资源简介

11.3.1　平行直线与异面直线
1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（　　）
A.一定平行 B.一定相交
C.一定异面 D.相交或异面
2.若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是（　　）
A.OB∥O1B1，且方向相同
B.OB∥O1B1
C.OB与O1B1不平行
D.OB与O1B1不一定平行
3.下列说法中正确的是（　　）
A.若两直线无公共点，则两直线平行
B.若两直线不是平行直线，则必相交或异面
C.过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线
D.和两条异面直线都相交的两条直线必是异面直线
4.正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是（　　）
A.正方形 B.菱形
C.矩形 D.空间四边形
5.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是（　　）
A.l与AD平行 B.l与AD不平行
C.l与AC平行 D.l与BD垂直
6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，则下列结论正确的是（　　）
A.直线GH和MN平行，GH和EF相交
B.直线GH和MN平行，MN和EF相交
C.直线GH和MN相交，MN和EF异面
D.直线GH和EF异面，MN和EF异面
7.正方体AC1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是　　　　.
8.空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝　　　　.
9.如图所示，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件　　　　时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件　　　　　时，四边形EFGH是正方形.
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证：
（1）四边形BB1M1M为平行四边形；
（2）∠BMC＝∠B1M1C1.
11.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1与B1D1相交于点O，E，F分别是B1O，C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（　　）
A.3条　　B.4条　　C.5条　　D.6条
12.如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论错误的有　　　　.
①GH和MN是平行直线；GH和EF是相交直线；
②GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线；
③GH和MN是相交直线；GH和EF是异面直线；
④GH和EF是异面直线；MN和EF也是异面直线.
13.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点，问：
（1）AM和CN是不是异面直线？并说明理由；
（2）D1B和CC1是不是异面直线？并说明理由.
14.（多选）如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是（　　）
A.M，N，P，Q四点共面
B.∠QME＝∠CBD
C.△BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为梯形
15.如图所示，设E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，且＝＝λ，＝＝μ.
求证：（1）当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形；
（2）当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形.
11.3.1　平行直线与异面直线
1.D　可能相交也可能异面，但一定不平行（否则与条件矛盾）.
2.D　等角定理的实质是角的平移，其逆命题不成立，OB与O1B1有可能平行，也可能相交，还可能异面，位置关系不确定.
3.B　对于A，空间两直线无公共点，则两直线可能平行，可能异面，故A不正确；对于C，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线，故C不正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线，如图三棱锥A-BCD中，l1与l2为异面直线，BC与AC均与l1，l2相交，但BC与AC也相交，故D不正确.
4.B　设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为，又易知四边形D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形.
5.A　假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，∴l与AD不平行.
6.B　易知GH∥MN，又∵E，F，M，N分别为所在棱的中点，由基本事实3可知EF，DC，MN交于一点，故选B.
7.相交　解析：直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF 平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交.
8.70°或110°　解析：∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，
∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.
∵∠A＝70°，
∴∠B＝70°或110°.
9.AC＝BD　AC⊥BD且AC＝BD
10.证明：（1）在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，所以A1M1∥AM，且A1M1＝AM，
所以四边形AMM1A1是平行四边形，
所以A1A∥M1M，且A1A＝M1M.
又因为A1A∥B1B，且A1A＝B1B，
所以M1M∥B1B，且M1M＝B1B，
所以四边形BB1M1M为平行四边形.
（2）由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，所以B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，所以C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.
所以∠BMC＝∠B1M1C1.
11.B　由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱有AD，BC，A1D1，所以符合题意的棱共有4条.
12.①③④　解析：对于①，GH和MN是平行直线；但GH和EF是异面直线，不是相交直线，∴①错误；对于②，GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线，并且它们的交点在直线DC上，∴②正确；对于③，GH和MN是平行直线，不是相交直线；GH和EF是异面直线，∴③错误；对于④，GH和EF是异面直线；但MN和EF是相交直线，不是异面直线，∴④错误.综上，错误的命题序号是①③④.
13.解：（1）AM和CN不是异面直线.理由如下：
如图，连接A1C1，AC，MN，∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又A1A C1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，
∴A，M，N，C在同一个平面内.
故AM和CN不是异面直线.
（2）D1B和CC1是异面直线，理由如下：
假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，
∴BC 平面CC1D1，
这与几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体相矛盾，
∴假设不成立.
故D1B和CC1是异面直线.
14.ABC　由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD，对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；对于B，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确；对于D，由三角形的中位线定理，知MQ BD，NP BD，所以MQ NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确.
15.证明：（1）在△ABD中，因为＝＝λ，
所以EH∥BD，且EH＝λBD.
在△CBD中，因为＝＝μ，
所以FG∥BD，且FG＝μBD，
所以EH∥FG，
所以点E，F，G，H在由EH和FG确定的平面内.
当λ＝μ时，EH＝FG，
故四边形EFGH为平行四边形.
（2）由（1）知当λ≠μ时，EH≠FG，故四边形EFGH是梯形.
2 / 311.3.1　平行直线与异面直线
新课程标准解读 核心素养
1.理解并掌握平行线的传递性、等角定理 直观想象
2.理解异面直线的概念、画法 直观想象
3.了解空间四边形的概念，掌握空间四边形线、面位置关系 逻辑推理
　　在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种.在空间中，情况就不同了.例如，下图中，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线，机械部件蜗杆和蜗轮的轴线a和b，它们既不相交也不平行.
【问题】　你知道空间两条直线的位置关系有哪些吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　平行直线与等角定理
1.平行线的传递性
（1）文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相　　　　.这一性质叫做空间平行线的传递性.
（2）符号表述： 　　　　.
2.等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应　　　，并且方向　　　　，那么这两个角　　　　.
提醒　对平行线的传递性与等角定理的理解：①平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法；②等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是平行线的传递性的直接应用，特别注意当这两个角的两边方向分别相同或相反时，两个角相等；当这两个角有一边方向相同，另一边方向相反时，这两个角互补.
【想一想】
　空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？
1.若OA∥O'A'，OB∥O'B'，且∠AOB＝50°，则与∠AOB的两边方向相同的∠A'O'B'等于（　　）
A.130°　　　　　　　　　B.50°
C.130°或50° D.不能确定
2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是　　　　.
知识点二　异面直线
1.定义：空间中既不　　　　也不　　　　的直线.
2.异面直线的画法：
【想一想】
分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线，对吗？
判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）没有公共点的两条直线是异面直线.（　　）
（2）两直线若不是异面直线，则必相交或平行.（　　）
知识点三　空间四边形
顺次连接　　　　　　4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接　　　　顶点间的线段称为空间四边形的边，连接　　　　顶点间的线段称为空间四边形的对角线.
（多选）在空间四边形ABCD中，下列说法正确的是（　　）
A.直线AB与CD异面
B.对角线AC与BD相交
C.四条边不能都相等
D.四条边的中点组成一个平行四边形
题型一 两直线位置关系的判定
【例1】　若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（　　）
A.a∥c B.a和c异面
C.a和c相交 D.a和c平行、相交或异面
尝试解答
通性通法
1.判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用平行线的传递性判断.
2.判定两条直线是异面直线的方法
（1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；
（2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A α，B∈α，l α，B l AB与l是异面直线（如图）.
【跟踪训练】
1.如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是（　　）
A.6　　　　　　　　 B.4
C.5 D.8
2.若a，b，c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是　　　　.
题型二 直线与直线平行的证明
【例2】　E，F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形.
尝试解答
通性通法
证明两条直线平行的两种方法
（1）利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点；
（2）利用空间平行线的传递性：寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，根据空间平行线的传递性，显然这两条直线平行.若题设条件中含有中点，则常利用中点的有关性质，如三角形的中位线性质证明直线平行.
【跟踪训练】
如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C'D'的位置，G，H分别为AD'，BC'的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.
题型三 等角定理及应用
【例3】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
尝试解答
通性通法
　　关于等角定理的应用
（1）根据空间中相应的定理证明角的两边分别对应平行，即先证明线线平行；
（2）根据角的两边的方向判定两角相等或互补.
【跟踪训练】
在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点.
求证：（1）EF E1F1；
（2）∠EA1F＝∠E1CF1.
1.如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是（　　）
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
2.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝　　　　.
3.已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点，求证：∠DNM＝∠D1A1C1.
11.3.1　平行直线与异面直线
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）平行　（2）b∥c　2.平行　相同　相等
想一想
　提示：相等或互补.
自我诊断
1.B　根据空间等角定理，知∠A'O'B'与∠AOB相等，故∠A'O'B'＝50°.
2.平行　解析：在△ABC中，∵AE∶EB＝AF∶FC，∴EF∥BC.又∵BC∥B1C1，∴EF∥B1C1.
知识点二
1.平行　相交
想一想
　提示：不对.如图，虽然有a α，b β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是a∩b＝O，所以a与b不是异面直线.
自我诊断
　（1）×　（2）√
知识点三
不共面的　相邻　不相邻
自我诊断
　AD　由定义知A正确；B错误，否则A，B，C，D四点共面；C错误，可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度，就成为四边相等的空间四边形；D正确，由平行四边形的判定定理可证.
【典型例题·精研析】
【例1】　D　可借助长方体来判断，如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，A'D'所在直线为a，AB所在直线为b，由题意a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，CC'，DD'，故a和c可以平行、相交或异面.
跟踪训练
1.B　与AA1异面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1，共4条.
2.异面或相交　解析：在正方体ABCD-A'B'C'D'中，设直线D'C'为直线b，直线A'B'为直线a，满足a∥b，与a相交的直线c可以是直线B'C'，也可以是直线BB'.显然直线B'C'与b相交，BB'与b异面，故b与c的位置关系是异面或相交.
【例2】　证明：如图，设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.因为E是AA1的中点，所以EQ A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1 B1C1，所以EQ B1C1（平行公理），所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E C1Q.又因为Q，F是矩形DD1C1C的两边中点，所以QD C1F，所以四边形DQC1F为平行四边形，所以C1Q FD.又因为B1E C1Q，所以B1E FD.所以四边形B1EDF为平行四边形.
跟踪训练
证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，
∴EF∥AB，且EF＝（AB＋CD），
又C'D'∥EF，EF∥AB，
∴C'D'∥AB.
∵G，H分别为AD'，BC'的中点，
∴GH∥AB，且GH＝（AB＋C'D'）＝（AB＋CD）＝EF，∴GH EF，
∴四边形EFGH为平行四边形.
【例3】　证明：因为F为BB1的中点，
所以BF＝BB1，
因为G为DD1的中点，
所以D1G＝DD1.
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，
所以BF∥D1G，BF＝D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形，
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
跟踪训练
证明：（1）如图，连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF BD，同理E1F1 B1D1，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AA1 DD1，AA1 BB1，所以B1B DD1，所以四边形BDD1B1是平行四边形，所以BD B1D1，所以EF E1F1.
（2）取A1B1的中点M，连接BM，F1M，因为MF1 B1C1，B1C1 BC，所以MF1 BC，
所以四边形BCF1M是平行四边形，所以MB∥CF1，因为A1M EB，所以四边形EBMA1是平行四边形，所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1，同理可证A1F∥E1C，又∠EA1F与∠F1CE1均为锐角，所以∠EA1F＝∠E1CF1.
随堂检测
1.A　∵E，F分别是SN和SP的中点，
∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.
2.135°　解析：由等角定理可知β＝135°.
3.证明：如图，连接AC，
在△ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点，
所以MN是△ACD的中位线，
所以MN∥AC，MN＝AC.
由正方体的性质，得AC∥A1C1，AC＝A1C1，所以MN∥A1C1，
又因为ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.
3 / 4(共63张PPT)
11.3.1　平行直线与异面直线
新课程标准解读 核心素养
1.理解并掌握平行线的传递性、等角定理 直观想象
2.理解异面直线的概念、画法 直观想象
3.了解空间四边形的概念，掌握空间四边形线、
面位置关系 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种.在空间
中，情况就不同了.例如，下图中，教室中日光灯管所在直线与黑板
左侧所在直线，机械部件蜗杆和蜗轮的轴线a和b，它们既不相交也
不平行.
【问题】　你知道空间两条直线的位置关系有哪些吗？




知识点一　平行直线与等角定理
1. 平行线的传递性
（1）文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相 .这一
性质叫做空间平行线的传递性.
平行　
（2）符号表述：
.
b∥c　
2. 等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应 ，并且方
向 ，那么这两个角 .
提醒　对平行线的传递性与等角定理的理解：①平行线的传递性，
它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行
的一种证明方法；②等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到
的，它是平行线的传递性的直接应用，特别注意当这两个角的两边
方向分别相同或相反时，两个角相等；当这两个角有一边方向相
同，另一边方向相反时，这两个角互补.
平行　
相同　
相等　
【想一想】
空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？
提示：相等或互补.
1. 若OA∥O'A'，OB∥O'B'，且∠AOB＝50°，则与∠AOB的两边
方向相同的∠A'O'B'等于（　　）
A. 130° B. 50°
C. 130°或50° D. 不能确定
解析：　根据空间等角定理，知∠A'O'B'与∠AOB相等，故
∠A'O'B'＝50°.
2. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，
且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是 .
解析：在△ABC中，∵AE∶EB＝AF∶FC，∴EF∥BC. 又
∵BC∥B1C1，∴EF∥B1C1.
平行　
知识点二　异面直线
1. 定义：空间中既不 也不 的直线.
2. 异面直线的画法：
平行　
相交　
【想一想】
分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线，对吗？
提示：不对.如图，虽然有a α，b β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是a∩b＝O，所以a与b不是异面直线.
判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）没有公共点的两条直线是异面直线. （　×　）
（2）两直线若不是异面直线，则必相交或平行. （　√　）
×
√
知识点三　空间四边形
顺次连接 4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点
都是空间四边形的顶点，连接 顶点间的线段称为空间四边形
的边，连接 顶点间的线段称为空间四边形的对角线.
不共面的　
相邻　
不相邻　
（多选）在空间四边形ABCD中，下列说法正确的是（　　）
A. 直线AB与CD异面
B. 对角线AC与BD相交
C. 四条边不能都相等
D. 四条边的中点组成一个平行四边形
解析：　由定义知A正确；B错误，否则A，B，C，D四点共
面；C错误，可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度，就成为四边
相等的空间四边形；D正确，由平行四边形的判定定理可证.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 两直线位置关系的判定
【例1】　若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关
系是（　　）
A. a∥c B. a和c异面
C. a和c相交 D. a和c平行、相交或异面
解析：　可借助长方体来判断，如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，A'D'所在直线为a，AB所在直线为b，由题意a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，CC'，
DD'，故a和c可以平行、相交或异面.
通性通法
1. 判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线
平行也可以用平行线的传递性判断.
2. 判定两条直线是异面直线的方法
（1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；
（2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A α，B∈α，l α，B l AB与l是异面直线（如图）.
【跟踪训练】
1. 如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条
数是（　　）
A. 6 B. 4
C. 5 D. 8
解析：　与AA1异面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1，共4条.
2. 若a，b，c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置
关系是 .
解析：在正方体ABCD-A'B'C'D'中，设直线D'C'为直线b，直线A'B'
为直线a，满足a∥b，与a相交的直线c可以是直线B'C'，也可以
是直线BB'.显然直线B'C'与b相交，BB'与b异面，故b与c的位置关
系是异面或相交.
异面或相交　
题型二 直线与直线平行的证明
【例2】　E，F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中
点，求证：四边形B1EDF是平行四边形.
证明：如图，设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.
因为E是AA1的中点，所以EQ A1D1.又在矩形
A1B1C1D1中，A1D1 B1C1，所以EQ B1C1（平
行公理），所以四边形EQC1B1为平行四边形，所
以B1E C1Q. 又因为Q，F是矩形DD1C1C的两
边中点，所以QD C1F，所以四边形DQC1F为
平行四边形，所以C1Q FD. 又因为
B1E C1Q，所以B1E FD. 所以四边形B1EDF
为平行四边形.
通性通法
证明两条直线平行的两种方法
（1）利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点；
（2）利用空间平行线的传递性：寻找第三条直线，然后证明这两条
直线都与所找的第三条直线平行，根据空间平行线的传递性，
显然这两条直线平行.若题设条件中含有中点，则常利用中点的
有关性质，如三角形的中位线性质证明直线平行.
【跟踪训练】
如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中
点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C'D'的位置，G，H分别
为AD'，BC'的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.
证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中
点，∴EF∥AB，且EF＝ （AB＋CD），
又C'D'∥EF，EF∥AB，∴C'D'∥AB.
∵G，H分别为AD'，BC'的中点，
∴GH∥AB，且GH＝ （AB＋C'D'）＝ （AB＋CD）＝EF，
∴GH EF，
∴四边形EFGH为平行四边形.
题型三 等角定理及应用
【例3】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱
CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
证明：因为F为BB1的中点，所以BF＝ BB1，因为G为DD1的中点，
所以D1G＝ DD1.
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形，
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
通性通法
关于等角定理的应用
（1）根据空间中相应的定理证明角的两边分别对应平行，即先证明
线线平行；
（2）根据角的两边的方向判定两角相等或互补.
【跟踪训练】
在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱
AB，AD，B1C1，C1D1的中点.
求证：（1）EF E1F1；
证明：如图，连接BD，B1D1，在△ABD中，因为
E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF BD，同理E1F1 B1D1，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AA1 DD1，
AA1 BB1，所以B1B DD1，所以四边形BDD1B1
是平行四边形，所以BD B1D1，所以EF E1F1.
（2）∠EA1F＝∠E1CF1.
证明：取A1B1的中点M，连接BM，F1M，因为MF1 B1C1，
B1C1 BC，所以MF1 BC，
所以四边形BCF1M是平行四边形，所以MB∥CF1，因为
A1M EB，所以四边形EBMA1是平行四边形，所以
A1E∥MB，所以A1E∥CF1，同理可证A1F∥E1C，又∠EA1F
与∠F1CE1均为锐角，所以∠EA1F＝∠E1CF1.
1. 如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 平行或异面
解析：　∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN. 同理可
证HG∥PN，∴EF∥HG.
2. 已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方
向相反，若α＝45°，则β＝ 　　　　.
135°
解析：由等角定理可知β＝135°.
3. 已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，
AD的中点，求证：∠DNM＝∠D1A1C1.
证明：如图，连接AC，
在△ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点，
所以MN是△ACD的中位线，
所以MN∥AC，MN＝ AC.
由正方体的性质，得AC∥A1C1，AC＝A1C1，
所以MN∥A1C1，
又因为ND∥A1D1，
所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个
锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（　　）
A. 一定平行 B. 一定相交
C. 一定异面 D. 相交或异面
解析：可能相交也可能异面，但一定不平行（否则与条件矛盾）.
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2. 若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则
下列结论中正确的是（　　）
A. OB∥O1B1，且方向相同
B. OB∥O1B1
C. OB与O1B1不平行
D. OB与O1B1不一定平行
解析：　等角定理的实质是角的平移，其逆命题不成立，OB与
O1B1有可能平行，也可能相交，还可能异面，位置关系不确定.
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3. 下列说法中正确的是（　　）
A. 若两直线无公共点，则两直线平行
B. 若两直线不是平行直线，则必相交或异面
C. 过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异
面直线
D. 和两条异面直线都相交的两条直线必是异面直线
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解析：　对于A，空间两直线无公共点，则两直线
可能平行，可能异面，故A不正确；对于C，过平面
外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线
是相交直线，故C不正确；对于D，和两条异面直线
都相交的两条直线还可能是相交直线，如图三棱锥
A-BCD中，l1与l2为异面直线，BC与AC均与l1，l2
相交，但BC与AC也相交，故D不正确.
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4. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四
边形D1PBQ是（　　）
A. 正方形 B. 菱形
C. 矩形 D. 空间四边形
解析：　设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均
为 ，又易知四边形D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ
是菱形.
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5. 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），l 平面A1B1C1D1，
且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是（　　）
A. l与AD平行 B. l与AD不平行
C. l与AC平行 D. l与BD垂直
解析：　假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与
l与B1C1不平行矛盾，∴l与AD不平行.
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6. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分
别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，则下列结论正
确的是（　　）
A. 直线GH和MN平行，GH和EF相交
B. 直线GH和MN平行，MN和EF相交
C. 直线GH和MN相交，MN和EF异面
D. 直线GH和EF异面，MN和EF异面
解析：　易知GH∥MN，又∵E，F，M，N分别为所在棱的中
点，由基本事实3可知EF，DC，MN交于一点，故选B.
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7. 正方体AC1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与
直线EF的位置关系是 　　　　.
相交
解析：直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF 平面
A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交.
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8. 空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝
70°，则∠B＝ 　　　 　.
70°或110°
解析：∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A
＋∠B＝180°.∵∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.
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9. 如图所示，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，
BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件 时，四
边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件
时，四边形EFGH是正方形.
AC＝BD　
AC⊥BD且AC＝BD　
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10. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和
A1D1的中点.求证：
（1）四边形BB1M1M为平行四边形；
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证明：在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，
所以A1M1∥AM，且A1M1＝AM，
所以四边形AMM1A1是平行四边形，
所以A1A∥M1M，且A1A＝M1M.
又因为A1A∥B1B，且A1A＝B1B，
所以M1M∥B1B，且M1M＝B1B，
所以四边形BB1M1M为平行四边形.
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（2）∠BMC＝∠B1M1C1.
证明：由（1）知四边形BB1M1M
为平行四边形，所以B1M1∥BM. 同理可
得四边形CC1M1M为平行四边形，所以
C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，∠BMC和
∠B1M1C1都是锐角.
所以∠BMC＝∠B1M1C1.
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11. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1与B1D1相交于点
O，E，F分别是B1O，C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平
行的有（　　）
A. 3条 B. 4条
C. 5条 D. 6条
解析：　由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，
因为和棱B1C1平行的棱有AD，BC，A1D1，所以符合题意的棱共
有4条.
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12. 如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E，F，G，H，M，N分别
是所在棱的中点，则下列结论错误的有 .
①③④　
①GH和MN是平行直线；GH和EF是相交直线；
②GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线；
③GH和MN是相交直线；GH和EF是异面直线；
④GH和EF是异面直线；MN和EF也是异面直线.
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解析：对于①，GH和MN是平行直线；但GH和EF是异面直
线，不是相交直线，∴①错误；对于②，GH和MN是平行直
线；MN和EF是相交直线，并且它们的交点在直线DC上，∴②
正确；对于③，GH和MN是平行直线，不是相交直线；GH和
EF是异面直线，∴③错误；对于④，GH和EF是异面直线；但
MN和EF是相交直线，不是异面直线，∴④错误.综上，错误的
命题序号是①③④.
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13. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1
的中点，问：
（1）AM和CN是不是异面直线？并说明理由；
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解：AM和CN不是异面直线.理由如下：
如图，连接A1C1，AC，MN，
∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点，
∴MN∥A1C1.又A1A C1C，
∴四边形A1ACC1为平行四边形，
∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，
∴A，M，N，C在同一个平面内.
故AM和CN不是异面直线.
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（2）D1B和CC1是不是异面直线？并说明理由.
解：D1B和CC1是异面直线，理由如下：
假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，
则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，
∴BC 平面CC1D1，
这与几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体相
矛盾，
∴假设不成立.
故D1B和CC1是异面直线.
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14. （多选）如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是
AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是
（　　）
A. M，N，P，Q四点共面
B. ∠QME＝∠CBD
C. △BCD∽△MEQ
D. 四边形MNPQ为梯形
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解析：　由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD，对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；对于B，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确；对于D，由三角形的中位线定理，知MQ BD，NP BD，所以MQ NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确.
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15. 如图所示，设E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，
BC，CD，DA上的点，且 ＝ ＝λ， ＝ ＝μ.
求证：（1）当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形；
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证明：在△ABD中，因为 ＝ ＝λ，
所以EH∥BD，且EH＝λBD.
在△CBD中，因为 ＝ ＝μ，
所以FG∥BD，且FG＝μBD，
所以EH∥FG，
所以点E，F，G，H在由EH和FG确定的平面内.
当λ＝μ时，EH＝FG，故四边形EFGH为平行四边形.
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（2）当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形.
证明：由（1）知当λ≠μ时，
EH≠FG，故四边形EFGH是梯形.
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