资源简介

章末检测（十）　复数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝（　　）
A.8i　　　　　　　　　B.6
C.6＋8i D.6－8i
2.复数z＝2i－3的共轭复数是（　　）
A.＝－3＋2i B.＝2i＋3
C.＝－2i＋3 D.＝－2i－3
3.若（m2－3m－4）＋（m2－5m－6）i是纯虚数，则实数m的值为（　　）
A.－1 B.4
C.－1或4 D.不存在
4.设2（z＋）＋3（z－）＝4＋6i，则z＝（　　）
A.1－2i B.1＋2i
C.1＋i D.1－i
5.若复数z1＝3－i，z2＝1＋i，则z1·z2在复平面内对应的点位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝（　　）
A.1＋2i B.2－2i
C.2＋i D.2－i
7.如果复数z满足｜z＋i｜＋｜z－i｜＝2，那么｜z＋1＋i｜的最小值是（　　）
A.1 B.
C.2 D.
8.已知z∈C，且｜z｜＝1，则复数（　　）
A.是实数
B.是虚数但不一定是纯虚数
C.是纯虚数
D.可能是实数也可能是虚数
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知复数z＝－1＋i（i为虚数单位），为z的共轭复数，若复数ω＝，则下列结论正确的是（　　）
A.ω在复平面内对应的点位于第二象限
B.｜ω｜＝1
C.ω的实部为－
D.ω的虚部为i
10.对于两个复数α＝－＋i，β＝－－i，下列四个结论中正确的是（　　）
A.αβ＝1 B.＝1
C.＝1 D.α3＋β3＝2
11.对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1，其中是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3，下列命题为真命题的是（　　）
A.（z1＋z2）*z3＝（z1*z3）＋（z2*z3）
B.z1*（z2＋z3）＝（z1*z2）＋（z1*z3）
C.（z1*z2）*z3＝z1*（z2*z3）
D.z1*z2＝z2*z1
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.若复数z满足z（1＋i）＝2，则z的实部是　　　　.
13.在复平面内，已知复数z＝x－i所对应的点都在单位圆内，则实数x的取值范围是　　　　.
14.若（1＋ai）2＝－1＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），则｜a＋bi｜＝　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）计算下列各式：
（1）＋；
（2）＋.
16.（本小题满分15分）在①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
已知复数z＝（m2－m－2）＋（m2－1）i.
（1）若　　　　，求实数m的值；
（2）当z在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
17.（本小题满分15分）在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.
（1）求，，对应的复数；
（2）判断△ABC的形状；
（3）求△ABC的面积.
18.（本小题满分17分）已知复数z＝＋1＋i，i为虚数单位.
（1）求；
（2）若复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根，求实数m，n的值；
（3）若＝r（cos θ＋isin θ），其中r＞0，θ∈[0，2π），求r，θ的值.
19.（本小题满分17分）已知z∈C，z1＝z＋2i，z2＝.
（1）若z1，z2都是实数，求复数z；
（2）在（1）的条件下，若复数（z＋ai）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a取值范围；
（3）若z1是纯虚数，且｜z1－z2｜＝，求｜z1＋z2｜.
章末检测（十）　复数
1.B　z1＋z2＝（3＋4i）＋（3－4i）＝（3＋3）＋（4－4）i＝6.故选B.
2.D　z＝a＋bi（a，b∈R）的共轭复数为＝a－bi.故选D.
3.B　由题意知解得m＝4，故选B.
4.C　设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，代入2（z＋）＋3（z－）＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故选C.
5.A　z1·z2＝（3－i）·（1＋i）＝4＋2i，所以z1·z2在复平面内对应的点位于第一象限.
6.C　＝＝－i＝1－ni，所以
解得故m＋ni＝2＋i.
7.A　∵｜z＋i｜＋｜z－i｜＝2，∴点Z在以（0，1）和（0，－1）为端点的线段上，｜z＋1＋i｜表示点Z到（－1，－1）的距离.由数形结合（图略）知最小值为1.
8.A　法一　∵｜z｜＝1，∴设z＝a＋bi（a，b∈R，且a2＋b2＝1），∴＝＝＝＝＝＝2a∈R.
法二　∵｜z｜＝1，∴z＝1，∴＝＝z＋∈R.
9.ABC　∵z＝－1＋i，∴＝－1－i，∴ω＝＝＝－＋i.故A、B、C三个选项正确.
10.ACD　αβ＝＝＋＝1，≠1，＝＝1，α3＋β3＝＋＝1＋1＝2，故选A、C、D.
11.AB　对于A，（z1＋z2）*z3＝（z1＋z2）＝z1＋z2＝（z1*z3）＋（z2*z3），则A为真命题；对于B，z1*（z2＋z3）＝z1（）＝z1＋z1＝（z1*z2）＋（z1*z3），则B为真命题；对于C，（z1*z2）*z3＝（z1）＝z1，而z1*（z2*z3）＝z1*（z2）＝z1z3，则C为假命题；对于D，z1*z2＝z1，而z2*z1＝z2，则D为假命题.故选A、B.
12.1　解析：z＝＝＝1－i，
故z的实部是1.
13.　解析：∵z对应的点Z都在单位圆内，
∴｜｜＜1，即 ＜1，
∴x2＋＜1，∴x2＜，
∴－＜x＜.
14.　解析：∵（1＋ai）2＝－1＋bi，
∴1－a2＋2ai＝－1＋bi，
∴
∴或
∴｜a＋bi｜＝＝＝.
15.解：（1）＋＝＋＝＝－1.
（2）＋
＝＋
＝·＋
＝i＋i＝2i.
16.解：（1）选择①，当z为实数时，有m2－1＝0，
解得m＝－1或m＝1.
选择②，当z为虚数时，有m2－1≠0，
解得m≠－1且m≠1.
选择③，当z为纯虚数时，有
解得
所以m＝2.
（2）因为z在复平面内对应的点位于第三象限，
所以
解得－1＜m＜1，
所以m的取值范围为（－1，1）.
17.解：（1）∵A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.
∴复平面内A，B，C对应的点坐标分别为（1，0）（2，1），（－1，2），∴＝（2，1）－（1，0）＝（1，1），
＝（－1，2）－（2，1）＝（－3，1），
＝（－1，2）－（1，0）＝（－2，2）.
∴，，对应的复数分别为1＋i，－3＋i，－2＋2i.
（2）∵｜｜＝，｜｜＝，｜｜＝2，
∴｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，
∴△ABC为直角三角形.
（3）S△ABC＝｜｜｜｜＝××2＝2.
18.解：（1）z＝＋1＋i＝＋1＋i＝＋1＋i＝1－2i＋1＋i＝2－i，
所以＝2＋i.
（2）法一　因为复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根，
所以（2－i）2＋m（2－i）＋n＝0，
可得4－4i＋i2＋2m－mi＋n＝0，即（3＋2m＋n）－（m＋4）i＝0，
所以解得m＝－4，n＝5.
法二　若复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则是该方程的另一个根，
由根与系数的关系得2＋i＋（2－i）＝－m，（2＋i）·（2－i）＝n，
解得m＝－4，n＝5.
（3）＝＝＝＝－i＝（－i）＝（cos ＋isin ），
所以r＝，θ＝.
19.解：（1）设复数z＝a＋bi（a，b∈R）.
则z1＝z＋2i＝a＋（b＋2）i，
z2＝＝＝
＝＝＋i，
∵z1，z2都是实数，∴
解得
∴z＝4－2i.
（2）∵复数（z＋ai）2＝[4＋（a－2）i]2＝16－（a－2）2＋8（a－2）i＝12－a2＋4a＋8（a－2）i在复平面上对应的点在第四象限，
∴
解得－2＜a＜2.
（3）∵z1是纯虚数，可设z＝mi（m∈R），
z1＝（m＋2）i（m＋2≠0），
z2＝＝＝＝－＋i.
∵｜z1－z2｜＝，∴＝，
∴＝，
化为m2＋6m＋5＝0，
解得m＝－1或－5.
当m＝－1时，z1＝i，z2＝－i，
则｜z1＋z2｜＝＝＝.
当m＝－5时，z1＝－3i，z2＝1－2i，
则｜z1＋z2｜＝｜1－5i｜＝.
3 / 3(共34张PPT)
章末检测（十）　复数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝（　　）
A. 8i B. 6
C. 6＋8i D. 6－8i
解析：　z1＋z2＝（3＋4i）＋（3－4i）＝（3＋3）＋（4－4）i
＝6.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2. 复数z＝2i－3的共轭复数是（　　）
解析：z＝a＋bi（a，b∈R）的共轭复数为 ＝a－bi.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
3. 若（m2－3m－4）＋（m2－5m－6）i是纯虚数，则实数m的值为
（　　）
A. －1 B. 4
C. －1或4 D. 不存在
解析：　由题意知解得m＝4，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
4. 设2（z＋ ）＋3（z－ ）＝4＋6i，则z＝（　　）
A. 1－2i B. 1＋2i
C. 1＋i D. 1－i
解析：　设z＝a＋bi（a，b∈R），则 ＝a－bi，代入2（z
＋ ）＋3（z－ ）＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b
＝1，故z＝1＋i.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
5. 若复数z1＝3－i，z2＝1＋i，则z1·z2在复平面内对应的点位于（　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　z1·z2＝（3－i）·（1＋i）＝4＋2i，所以z1·z2在复平面内
对应的点位于第一象限.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
6. 已知 ＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝
（　　）
A. 1＋2i B. 2－2i
C. 2＋i D. 2－i
解析：　 ＝ ＝ － i＝1－ni，
所以解得故m＋ni＝2＋i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
7. 如果复数z满足｜z＋i｜＋｜z－i｜＝2，那么｜z＋1＋i｜的最小
值是（　　）
A. 1
C. 2
解析：　∵｜z＋i｜＋｜z－i｜＝2，∴点Z在以（0，1）和
（0，－1）为端点的线段上，｜z＋1＋i｜表示点Z到（－1，－
1）的距离.由数形结合（图略）知最小值为1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
8. 已知z∈C，且｜z｜＝1，则复数 （　　）
A. 是实数
B. 是虚数但不一定是纯虚数
C. 是纯虚数
D. 可能是实数也可能是虚数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析：　法一　∵｜z｜＝1，∴设z＝a＋bi（a，b∈R，且a2
＋b2＝1），∴ ＝ ＝ ＝
＝ ＝ ＝2a∈R.
法二　∵｜z｜＝1，∴z ＝1，∴ ＝ ＝z＋ ∈R.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知复数z＝－1＋ i（i为虚数单位）， 为z的共轭复数，若复
数ω＝ ，则下列结论正确的是（　　）
A. ω在复平面内对应的点位于第二象限
B. ｜ω｜＝1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析：　∵z＝－1＋ i，∴ ＝－1－ i，∴ω＝ ＝
＝－ ＋ i.故A、B、C三个选项正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
10. 对于两个复数α＝－ ＋ i，β＝－ － i，下列四个结论中正
确的是（　　）
A. αβ＝1
D. α3＋β3＝2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析：　αβ＝ ＝ ＋ ＝1，
≠1， ＝ ＝1，α3＋β3＝ ＋ ＝1
＋1＝2，故选A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
11. 对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1 ，其中 是ω2的共轭复
数，对任意复数z1，z2，z3，下列命题为真命题的是（　　）
A. （z1＋z2）*z3＝（z1*z3）＋（z2*z3）
B. z1*（z2＋z3）＝（z1*z2）＋（z1*z3）
C. （z1*z2）*z3＝z1*（z2*z3）
D. z1*z2＝z2*z1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析：　对于A，（z1＋z2）*z3＝（z1＋z2） ＝z1 ＋z2
＝（z1*z3）＋（z2*z3），则A为真命题；对于B，z1*（z2＋z3）
＝z1（ ）＝z1 ＋z1 ＝（z1*z2）＋（z1*z3），则B为真
命题；对于C，（z1*z2）*z3＝（z1 ） ＝z1 ，而z1*
（z2*z3）＝z1*（z2 ）＝z1 z3，则C为假命题；对于D，z1*z2
＝z1 ，而z2*z1＝z2 ，则D为假命题.故选A、B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中
横线上）
12. 若复数z满足z（1＋i）＝2，则z的实部是 .
解析：z＝ ＝ ＝1－i，故z的实部是1.
1　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
13. 在复平面内，已知复数z＝x－ i所对应的点都在单位圆内，则实
数x的取值范围是 .
解析：∵z对应的点Z 都在单位圆内，∴｜ ｜＜1，即
＜1，∴x2＋ ＜1，∴x2＜ ，∴－ ＜x＜ .
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
14. 若（1＋ai）2＝－1＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），则｜a＋
bi｜＝ .
解析：∵（1＋ai）2＝－1＋bi，∴1－a2＋2ai＝－1＋bi，
∴∴或∴｜a＋bi｜＝
＝ ＝ .
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）计算下列各式：
（1） ＋ ；
解： ＋ ＝ ＋ ＝ ＝－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2） ＋ .
解： ＋ ＝ ＋ ＝
· ＋ ＝i＋i＝2i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
16. （本小题满分15分）在①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数，
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
已知复数z＝（m2－m－2）＋（m2－1）i.
（1）若 　　　　，求实数m的值；
（2）当z在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范
围.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：（1）选择①，当z为实数时，有m2－1＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解得m＝－1或m＝1.
选择②，当z为虚数时，有m2－1≠0，解得m≠－1且
m≠1.
选择③，当z为纯虚数时，有
解得所以m＝2.
（2）因为z在复平面内对应的点位于第三象限，
所以解得－1＜m＜1，
所以m的取值范围为（－1，1）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
17. （本小题满分15分）在复平面内A，B，C三点对应的复数分别
为1，2＋i，－1＋2i.
（1）求 ， ， 对应的复数；
解：∵A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1
＋2i.∴复平面内A，B，C对应的点坐标分别为（1，0）
（2，1），（－1，2），∴ ＝（2，1）－（1，0）＝（1，1），
＝（－1，2）－（2，1）＝（－3，1），
＝（－1，2）－（1，0）＝（－2，2）.
∴ ， ， 对应的复数分别为1＋i，－3＋i，－2＋2i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）判断△ABC的形状；
解：∵｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，｜ ｜＝2 ，
∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，∴△ABC为直角三角形.
（3）求△ABC的面积.
解：S△ABC＝ ｜ ｜｜ ｜＝ × ×2 ＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
18. （本小题满分17分）已知复数z＝ ＋1＋i，i为虚数单位.
（1）求 ；
解：z＝ ＋1＋i＝ ＋1＋i＝
＋1＋i＝1－2i＋1＋i＝2－i，
所以 ＝2＋i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）若复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根，求实数
m，n的值；
解：法一　因为复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一
个根，
所以（2－i）2＋m（2－i）＋n＝0，
可得4－4i＋i2＋2m－mi＋n＝0，即（3＋2m＋n）－（m
＋4）i＝0，
所以解得m＝－4，n＝5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
法二　若复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则 是该方
程的另一个根，
由根与系数的关系得2＋i＋（2－i）＝－m，（2＋i）·（2－i）＝n，
解得m＝－4，n＝5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（3）若 ＝r（ cos θ＋i sin θ），其中r＞0，θ∈[0，
2π），求r，θ的值.
解： ＝ ＝ ＝ ＝ － i＝ （ － i）＝
（ cos ＋i sin ），
所以r＝ ，θ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
19. （本小题满分17分）已知z∈C，z1＝z＋2i，z2＝ .
（1）若z1，z2都是实数，求复数z；
解：设复数z＝a＋bi（a，b∈R）.
则z1＝z＋2i＝a＋（b＋2）i，z2＝ ＝ ＝
＝ ＝ ＋ i，
∵z1，z2都是实数，∴
解得∴z＝4－2i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）在（1）的条件下，若复数（z＋ai）2在复平面上对应的点
在第四象限，求实数a取值范围；
解：∵复数（z＋ai）2＝[4＋（a－2）i]2＝16－（a
－2）2＋8（a－2）i＝12－a2＋4a＋8（a－2）i在复平面
上对应的点在第四象限，∴解得－2
＜a＜2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（3）若z1是纯虚数，且｜z1－z2｜＝ ，求｜z1＋z2｜.
解：∵z1是纯虚数，可设z＝mi（m∈R），
z1＝（m＋2）i（m＋2≠0），
z2＝ ＝ ＝ ＝－ ＋ i.
∵｜z1－z2｜＝ ，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
化为m2＋6m＋5＝0，解得m＝－1或－5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
当m＝－1时，z1＝i，z2＝ － i，
则｜z1＋z2｜＝ ＝ ＝ .
当m＝－5时，z1＝－3i，z2＝1－2i，
则｜z1＋z2｜＝｜1－5i｜＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
谢 谢 观 看！

展开更多......

收起↑