资源简介

10.2.2　复数的乘法与除法
1.复数＝（　　）
A.－1 B.1
C.－i D.i
2.已知实数m，n满足（m＋ni）（4－2i）＝3i＋5，则m＋n＝（　　）
A. B.
C. D.
3.方程z2－4｜z｜＋3＝0在复数集内解的个数为（　　）
A.4 B.5
C.6 D.8
4.在如图所示的复平面内，复数z1，z2，z3对应的向量分别是，，，则复数在复平面内对应的点位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.（多选）下面是关于复数z＝（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（　　）
A.｜z｜＝2 B.z2＝2i
C.z的共轭复数为1＋i D.z的虚部为－1
6.（多选）已知两个复数z1，z2满足z1z2＝i，且z1＝1－i，则下面说法正确的是（　　）
A.z2＝－＋i B.｜z1｜＝
C.｜z1＋z2｜≥2 D.·＝－i
7.若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为　　　　.
8.是z的共轭复数，若z＋＝2，（z－）i＝2（i为虚数单位），则z＝　　　　.
9.设复数z＝－1－i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则＝　　　　.
10.已知复数z＝.
（1）求z的实部与虚部；
（2）若z2＋m＋n＝1－i（m，n∈R，是z的共轭复数），求m和n的值.
11.已知复数z＝，则在复平面内对应的点位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
12.（2024·新高考Ⅰ卷2题）若＝1＋i，则z＝（　　）
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
13.已知复数z满足z＝（－1＋3i）（1－i）－4.
（1）求复数z的共轭复数；
（2）若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围.
14.已知＋i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根，则a＝　　　　，b＝　　　　.
15.设复数z1＝1－i，z2＝cos θ＋isin θ，其中θ∈[0，π].
（1）若复数z＝·z2为实数，求θ的值；
（2）求｜z1＋z2｜的取值范围.
10.2.2　复数的乘法与除法
1.A　＝＝－1.
2.A　由题意，得4m＋2n＋（4n－2m）i＝5＋3i，所以4m＋2n＝5，且4n－2m＝3，解得m＝，n＝，所以m＋n＝.故选A.
3.C　令z＝a＋bi（a，b∈R），则a2－b2＋2abi－4＋3＝0，得当b＝0时，a2－4｜a｜＋3＝0，a＝±1或a＝±3；当a＝0时，b2＋4｜b｜－3＝0，｜b｜＝－2＋或｜b｜＝－2－（舍）.综上共有6个解：z＝±1，z＝±3，z＝±（－2）i，故选C.
4.C　由题图，知z1＝3＋2i，z2＝－2＋2i，z3＝1－2i，则＝＝－－i，所以其在复平面内对应的点为，此点位于第三象限.故选C.
5.BD　∵z＝＝＝－1－i，∴｜z｜＝，A错误；z2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C错误；z的虚部为－1，D正确，故选B、D.
6.ABD　由题意知，设z2＝a＋bi（a，b为实数），则z1z2＝（1－i）（a＋bi）＝i，即a＋b＋（b－a）i＝i，所以解得a＝－，b＝，所以z2＝－＋i，故A正确；｜z1｜＝＝，｜z2｜＝＝，所以｜z1｜＝，故B正确；z1＋z2＝1－i－＋i＝－i，所以｜z1＋z2｜＝＝＜2，故C错误；＝1＋i，＝－－i，所以·＝（1＋i）·＝－i，故D正确.故选A、B、D.
7.2　解析：∵复数z＝＝（1＋2i）（－i）＝2－i，∴z的实部为2.
8.1－i　解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），由题意知z＋＝a＋bi＋（a－bi）＝2a＝2.（z－）i＝（a＋bi－a＋bi）i＝－2b＝2，∴a＝1，b＝－1，则z＝1－i.
9.－1＋2i　解析：∵z＝－1－i，∴＝－1＋i，＝＝＝＝＝－1＋2i.
10.解：（1）z＝＝＝2＋i，
所以z的实部为2，虚部为1.
（2）把z＝2＋i代入z2＋m＋n＝1－i，
得（2＋i）2＋m（2－i）＋n＝1－i，
所以解得m＝5，n＝－12.
11.A　因为i4＝1，所以i2 025＝i506×4＋1＝i，i2 026＝i506×4＋2＝－1，所以z＝＝－i，则＝＋i，故在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.
12.C　法一　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C.
法二　由＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i.
13.解：（1）z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，
所以复数z的共轭复数为－2－4i.
（2）w＝－2＋（4＋a）i，复数w对应向量为（－2，4＋a），其模为＝.
又复数z所对应向量为（－2，4），其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a（a＋8）≤0，
所以实数a的取值范围是[－8，0].
14.1　－　解析：把＋i代入方程，
得a＋b＋1＝0，
即＋i＝0，
所以
即
解得
15.解：（1）由题意，z＝·z2＝（1＋i）（cos θ＋isin θ）＝（cos θ－sin θ）＋（cos θ＋sin θ）i，若复数z＝·z2为实数，则cos θ＋sin θ＝0，故tan θ＝－1，θ∈[0，π]，解得θ＝.
（2）由题意，z1＝1－i，z2＝cos θ＋isin θ，
｜z1＋z2｜＝｜（1－i）＋cos θ＋isin θ｜＝｜（1＋cos θ）＋（－1＋sin θ）i｜＝＝＝，
由于θ∈[0，π]，故θ＋∈，
故－1≤cos≤，
故－1＝≤｜z1＋z2｜≤，故｜z1＋z2｜的取值范围是[－1，].
1 / 210.2.2　复数的乘法与除法
新课程标准解读 核心素养
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算 数学抽象
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律 数学运算
　　我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足aman＝am＋n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn，其中m，n均为正整数.
【问题】　复数的运算满足上述的运算律吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　复数的乘法
1.复数的乘法
一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），称z1z2（或z1×z2）为z1与z2的积，并规定：z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝　　　　　　　　　　.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝　　　　　
结合律 （z1z2）z3＝　　　　　
乘法对加法的分配律 z1（z2＋z3）＝　　　　
3.复数的乘方
n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方（或n次幂），并记作zn，即zn＝
当m，n均为正整数时，zmzn＝　　　　，（zm）n＝　　　　，（z1z2）n＝　　　　.
【想一想】
1.以前学过的完全平方公式、平方差公式等，对于复数来说是否还成立呢？
2.复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
3.｜z｜2＝z2，正确吗？
1.已知复数z＝2－i，则z·的值为（　　）
A.5　　　　　　　　　　B.
C.3 D.
2.复数（1＋i）2（2＋3i）的值为（　　）
A.6－4i B.－6－4i
C.6＋4i D.－6＋4i
知识点二　复数的除法
1.复数的倒数
一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数.
2.复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R，c＋di≠0），则＝＝＝＋i.
提醒　对复数除法的两点说明：①实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似；②代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.
1.复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（　　）
A.第一象限　　　　　　B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.若z（1＋i）＝2i，则z＝（　　）
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
知识点三　实系数一元二次方程
1.定义：当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程.
2.实系数一元二次方程的解
设ax2＋bx＋c＝0（a，b，c∈R且a≠0），
（1）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根.
1.在复数集内分解因式：x4－25＝　　　　.
2.在复数范围内方程x2－2x＋3＝0的根为　　　　.
题型一 复数代数形式的乘法运算
【例1】　计算下列各题：
（1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）；
（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i；
（3）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）.
尝试解答
通性通法
复数的乘法运算法则的应用
（1）①复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简；
②对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.
（2）灵活运用一些常用结论
in（n∈N）的周期性（拓展）：i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.
【跟踪训练】
1.（2024·全国甲卷理1题）若z＝5＋i，则i（＋z）＝（　　）
A.10i B.2i
C.10 D.2
2.（2023·新高考Ⅱ卷1题）在复平面内，（1＋3i）（3－i）对应的点位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
题型二 复数代数形式的除法运算
【例2】　计算：
（1）（－2＋3i）÷（1＋2i）；
（2）；
（3）＋－.
尝试解答
通性通法
1.两个复数代数形式的除法运算的步骤
（1）首先将除式写为分式；
（2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
（3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.
2.常用公式
（1）＝－i；（2）＝i；（3）＝－i.
【跟踪训练】
1.（2023·新高考Ⅰ卷2题）已知z＝，则z－＝（　　）
A.－i B.i
C.0 D.1
2.计算：（1）（7－5i）÷（2＋i）；
（2）－.
题型三 解实系数一元二次方程
【例3】　已知关于x的方程x2－px＋1＝0（p∈R）在复数集范围内有两个根x1，x2，若｜x1－x2｜＝1，求实数p的值.
尝试解答
通性通法
实系数一元二次方程在复数范围内的求解策略
（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a，b，c∈R且a≠0）在复数集内的解有以下三种情况：
当Δ＝b2－4ac＞0时，方程存在两个不相等的实根；
当Δ＝b2－4ac＝0时，方程存在两个相等的实根；
当Δ＝b2－4ac＜0时，方程存在两个不相等的虚数根，且两根互为共轭复数.
（2）方程两根满足根与系数的关系
【跟踪训练】
1.复数z1＝3＋2i（i为虚数单位）是方程z2－6z＋b＝0（b∈R）的根，则b的值为（　　）
A.　 　B.13　 　C.　 　D.5
2.在复数范围内方程x2＋6x＋13＝0的根是（　　）
A.－3±2i B.3－2i
C.－2＋3i D.2＋3i
1.已知a∈R，（1＋ai）i＝3＋i（i为虚数单位），则a＝（　　）
A.－1 B.1
C.－3 D.3
2.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.若＝a＋bi（i为虚数单位，a，b∈R），则a＋b＝　　　　.
4.设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为　　　　.
5.计算：（1）（1－i）（1＋i）；
（2）；
（3）（2－i）2.
10.2.2　复数的乘法与除法
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（ac－bd）＋（ad＋bc）i　2.z2z1　z1（z2z3）　z1z2＋z1z3
3.zm＋n　zmn　
想一想
1.提示：成立.
2.提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并.
3.提示：不正确.例如，｜i｜2＝1，而i2＝－1.
自我诊断
1.A　z·＝（2－i）（2＋i）＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.
2.D　（1＋i）2（2＋3i）＝2i（2＋3i）＝－6＋4i.故选D.
知识点二
自我诊断
1.C　因为z＝＝＝＝－1－i，故复数对应的点在第三象限.
2.D　由z（1＋i）＝2i，得z＝＝＝＝i（1－i）＝1＋i.
知识点三
自我诊断
1.（x＋i）（x－i）（x＋）（x－）
解析：x4－25＝（x2＋5）（x2－5）＝（x2＋5）（x＋）（x－）＝（x＋i）（x－i）（x＋）（x－）.
2.1＋i或1－i　解析：∵Δ＝（－2）2－4×3＝－8＜0，∴原方程的根为x＝＝1±i.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i＝1＋i.
（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i
＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i＝（3＋11i）（3－4i）＋2i
＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
（3）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）
＝2（4－i）（3－i）＋（7－i）（4－3i）
＝2（12－7i＋i2）＋（28－25i＋3i2）＝47－39i.
跟踪训练
1.A　因为z＝5＋i，所以＝5－i，所以i（＋z）＝10i，故选A.
2.A　∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A.
【例2】　解：（1）原式＝＝
＝＝＝＋i.
（2）法一　＝
＝＝－2＋i.
法二　＝
＝＝＝＝－2＋i.
（3）原式＝[（1＋i）2]3·＋[（1－i）2]3·－＝（2i）3·i＋（－2i）3·（－i）－＝8＋8－16－16i＝－16i.
跟踪训练
1.A　由题意，得z＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i－i＝－i.故选A.
2.解：（1）（7－5i）÷（2＋i）＝＝
＝＝－i.
（2）法一　－＝
＝＝＝2i.
法二　－＝－
＝i＋i＝2i.
【例3】　解：∵Δ＝p2－4，
（1）当Δ≥0时，即p≥2或p≤－2时，
此方程有两个实数根x1，x2，
又∵｜x1－x2｜＝1，即｜x1－x2｜2＝1，
∴（x1－x2）2＝1，
∴（x1＋x2）2－4x1x2＝1，
由根与系数的关系可知p2－4＝1，
∴p＝±.
（2）当Δ＜0时，即－2＜p＜2时，
此方程存在两个虚数根x1，x2，且x1，x2互为共轭复数，即x1－x2是纯虚数.
又∵｜x1－x2｜＝1，∴｜x1－x2｜2＝1，
即（x1－x2）2＝－1，∴（x1＋x2）2－4x1x2＝－1，
根据根与系数的关系，可知p2－4＝－1，∴p＝±，
综上所述p＝±或±.
跟踪训练
1.B　∵z1＝3＋2i是方程z2－6z＋b＝0（b∈R）的根，∴方程的另一根z2＝3－2i，∴b＝（3＋2i）（3－2i）＝13.故选B.
2.A　法一　因为x2＋6x＋13＝（x＋3）2＋4，所以原方程可化为（x＋3）2＝－4，所以x＋3＝2i或x＋3＝－2i，所以x＝－3＋2i或x＝－3－2i.故选A.
法二　令x＝a＋bi，a，b∈R，则（a＋bi）2＋6（a＋bi）＋13＝0，即a2－b2＋6a＋13＋（2ab＋6b）i＝0，
所以解得即x＝－3±2i.故选A.
随堂检测
1.C　因为（1＋ai）i＝3＋i，所以1＋ai＝＝1－3i，所以a＝－3.故选C.
2.B　由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限.
3.2　解析：因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，
所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.
4.　解析：设＝bi（b∈R且b≠0），
所以z1＝bi·z2，
即a＋2i＝bi（3－4i）＝4b＋3bi，
所以所以a＝.
5.解：（1）法一　（1－i）（1＋i）
＝（1＋i）
＝（1＋i）
＝＋i＋i＋i2
＝－1＋i.
法二　原式＝（1－i）（1＋i）
＝（1－i2）＝2＝－1＋i.
（2）＝＝
＝＝＝i.
（3）（2－i）2＝4－4i＋i2＝3－4i.
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10.2.2　复数的乘法与除法
新课程标准解读 核心素养
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算 数学抽象
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法
的分配律 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，
b，c∈R时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满
足aman＝am＋n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn，其中m，n均为正
整数.
【问题】　复数的运算满足上述的运算律吗？




知识点一　复数的乘法
1. 复数的乘法
一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），称z1z2
（或z1×z2）为z1与z2的积，并规定：z1z2＝（a＋bi）（c＋di）
＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝ .
（ac－bd）＋（ad＋bc）i　
2. 复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝
结合律 （z1z2）z3＝
乘法对加法
的分配律 z1（z2＋z3）＝
z2z1　
z1（z2z3）　
z1z2＋z1z3　
3. 复数的乘方
n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方（或n次幂），并记作
zn，即zn＝
当m，n均为正整数时，zmzn＝ ，（zm）n＝ ，
（z1z2）n＝ .
zm＋n　
zmn　
　
【想一想】
1. 以前学过的完全平方公式、平方差公式等，对于复数来说是否还成
立呢？
提示：成立.
2. 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所
得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并.
3. ｜z｜2＝z2，正确吗？
提示：不正确.例如，｜i｜2＝1，而i2＝－1.
1. 已知复数z＝2－i，则z· 的值为（　　）
A. 5 B.
C. 3 D.
解析：　z· ＝（2－i）（2＋i）＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.
2. 复数（1＋i）2（2＋3i）的值为（　　）
A. 6－4i B. －6－4i
C. 6＋4i D. －6＋4i
解析：　（1＋i）2（2＋3i）＝2i（2＋3i）＝－6＋4i.故选D.
知识点二　复数的除法
1. 复数的倒数
一般地，给定复数z≠0，称 为z的倒数.
2. 复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R，c＋di≠0），
则 ＝ ＝ ＝ ＋ i.
提醒　对复数除法的两点说明：①实数化：分子、分母同乘以分母
的共轭复数化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，
这与根式除法的分母“有理化”很类似；②代数式：注意最后结果
要将实部、虚部分开.
1. 复数z＝ （i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为
（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　因为z＝ ＝ ＝ ＝－1－i，故复
数对应的点在第三象限.
2. 若z（1＋i）＝2i，则z＝（　　）
A. －1－i B. －1＋i
C. 1－i D. 1＋i
解析：　由z（1＋i）＝2i，得z＝ ＝ ＝
＝i（1－i）＝1＋i.
知识点三　实系数一元二次方程
1. 定义：当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c
＝0称为实系数一元二次方程.
2. 实系数一元二次方程的解
设ax2＋bx＋c＝0（a，b，c∈R且a≠0），
（1）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根.
1. 在复数集内分解因式：x4－25＝
.
解析：x4－25＝（x2＋5）（x2－5）＝（x2＋5）（x＋ ）（x
－ ）＝（x＋ i）（x－ i）（x＋ ）（x－ ）.
2. 在复数范围内方程x2－2x＋3＝0的根为 .
解析：∵Δ＝（－2）2－4×3＝－8＜0，∴原方程的根为x＝
＝1± i.
（x＋ i）（x－ i）（x＋
）（x－ ）　
1＋ i或1－ i　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数代数形式的乘法运算
【例1】　计算下列各题：
（1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）；
解：（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i
＝1＋i.
（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i；
解：（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i
＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i
＝（3＋11i）（3－4i）＋2i
＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
（3）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）.
解：（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）
＝2（4－i）（3－i）＋（7－i）（4－3i）
＝2（12－7i＋i2）＋（28－25i＋3i2）
＝47－39i.
通性通法
复数的乘法运算法则的应用
（1）①复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，
注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简；
②对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式
更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.
（2）灵活运用一些常用结论
in（n∈N）的周期性（拓展）：i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝
－i，i4n＝1，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.
【跟踪训练】
1. （2024·全国甲卷理1题）若z＝5＋i，则i（ ＋z）＝（　　）
A. 10i B. 2i
C. 10 D. 2
解析：　因为z＝5＋i，所以 ＝5－i，所以i（ ＋z）＝10i，故
选A.
2. （2023·新高考Ⅱ卷1题）在复平面内，（1＋3i）（3－i）对应的点
位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋
3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）
（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A.
题型二 复数代数形式的除法运算
【例2】　计算：（1）（－2＋3i）÷（1＋2i）；
解：原式＝ ＝
＝
＝ ＝ ＋ i.
（2） ；
解：法一　 ＝
＝ ＝－2＋i.
法二　 ＝ ＝
＝ ＝ ＝－2＋i.
（3） ＋ － .
解：原式＝[（1＋i）2]3· ＋[（1－i）2]3· －
＝（2i）3·i＋（－2i）3·（－i）－
＝8＋8－16－16i＝－16i.
通性通法
1. 两个复数代数形式的除法运算的步骤
（1）首先将除式写为分式；
（2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
（3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代
数形式.
2. 常用公式
（1） ＝－i；（2） ＝i；（3） ＝－i.
【跟踪训练】
1. （2023·新高考Ⅰ卷2题）已知z＝ ，则z－ ＝（　　）
A. －i B. i
C. 0 D. 1
解析：　由题意，得z＝ ＝ ＝－ i，所以
＝ i，所以z－ ＝－ i－ i＝－i.故选A.
2. 计算：（1）（7－5i）÷（2＋i）；
解：（7－5i）÷（2＋i）＝ ＝
＝ ＝ － i.
（2） － .
解：法一　 －
＝
＝ ＝ ＝2i.
法二　 － ＝ － ＝i＋i＝2i.
（1）当Δ≥0时，即p≥2或p≤－2时，
此方程有两个实数根x1，x2，
又∵｜x1－x2｜＝1，即｜x1－x2｜2＝1，
∴（x1－x2）2＝1，∴（x1＋x2）2－4x1x2＝1，
由根与系数的关系可知p2－4＝1，∴p＝± .
题型三 解实系数一元二次方程
【例3】　已知关于x的方程x2－px＋1＝0（p∈R）在复数集范围内有两个根x1，x2，若｜x1－x2｜＝1，求实数p的值.
解：∵Δ＝p2－4，
（2）当Δ＜0时，即－2＜p＜2时，
此方程存在两个虚数根x1，x2，且x1，x2互为共轭复数，即x1－x2是
纯虚数.
又∵｜x1－x2｜＝1，
∴｜x1－x2｜2＝1，
即（x1－x2）2＝－1，
∴（x1＋x2）2－4x1x2＝－1，
根据根与系数的关系，可知p2－4＝－1，
∴p＝± ，
综上所述p＝± 或± .
通性通法
实系数一元二次方程在复数范围内的求解策略
（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a，b，c∈R且a≠0）在复数
集内的解有以下三种情况：
当Δ＝b2－4ac＞0时，方程存在两个不相等的实根；
当Δ＝b2－4ac＝0时，方程存在两个相等的实根；
当Δ＝b2－4ac＜0时，方程存在两个不相等的虚数根，且两根互
为共轭复数.
（2）方程两根满足根与系数的关系
【跟踪训练】
1. 复数z1＝3＋2i（i为虚数单位）是方程z2－6z＋b＝0（b∈R）的
根，则b的值为（　　）
A. B. 13
C. D. 5
解析：　∵z1＝3＋2i是方程z2－6z＋b＝0（b∈R）的根，∴方
程的另一根z2＝3－2i，∴b＝（3＋2i）（3－2i）＝13.故选B.
2. 在复数范围内方程x2＋6x＋13＝0的根是（　　）
A. －3±2i B. 3－2i
C. －2＋3i D. 2＋3i
解析：　法一　因为x2＋6x＋13＝（x＋3）2＋4，所以原方程可
化为（x＋3）2＝－4，所以x＋3＝2i或x＋3＝－2i，所以x＝－3
＋2i或x＝－3－2i.故选A.
法二　令x＝a＋bi，a，b∈R，则（a＋bi）2＋6（a＋bi）＋13＝
0，即a2－b2＋6a＋13＋（2ab＋6b）i＝0，
所以
解得即x＝－3±2i.故选A.
1. 已知a∈R，（1＋ai）i＝3＋i（i为虚数单位），则a＝（　　）
A. －1 B. 1
C. －3 D. 3
解析：　因为（1＋ai）i＝3＋i，所以1＋ai＝ ＝1－3i，所以
a＝－3.故选C.
2. 如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是 ， ，则复
数 对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以 ＝
＝－1＋2i，对应的点在第二象限.
3. 若 ＝a＋bi（i为虚数单位，a，b∈R），则a＋b＝ .
解析：因为 ＝ ＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝
1，b＝1，所以a＋b＝2.
4. 设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且 为纯虚数，则实数a的值为 　 　.
解析：设 ＝bi（b∈R且b≠0），所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi
（3－4i）＝4b＋3bi，所以所以a＝ .
2　
　
5. 计算：
（1）（1－i） （1＋i）；
解：法一　（1－i） （1＋i）
＝ （1＋i）
＝ （1＋i）
＝ ＋ i＋ i＋ i2
＝－1＋ i.
法二　原式＝（1－i）（1＋i）
＝（1－i2） ＝2
＝－1＋ i.
（2） ；
解： ＝
＝
＝ ＝ ＝i.
（3）（2－i）2.
解：（2－i）2＝4－4i＋i2＝3－4i.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 复数 ＝（　　）
A. －1 B. 1
C. －i D. i
解析：　 ＝ ＝－1.
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2. 已知实数m，n满足（m＋ni）（4－2i）＝3i＋5，则m＋n＝
（　　）
A. B.
C. D.
解析：　由题意，得4m＋2n＋（4n－2m）i＝5＋3i，所以4m
＋2n＝5，且4n－2m＝3，解得m＝ ，n＝ ，所以m＋n＝ .
故选A.
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3. 方程z2－4｜z｜＋3＝0在复数集内解的个数为（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 8
解析：　令z＝a＋bi（a，b∈R），则a2－b2＋2abi－
4 ＋3＝0，得当b＝0时，a2
－4｜a｜＋3＝0，a＝±1或a＝±3；当a＝0时，b2＋4｜b｜－3
＝0，｜b｜＝－2＋ 或｜b｜＝－2－ （舍）.综上共有6个
解：z＝±1，z＝±3，z＝±（ －2）i，故选C.
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4. 在如图所示的复平面内，复数z1，z2，z3对应的向量分别是 ，
， ，则复数 在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
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解析：　由题图，知z1＝3＋2i，z2＝－2＋2i，z3＝1－2i，则
＝ ＝－ － i，所以其在复平面内对应的点为
，此点位于第三象限.故选C.
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5. （多选）下面是关于复数z＝ （i为虚数单位）的命题，其中真
命题为（　　）
A. ｜z｜＝2 B. z2＝2i
C. z的共轭复数为1＋i D. z的虚部为－1
解析：　∵z＝ ＝ ＝－1－i，∴｜z｜＝ ，
A错误；z2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C错误；z的虚部
为－1，D正确，故选B、D.
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6. （多选）已知两个复数z1，z2满足z1z2＝i，且z1＝1－i，则下面说
法正确的是（　　）
A. z2＝－ ＋ i B. ｜z1｜＝
C. ｜z1＋z2｜≥2 D. · ＝－i
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解析：　由题意知，设z2＝a＋bi（a，b为实数），则z1z2＝
（1－i）（a＋bi）＝i，即a＋b＋（b－a）i＝i，所以
解得a＝－ ，b＝ ，所以z2＝－ ＋ i，故A正
确；｜z1｜＝ ＝ ，｜z2｜＝ ＝
，所以｜z1｜＝ ，故B正确；z1＋z2＝1－i－ ＋ i＝ －
i，所以｜z1＋z2｜＝ ＝ ＜2，故C错误； ＝1＋
i， ＝－ － i，所以 · ＝（1＋i）· ＝－i，故D正
确.故选A、B、D.
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7. 若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为 .
解析：∵复数z＝ ＝（1＋2i）（－i）＝2－i，
∴z的实部为2.
2　
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8. 是z的共轭复数，若z＋ ＝2，（z－ ）i＝2（i为虚数单位），
则z＝ .
解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），由题意知z＋ ＝a＋bi＋（a
－bi）＝2a＝2.（z－ ）i＝（a＋bi－a＋bi）i＝－2b＝2，
∴a＝1，b＝－1，则z＝1－i.
1－i　
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9. 设复数z＝－1－i（i为虚数单位），z的共轭复数为 ，则 ＝
.
解析：∵z＝－1－i，∴ ＝－1＋i， ＝ ＝ ＝
＝ ＝－1＋2i.
－1＋2i　
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10. 已知复数z＝ .
（1）求z的实部与虚部；
解：z＝ ＝ ＝2＋i，
所以z的实部为2，虚部为1.
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（2）若z2＋m ＋n＝1－i（m，n∈R， 是z的共轭复数），求
m和n的值.
解：把z＝2＋i代入z2＋m ＋n＝1－i，
得（2＋i）2＋m（2－i）＋n＝1－i，
所以解得m＝5，n＝－12.
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11. 已知复数z＝ ，则 在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　因为i4＝1，所以i2 025＝i506×4＋1＝i，i2 026＝i506×4＋2＝－
1，所以z＝ ＝ － i，则 ＝ ＋ i，故 在复平面内对应
的点位于第一象限.故选A.
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12. （2024·新高考Ⅰ卷2题）若 ＝1＋i，则z＝（　　）
A. －1－i B. －1＋i
C. 1－i D. 1＋i
解析：　法一　因为 ＝ ＝1＋ ＝1＋i，所以z＝1＋
＝1－i.故选C.
法二　由 ＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝
＝1－i.
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13. 已知复数z满足z＝（－1＋3i）（1－i）－4.
（1）求复数z的共轭复数；
解：z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，
所以复数z的共轭复数为－2－4i.
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（2）若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应
向量的模，求实数a的取值范围.
解：w＝－2＋（4＋a）i，复数w对应向量为（－2，
4＋a），其模为 ＝ .
又复数z所对应向量为（－2，4），其模为2 .由复数w对
应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋
a2≤20，a2＋8a≤0，a（a＋8）≤0，
所以实数a的取值范围是[－8，0].
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14. 已知 ＋ i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根，则a
＝ ，b＝ .
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－ 　
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解析：把 ＋ i代入方程，得a ＋b（ ＋ i）＋1＝
0，即 ＋ i＝0，所以
即
解得
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15. 设复数z1＝1－i，z2＝ cos θ＋i sin θ，其中θ∈[0，π].
（1）若复数z＝ ·z2为实数，求θ的值；
解：由题意，z＝ ·z2＝（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）
＝（ cos θ－ sin θ）＋（ cos θ＋ sin θ）i，若复数z＝
·z2为实数，则 cos θ＋ sin θ＝0，故tan θ＝－1，
θ∈[0，π]，解得θ＝ .
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（2）求｜z1＋z2｜的取值范围.
解：由题意，z1＝1－i，z2＝ cos θ＋i sin θ，
｜z1＋z2｜＝｜（1－i）＋ cos θ＋i sin θ｜＝｜（1＋ cos
θ）＋（－1＋ sin θ）i｜＝
＝ ＝
，
由于θ∈[0，π]，故θ＋ ∈ ，故－1≤ cos ≤ ，故 －1＝ ≤｜z1＋z2｜≤ ，故｜z1＋z2｜的取值范围是[－1， ].
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