资源简介

11.1.1　空间几何体与斜二测画法
1.如图所示，平行四边形A'B'C'D'为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为（　　）
A.平行四边形 B.梯形
C.菱形 D.矩形
2.下面选项中边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是（　　）
3.已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起（底面平行于水平面），其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为（　　）
A.2 cm B.3 cm
C.2.5 cm D.5 cm
4.已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B'O'＝C'O'＝1，A'O'＝，那么在△ABC中，∠ABC的大小是（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
5.如图，正方形O'A'B'C'的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（　　）
A.8 cm B.6 cm
C.2（1＋）cm D.2（1＋）cm
6.（多选）如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D'为B'C'的中点，且A'D'∥y'轴，B'C'∥x'轴，那么在原平面图形ABC中（　　）
A.AB与AC相等
B.AD的长度大于AC的长度
C.AB的长度大于AD的长度
D.BC的长度大于AD的长度
7.关于斜二测画法，下列说法不正确的是　　　.
①原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x'轴，长度不变；
②原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y'轴，长度变为原来的；
③画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时，∠x'O'y'必须是45°；
④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同.
8.利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形.
以上结论中，正确的是　　　　（填序号）.
9.已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为　　　　.
10.如图，四边形A'B'C'D'是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积.
11.（多选）如图所示，用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图，得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（　　）
A.AB＝2BC
B.AD⊥BC
C.AC＞AD＞AB＞BC
D.AC＞AD＞AB＝BC
12.如图，在直观图中，四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为　　　（填形状），面积为　　　　cm2.
13.如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图.
14.若用“斜二测画法”作出边长为2的正三角形ABC的直观图是△A1B1C1，则△A1B1C1的重心G1到底边A1B1的距离是　　　　.
15.一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图.
11.1.1　空间几何体与斜二测画法
1.D　因为∠D'A'B'＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A'B'C'D'为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.
2.C　可分别画出各组图形的直观图（图略），观察可得C中正△ABC的直观图不是全等三角形，故选C.
3.D　圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间的距离为2＋3＝5（cm），在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.故选D.
4.C　根据斜二测画法，可知在△ABC中，BC＝2，AO＝，AO⊥BC，∴AB＝AC＝＝2，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.
5.A　原图形OABC为平行四边形，如图.OA＝1，AB＝＝3，∴四边形OABC周长为8 cm.
6.AC　根据斜二测画法的直观图，还原几何图形，首先建立平面直角坐标系xOy，BC∥x轴，并且BC＝B'C'，点D是BC的中点，并且作AD∥y轴，即AD⊥BC，且AD＝2A'D'，连接AB，AC，所以△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AB的长度大于AD的长度，由图可知BC＝B'C'，AD＝2A'D'，由图观察，A'D'＞B'C'，所以B'C'＜2A'D'，即BC＜AD.故选A、C.
7.③　解析：画与直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时，∠x'O'y'也可以是135°.
8.①②　解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.
9.9　解析：由题意，易知在△ABC中，AC⊥AB，
且AC＝6，AB＝3.
∴S△ABC＝×6×3＝9.
10.解：由已知中四边形A'B'C'D'是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示，这是一个底边长为2，高为的平行四边形.故原图形的面积为2.
11.AC　由直观图画出△ABC如图所示.其中AB＝2BC，∠ABC＝90°，所以AC＞AD＞AB＞BC.故选A、C.
12.矩形　8　解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8（cm2）.
13.解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示.
14.　解析：如图为正三角形ABC的直观图△A1B1C1，G1F为重心G1到底边A1B1的距离，则O1C1＝2××＝，∵G1为△A1B1C1的重心，∴O1G1＝O1C1＝，∴G1F＝O1G1sin 45°＝×＝.
15.解：（1）如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画圆柱的两底面的直观图.在xOy平面上画出底面圆O的直观图，使AB为3 cm，CD为1.5 cm，在z轴上截取OO'，使OO'＝3 cm，过O'作Ox的平行线O'x'，Oy的平行线O'y'，在x'O'y'平面上画出底面圆O'的直观图，使A'B'＝3 cm，C'D'＝1.5 cm.
（3）画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO'等于圆锥的高3 cm.
（4）成图.连接A'A，B'B，PA'，PB'，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体（机器部件）的直观图，如图②.
2 / 311.1.1　空间几何体与斜二测画法
新课程标准解读 核心素养
1.认识实际生活中各种各样的几何体 数学抽象
2.掌握斜二测画法的作图规则 直观想象
3.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图 直观想象
　　图中的国家游泳中心（又称“水立方”）可以抽象成一个几何体——长方体.
【问题】　你能画出一个长方体吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　空间几何体
1.定义：如果只考虑一个物体占有的空间　　　　　和　　　　　，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.
2.常见空间几何体：
知识点二　用斜二测画法作平面图形的直观图的步骤
提醒　对斜二测画法的理解：①“斜”：把直角坐标系xOy变为斜坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°（或135°），即y'轴是斜的，反映投影线是斜的；②“二测”：平行于x轴，z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，即有“两种测度”.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变.（　　）
（2）在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.（　　）
（3）用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.（　　）
（4）用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变.（　　）
2.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的（　　）
3.下列几何体分别是　　 　　、　　 　　、　　 　　.
知识点三　用斜二测画法作立体图形的直观图的步骤
一般地，用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下：
（1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的　　　　（保留　　　与　　　）.
（2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴.过　　　与　　　的交点作z轴对应的z'轴，且z'轴垂直于　　　.图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z'轴平行（或重合）的线段，且长度　　　　，连接有关线段.
（3）擦去有关辅助线，并把　　　　　　　　改成虚线（或擦除）.
【想一想】
空间几何体的直观图中实、虚线表示什么意思？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）画空间几何体的直观图时，为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示.（　　）
（2）正方体的直观图仍然是正方体.（　　）
2.若把一个高为10 cm的棱柱的底面画在x'O'y'平面上，则棱柱的高应画成（　　）
A.平行于z'轴且大小为10 cm
B.平行于z'轴且大小为5 cm
C.与z'轴成45°且大小为10 cm
D.与z'轴成45°且大小为5 cm
题型一 平面图形直观图的画法
【例1】　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
尝试解答
通性通法
画平面图形直观图的技巧
（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；
（2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.
【跟踪训练】
用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形OBCD的直观图.
题型二 空间几何体的直观图
【例2】　画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.
尝试解答
通性通法
画空间图形直观图的原则
（1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系O-xyz，并且把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z'轴与平面x'O'y'垂直；
（2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线段，并且长度不变；
（3）平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段，且线段长度画成原来的一半；
（4）平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段，并且长度不变.
【跟踪训练】
用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.
题型三 直观图的还原与计算
【例3】　如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y'，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O'D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若本例中的条件变为：“如图所示的直角梯形是一平面图形的直观图，若∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC”，求原图形的面积.
通性通法
1.直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.
2.直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S'，则有S'＝S或S＝2S'.利用这一公式可由原图形面积直接求其直观图面积或由直观图面积直接求原图形面积.
【跟踪训练】
如图所示，△A'B'C表示水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，A'B'在x'轴上，B'C'与x'轴垂直，且B'C'＝3，则△ABC的边AB上的高为　　　　.
1.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是（　　）
A.直角三角形的直观图仍是直角三角形
B.梯形的直观图是平行四边形
C.正方形的直观图是菱形
D.平行四边形的直观图仍是平行四边形
2.如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB中OA边上的高等于（　　 ）
A.4　　　　　　　　 B.2
C.2 D.
3.如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，2），则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B'到x'轴的距离为　　　　.
11.1.1　空间几何体与斜二测画法
【基础知识·重落实】
知识点一
1.形状　大小
知识点二
45°　135°　不变　一半
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×
2.C　正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.
3.球　圆柱　圆锥
知识点三
（1）直观图　x'轴　y'轴　（2）x'轴　y'轴　x'轴　不变
（3）被面遮挡住的线段
想一想
　提示：在用斜二测画法画立体图形时，实线表示看得见的部分，虚线表示看不见（被遮挡）的部分.
自我诊断
1.（1）√　（2）×
2.A　平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.故选A.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°.
（2）以O'为中点在x'轴上取A'B'＝AB，在y'轴上取O'E'＝OE，以E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'＝CD.
（3）连接B'C'，D'A'，所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
跟踪训练
解：（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示.
（2）画出相应的x'轴、y'轴，使它们相交于O'点，且∠x'O'y'＝45°，如图②所示，在x'轴上取点B'，E'，使得O'B'＝OB，O'E'＝OE；在y'轴上取点D'，
使得O'D'＝OD；过点E'作E'C'∥y'轴，
使E'C'＝EC.
（3）连接B'C'，C'D'，并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O'B'C'D'就是所求的直观图.
【例2】　解：画法：（1）画轴.画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°（或135°），∠xOz＝90°，如图.
（2）画底面.以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
（3）画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高.
（4）成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图.
跟踪训练
解：（1）画轴.如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体ABCD-A'B'C'D'的底面ABCD（如图①）.
（3）画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'（如图①）.
（4）成图.顺次连接点A'，B'，C'，D'，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得到长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图（如图②）.
【例3】　解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O'D1＝1，OC＝O'C1＝2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形（如图）.
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝×2＝5.
母题探究
解：如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝.
而四边形AECD为矩形，AD＝1，
所以EC＝AD＝1.所以BC＝BE＋EC＝＋1.
由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形.
在原图形中，A'D'＝1，A'B'＝2，B'C'＝＋1，且A'D'∥B'C'，A'B'⊥B'C'，
所以原图形的面积为S＝（A'D'＋B'C'）·A'B'＝××2＝2＋.
跟踪训练
6　解析：作线段C'D∥y'轴，交x'轴于点D，则C'D＝＝＝3，所以边AB上的高为2C'D＝6.
随堂检测
1.D　由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确.
2.A　由题意可知，OA⊥OB，且OB＝2OB'＝4，即OA边上的高为4. 故选A.
3.　解析：画出直观图，BC对应B'C'，且B'C'＝1，∠B'C'x'＝45°，故顶点B'到x'轴的距离为.
4 / 4(共59张PPT)
11.1.1　空间几何体与斜二测画法
新课程标准解读 核心素养
1.认识实际生活中各种各样的几何体 数学抽象
2.掌握斜二测画法的作图规则 直观想象
3.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　图中的国家游泳中心（又称“水立方”）可以抽象成一个几何
体——长方体.
【问题】　你能画出一个长方体吗？




　　
知识点一　空间几何体
1. 定义：如果只考虑一个物体占有的空间 和 ，而不
考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.
2. 常见空间几何体：
形状　
大小　
知识点二　用斜二测画法作平面图形的直观图的步骤
提醒　对斜二测画法的理解：①“斜”：把直角坐标系xOy变为斜坐
标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°（或135°），即y'轴是斜的，反映投影
线是斜的；②“二测”：平行于x轴，z轴的线段长度不变，平行于y
轴的线段长度变为原来的一半，即有“两种测度”.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变.
（　×　）
（2）在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.
（　×　）
（3）用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行
于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.
（　×　）
（4）用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图
中仍平行，且长度不变. （　×　）
×
×
×
×
2. 利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中
的（　　）
解析：　正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之
比为2∶1.
3. 下列几何体分别是 、 、 .
球　
圆柱　
圆锥　
知识点三　用斜二测画法作立体图形的直观图的步骤
一般地，用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下：
（1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作
出水平平面上图形的 （保留 与 ）.
（2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴
与y轴.过 与 的交点作z轴对应的z'轴，且z'轴垂
直于 .图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z'轴平
行（或重合）的线段，且长度 ，连接有关线段.
（3）擦去有关辅助线，并把 改成虚线（或擦
除）.
直观图　
x'轴　
y'轴　
x'轴　
y'轴　
x'轴　
不变　
被面遮挡住的线段　
【想一想】
空间几何体的直观图中实、虚线表示什么意思？
提示：在用斜二测画法画立体图形时，实线表示看得见的部分，虚线
表示看不见（被遮挡）的部分.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）画空间几何体的直观图时，为了增强立体感，被挡住的部分
通常用虚线表示. （　√　）
（2）正方体的直观图仍然是正方体. （　×　）
√
×
2. 若把一个高为10 cm的棱柱的底面画在x'O'y'平面上，则棱柱的高应
画成（　　）
A. 平行于z'轴且大小为10 cm
B. 平行于z'轴且大小为5 cm
C. 与z'轴成45°且大小为10 cm
D. 与z'轴成45°且大小为5 cm
解析：　平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和
长度都与原来保持一致.故选A.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面图形直观图的画法
【例1】　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
解：画法：（1）如图所示，取
AB所在直线为x轴，AB中点O为
原点，建立直角坐标系，画对应
的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝
45°.
（2）以O'为中点在x'轴上取A'B'＝AB，在y'轴上取O'E'＝ OE，以
E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'＝CD.
（3）连接B'C'，D'A'，所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯
形ABCD的直观图.
通性通法
画平面图形直观图的技巧
（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关
键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便
于画点；
（2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不
变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它
的两个端点，然后连接成线段.
【跟踪训练】
用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形OBCD的直观图.
解：（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示.
（2）画出相应的x'轴、y'轴，使它们相交于O'点，且∠x'O'y'＝45°，
如图②所示，在x'轴上取点B'，E'，使得O'B'＝OB，O'E'＝OE；在y'
轴上取点D'，
使得O'D'＝ OD；过点E'作E'C'∥y'轴，
使E'C'＝ EC.
（3）连接B'C'，C'D'，并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O'B'C'D'就是所求的直观图.
题型二 空间几何体的直观图
【例2】　画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.
解：画法：（1）画轴.画
Ox轴，Oy轴，Oz轴，
∠xOy＝45°（或
135°），∠xOz＝90°，
如图.
（2）画底面.以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
（3）画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高.
（4）成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住
的部分改为虚线，得四棱锥的直观图.
通性通法
画空间图形直观图的原则
（1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系O-xyz，并且把它们
画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45°
（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z'轴与平面
x'O'y'垂直；
（2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线
段，并且长度不变；
（3）平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段，且线段长度画成原来
的一半；
（4）平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段，并且长度不变.
【跟踪训练】
用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD-
A'B'C'D'的直观图.
解：（1）画轴.如图①，画x轴，y轴，z轴，三
轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在
y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过
点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边
形ABCD就是长方体ABCD-A'B'C'D'的底面ABCD（如图①）.
（3）画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'（如图①）.
（4）成图.顺次连接点A'，B'，C'，D'，去掉辅
助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得到长方
体ABCD-A'B'C'D'的直观图（如图②）.
题型三 直观图的还原与计算
【例3】　如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.
若A1D1∥O'y'，A1B1∥C1D1，A1B1＝ C1D1＝2，A1D1＝O'D1＝1.试
画出原四边形，并求原图形的面积.
解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD
＝O'D1＝1，OC＝O'C1＝2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连
接BC，便得到了原图形（如图）.
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下
底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD
＝2.
所以面积为S＝ ×2＝5.
【母题探究】
（变条件）若本例中的条件变为：“如图所示的直角梯形是一平面图
形的直观图，若∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC”，求原图
形的面积.
解：如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在
Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝ .
而四边形AECD为矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1.所以BC＝BE＋
EC＝ ＋1.
由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形.
在原图形中，A'D'＝1，A'B'＝2，
B'C'＝ ＋1，且A'D'∥B'C'，
A'B'⊥B'C'，所以原图形的面积为S
＝ （A'D'＋B'C'）·A'B'＝ ×
×2＝2＋ .
通性通法
1. 直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线
段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原
时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，
顺次连接即可.
2. 直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S'，则有S'＝ S
或S＝2 S'.利用这一公式可由原图形面积直接求其直观图面积或
由直观图面积直接求原图形面积.
【跟踪训练】
如图所示，△A'B'C表示水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观
图，A'B'在x'轴上，B'C'与x'轴垂直，且B'C'＝3，则△ABC的边AB上
的高为 .
6 　
解析：作线段C'D∥y'轴，交x'轴于点D，则C'D＝ ＝ ＝
3 ，所以边AB上的高为2C'D＝6 .
1. 关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是（　　）
A. 直角三角形的直观图仍是直角三角形
B. 梯形的直观图是平行四边形
C. 正方形的直观图是菱形
D. 平行四边形的直观图仍是平行四边形
解析：　由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减
半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选
项D正确.
2. 如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB中OA边
上的高等于（　　）
A. 4 B. 2 C. 2 D.
解析：　由题意可知，OA⊥OB，且OB＝2OB'＝4，即OA边上
的高为4. 故选A.
3. 如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点
B的坐标为（2，2），则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶
点B'到x'轴的距离为 .
　
解析：画出直观图，BC对应B'C'，且B'C'＝1，∠B'C'x'＝45°，故顶点B'到x'轴的距离为 .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如图所示，平行四边形A'B'C'D'为一个平面图形的直观图，则它的
实际形状四边形ABCD为（　　）
A. 平行四边形
B. 梯形
C. 菱形
D. 矩形
解析：因为∠D'A'B'＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A'B'C'D'为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.
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2. 下面选项中边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是
（　　）
解析：　可分别画出各组图形的直观图（图略），观察可得C中
正△ABC的直观图不是全等三角形，故选C.
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3. 已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起（底面平行于水平
面），其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到
底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为（　）
A. 2 cm B. 3 cm
C. 2.5 cm D. 5 cm
解析：　圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间的距离
为2＋3＝5（cm），在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5
cm.故选D.
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4. 已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中
B'O'＝C'O'＝1，A'O'＝ ，那么在△ABC中，∠ABC的大小是
（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：　根据斜二测画法，可知在△ABC中，BC＝2，AO＝
，AO⊥BC，∴AB＝AC＝ ＝2，∴△ABC是等
边三角形，∴∠ABC＝60°.
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5. 如图，正方形O'A'B'C'的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图
形的直观图，则原图的周长是（　　）
A. 8 cm
B. 6 cm
C. 2（1＋ ）cm
D. 2（1＋ ）cm
解析：　原图形OABC为平行四边形，如
图.OA＝1，AB＝ ＝3，∴四边
形OABC周长为8 cm.
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6. （多选）如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观
图，D'为B'C'的中点，且A'D'∥y'轴，B'C'∥x'轴，那么在原平面图
形ABC中（　　）
A. AB与AC相等
B. AD的长度大于AC的长度
C. AB的长度大于AD的长度
D. BC的长度大于AD的长度
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解析：　根据斜二测画法的直观图，还原几何图形，首先建立
平面直角坐标系xOy，BC∥x轴，并且BC＝B'C'，点D是BC的
中点，并且作AD∥y轴，即AD⊥BC，且AD＝2A'D'，连接
AB，AC，所以△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AB的长度大于
AD的长度，由图可知BC＝B'C'，AD＝2A'D'，由图观察，A'D'
＞ B'C'，所以B'C'＜2A'D'，即BC＜AD. 故选A、C.
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7. 关于斜二测画法，下列说法不正确的是 .
①原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x'轴，长度不
变；
②原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y'轴，长度变为
原来的 ；
③画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时，∠x'O'y'必须是45°；
④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同.
解析：画与直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时，∠x'O'y'也可以
是135°.
③　
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8. 利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形.
以上结论中，正确的是 （填序号）.
解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关
系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图
是平行四边形.
①②　
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9. 已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为 .
解析：由题意，易知在△ABC中，AC⊥AB，且AC＝6，AB＝3.
∴S△ABC＝ ×6×3＝9.
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10. 如图，四边形A'B'C'D'是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积.
解：由已知中四边形A'B'C'D'是边长为1的正方
形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的
直观图，可得该四边形的原图形，如图所示，
这是一个底边长为2，高为 的平行四边形.
故原图形的面积为2 .
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11. （多选）如图所示，用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观
图，得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，
则由图形可知下列结论中正确的是（　　）
A. AB＝2BC
B. AD⊥BC
C. AC＞AD＞AB＞BC
D. AC＞AD＞AB＝BC
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解析：　由直观图画出△ABC如图所示.其中AB＝2BC，∠ABC＝90°，所以AC＞AD＞AB＞BC. 故选A、C.
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12. 如图，在直观图中，四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm，则在坐
标系xOy中原四边形OABC为 （填形状），面积为 cm2.
解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其
中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8
（cm2）.
矩形　
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13. 如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出
其直观图.
解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体
是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示.
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14. 若用“斜二测画法”作出边长为2的正三角形ABC的直观图是
△A1B1C1，则△A1B1C1的重心G1到底边A1B1的距离是 .
　
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解析：如图为正三角形ABC的直观图△A1B1C1，G1F为重心G1到底边A1B1的距离，则O1C1＝2× × ＝ ，∵G1为
△A1B1C1的重心，∴O1G1＝ O1C1＝ ，∴G1F＝O1G1 sin 45°＝ × ＝ .
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15. 一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆
锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3
cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图.
解：（1）如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
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（2）画圆柱的两底面的直观图.在xOy平面上画出底面圆O的直
观图，使AB为3 cm，CD为1.5 cm，在z轴上截取OO'，使OO'＝3
cm，过O'作Ox的平行线O'x'，Oy的平行线O'y'，在x'O'y'平面上画
出底面圆O'的直观图，使A'B'＝3 cm，C'D'＝1.5 cm.
（3）画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO'等于圆锥的高3 cm.
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（4）成图.连接A'A，B'B，PA'，PB'，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体（机器部件）的直观图，如图②.
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谢 谢 观 看！

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