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2024-2025 学年广东省东莞市松山湖北区学校八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.若 2在实数范围内有意义，则 的取值范围为( )
A. ≥ 2 B. ≤ 2 C. > 2 D. ≥ 0
2.某服装品牌店试销一种新款女装，试销期间销售情况如表：
衣服的尺码
销售量/件 3 12 8 4
下次该店主进货最多的尺码应为( )
A. B. C. D.
3.如图，一个圆锥的高 = 1，底面半径 = 1，则 长为( )
A. 1 B. 2
C. 2 D. 3
4.为更好地学习贯彻第十四届全国人大会议的精神，学校举办了“牢记使命担当，奋进新时代”知识竞赛，
某班参赛的 5 名同学的成绩(单位：分)分别为：85，84，82，90，88.则这组数据的中位数是( )
A. 82 B. 84 C. 85 D. 90
5.如图，在 △ 中，∠ = 90°，点 是斜边 的中点.若 = 4，则 的长为( )
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
6.下列计算正确的是( )
A. 2 + 5 = 7 B. 2 3 3 = 2 C. 2 × 3 = 6 D. 6 ÷ 2 = 3
7.如图，已知点 ， ， ， 分别是菱形 各边的中点，则四边形 是( )
A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.平行四边形
8.如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，得到四边形 ， ， 相交于点 .下列结论不一定
成立的是( )
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A. ⊥
B. ∠ = ∠
C. =
D. =
9.关于一次函数 = 2 + 1，下列结论正确的是( )
A.图象过点( 1, 3) B.当 > 0 时，总有 < 1
C.图象不经过第四象限 D. 随 的增大而增大
10.如图，已知正方形 ，以 为边作等边三角形 ，则∠ 的度数为( )
A. 15°
B. 75°
C. 15°或 150°
D. 15°或 75°
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
11.( 2)2 =______．
12.请写出“两直线平行，同位角相等”的逆命题：______
13.已知点( 4, 1)，(2, 2)都在直线 = 3 1 上，则 1______ 2. (填
“>”“<”或“=”)
14.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧，小美
家有如图 1 的中国结装饰，其主体部分可抽象成如图 2 所示的菱形 ，
测得 = 8 ， = 6 ，则该菱形的面积为______ 2．
15.如图 1，点 从△ 的顶点 出发，以 1 / 的速度沿 → → → 在三角形的边上运动.设运动的时
间为 ，点 与点 之间的距离为 ， 与 的函数关系图象如图 2 所示，其中 是曲线部分的最低点，则
= ______ ．
三、解答题：本题共 10 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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16.(本小题 5 分)
1
计算： 3 × 6 2 2 + ( 1)
2．
17.(本小题 5 分)
如图，网格中每一个小正方形的边长为 1．
(1)计算：若正方形 面积与图中阴影部分面积相等，则正方形 的边长为______；
(2)实践操作：请你在网格中画出满足题(1)条件的正方形 ，并使点 ， ， ， 均落在格点上．
18.(本小题 7 分)
已知：如图，在平行四边形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 = ．
(1)若∠ = 70°，求∠ 的度数；
(2)求证：四边形 是平行四边形．
19.(本小题 7 分)
东莞是全国闻名的荔枝之乡，荔枝已成为东莞种植面积最大、品种最鲜明、区域优势最明显的水果.为了解①
号、②号两个品种荔枝的年产量( /株)情况，在某荔枝种植基地随机抽取①号、②号两个品种荔枝各 20
株进行调查，下面给出了部分信息：
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抽取的①号、②号品种荔枝年产量的统计表：
品种 平均数 方差
①号 70
②号 27
(1)填空： =______， =______；
(2)根据图表中的数据，若只考虑荔枝的年产量，你认为果农应扩大几号品种荔枝的种植面积？为什么？
20.(本小题 7 分)
某数学兴趣小组开展测量旗杆高度的实践活动，得到以下测量素材(旗杆，绳子粗细忽略不计)：
【素材一】如图 1，旗杆上的绳子垂到地面，并多出了 2 米；
【素材二】如图 2，把绳子拉开拉直，让绳子下端刚好固定在地面点 处，此时，旗杆底部 点与 点距离为
6 米．
(1)请你根据测量素材一和素材二，计算旗杆 的高度；
(2)如图 3，若小明举高手拉直绳子，此时绳子下端位置 点到地面的距离 为 2 米，这时小明距离旗杆多
远？
21.(本小题 8 分)
数学实践小组为了研究向上整齐叠放的一摞碗的总高度 (单位： )随着碗的数量 (单位：个)的变化规律，
从食堂取来一摞碗进行测量，如表是小组成员测量得到的数据：
1 2 3 4
9 11 13 15
(1)分别以碗的数量和一摞碗的总高度为 ， 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系，请在平面直角坐标系中
描出相应的点( , )，并依次标上字母 ， ， ， ；
(2)张华观察描出四个点的分布规律后，猜想这四个点都在同一条直线上.请你运用一次函数的知识验证张华
的猜想；
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(3)食堂摆放碗的餐具柜每一层的高度为 30 ，要使每一摞向上整齐叠放的碗都能顺利放进柜子，每一摞
最多能叠放几个碗？
22.(本小题 8 分)
科代表小明发现有同学常出现类似“ 3 + 7 = 10”的错误计算.小明深知不能简单强调“不是同类二
次根式不能合并”，而是要同学们深刻理解 + 与 + ( ≥ 0, ≥ 0)的大小关系才能解决这个问题.
他与几位同学讨论后，选择了“从特殊到一般”“转化”数学思想作为问题解决的思路，具体如下：
【知识再现】一般地，已知两个正数 和 ，如果 ≥ ，那么 ≥ ，反之，如果 ≥ ，那么 ≥ ．
【知识应用】(1) ∵ ( 3 + 7)2 =______，( 3 + 7)2 =______，(分别计算)
∴ ( 3 + 7)2______( 3 + 7)2. (填“>”“<”“=”“≥”或“≤”)
又∵ 3 + 7 > 0， 3 + 7 > 0，
∴ 3 + 7______ 3 + 7. (填“>”“<”“=”“≥”或“≤”)
【猜想证明】(2)判断 + 与 + ( ≥ 0, ≥ 0)的大小关系，并证明．
【拓展应用】(3)为了更好开展劳动教育，学校计划将农场用篱笆重新分区.将原来面积为 10 平方米的正方
形地块的篱笆收集下来(不考虑损耗)，这些篱笆______(填“刚刚好”“尚不足”或“有富余”)围成两个面
积和为 10 平方米的正方形地块．
23.(本小题 8 分)
《几何原本》中提供了一种证明勾股定理的方法．
已知：如图， △ 中，∠ = 90°， = ， = ， = ．
求证： 2 + 2 = 2．
证明思路如下：
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【步骤一】分别以 ， ， 为边长向外作正方形 ， ， ，连接 ， .可证△ ≌△ ；
【步骤二】过点 作 ⊥ ，交 于点 ，由 // ，易得矩形 与△ 面积之间的数量关系，
同理也可得正方形 与△ 面积之间的数量关系；
【步骤三】证明 2矩形 = ；
【步骤四】同理可证， 2矩形 = ．
所以 正方形 = 矩形 + 矩形 ，
又因为 2正方形 = ，
所以 2 + 2 = 2．
(1)请写出【步骤一】中证明△ ≌△ 的过程；
(2)请直接写出【步骤二】中矩形 与△ ，正方形 与△ 面积之间的数量关系；
(3)请写出【步骤三】中证明 2矩形 = 的过程．
24.(本小题 10 分)
如图 1，在正方形 中， = 2，点 为 边上的动点(点 与点 不重合)，把△ 沿直线 翻折，得
到△ ′ ，延长 ′交 于点 ，连接 ．
(1)①求∠ 的度数；
②若点 是 的中点，求 的长．
(2)如图 2，过点 作 ⊥ ，与 的延长线交于点 ，连接 .求 的最小值．
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25.(本小题 10 分)
如图 1，在平面直角坐标系中，直线 1： = + 与直线 2： = 1 交于点 (1,2)，直线 1与 轴，
轴分别交于点 ， ．
(1)求 和 的值；
(2)如图 2，点 ( ,0)( ≠ 1)是 轴上的动点，过点 作垂直于 轴的直线，分别与直线 1和 2交于 ， 两点，
过点 作 // 轴，交直线 2于点 ，以 ， 为边作矩形 ．
> 1 ①连接 ，当 时，试判断 △ 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；△
②当动点 在 轴上运动时，发现顶点 始终落在一条直线上，请直接写出该直线的函数解析式．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.2
12.同位角相等，两直线平行
13.<
14.24
15.21
16.解：原式= 3 × 3 × 2 2 + 1
= 3 2 2 + 1
= 2 2 + 1．
17.(1)正方形 的面积为 5，边长为 5．
故答案为： 5；
(2)如图，正方形 即为所求．
18.(1)解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = 70°，
∴ ∠ = 70°，
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∴ ∠ 的度数是 70°．
(2)证明：∵ // ，点 ， 分别在边 ， 上，
∴ // ，
∵ = ， = ，
∴ = ，
∴ = ，
∴四边形 是平行四边形．
19.(1) 1①号的方差 = 2 220 × [4 × (67 70) + 5 × (68 70) + 5 × (70 70)
2 + 4 × (73 70)2 + 2 ×
(75 70)2] = 7.1，
2×67+4×68+4×70+6×73+4×75
②号的平均数 = 20 = 71.2，
故答案为：7.1，71.2；
(2)果农应扩大②号品种荔枝的种植面积，理由：
因为②号的平均数比①号的平均数大，所以若只考虑荔枝的年产量，你认为果农应扩大②品种荔枝的种植
面积．
20.(1)设旗杆 的高度为 米，
根据题意得 2 + 62 = ( + 2)2，
解得 = 8，
答：旗杆 的高度为 6 米；
(2)过 作 ⊥ 于 ，
则 = ， = = 2 米，
∴ = 8 2 = 6(米)，
∵ 2 + 2 = 2，
∴ 62 + 2 = 102，
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∴ = 8，
答：小明距离旗杆有 8 米远．
21.(1)描点如图所示：
(2)设 与 的函数关系式为 = + ( 、 为常数，且 ≠ 0)，
将坐标 (1,9)和 (2,11)分别代入 = + ，
+ = 9
得 2 + = 11，
= 2
解得 = 7，
∴ 与 的函数关系式为 = 2 + 7，
当 = 1 时， = 2 × 1 + 7 = 9，
当 = 2 时， = 2 × 2 + 7 = 11，
当 = 3 时， = 2 × 3 + 7 = 13，
当 = 4 时， = 2 × 4 + 7 = 15，
∴这四个点都在同一条直线 = 2 + 7 上．
(3)根据题意，得 ≤ 30，即 2 + 7 ≤ 30，
1
解得 ≤ 11 2，
∵ 为非负整数，
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∴ 的最大值为 11，
∴每一摞最多能叠放 11 个碗．
22.(1) ∵ ( 3 + 7)2 = 10 + 2 21，( 3 + 7)2 = 10，
∴ ( 3 + 7)2 > ( 3 + 7)2．
又∵ 3 + 7 > 0， 3 + 7 > 0，
∴ 3 + 7 > 3 + 7．
故答案为：10 + 2 21；10；>；>．
(2) + ≥ + ( ≥ 0, ≥ 0)．
由题意得，( + )2 = + + 2 ，( + )2 = + ，
∵ + + 2 = 2 ≥ 0，
∴ ( + )2 ( + )2 ≥ 0．
∴ ( + )2 ≥ ( + )2．
∵， + ≥ 0， + ≥ 0，
∴ + ≥ + ．
(3)由题意，∵原正方形的面积为 10 平方米，
∴边长为 10米，篱笆总长为 4 10米．
设两个小正方形的面积分别为 平方米和(10 )平方米，
∴小正方形的边长为 米和 10 米．
∵ > 0， 10 > 0，
∴根据(2)的结论可得， + 10 > 10．
∴ 4( + 10 ) > 4 10．
∴这些篱笆尚不足围成两个面积和为 10 平方米的正方形地块．
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23.(1)证明：∵四边形 是正方形，四边形 是正方形，
∴ = ， = ，∠ = ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
在△ 与△ 中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )；
(2) 1解：∵矩形 的面积= ，△ 的面积= 2 ，正方形 的面积=
2，△ 面
1
积= 2 =
1
2
2，
∴矩形 的面积= 2 △ 的面积，正方形 的面积= 2 △ 面积；
(3)证明：过 作 ⊥ 交 的延长线于 ，
则∠ + ∠∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ = 90°， = ，
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∴△ ≌△ ，
∴ = = ，
∴ 1 1 1 2△ = 2 = 2 = 2 ，
∴ 2矩形 = ．
24.(1)① ∵四边形 是正方形，
∴ = ，∠ = ∠ = ∠ = 90°，
∵把△ 沿直线 翻折，得到△ ′ ，
∴ = ′，∠ = ∠ ′ = 90° = ∠ ′ ，∠ = ∠ ′ ，
∴ = ′，
在 △ 和△ △ ′ 中，
= ′，
=
∴ △ ≌△ △ ′ ( )，
∴ ∠ ′ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = ∠ ′ + ∠ ′ ，
∵ (∠ + ∠ ) + (∠ ′ + ∠ ′ ) = ∠ = 90°，
∴ ∠ ′ + ∠ ′ = 45°，即∠ = 45°；
②设 = ，则 = 2 ，
由①知， △ ≌△ △ ′ ( )，
∴ ′ = = ，
∵ 为 中点，
∴ = = 12 = 1，
∵把△ 沿直线 翻折，得到△ ′ ，
∴ ′ = = 1，
∴ = ′ + ′ = 1 + ，
∵ ∠ = 90°，
∴ 2 + 2 = 2，
∴ 12 + (2 )2 = (1 + )2，
解得 = 23，
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∴ 2的长为3；
(2)以 为原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系，过 作 ⊥ 轴于 ，如图：
设 = ，
∵正方形 边长为 2，
∴ (2,2)，
由(1)①可知，∠ = 45°，
∵ ⊥ ，
∴△ 是等腰直角三角形，
∴ ∠ = 90°， = ，
∴ ∠ = 90° ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ = 90°，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = = ， = = 2，
∴ = + = + 2，
∴ ( + 2, )，
∴ = ( + 2 2)2 + ( 2)2 = 2( 1)2 + 2，
∴当 = 1 时， 最小值为 2．
25.(1)将 (1,2)代入 = + ，
∴ 1 + = 2，
解得 = 3，
将 (1,2)代入 = 1，
∴ 1 = 2，
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解得 = 3；
(2) ① △ 是定值 3，理由如下：△
由题(1)可得 = + 3， = 3 1，
∴ ( , + 3)， ( , 3 1)， ( 13 +
4 1 4
3 , + 3)， ( 3 + 3 , 3 1)，
1
△ 2×( +
1
3
4
∴ = 3
)(3 1 2)
1 = 3；△ 2×(3 1+ 3)(1+
1 43 3)
(3)令 = 1 43 + 3， = 3 1，
∴ = 9 + 11，
∴ 点在直线 = 9 + 11 上．
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