资源简介

*10.3　复数的三角形式及其运算
1.若a＜0，则a的三角形式为（　　）
A.a（cos 0＋isin 0）
B.a（cos π＋isin π）
C.－a（cos π＋isin π）
D.－a（cos π－isin π）
2.复数z＝1－i（i为虚数单位）的三角形式为（　　）
A.z＝（sin 45°－icos 45°）
B.z＝（cos 45°－isin 45°）
C.z＝[cos（－45°）－isin（－45°）]
D.z＝[cos（－45°）＋isin（－45°）]
3.复数（sin 10°＋icos 10°）3的三角形式为（　　）
A.sin 30°＋icos 30°
B.cos 240°＋isin 240°
C.cos 30°＋isin 30°
D.sin 240°＋icos 240°
4.＝（　　）
A.＋i B.－i
C.＋i D.－i
5.设3＋4i的辐角主值为θ，则（3＋4i）·i的辐角主值是（　　）
A.＋θ B.－θ
C.θ－ D.－θ
6.（多选）若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值可能为（　　）
A. B.
C.－ D.－
7.若｜z｜＝2，arg z＝，则复数z＝　　　　.
8.计算（cos 40°＋isin 40°）÷（cos 10°＋isin 10°）＝　　　　.
9.把复数z1＝3－i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转所得向量对应的复数z2＝　　　　.
10.计算：
（1）（＋i）；
（2）·；
（3）.
11.（多选）下列所给复数中，辐角主值是的复数是（　　）
A.－＋i B.－3＋i
C.－i D.－2＋2i
12.设z＝1＋i，则复数的代数形式为　　　　，三角形式是　　　　.
13.设复数z满足＝，arg＝，求z的辐角主值.
14.向量，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是（　　）
A.负实数
B.纯虚数
C.正实数
D.虚数a＋bi（a，b∈R，a≠0）
15.已知z＝cos θ－sin θ＋＋i（cos θ＋sin θ）.
（1）当θ为何值时，｜z｜取得最大值，并求此最大值；
（2）若θ∈（π，2π），求arg z（用θ表示）.
*10.3　复数的三角形式及其运算
1.C　因为a＜0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a（cos π＋isin π）.故选C.
2.D　依题意得r＝＝，复数z＝1－i对应的点在第四象限，且cos θ＝，因此arg z＝315°，结合选项知D正确，故选D.
3.B　（sin 10°＋icos 10°）3＝（cos 80°＋isin 80°）3＝cos 240°＋isin 240°.
4.B　＝＝cos（0°－60°）＋isin（0°－60°）＝cos（－60°）＋isin（－60°）＝－i.故选B.
5.A　（3＋4i）·i＝5（cos θ＋isin θ）·＝5，因为3＋4i的辐角主值为θ，所以θ∈，则（3＋4i）·i的辐角主值是＋θ.
6.ABD　因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ，所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1，所以θ＝＋kπ（k∈Z）.可知选A、B、D.
7.1＋i　解析：由题意知，z＝2＝1＋i.
8.＋i　解析：（cos 40°＋isin 40°）÷（cos 10°＋isin 10°）＝cos（40°－10°）＋isin（40°－10°）＝cos 30°＋isin 30°＝＋i.
9.－2i　解析：由题意得z2＝（3－i）［cos＋isin］＝（3－i）＝－2i.
10.解：（1）∵＋i＝2，
－cos－isin＝cos＋isin，
∴原式＝
＝2
＝2＝－－i.
（2）原式＝·
＝.
（3）＝＝4＋
＝4＝2－2i.
11.AB　若arg z＝，则复数在复平面内对应的点必在第二象限，C不正确；选项A，－＋i＝2＝2，A正确；选项B，－3＋i＝2＝2，B正确；选项D，－2＋2i＝4＝4，D不正确.故选A、B.
12.1－i　　解析：将z＝1＋i代入，
得原式＝＝
＝1－i＝.
13.解：由已知，得＝，
∴1－＝＋i，
∴＝－i，
∴z＝＝＝＝（＋i）
＝＝，
∴z的辐角主值arg z＝.
14.B　设复数z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），由于⊥，所以＝＝·[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]＝[cos（±90°）＋isin（±90°）]＝±i，即为纯虚数.故选B.
15.解：（1）｜z｜＝
＝ ＝2 .
所以当cos＝1，即θ＝2kπ－（k∈Z）时，
｜z｜取最大值2.
（2）设arg z＝α，由z＝cos θ－sin θ＋＋i（cos θ＋sin θ）
＝，
所以tan α＝＝tan.
因为θ∈（π，2π），
所以z的实部为 ＞0，
z的虚部为 sin.
当θ∈时， sin＜0，
z所对应的点位于第四象限，
由于＜＋＜π，
所以arg z＝α＝＋π＝＋.
当θ∈时，sin≥0，
z所对应的点位于第一象限（或x轴非负半轴），
由于π＜＋＜，所以arg z＝α＝－π＝－.
2 / 2*10.3　复数的三角形式及其运算
新课程标准解读 核心素养
1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，了解复数的代数形式与三角形式之间的关系 数学抽象
2.了解复数乘、除运算的三角形式及其几何意义 数学运算
设复数z＝1＋i在复平面内对应的点为Z.
【问题】　（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量；
（2）记r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋i的实部、虚部之间的关系.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　复数的三角形式
如果非零复数z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应点Z（a，b），且r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝｜z｜＝，根据任意角余弦、正弦的定义可知cos θ＝，sin θ＝.那么z＝a＋bi＝（rcos θ）＋（rsin θ）i＝　　　　　　　　的右边称为非零复数z＝a＋bi（a，b∈R）的　　　　形式（对应地，a＋bi称为复数的代数形式），其中θ称为z的　　　　.
在[0，2π）内的辐角称为z的辐角　　　　，记作　　　.
提醒　辐角和辐角主值的区别与联系：①区别：辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线（射线OZ）为终边的角，显然辐角有无数个.而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个.②联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z.
1.复数z＝cos＋isin的辐角主值是（　　）
A.　　　　　　　　 B.
C.－ D.－
2.将复数4化成代数形式，正确的是（　　）
A.4 B.－4
C.4i D.－4i
知识点二　复数三角形式的乘除法
设z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），
则：（1）z1z2＝　　　　　　　　　　　　，
（2）＝　　　　　　　　　　　　，
（3）[r（cos θ＋isin θ）]n＝rn[cos（nθ）＋isin（nθ）].
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任意一个复数都有三角形式.（　　）
（2）复数的三角形式也可以进行四则运算.（　　）
（3）任何一个非零复数的辐角有无数多个，任意两个辐角相差2π的整数倍.（　　）
（4）1的辐角主值为0.（　　）
（5）arg（z1z2）＝arg（z1）＋arg（z2）.（　　）
2.×＝（　　）
A.1 B.－1
C.i D.－i
3.4（cos π＋isin π）÷2＝（　　）
A.1＋i B.1－i
C.－1＋i D.－1－i
题型一 复数的代数形式与三角形式的互化
角度1　代数形式化为三角形式
【例1】　将以下复数表示为三角形式（辐角主值）：
（1）－i；（2）1＋i；（3）5.
尝试解答
通性通法
把复数的代数形式改写为三角形式的方法
（1）求出复数的模r＝；
（2）求出复数的一个辐角θ，cos θ＝，sin θ＝，其中θ所在象限与点（a，b）相同；
（3）θ一般取为复数z的辐角主值；
（4）将非零复数z＝a＋bi（a，b∈R）改写为z＝r（cos θ＋isin θ）的形式.
角度2　三角形式化为代数形式
【例2】　分别指出下列复数的模和辐角主值，并把这些复数表示成代数形式：
（1）4；
（2）（cos 60°＋isin 60°）；
（3）2.
尝试解答
通性通法
　　复数的三角形式z＝r（cos θ＋isin θ）必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角.
【跟踪训练】
（1）将复数－1＋i化为三角形式；
（2）将复数2化为代数形式.
题型二 复数三角形式的乘除运算
【例3】　计算：
（1）2×；
（2）.
尝试解答
通性通法
三角形式下复数的乘、除运算的关键点
（1）复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加；
（2）复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角n倍；
（3）复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减.
【跟踪训练】
1.（cos 60°－isin 240°）×6（cos 30°－isin 210°）＝　　　　.
2.＝　　　　.
题型三 复数三角形式乘、除运算的几何意义
【例4】　在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数.
尝试解答
通性通法
　　两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.
【跟踪训练】
在复平面内，把与复数＋i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数.（用代数形式表示）
1.下列是复数的三角形式的是（　　）
A.2
B.2
C.2
D.－2
2.复数1－i的辐角主值是（　　）
A.π　　　　　　　　　B.π
C.π D.
3.复数z＝－sin 100°＋icos 100°的辐角主值是（　　）
A.80° B.100°
C.190° D.260°
4.（cos 75°＋isin 75°）（cos 15°＋isin 15°）＝　　　　.
5.化简：2（cos 300°＋isin 300°）÷
.
*10.3　复数的三角形式及其运算
【基础知识·重落实】
知识点一
r（cos θ＋isin θ）　三角　辐角　主值　arg z
自我诊断
1.B　由辐角主值的定义，知复数z＝cos＋isin的辐角主值是.故选B.
2.D　4＝4×[0＋i（－1）]＝－4i.故选D.
知识点二
（1）r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]
（2）[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]
自我诊断
1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）√　（5）×
2.C　×＝cos（＋）＋isin＝cos＋isin＝i.故选C.
3.C　原式＝2＝2（cos＋isin）＝2＝－1＋i.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）因为r＝＝2，cos θ＝，sin θ＝－，所以θ＝π，于是－i＝2.
（2）因为r＝＝，cos θ＝，sin θ＝，
所以θ＝，于是1＋i＝.
（3）因为r＝＝5，cos θ＝1，sin θ＝0，
所以θ＝0，于是5＝5（cos 0＋isin 0）.
【例2】　解：（1）复数4的模r＝4，辐角主值为θ＝.
4＝4cos＋4isin＝4×＋4×i
＝2＋2i.
（2）（cos 60°＋isin 60°）的模r＝，辐角主值为θ＝60°.
（cos 60°＋isin 60°）＝×＋×i＝＋i.
（3）2
＝2
＝2.
所以复数的模r＝2，辐角主值为π.
2＝2cosπ＋2isinπ＝2×＋2×i.＝1－i.
跟踪训练
解：（1）｜－1＋i｜＝2，arg（－1＋i）＝，
所以－1＋i＝2.
（2）2＝2＝－＋i.
【例3】　解：（1）2×
＝2＝－2i.
（2）
＝
＝2＝1＋i.
跟踪训练
1.3i　解析：（cos 60°－isin 240°）×6（cos 30－isin 210°）＝（cos 60°＋isin 60°）×6（cos 30°＋isin 30°）＝3[cos（60°＋30°）＋isin（60°＋30°）]＝3（cos 90°＋isin 90°）＝3i.
2.－i　解析：＝＝[cos（60°－120°）＋isin（60°－120°）]＝[cos（－60°）＋isin（－60°）]＝＝－i.
【例4】　解：因为3－i＝2
＝2，
所以2×
＝2
＝2＝2
＝3＋i，
2×［cos＋isin］
＝2
＝2
＝－2i.
故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i.
跟踪训练
解：＋i＝，
由题意得×
＝×2
＝3＝3i，
即与所得向量对应的复数为3i.
随堂检测
1.B　复数的三角形式为z＝r（cos θ＋isin θ）（r≥0），故选B.
2.A　因为1－i＝2＝2，所以1－i辐角主值为π.
3.C　z＝－sin 100°＋icos 100°＝－cos 10°－isin 10°＝cos 190°＋isin 190°，故选C.
4.i　解析：（cos 75°＋isin 75°）（cos 15°＋isin 15°）＝cos（75°＋15°）＋isin（75°＋15°）＝cos 90°＋isin 90°＝i.
5.解：2（cos 300°＋isin 300°）÷
＝2÷
＝
＝（cosπ＋isinπ）＝－＋i.
4 / 4(共63张PPT)
*10.3　复数的三角形式及其运算
新课程标准解读 核心素养
1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，了解复
数的代数形式与三角形式之间的关系 数学抽象
2.了解复数乘、除运算的三角形式及其几何意义 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　设复数z＝1＋ i在复平面内对应的点为Z.
【问题】　（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向
量 ；
（2）记r为向量 的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终
边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与
z＝1＋ i的实部、虚部之间的关系.




知识点一　复数的三角形式
如果非零复数z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应点Z（a，
b），且r为向量 的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终
边的一个角，则r＝｜z｜＝ ，根据任意角余弦、正弦的定义
可知 cos θ＝ ， sin θ＝ .那么z＝a＋bi＝（r cos θ）＋（r sin
θ）i＝ 的右边称为非零复数z＝a＋bi
（a，b∈R）的 形式（对应地，a＋bi称为复数的代数形
式），其中θ称为z的 .
r（ cos θ＋i sin θ）　
三角　
辐角　
在[0，2π）内的辐角称为z的辐角 ，记作 .
主值　
arg z　
提醒　辐角和辐角主值的区别与联系：①区别：辐角θ是指以x轴的
非负半轴为始边，以复数z所对应的向量 所在射线（射线OZ）为
终边的角，显然辐角有无数个.而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的
辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个.②联系：θ＝2kπ＋arg z，
k∈Z.
1. 复数z＝ cos ＋i sin 的辐角主值是（　　）
解析：　由辐角主值的定义，知复数z＝ cos ＋i sin 的辐角主
值是 .故选B.
2. 将复数4 化成代数形式，正确的是（　　）
A. 4 B. －4
C. 4i D. －4i
解析：　4 ＝4×[0＋i（－1）]＝－4i.故
选D.
知识点二　复数三角形式的乘除法
设z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（ cos θ2＋i sin θ2），
则：（1）z1z2＝ ，
（2） ＝ 　 [ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）]　，
r1r2[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]　
（3）[r（ cos θ＋i sin θ）]n＝rn[ cos （nθ）＋i sin （nθ）].
[ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）]　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任意一个复数都有三角形式. （　√　）
（2）复数的三角形式也可以进行四则运算. （　×　）
（3）任何一个非零复数的辐角有无数多个，任意两个辐角相差2π
的整数倍. （　√　）
（4）1的辐角主值为0. （　√　）
（5）arg（z1z2）＝arg（z1）＋arg（z2）. （　×　）
√
×
√
√
×
2. × ＝（　　）
A. 1 B. －1
C. i D. －i
解析：　 × ＝ cos ＋i sin
＝ cos ＋i sin ＝i.故选C.
3.4（ cos π＋i sin π）÷2 ＝（　　）
解析：　原式＝2 ＝2
＝2 ＝－1＋ i.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数的代数形式与三角形式的互化
角度1　代数形式化为三角形式
【例1】　将以下复数表示为三角形式（辐角主值）：
（1） －i；
解：因为r＝ ＝2，
cos θ＝ ， sin θ＝－ ，
所以θ＝ π，于是 －i＝2 .
（2）1＋i；
解：因为r＝ ＝ ， cos θ＝ ， sin θ＝ ，
所以θ＝ ，于是1＋i＝ .
（3）5.
解：因为r＝ ＝5， cos θ＝1， sin θ＝0，
所以θ＝0，于是5＝5（ cos 0＋i sin 0）.
通性通法
把复数的代数形式改写为三角形式的方法
（1）求出复数的模r＝ ；
（2）求出复数的一个辐角θ， cos θ＝ ， sin θ＝ ，其中θ所在
象限与点（a，b）相同；
（3）θ一般取为复数z的辐角主值；
（4）将非零复数z＝a＋bi（a，b∈R）改写为z＝r（ cos θ＋i sin
θ）的形式.
角度2　三角形式化为代数形式
【例2】　分别指出下列复数的模和辐角主值，并把这些复数表示成
代数形式：
（1）4 ；
解：复数4 的模r＝4，辐角主值为θ＝ .
4 ＝4 cos ＋4i sin
＝4× ＋4× i
＝2 ＋2i.
（2） （ cos 60°＋i sin 60°）；
解： （ cos 60°＋i sin 60°）的模r＝ ，辐角主值为θ＝
60°.
（ cos 60°＋i sin 60°）＝ × ＋ × i
＝ ＋ i.
（3）2 .
解：2
＝2
＝2 .
所以复数的模r＝2，辐角主值为 π.
2 ＝2 cos π＋2i sin π
＝2× ＋2× i.
＝1－ i.
通性通法
　　复数的三角形式z＝r（ cos θ＋i sin θ）必须满足“模非负、余
正弦、＋相连、角统一、i跟 sin ”，否则就不是三角形式，只有化为
三角形式才能确定其模和辐角.
【跟踪训练】
（1）将复数－1＋ i化为三角形式；
解：｜－1＋ i｜＝2，arg（－1＋ i）＝ ，
所以－1＋ i＝2 .
（2）将复数2 化为代数形式.
解：2 ＝2 ＝－ ＋i.
题型二 复数三角形式的乘除运算
【例3】　计算：
（1）2 × ；
解：2 ×
＝2
＝－2 i.
（2） .
解：
＝
＝2
＝1＋ i.
通性通法
三角形式下复数的乘、除运算的关键点
（1）复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加；
（2）复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角n倍；
（3）复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减.
【跟踪训练】
1. （ cos 60°－i sin 240°）×6（ cos 30°－i sin 210°）＝ .
解析： （ cos 60°－i sin 240°）×6（ cos 30－i sin 210°）＝
（ cos 60°＋i sin 60°）×6（ cos 30°＋i sin 30°）＝3[ cos
（60°＋30°）＋i sin （60°＋30°）]＝3（ cos 90°＋i sin
90°）＝3i.
3i　
2. ＝ 　 － i　.
解析： ＝
＝ [ cos （60°－120°）＋i sin （60°－120°）]
＝ [ cos （－60°）＋i sin （－60°）]
＝ ＝ － i.
－ i　
题型三 复数三角形式乘、除运算的几何意义
【例4】　在复平面内，把复数3－ i对应的向量分别按逆时针和顺
时针方向旋转 ，求所得向量对应的复数.
解：因为3－ i＝2
＝2 ，
所以2 ×
＝2
＝2
＝2 ＝3＋ i，
2 ×［ cos ＋i sin ］
＝2
＝2 ＝－2 i.
故把复数3－ i对应的向量按逆时针旋转 得到的复数为3＋ i，按
顺时针旋转 得到的复数为－2 i.
通性通法
　　两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量 ，
，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，
就要把 绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原
来的r2倍，得到向量 ， 表示的复数就是积z1z2.
【跟踪训练】
在复平面内，把与复数 ＋ i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋
转 ，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数.
（用代数形式表示）
解： ＋ i＝ ，
由题意得 （ cos ＋i sin ）×［2（ cos ＋i sin ）］
＝ ×2
＝3 ＝3i，
即与所得向量对应的复数为3i.
　　
1. 下列是复数的三角形式的是（　　）
解析：　复数的三角形式为z＝r（ cos θ＋i sin θ）（r≥0），
故选B.
2. 复数1－ i的辐角主值是（　　）
解析：　因为1－ i＝2 ＝2 ，所以1
－ i辐角主值为 π.
3. 复数z＝－ sin 100°＋i cos 100°的辐角主值是（　　）
A. 80° B. 100°
C. 190° D. 260°
解析：　z＝－ sin 100°＋i cos 100°＝－ cos 10°－i sin 10°＝
cos 190°＋i sin 190°，故选C.
4. （ cos 75°＋i sin 75°）（ cos 15°＋i sin 15°）＝ .
解析：（ cos 75°＋i sin 75°）（ cos 15°＋i sin 15°）＝ cos
（75°＋15°）＋i sin （75°＋15°）＝ cos 90°＋i sin 90°＝i.
i　
5. 化简：2（ cos 300°＋i sin 300°）÷［ （ cos π＋i sin π）］.
解：2（ cos 300°＋i sin 300°）÷［ （ cos π＋i sin π）］
＝2 ÷
＝
＝ （ cos π＋i sin π）＝－ ＋ i.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若a＜0，则a的三角形式为（　　）
A. a（ cos 0＋i sin 0） B. a（ cos π＋i sin π）
C. －a（ cos π＋i sin π） D. －a（ cos π－i sin π）
解析：　因为a＜0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a
（ cos π＋i sin π）.故选C.
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2. 复数z＝1－i（i为虚数单位）的三角形式为（　　）
解析：　依题意得r＝ ＝ ，复数z＝1－i对应的
点在第四象限，且 cos θ＝ ，因此arg z＝315°，结合选项知D
正确，故选D.
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3. 复数（ sin 10°＋i cos 10°）3的三角形式为（　　）
A. sin 30°＋i cos 30° B. cos 240°＋i sin 240°
C. cos 30°＋i sin 30° D. sin 240°＋i cos 240°
解析：　（ sin 10°＋i cos 10°）3＝（ cos 80°＋i sin 80°）3＝
cos 240°＋i sin 240°.
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4. ＝（　　）
解析：　 ＝ ＝ cos （0°－
60°）＋i sin （0°－60°）＝ cos （－60°）＋i sin （－60°）＝
－ i.故选B.
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5. 设3＋4i的辐角主值为θ，则（3＋4i）·i的辐角主值是（　　）
解析：　（3＋4i）·i＝5（ cos θ＋i sin θ）· ＝
5 ，因为3＋4i的辐角主值为θ，所以
θ∈ ，则（3＋4i）·i的辐角主值是 ＋θ.
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6. （多选）若复数 cos θ＋i sin θ和 sin θ＋i cos θ相等，则θ的值
可能为（　　）
解析：　因为 cos θ＋i sin θ＝ sin θ＋i cos θ，所以 cos θ＝ sin θ，即tan θ＝1，所以θ＝ ＋kπ（k∈Z）.可知选A、B、D.
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7. 若｜z｜＝2，arg z＝ ，则复数z＝ 　1＋ i　.
解析：由题意知，z＝2 ＝1＋ i.
1＋ i　
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8. 计算（ cos 40°＋i sin 40°）÷（ cos 10°＋i sin 10°）＝ .
解析：（ cos 40°＋i sin 40°）÷（ cos 10°＋i sin 10°）＝ cos
（40°－10°）＋i sin （40°－10°）＝ cos 30°＋i sin 30°＝
＋ i.
＋ i
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9. 把复数z1＝3－ i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转 所得向量
对应的复数z2＝ .
解析：由题意得z2＝（3－ i）［ cos ＋i sin ］＝（3
－ i） ＝－2 i.
－2 i　
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10. 计算：
（1）（ ＋i） ；
解：∵ ＋i＝2 ，
－ cos －i sin ＝ cos ＋i sin ，
∴原式＝
＝2
＝2 ＝－ － i.
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（2）（－ cos ＋i sin ）·［－ （ cos ＋i sin ）］；
解：原式＝ ·
＝ .
i
（3） .
解： ＝
＝4 ＋ ＝4 ＝2 －2 i.
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11. （多选）下列所给复数中，辐角主值是 的复数是（　　）
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解析：　若arg z＝ ，则复数在复平面内对应的点必在第二象
限，C不正确；选项A，－ ＋i＝2（－ ＋ i）＝2（ cos ＋i
sin ），A正确；选项B，－3＋ i＝2 ＝2
（ cos ＋i sin ），B正确；选项D，－2＋2 i＝4（－ ＋
i）＝4（ cos ＋i sin ），D不正确.故选A、B.
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12. 设z＝1＋i，则复数 的代数形式为 ，三角形式
是 .
解析：将z＝1＋i代入 ，得原式＝ ＝
＝1－i＝ .
1－i　
　
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13. 设复数z满足 ＝ ，arg ＝ ，求z的辐角主值.
解：由已知，得 ＝ ，
∴1－ ＝ ＋ i，
∴ ＝ － i，
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∴z＝ ＝
＝ ＝ （ ＋i）
＝ ＝ ，
∴z的辐角主值arg z＝ .
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14. 向量 ， 分别对应非零复数z1，z2，若 ⊥ ，则 是
（　　）
A. 负实数
B. 纯虚数
C. 正实数
D. 虚数a＋bi（a，b∈R，a≠0）
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解析：　设复数z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（ cos θ2
＋i sin θ2），由于 ⊥ ，所以 ＝ ＝
[ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）]＝ [ cos （±90°）＋i
sin （±90°）]＝± i，即 为纯虚数.故选B.
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15. 已知z＝ cos θ－ sin θ＋ ＋i（ cos θ＋ sin θ）.
（1）当θ为何值时，｜z｜取得最大值，并求此最大值；
解：｜z｜＝
＝ ＝2 .
所以当 cos ＝1，即θ＝2kπ－ （k∈Z）时，
｜z｜取最大值2 .
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（2）若θ∈（π，2π），求arg z（用θ表示）.
解：设arg z＝α，
由z＝ cos θ－ sin θ＋ ＋i（ cos θ＋ sin θ）
＝ ，
所以tan α＝ ＝tan .
因为θ∈（π，2π），
所以z的实部为 ＞0，
z的虚部为 sin .
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当θ∈ 时， sin ＜0，
z所对应的点位于第四象限，
由于 ＜ ＋ ＜π，
所以arg z＝α＝ ＋π＝ ＋ .
当θ∈ 时， sin ≥0，
z所对应的点位于第一象限（或x轴非负半轴），
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