资源简介

11.3.2　直线与平面平行
1.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面（面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD）所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有（　　）
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
2.直线a在平面γ外，则（　　）
A.a∥γ
B.a与γ至少有一个公共点
C.a∩γ＝A
D.a与γ至多有一个公共点
3.下列说法正确的是（　　）
A.如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面
B.如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线
C.如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b
D.如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α
4.如图，在四面体ABCD中，若M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系为（　　）
A.平行
B.可能相交
C.相交或BD 平面MNP
D.以上都不对
5.如图，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是（　　）
6.（多选）如图，空间四边形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，下列结论正确的是（　　）
A.AD∥EG
B.AC∥平面EFG
C.BD∥平面EFG
D.AD，FG是一对相交直线
7.梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α的位置关系是　　　　.
8.如图，P为 ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝　　　　.
9.如图所示，直线a∥平面α，A α，并且a和A位于平面α的两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝　　　　.
10.如图，已知异面直线AB，CD都与平面MNPQ平行，且点M，N，P，Q依次在直线AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形.
11.（多选）如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是（　　）
A.OM∥PD B.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA
12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于　　　，三棱锥B-AB1C的体积为　　　　.
13.如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
（1）求证：BC∥l；
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.
14.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，说法甲为“若a∥b，则a∥α”，说法乙为“若a∥α，则a∥b”.要使上面两种说法成立，需分别添加的条件是（　　）
A.甲：“b α”，乙：“b α”
B.甲：“b α”，乙：“a β且α∩β＝b”
C.甲：“a α，b α”，乙：“a β且α∩β＝b”
D.甲：“a α，b α”，乙：“b∥α”
15.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和四边形ACC1A1都是矩形.设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.
11.3.2　直线与平面平行
1.B　如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.
2.D　直线a在平面γ外，其包括直线a与平面γ相交或平行两层含义，故a与γ至多有一个公共点.
3.D　如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AA'∥BB'，AA'在过BB'的平面AB'内，故选项A不正确；AA'∥平面B'C，BC 平面B'C，但AA'不平行于BC，故选项B不正确；AA'∥平面B'C，A'D'∥平面B'C，但AA'与A'D'相交，所以选项C不正确；选项D中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即选项D正确.故选D.
4.A　因为N，P分别为线段BC，CD的中点，所以NP∥BD，又BD 平面MNP，NP 平面MNP，所以BD∥平面MNP.
5.C　在A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.
6.BC　点G∈平面ADC，点G 直线AD，点E 平面ADC，由异面直线的定义可知AD，EG是异面直线，A错；AC∥EF，由直线与平面平行的判定定理可得AC∥平面EFG，B对；BD∥FG，由直线与平面平行的判定定理可得BD∥平面EFG，C对；点G∈平面ADC，点G 直线AD，点F 平面ADC，由异面直线的定义可知AD，FG是异面直线，D错；故选B、C.
7.CD∥平面α　解析：因为AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥平面α.
8.　解析：如图，连接AC交BE于G，连接FG，因为PA∥平面EBF，
PA 平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，
所以PA∥FG，
所以＝.
又因为AD∥BC，所以△AGE∽△CGB，
又E为AD的中点，
所以＝＝，所以＝.
9.　解析：由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF.因为a∥平面α，a 平面β，所以EF∥a，所以＝，所以EF＝＝＝.
10.证明：∵AB∥平面MNPQ，AB 平面ABC，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，∴AB∥MN.
又AB 平面ABD，平面ABD∩平面MNPQ＝PQ，
∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.
同理可证NP∥MQ.
∴四边形MNPQ是平行四边形.
11.ABC　由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故A正确；PD 平面PCD，OM 平面PCD，∴OM∥平面PCD，故B正确；同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；OM与平面PBA和平面PBC都相交，故D不正确.故选A、B、C.
12.　　解析：由于在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2.又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF 平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC的中点，∴EF＝AC＝.＝＝××2×2×2＝.
13.解：（1）证明：∵BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，∴BC∥平面PAD.
又∵平面PAD∩平面PBC＝l，BC 平面PBC，
∴BC∥l.
（2）MN∥平面PAD.
证明如下：如图所示，取PD的中点E.连接EN，AE.
∵N为PC的中点，
∴EN DC，
∵四边形ABCD为平行四边形.
∴DC AB，
∴EN AB，∴EN AM，
∴四边形ENMA为平行四边形，
∴AE∥MN.
又∵AE 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
14.C　说法甲为“若a∥b，则a∥α”，由线面平行的判定定理，得需添加的条件是“a α，b α”；说法乙为“若a∥α，则a∥b”，由线面平行的性质定理，得需添加的条件是“a β且α∩β＝b”.故选C.
15.解：在线段AB上存在一点M，使DE∥平面A1MC.
证明如下：如图所示，连接AC1，A1C，AC1与A1C交于点O，取线段AB的中点M.连接A1M，OM，MD，OE，MC.
在△ABC中，M，D分别为AB，BC的中点，
∴MD∥AC，且MD＝AC.
在△ACC1中，O，E分别为AC1，CC1的中点，
∴OE∥AC，且OE＝AC，∴MD OE.
从而四边形MDEO为平行四边形，
则DE∥MO.
∵DE 平面A1MC，MO 平面A1MC，
∴直线DE∥平面A1MC.
即在线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A1MC.
2 / 311.3.2　直线与平面平行
新课程标准解读 核心素养
1.借助实例，直观感知、归纳出直线与平面平行的判定定理、性质定理 直观想象
2.掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理，并能初步利用定理解决问题 逻辑推理
如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线l，则直线l与平面α具有怎样的位置关系？如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线m，并把m看成平面α内的直线，则直线l与直线m具有怎样的位置关系？
【问题】　你能给出判定的依据吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　直线与平面之间的位置关系
位置 关系 直线l在平面α内 直线l在平面α外
直线l与平面α平行 直线l与平面α相交
公共点 有无数个公共点 没有公共点 有且只有一个公共点
符号表示 l α l∥α l∩α＝A
图形表示
知识点二　直线与平面平行的判定及性质
条件 结论 图形语言 符号语言
判 定 如果平面　　的一条直线与平面　　的一条直线平行 这条直线与这个平面平行 l　　α， m　　α， l∥m l∥α
性 质 如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面　　 这条直线就与两平面的交线平行 l∥α， l β， α　　β＝m l∥m
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若a∥b，且b α，则a∥α.（　　）
（2）若l∥平面α，且b α，则l∥b.（　　）
（3）若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点.（　　）
（4）平行于同一平面的两条直线平行.（　　）
2.能保证直线a与平面α平行的条件是（　　）
A.b α，a∥b
B.b α，c∥α，a∥b，a∥c
C.b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D.a α，b α，a∥b
3.如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则（　　）
A.EF与BC相交 B.EF∥BC
C.EF与BC异面 D.以上均有可能
题型一 直线与平面平行的判定
【例1】　如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点.
证明：BC1∥平面A1CD.
尝试解答
通性通法
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法.
【跟踪训练】
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点.证明：EF∥平面PAD.
题型二 直线与平面平行的性质
【例2】　如图，AB，CD为异面直线，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分别交α于M，N两点.求证：AM∶MC＝BN∶ND.
尝试解答
通性通法
利用线面平行的性质定理证题的一般步骤
提醒　在利用直线与平面平行的性质定理时，不能直接说在平面内作一条直线与已知直线平行，一定要通过作平面来得到这条直线.
【跟踪训练】
　已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.
题型三 线面平行判定定理与性质定理的综合运用
【例3】　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P∈BB1（P不与B，B1重合），PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N.求证：MN∥平面ABCD.
尝试解答
通性通法
　　判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链.
【跟踪训练】
如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.
（1）若弧BC的中点为D.求证：AC∥平面POD；
（2）如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.
1.下列命题中正确的是（　　）
A.若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α
B.若直线a在平面α外，则a∥α
C.若直线a∥b，b α，则a∥α
D.若直线a∥b，b α，则a平行于平面α内的无数条直线
2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是　　　　.
3.如图所示，在空间四边形ABCD中，AC，BD为其对角线，E，F，G，H分别为AC，BC，BD，AD上的点，若四边形EFGH为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.
提示：完成课后作业　第十一章　11.3　11.3.2
3 / 4(共56张PPT)
11.3.2　直线与平面平行
新课程标准解读 核心素养
1.借助实例，直观感知、归纳出直线与平面平行
的判定定理、性质定理 直观想象
2.掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理，
并能初步利用定理解决问题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的
上边缘抽象成直线l，则直线l与平面α具有怎样的位置关系？如果将
乒乓球网的下边缘抽象成直线m，并把m看成平面α内的直线，则直
线l与直线m具有怎样的位置关系？
【问题】　你能给出判定的依据吗？




知识点一　直线与平面之间的位置关系
位置
关系 直线l在平
面α内 直线l在平面α外
直线l与平面α平行 直线l与平面α相交
公共
点 有无数个公
共点 没有公共点 有且只有一个公共点
符号
表示 l α l∥α l∩α＝A
图形
表示
知识点二　直线与平面平行的判定及性质
条件 结论 图形语言 符号语言
判 定 如果平
面 的一
条直线与平
面 的一
条直线平行 这条直线
与这个平
面平行 l α，
m α，
l∥m l∥α
外　
内　
　
　
条件 结论 图形语言 符号语言
性 质 如果一条直线
与一个平面平
行，且经过这
条直线的平面
与这个平
面 这条直线
就与两平
面的交线
平行 l∥α，
l β，
α β＝m l∥m
相交　
∩　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若a∥b，且b α，则a∥α. （　×　）
（2）若l∥平面α，且b α，则l∥b. （　×　）
（3）若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点.
（　√　）
（4）平行于同一平面的两条直线平行. （　×　）
×
×
√
×
2. 能保证直线a与平面α平行的条件是（　　）
A. b α，a∥b
B. b α，c∥α，a∥b，a∥c
C. b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D. a α，b α，a∥b
解析：　由线面平行的判定定理可知，D正确.
3. 如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且
EF∥平面ABC，则（　　）
A. EF与BC相交
B. EF∥BC
C. EF与BC异面
D. 以上均有可能
解析：　∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF 平面SBC，又
EF∥平面ABC，∴EF∥BC. 故选B.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与平面平行的判定
【例1】　　如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点.证明：
BC1∥平面A1CD.
证明：如图，连接AC1交A1C于点F，连接DF，则F为AC1的中点.
又D是AB的中点，所以DF∥BC1.
因为DF 平面A1CD，BC1 平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
通性通法
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法.
【跟踪训练】
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点.证明：EF∥平面PAD.
证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.
又BC∥AD，∴EF∥AD.
∵AD 平面PAD，EF 平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
题型二 直线与平面平行的性质
【例2】　如图，AB，CD为异面直线，且AB∥α，CD∥α，
AC，BD分别交α于M，N两点.求证：AM∶MC＝BN∶ND.
证明：连接AD交平面α于点E，连接ME和NE，
如图所示，
因为平面ACD∩α＝ME，CD∥α，
所以CD∥ME，
所以 ＝ .
同理可得EN∥AB，
所以 ＝ .
所以 ＝ ，
即AM∶MC＝BN∶ND.
通性通法
利用线面平行的性质定理证题的一般步骤
提醒　在利用直线与平面平行的性质定理时，不能直接说在平面内作
一条直线与已知直线平行，一定要通过作平面来得到这条直线.
【跟踪训练】
已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.
证明：如图，过a作平面γ交α于b.
∵a∥α，∴a∥b.
过a作平面ε交平面β于c.
∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c.
又b β且c β，∴b∥β.
又平面α过b交β于l，∴b∥l.
∵a∥b，∴a∥l.
题型三 线面平行判定定理与性质定理的综合运用
【例3】　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P∈BB1（P不与
B，B1重合），PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N. 求证：MN∥平面
ABCD.
证明：如图，连接AC，A1C1，在长方体ABCD-
A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边
形ACC1A1是平行四边形，所以AC∥A1C1，因为
AC 平面A1BC1，A1C1 平面A1BC1，所以AC∥
平面A1BC1，因为AC 平面PAC，平面A1BC1∩
平面PAC＝MN，所以AC∥MN. 因为MN 平
面ABCD，AC 平面ABCD，所以MN∥平面
ABCD.
通性通法
　　判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面
平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下
去，我们可称它为平行链.
【跟踪训练】
如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角
形，C为底面圆周上一点.
（1）若弧BC的中点为D. 求证：AC∥平面POD；
解：证明：如图，设BC∩OD＝E，
∵D是弧BC的中点，
∴E是BC的中点，
又∵O是AB的中点，∴AC∥OE，
又∵AC 平面POD，OE 平面POD，
∴AC∥平面POD.
（2）如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.
解：设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，∵圆锥的轴截
面PAB为等腰直角三角形，
∴h＝r，l＝ r，∵S△PAB＝ ×2r×h＝r2＝9，∴r＝3，
∴S表＝πrl＋πr2＝πr× r＋πr2＝9（1＋ ）π.
1. 下列命题中正确的是（　　）
A. 若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α
B. 若直线a在平面α外，则a∥α
C. 若直线a∥b，b α，则a∥α
D. 若直线a∥b，b α，则a平行于平面α内的无数条直线
解析：　A中直线l可以在平面α内，B中直线a可以与平面α相
交，C中直线a可以在平面α内，D正确.
2. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，
E三点的平面的位置关系是 .
解析：如图所示，连接BD交AC于点O. 在正方
体中容易得到点O为BD的中点.又因为E为DD1
的中点，所以OE∥BD1.又因为OE 平面
ACE，BD1 平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
平行　
3. 如图所示，在空间四边形ABCD中，AC，BD为其对角线，E，F，G，H分别为AC，BC，BD，AD上的点，若四边形EFGH为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.
证明：因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥GH. 因为
GH 平面ABD，EF 平面ABD，所以EF∥平面ABD. 因为EF
平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，所以EF∥AB. 因为AB
平面EFGH，EF 平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面（面
AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面
A1B1CD）所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有（　　）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
解析：　如图所示，结合图形可知AA1∥平面
BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面
BB1D1D.
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2. 直线a在平面γ外，则（　　）
A. a∥γ
B. a与γ至少有一个公共点
C. a∩γ＝A
D. a与γ至多有一个公共点
解析：　直线a在平面γ外，其包括直线a与平面γ相交或平行
两层含义，故a与γ至多有一个公共点.
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3. 下列说法正确的是（　　）
A. 如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平
面
B. 如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一
条直线
C. 如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b
D. 如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α
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解析：　如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'
中，AA'∥BB'，AA'在过BB'的平面AB'内，
故选项A不正确；AA'∥平面B'C，BC 平面
B'C，但AA'不平行于BC，故选项B不正确；
AA'∥平面B'C，A'D'∥平面B'C，但AA'与
A'D'相交，所以选项C不正确；选项D中，假
设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，
这与a∥α矛盾，故b∥α，即选项D正确.故
选D.
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4. 如图，在四面体ABCD中，若M，N，P分别为线段AB，BC，
CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系为（　　）
A. 平行
B. 可能相交
C. 相交或BD 平面MNP
D. 以上都不对
解析：　因为N，P分别为线段BC，CD的中点，所以NP∥BD，又BD 平面MNP，NP 平面MNP，所以BD∥平面MNP.
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5. 如图，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在
棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是（　　）
解析：　在A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面
MNP；在D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP. 故选C.
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6. （多选）如图，空间四边形ABCD中，E，F，G分别是AB，
BC，CD的中点，下列结论正确的是（　　）
A. AD∥EG
B. AC∥平面EFG
C. BD∥平面EFG
D. AD，FG是一对相交直线
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解析：　点G∈平面ADC，点G 直线AD，点E 平面ADC，
由异面直线的定义可知AD，EG是异面直线，A错；AC∥EF，由
直线与平面平行的判定定理可得AC∥平面EFG，B对；
BD∥FG，由直线与平面平行的判定定理可得BD∥平面EFG，C
对；点G∈平面ADC，点G 直线AD，点F 平面ADC，由异面
直线的定义可知AD，FG是异面直线，D错；故选B、C.
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7. 梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线
CD与平面α的位置关系是 .
解析：因为AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，由线面平行的
判定定理可得CD∥平面α.
CD∥平面α　
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8. 如图，P为 ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上
一点，当PA∥平面EBF时， ＝ 　 　.
　
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解析：如图，连接AC交BE于G，连接FG，因
为PA∥平面EBF，
PA 平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，
所以PA∥FG，
所以 ＝ .
又因为AD∥BC，所以△AGE∽△CGB，
又E为AD的中点，
所以 ＝ ＝ ，所以 ＝ .
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9. 如图所示，直线a∥平面α，A α，并且a和A位于平面α的两
侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝
4，CF＝5，AF＝3，则EF＝ .
　
解析：由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF. 因为a∥平面α，a 平面β，所以EF∥a，所
以 ＝ ，所以EF＝ ＝ ＝ .
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10. 如图，已知异面直线AB，CD都与平面MNPQ平行，且点M，
N，P，Q依次在直线AC，BC，BD，AD上，求证：四边形
MNPQ是平行四边形.
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证明：∵AB∥平面MNPQ，AB 平面ABC，平面ABC∩平面
MNPQ＝MN，
∴AB∥MN.
又AB 平面ABD，平面ABD∩平面MNPQ＝PQ，
∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.
同理可证NP∥MQ.
∴四边形MNPQ是平行四边形.
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11. （多选）如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角
线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是
（　　）
A. OM∥PD B. OM∥平面PCD
C. OM∥平面PDA D. OM∥平面PBA
解析：　由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故A正确；PD 平面PCD，OM 平面PCD，∴OM∥平面PCD，故B正确；同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；OM与平面PBA和平面PBC都相交，故D不正确.故选A、B、C.
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12. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中
点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等
于 　 　，三棱锥B-AB1C的体积为 　 　.
　
　
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解析：由于在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2 .
又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF 平面ADC，平面
ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC的中点，∴EF
＝ AC＝ . ＝ ＝ × ×2×2×2＝ .
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13. 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别
为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
（1）求证：BC∥l；
解：证明：∵BC∥AD，AD 平面
PAD，BC 平面PAD，∴BC∥平面
PAD.
又∵平面PAD∩平面PBC＝l，BC 平面
PBC，
∴BC∥l.
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（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.
解：MN∥平面PAD.
证明如下：如图所示，取PD的中点E.
连接EN，AE.
∵N为PC的中点，
∴EN DC，
∵四边形ABCD为平行四边形.
∴DC AB，
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∴EN AB，
∴EN AM，
∴四边形ENMA为平行四边形，
∴AE∥MN.
又∵AE 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
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14. 已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，说法甲
为“若a∥b，则a∥α”，说法乙为“若a∥α，则a∥b”.要
使上面两种说法成立，需分别添加的条件是（　　）
A. 甲：“b α”，乙：“b α”
B. 甲：“b α”，乙：“a β且α∩β＝b”
C. 甲：“a α，b α”，乙：“a β且α∩β＝b”
D. 甲：“a α，b α”，乙：“b∥α”
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解析：　说法甲为“若a∥b，则a∥α”，由线面平行的判定
定理，得需添加的条件是“a α，b α”；说法乙为“若
a∥α，则a∥b”，由线面平行的性质定理，得需添加的条件是
“a β且α∩β＝b”.故选C.
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15. 在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和四边形ACC1A1都是矩
形.设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在
一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.
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证明如下：如图所示，连接AC1，A1C，AC1与A1C
交于点O，取线段AB的中点M. 连接A1M，OM，
MD，OE，MC.
在△ABC中，M，D分别为AB，BC的中点，
∴MD∥AC，且MD＝ AC.
在△ACC1中，O，E分别为AC1，CC1的中点，
∴OE∥AC，且OE＝ AC，
∴MD OE.
解：在线段AB上存在一点M，使DE∥平面A1MC.
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从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.
∵DE 平面A1MC，MO 平面A1MC，
∴直线DE∥平面A1MC.
即在线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使
直线DE∥平面A1MC.
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