　　　个.
3.在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，则向量＋＝　　　　，对应的复数为　 　　，A，B两点间的距离为　　　　.
拓视野　复数中的最值问题
迁移应用
解：（1）设复数－2＋2i在复平面内的对应点为P，则P（－2，2），则｜z＋2－2i｜＝｜z－（－2＋2i）｜＝｜PM｜＝2，故点M的集合是以P（－2，2）为圆心，2为半径的圆，如图所示.
（2）设复数1－2i在复平面内的对应点为Q，则Q（1，－2），则｜z－1＋2i｜＝｜MQ｜.由（1）知｜PQ｜＝＝5，则｜MQ｜的最大值即｜z－1＋2i｜的最大值，为｜PQ｜＋2＝7，｜MQ｜的最小值即｜z－1＋2i｜的最小值，为｜PQ｜－2＝3.
随堂检测
1.B　由题意，知z1＝－2－i，z2＝i，所以z1－z2＝－2－2i，故选B.
2.1　解析：依题意设z＝5＋bi，则｜z｜＝，而｜4－3i｜＝＝5，所以＝5，即b＝0.
3.（2，0）　－8－2i　2　解析：向量＋对应的复数为（－3－i）＋（5＋i）＝2.＝－，∴向量对应的复数为（－3－i）－（5＋i）＝－8－2i.∴A，B两点间的距离为｜－8－2i｜＝＝2.
2 / 2(共34张PPT)
拓 视 野　复数中的最值问题
　　在复平面内，复数z对应的点为Z，复数a＋bi（a，b∈R）对
应的点为Z0，那么｜z－（a＋bi）｜的几何意义是点Z与点Z0之间的
距离，｜z－（a＋bi）｜＝r的几何意义是以点Z0为圆心，r为半径
的圆.
【问题探究】
1. 已知z∈C，且｜z＋3－4i｜＝1，求｜z｜的最大值与最小值.
提示：由于｜z＋3－4i｜＝｜z－（－3＋4i）｜＝1，所以在复平
面内，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于
1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C（－3，4）为圆心，半径为1
的圆，而｜z｜表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又｜OC｜
＝5，所以点Z到原点O的最大距离为圆心C到原点的距离加上半
径长，得5＋1＝6，最小距离为圆心到原点的距离减去半径长，得5
－1＝4.即｜z｜max＝6，｜z｜min＝4.
2. 若复数z满足｜z＋2i｜＋｜z－2i｜＝4，求｜z＋i＋1｜的最小值.
提示：设复数z，－2i，2i，－（1＋i）在复平面内对应的点分别
为Z，Z1，Z2，Z3，
∵｜z＋2i｜＋｜z－2i｜＝4，｜Z1Z2｜＝4，
∴Z的集合为线段Z1Z2，
如图所示，
则问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动，求｜ZZ3｜的最小值.
作Z3Z0⊥Z1Z2交Z1Z2于点Z0，
则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，
易知｜Z3Z0｜＝1，
故｜z＋i＋1｜的最小值为1.
【迁移应用】
已知复数z满足｜z＋2－2i｜＝2，且复数z在复平面内的对应点为M.
（1）确定点M的集合的形状；
解：设复数－2＋2i在复平面内的对应点为P，则P（－2，2），则｜z＋2－2i｜＝｜z－（－2＋2i）｜＝｜PM｜＝2，
故点M的集合是以P（－2，2）为圆心，2为半径的圆，如图所示.
（2）求｜z－1＋2i｜的最大值和最小值.
解：设复数1－2i在复平面内的对应点为Q，则Q（1，－2），
则｜z－1＋2i｜＝｜MQ｜.由（1）知｜PQ｜＝
＝5，则｜MQ｜的最大值即｜z－1
＋2i｜的最大值，为｜PQ｜＋2＝7，｜MQ｜的最小值即｜z－
1＋2i｜的最小值，为｜PQ｜－2＝3.
1. 如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是 ， ，则复
数z1－z2＝（　　）
A. －1＋2i B. －2－2i
C. 1＋2i D. 1－2i
解析：　由题意，知z1＝－2－i，z2＝i，所以z1－z2＝－2－2i，故选B.
2. 实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为 个.
解析：依题意设z＝5＋bi，则｜z｜＝ ，而｜4－3i｜＝
＝5，所以 ＝5，即b＝0.
1　
3. 在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是 与 ，其中
O是原点，则向量 ＋ ＝ ， 对应的复数为
，A，B两点间的距离为 .
解析：向量 ＋ 对应的复数为（－3－i）＋（5＋i）＝
2.∵ ＝ － ，∴向量 对应的复数为（－3－i）－（5＋
i）＝－8－2i.∴A，B两点间的距离为｜－8－2i｜＝
＝2 .
（2，0）　
－8
－2i　
2 　
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 若复数z满足z＋（5－2i）＝6＋2i（i为虚数单位），则z的虚部是
（　　）
A. －2 B. 4
C. 3 D. －4
解析：　z＝6＋2i－（5－2i）＝1＋4i，∴z的虚部是4.故选B.
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2. 已知复数z满足z＋2i－5＝7－i，则｜z｜＝（　　）
A. 12 B. 3
D. 9
解析：　由题意知z＝7－i－（2i－5）＝12－3i，∴｜z｜＝
＝3 .故选C.
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3. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数z1对应的点的坐标为（2，－
3），复数z2＝－1＋2i，若复数z＝z1＋z2，则复数z在复平面内对
应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　因为复数z1对应的点的坐标为（2，－3），所以z1＝2－
3i，又因为复数z＝z1＋z2，z2＝－1＋2i，所以z＝2－3i＋（－1＋
2i）＝1－i，所以复数z对应的点的坐标为（1，－1），位于第四
象限.故选D.
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4. 已知i为虚数单位，若复数（a－3）＋2i＝1＋（b－1）i（a，
b∈R），则｜（a＋bi）＋8＋2i｜＝（　　）
A. 5 B. 8
C. 10 D. 13
解析：　因为复数（a－3）＋2i＝1＋（b－1）i，所以
解得则｜（a＋bi）＋8＋2i｜＝｜（4＋3i）
＋8＋2i｜＝｜12＋5i｜＝ ＝13.故选D.
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5. 设z1，z2∈C，则“z1，z2中至少有一个数是虚数”是“z1－z2是虚
数”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析：　若z1，z2皆是实数，则z1－z2一定不是虚数，因此当z1－
z2是虚数时，z1，z2中至少有一个数是虚数，所以必要性成立；当
z1，z2中至少有一个数是虚数时，z1－z2不一定是虚数，如z1＝z2＝
i，即充分性不成立，故选B.
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6. （多选）｜（3＋2i）－（1＋i）｜表示（　　）
A. 点（3，2）与点（1，1）之间的距离
B. 点（3，2）与点（－1，－1）之间的距离
C. 点（2，1）到原点的距离
D. 坐标为（－2，－1）的向量的模
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解析：　由复数的几何意义，知复数3＋2i，1＋i分别对应复
平面内的点（3，2）与点（1，1），所以｜（3＋2i）－（1＋
i）｜表示点（3，2）与点（1，1）之间的距离，故A说法正确，B
说法错误；｜（3＋2i）－（1＋i）｜＝｜2＋i｜，｜2＋i｜可表示
点（2，1）到原点的距离，故C说法正确；｜（3＋2i）－（1＋
i）｜＝｜（1＋i）－（3＋2i）｜＝｜－2－i｜，｜－2－i｜可表示
点（－2，－1）到原点的距离，即坐标为（－2，－1）的向量的
模，故D说法正确，故选A、C、D.
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7. 计算｜（3－i）＋（－1＋2i）－（－1－3i）｜＝ .
解析：｜（3－i）＋（－1＋2i）－（－1－3i）｜＝｜（2＋i）－
（－1－3i）｜＝｜3＋4i｜＝ ＝5.
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8. 在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量 和 ，其中O为
坐标原点，则｜ ｜＝ .
解析：由题意 ＝ － ，∴ 对应的复数为（1＋3i）－
（1＋i）＝2i，∴｜ ｜＝2.
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9. 设（1＋i） sin θ－（1＋i cos θ）对应的点在直线x＋y＋1＝0
上，则tan θ＝ .
解析：由题意，得 sin θ－1＋ sin θ－ cos θ＋1＝0，
∴tan θ＝ .
　
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10. 设z1＝a－3i，z2＝－4＋bi（a，b∈R），且z2－z1＝8＋9i，求
z1＋z2.
解：∵z1＝a－3i，z2＝－4＋bi，
∴z2－z1＝（－4－a）＋（b＋3）i＝8＋9i，
∴解得
∴z1＝－12－3i，z2＝－4＋6i
∴z1＋z2＝－12－3i＋（－4＋6i）＝－16＋3i.
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11. （多选）已知复数z1＝ cos θ＋i，z2＝ sin θ－i（θ∈R），令z
＝｜z1－z2｜，则（　　）
A. z的最小值为2 B. z无最小值
D. z无最大值
解析：　由题意，得z＝｜z1－z2｜＝｜（ cos θ－ sin θ）＋2i｜＝ ＝ ＝ ，
∵θ∈R，∴2≤z≤ ，∴z的最小值为2，最大值为 .故选
A、C.
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12. 已知z1＝ cos α＋i sin α，z2＝ cos β－i sin β且z1－z2＝ ＋
i，则 cos （α＋β）＝ .
解析：∵z1＝ cos α＋i sin α，z2＝ cos β－i sin β，∴z1－z2＝
（ cos α－ cos β）＋i（ sin α＋ sin β）＝ ＋ i，
∴
①2＋②2得2－2 cos （α＋β）＝1，即 cos （α＋β）＝ .
　
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13. 如图，复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面
内的对应点是一个正方形ABCD的三个顶点，求这个正方形的第
四个顶点对应的复数.
解：由题图，知复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设
正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi（x，y∈R）.
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法一　 ＝ － ，则 对应的复数为
（x＋yi）－（1＋2i）＝（x－1）＋（y－2）i.
＝ － ，则 对应的复数为
（－1－2i）－（－2＋i）＝1－3i.
因为 ＝ ，
所以（x－1）＋（y－2）i＝1－3i，所以
解得
故点D对应的复数为2－i.
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法二　因为点A与点C关于原点对称，
所以原点O为正方形的中心，所以点D与点B关于原点对称，
所以（－2＋i）＋（x＋yi）＝0，所以x＝2，y＝－1，
故点D对应的复数为2－i.
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14. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平
面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三
角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中所求的点称为费马
点.已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC
的三个内角均小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝
120°的点P即费马点.根据以上材料，若z∈C，则｜z－2｜＋｜
z＋2｜＋｜z＋2i｜的最小值为（　　）
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解析：B　设z＝x＋yi（x，y∈R），则｜z－2｜＋｜z＋2｜
＋｜z＋2i｜表示点Z（x，y）到△ABC三个顶点A（2，0），B
（－2，0），C（0，－2）的距离之和.依题意结合对称性可知
△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则
∠PAO＝∠PBO＝30°，此时｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜＝
×2＋（2－2tan 30°）＝2 ＋2.故选B.
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15. 已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向
量 对应的复数为1＋2i，向量 对应的复数为3－i，求：
（1）点C，D对应的复数；
解：∵向量 对应的复数为1＋2i，向量 对应的复数为3－i，
∴向量 对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i.
又∵ ＝ ＋ ，
∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i.
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∵ ＝ ，
∴向量 对应的复数为3－i，
即 ＝（3，－1）.设D（x，y），
则 ＝（x－2，y－1）＝（3，－1），
∴解得
∴点D对应的复数为5.
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（2）平行四边形ABCD的面积.
解：∵ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos B，
∴ cos B＝ ＝ ＝ .
∵0＜B＜π，∴ sin B＝ ，
∴S平行四边形ABCD＝｜ ｜｜ ｜ sin B
＝ × × ＝7.
∴平行四边形ABCD的面积为7.
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