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第二课时　直线与平面垂直的性质
1.已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是（　　）
A.b∥α B.b α
C.b⊥α D.b与α相交
2.直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（　　）
A.20° B.70°
C.90° D.110°
3.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是（　　）
A.若m∥α，n∥α，则m∥n
B.若m⊥α，n α，则m⊥n
C.若m⊥α，n∥α，则m∥n
D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α
4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（　　）
A.平行 B.垂直相交
C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
5.如图所示，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是（　　）
A.PB⊥AD
B.AB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE
D.直线PD与平面ABC所成的角为45°
6.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成的角的正切值为（　　）
A.2 B.1
C. D.
7.在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，AB＝AC且∠BAC＝90°，则直线PA与底面ABC所成的角为　　　　.
8.已知直线l∩平面α＝点O，A∈l，B∈l，A α，B α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝　　　　.
9.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F＝　　　　.
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a.
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求出直线PB与平面ABCD所成的角的正切值.
11.（多选）如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上异于AB的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的投影，则（　　）
A.AF⊥PB B.EF⊥PB
C.AF⊥BC D.AE⊥平面PBC
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为　　　　；
（2）直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为　　　　.
13.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.
（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；
（2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值.
14.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件　　　　时，有AB1⊥BC1（答案不唯一，填上你认为正确的一种条件即可）.
15.如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝1，BC＝，AC＝2.
（1）证明：BC⊥平面PAB；
（2）在线段PC上是否存在点D，使得AC⊥BD？若存在，求出PD的值，若不存在，请说明理由.
第二课时　直线与平面垂直的性质
1.C　由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.故选C.
2.B　∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°.故选B.
3.B　若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A错误；若m⊥α，n α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，n∥α，则m⊥n，故C错误；若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n与α相交或n α，故D错误.
4.C　如图，连接AC.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA 平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.故选C.
5.D　正六棱锥的底面为正六边形ABCDEF，每个内角为120°，AD是∠FAB的角平分线，AD与AB不垂直，而AB是PB在底面上的射影，所以PB与AD不垂直，故A不正确；因为∠ABC＝120°，所以AB与BC不垂直，所以AB与平面PBC不垂直，B不正确；BC与AE在平面ABCDEF内相交，故C不正确；PD在底面ABC内的射影是AD，且AD＝2AB，又PA＝2AB，所以AD＝PA，又PA⊥平面ABC，AD 平面ABC，所以PA⊥AD，所以△PAD为等腰直角三角形，所以直线PD与平面ABC所成的角为∠PDA＝45°，故D正确.
6.D　连接EB（图略），由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成的角.在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝，则tan ∠FEB＝＝.
7.60°　解析：由已知，易得点P在底面ABC上的射影为Rt△ABC斜边BC的中点，易得直线PA与底面ABC所成的角为60°.
8.2　解析：如图，因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD.连接OD，所以＝.因为OA＝AB，所以＝.因为AC＝1，所以BD＝2.
9.　解析：设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF 平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝，设Rt△AA1B1的斜边AB1上的高为h，则DE＝h.由面积相等得2×＝h，所以h＝，所以DE＝.在Rt△DEB1中，B1E＝＝.由面积相等得×＝x，得x＝，即线段B1F的长为.
10.解：（1）证明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，
∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD.
∵AD，DC 平面ABCD，且AD∩DC＝D，
∴PD⊥平面ABCD.
（2）由（1）知PD⊥平面ABCD，∴BD是PB在平面ABCD上的射影，
∴∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角.
∵BD＝a，∴tan ∠PBD＝＝＝.
11.ABC　对于A、C，因为PA⊥平面ABC，故PA⊥BC，又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，从而BC⊥AF，又AF⊥PC，故AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，AF⊥BC，故A、C正确；对于B，由选项A知AF⊥PB，而AE⊥PB，从而PB⊥平面AEF，故EF⊥PB，故B正确；对于D，由上面过程可知，AE与平面PBC不垂直，故D不正确.
12.（1）45°　（2）30°　解析：（1）由线面角定义知，∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.
（2）如图，连接A1D，设A1D∩AD1＝O，连接BO，
则易证A1D⊥平面ABC1D1，
∴A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，
∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.
∵A1O＝A1B，
∴∠A1BO＝30°.
13.解：（1）证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，所以AB1⊥BA1.
由AA1⊥平面A1B1C1，得AA1⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，
所以A1C1⊥平面AA1B1B，
又因为AB1 平面AA1B1B，
所以A1C1⊥AB1.
又因为BA1∩A1C1＝A1，
所以AB1⊥平面A1BC1.
（2）如图，连接A1D.
设AB＝AC＝AA1＝1，
因为AA1⊥平面A1B1C1，
所以∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.
在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的中点.
所以A1D＝×B1C1＝.
在Rt△A1DA中，AD＝＝.
所以sin∠A1DA＝＝，
即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
14.A1C1⊥B1C1（答案不唯一）　解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可（或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等）.
15.解：（1）证明：由题知AB＝1，BC＝，AC＝2.
则AB2＋BC2＝AC2，
所以AB⊥BC，
又因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC，
因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.
（2）在线段PC上存在点D，当PD＝时，使得AC⊥BD.
理由如下：如图，在平面ABC内，过点B作BE⊥AC，垂足为E，在平面PAC内，过点E作DE∥PA，交PC于点D，连接BD，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，
所以DE⊥AC，所以AC⊥平面DBE，
又因为BD 平面DBE，
所以AC⊥BD，
在△ABC中，BE＝＝，
所以AE＝，CE＝，
所以＝，所以CD＝，PD＝.
2 / 3第二课时　直线与平面垂直的性质
　　如图，是我们比较熟悉的广场中的路灯.
【问题】　（1）旗杆与水平面有什么样的位置关系？
（2）旗杆与旗杆之间有什么样的位置关系？
（3）由此你能得出什么结论？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　直线与平面垂直的性质
文字语言 如果两条直线　　　　于同一个平面，那么这两条直线　　　　
图形语言
符号语言 a∥b
【想一想】
如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条直线与这个平面是什么位置关系？
1.已知△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是　　　　.
2.如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝　　　　.
知识点二　直线与平面所成的角
如图，如果A是平面α外一点，B是平面α内一点，且AB⊥α.则∠ACB称为直线AC与平面α所成的角.
【想一想】
　直线与平面所成的角的范围是多少？
1.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是（　　）
A.60°　　　　　　　　　 B.45°
C.30° D.120°
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于　　　　.
题型一 直线与平面垂直的性质
【例1】　如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：EF∥BD.
尝试解答
通性通法
证明线线平行的常用方法
（1）利用线线平行定义：证共面且无公共点；
（2）利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；
（3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
（4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
（5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
【跟踪训练】
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.求证：AE∥MN.
题型二 直线与平面所成的角
【例2】　如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.
尝试解答
通性通法
求斜线与平面所成角的步骤
（1）作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算；
（2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；
（3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
【跟踪训练】
　正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为（　　）
A.30°　 　B.45°　 　C.60°　 　D.90°
题型三 直线与平面垂直的综合应用
【例3】　如图，四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，SD⊥平面ABCD，M是SA的中点，AB＝AD＝SD＝1，CD＝2.
（1）证明：DM⊥平面SAB；
（2）证明：BC⊥平面SDB.
尝试解答
通性通法
线线、线面垂直问题的解题策略
（1）证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面；
（2）证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来.
【跟踪训练】
如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.
（1）求证：AC⊥平面BCE；
（2）求证：AD⊥AE.
1.若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则（　　）
A.b⊥α　　　　　　　B.b α
C.b∥α D.b∥α或b α
2.在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（　　）
A.相交 B.平行
C.异面 D.相交或平行
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中AB1与平面DCC1D1所成的角等于　　　　.
4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.
第二课时　直线与平面垂直的性质
【基础知识·重落实】
知识点一
垂直　平行　⊥　⊥
想一想
　提示：垂直.
自我诊断
1.平行　解析：因为l⊥AB，l⊥AC，AB α，AC α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可证m⊥α，所以l∥m.
2.6　解析：∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.∵AF＝DE，∴四边形ADEF是平行四边形.∴EF＝AD＝6.
知识点二
想一想
　提示：0°≤θ≤90°.
自我诊断
1.A　由题图可知，∠ABO即为斜线段AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝， 即∠ABO＝60°.
2.45°　解析：如图所示，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，所以∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角.由题意知，所以∠B1AB＝45°，故所求角为45°.
【典型例题·精研析】
【例1】　证明：∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，
∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.
又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.
又EF⊥AC，PC∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，
∴EF∥BD.
跟踪训练
证明：因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
所以AE⊥AB.
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
【例2】　解：由题意知A是M在平面ABC上的射影，
∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB上的射影为AC.
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝.
在Rt△MAB中，MA＝＝＝3.
在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝.
即MC与平面CAB所成角的正弦值为.
跟踪训练
A　如图，
取A1B1的中点E，连接C1E，AE.由正三棱柱的性质，得平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，平面A1B1C1∩平面ABB1A1＝A1B1.又C1E⊥A1B1，∴C1E⊥平面ABB1A1，∴∠C1AE为AC1与侧面ABB1A1所成的角.∵AB＝1，C1C＝，∴在Rt△C1EA中，C1E＝，AE＝，∴tan∠C1AE＝＝，∴∠C1AE＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°，故选A.
【例3】　证明：（1）∵SD＝AD，M是SA的中点，
∴DM⊥SA.
∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥BA.
又BA⊥AD，SD∩AD＝D，
∴BA⊥平面SAD，
而DM 平面SDA，∴BA⊥DM.
∵BA∩SA＝A，∴DM⊥平面SAB.
（2）如图，连接BD，在直角梯形ABCD中，
∵AB＝AD＝SD＝1，CD＝2，
∴DB⊥BC.
∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥BC，
∵SD∩BD＝D，∴BC⊥平面SDB.
跟踪训练
证明：（1）在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC＝BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.
又BE 平面BCE，BC 平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
（2）因为AF⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF 平面ABEF，AB 平面ABEF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF.
又AE 平面ABEF，
所以AD⊥AE.
随堂检测
1.D　当b α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当b与α相交时，a⊥α，则a与b不垂直.因为直线a⊥b，且a⊥α，所以b∥α或b α，故选D.
2.B　圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确.
3.0°　解析：AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.
4.证明：因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，
所以MN∥AD1.
4 / 4(共65张PPT)
第二课时　直线与平面垂直的性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　如图，是我们比较熟悉的广场中的路灯.
【问题】　（1）旗杆与水平面有什么样的位置关系？
（2）旗杆与旗杆之间有什么样的位置关系？
（3）由此你能得出什么结论？




　　
知识点一　直线与平面垂直的性质
文字语言 如果两条直线 于同一个平面，那么这两条直
线
图形语言
符号语言
垂直　
平行　
【想一想】
如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条直线与这个平
面是什么位置关系？
提示：垂直.
1. 已知△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线
m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是 .
解析：因为l⊥AB，l⊥AC，AB α，AC α且AB∩AC＝A，
所以l⊥α，同理可证m⊥α，所以l∥m.
平行　
2. 如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，
AD＝6，则EF＝ .
解析：∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.
∵AF＝DE，
∴四边形ADEF是平行四边形.∴EF＝AD＝6.
6　
知识点二　直线与平面所成的角
如图，如果A是平面α外一点，B是平面α内一点，且AB⊥α.则
∠ACB称为直线AC与平面α所成的角.
【想一想】
直线与平面所成的角的范围是多少？
提示：0°≤θ≤90°.
1. 如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与
平面α所成的角是（　　）
A. 60° B. 45°
C. 30° D. 120°
解析：　由题图可知，∠ABO即为斜线段AB与平面α所成的
角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以 cos ∠ABO＝ ， 即∠ABO
＝60°.
2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等
于 .
解析：如图所示，因为正方体ABCD-A1B1C1D1
中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面
ABCD中的射影，所以∠B1AB即为直线AB1与平
面ABCD所成的角.由题意知，所以∠B1AB＝
45°，故所求角为45°.
45°　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与平面垂直的性质
【例1】　如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为
BC，CD上的点，且EF⊥AC. 求证：EF∥BD.
证明：∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，∴PA⊥BD，
PC⊥BD，PC⊥EF.
又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.
又EF⊥AC，PC∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴EF∥BD.
通性通法
证明线线平行的常用方法
（1）利用线线平行定义：证共面且无公共点；
（2）利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；
（3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
（4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
（5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
【跟踪训练】
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，
AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且
MN⊥AB，MN⊥PC. 求证：AE∥MN.
证明：因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
所以AE⊥AB.
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
题型二 直线与平面所成的角
【例2】　如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC
上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正
弦值.
解：由题意知A是M在平面ABC上的射影，
∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB上的射影为AC.
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BM sin ∠MBC＝5 sin 60°＝5× ＝ .
在Rt△MAB中，MA＝ ＝ ＝3.
在Rt△MAC中， sin ∠MCA＝ ＝ ＝ .
即MC与平面CAB所成角的正弦值为 .
通性通法
求斜线与平面所成角的步骤
（1）作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上
一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的
选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算；
（2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；
（3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
【跟踪训练】
正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为 ，则AC1与侧面
ABB1A1所成的角为（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：　如图，取A1B1的中点E，连接C1E，
AE. 由正三棱柱的性质，得平面A1B1C1⊥平面
ABB1A1，平面A1B1C1∩平面ABB1A1＝A1B1.又
C1E⊥A1B1，∴C1E⊥平面ABB1A1，∴∠C1AE为
AC1与侧面ABB1A1所成的角.∵AB＝1，C1C＝
，∴在Rt△C1EA中，C1E＝ ，AE＝ ，∴tan∠C1AE＝ ＝ ，∴∠C1AE＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°，故选A.
题型三 直线与平面垂直的综合应用
【例3】　如图，四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，
∠BAD＝∠ADC＝90°，SD⊥平面ABCD，M是SA的中点，AB＝
AD＝SD＝1，CD＝2.
（1）证明：DM⊥平面SAB；
证明：∵SD＝AD，M是SA的中点，
∴DM⊥SA.
∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥BA.
又BA⊥AD，SD∩AD＝D，
∴BA⊥平面SAD，
而DM 平面SDA，∴BA⊥DM.
∵BA∩SA＝A，∴DM⊥平面SAB.
（2）证明：BC⊥平面SDB.
证明：如图，连接BD，在直角梯形ABCD中，
∵AB＝AD＝SD＝1，CD＝2，
∴DB⊥BC.
∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥BC，
∵SD∩BD＝D，∴BC⊥平面SDB.
通性通法
线线、线面垂直问题的解题策略
（1）证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线
的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过
哪条直线的平面；
（2）证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两
条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来.
【跟踪训练】
如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形
ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝
2，AB＝4.
（1）求证：AC⊥平面BCE；
证明：在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC＝BC＝2 ，所以AC2＋BC2＝AB2，
所以AC⊥BC.
因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.
又BE 平面BCE，BC 平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
（2）求证：AD⊥AE.
证明：因为AF⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，
所以AB⊥AD.
又AF 平面ABEF，AB 平面ABEF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF.
又AE 平面ABEF，
所以AD⊥AE.
1. 若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则（　　）
A. b⊥α B. b α
C. b∥α D. b∥α或b α
解析：　当b α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，
则a⊥b；当b与α相交时，a⊥α，则a与b不垂直.因为直线
a⊥b，且a⊥α，所以b∥α或b α，故选D.
2. 在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作
另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系
是（　　）
A. 相交 B. 平行
C. 异面 D. 相交或平行
解析：　圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B
正确.
3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中AB1与平面DCC1D1所成的角等
于 .
解析：AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.
0°　
4. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是
A1C的中点，MN⊥平面A1DC. 求证：MN∥AD1.
证明：因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，
所以MN∥AD1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的
是（　　）
A. b∥α B. b α
C. b⊥α D. b与α相交
解析：　由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，
a∥b.故选C.
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2. 直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等
于（　　）
A. 20° B. 70°
C. 90° D. 110°
解析：　∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的
角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°.
故选B.
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3. 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是
（　　）
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n
B. 若m⊥α，n α，则m⊥n
C. 若m⊥α，n∥α，则m∥n
D. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α
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解析：　若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A
错误；若m⊥α，n α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，
n∥α，则m⊥n，故C错误；若m∥α，m⊥n，则n∥α或
n⊥α或n与α相交或n α，故D错误.
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4. 如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置
关系是（　　）
A. 平行 B. 垂直相交
C. 垂直但不相交 D. 相交但不垂直
解析：　如图，连接AC. 因为四边形ABCD是菱
形，所以BD⊥AC. 又MC⊥平面ABCD，则
BD⊥MC. 因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面
AMC. 又MA 平面AMC，所以MA⊥BD. 显然直线
MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关
系是垂直但不相交.故选C.
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5. 如图所示，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面
ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是（　　）
A. PB⊥AD
B. AB⊥平面PBC
C. 直线BC∥平面PAE
D. 直线PD与平面ABC所成的角为45°
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解析：　正六棱锥的底面为正六边形ABCDEF，每个内角为
120°，AD是∠FAB的角平分线，AD与AB不垂直，而AB是PB在
底面上的射影，所以PB与AD不垂直，故A不正确；因为∠ABC＝
120°，所以AB与BC不垂直，所以AB与平面PBC不垂直，B不正
确；BC与AE在平面ABCDEF内相交，故C不正确；PD在底面
ABC内的射影是AD，且AD＝2AB，又PA＝2AB，所以AD＝
PA，又PA⊥平面ABC，AD 平面ABC，所以PA⊥AD，所以
△PAD为等腰直角三角形，所以直线PD与平面ABC所成的角为
∠PDA＝45°，故D正确.
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6. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，
F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成的角的正切值为
（　　）
B. 1
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解析：　连接EB（图略），由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即为
直线EF与平面ABCD所成的角.在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝
，则tan ∠FEB＝ ＝ .
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7. 在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，AB＝AC且∠BAC＝
90°，则直线PA与底面ABC所成的角为 .
解析：由已知，易得点P在底面ABC上的射影为Rt△ABC斜边BC
的中点，易得直线PA与底面ABC所成的角为60°.
60°　
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8. 已知直线l∩平面α＝点O，A∈l，B∈l，A α，B α，且OA
＝AB. 若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC
＝1，则BD＝ .
解析：如图，因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，
所以AC∥BD. 连接OD，所以 ＝ .因为OA
＝AB，所以 ＝ .因为AC＝1，所以BD＝2.
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解析：设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF 平面C1DF，所
以AB1⊥DF. 由已知可得A1B1＝ ，设Rt△AA1B1的斜边AB1上的
高为h，则DE＝ h.由面积相等得2× ＝h ，所
以h＝ ，所以DE＝ .在Rt△DEB1中，B1E＝
＝ .由面积相等得 × ＝ x，得x＝ ，即线段
B1F的长为 .
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10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD
＝a，PA＝PC＝ a.
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
解：证明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝ a，
∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD.
∵AD，DC 平面ABCD，且AD∩DC＝D，
∴PD⊥平面ABCD.
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（2）求出直线PB与平面ABCD所成的角的正切值.
解：由（1）知PD⊥平面ABCD，
∴BD是PB在平面ABCD上的射影，
∴∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角.
∵BD＝ a，∴tan ∠PBD＝ ＝ ＝ .
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11. （多选）如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，
C是圆O上异于AB的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的投
影，则（　　）
A. AF⊥PB
B. EF⊥PB
C. AF⊥BC
D. AE⊥平面PBC
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解析：　对于A、C，因为PA⊥平面ABC，故PA⊥BC，又
BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，从而BC⊥AF，又AF⊥PC，故
AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，AF⊥BC，故A、C正确；对于
B，由选项A知AF⊥PB，而AE⊥PB，从而PB⊥平面AEF，故
EF⊥PB，故B正确；对于D，由上面过程可知，AE与平面PBC
不垂直，故D不正确.
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12. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为 ；
解析：由线面角定义知，∠A1BA为A1B与平面ABCD所成
的角，∠A1BA＝45°.
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（2）直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为 .
解析：如图，连接A1D，设A1D∩AD1＝
O，连接BO，则易证A1D⊥平面
ABC1D1，∴A1B在平面ABC1D1内的射影
为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为
∠A1BO. ∵A1O＝ A1B，∴∠A1BO＝30°.
30°　
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13. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝
AA1.
（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；
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解：证明：由题意知四边形AA1B1B
是正方形，所以AB1⊥BA1.
由AA1⊥平面A1B1C1，得AA1⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，
所以A1C1⊥平面AA1B1B，
又因为AB1 平面AA1B1B，所以A1C1⊥AB1.
又因为BA1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1BC1.
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（2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值.
解：如图，连接A1D.
设AB＝AC＝AA1＝1，
因为AA1⊥平面A1B1C1，
所以∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.
在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的
中点.
所以A1D＝ ×B1C1＝ .
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在Rt△A1DA中，AD＝ ＝ .
所以 sin ∠A1DA＝ ＝ ，
即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为 .
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14. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条
件 时，有AB1⊥BC1（答案不唯一，
填上你认为正确的一种条件即可）.
A1C1⊥B1C1（答案不唯一）　
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解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得
BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明
BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直
三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为
A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1
即可（或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如
∠A1C1B1＝90°等）.
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15. 如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝1，BC
＝ ，AC＝2.
（1）证明：BC⊥平面PAB；
解：证明：由题知AB＝1，BC＝ ，AC＝2.
则AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，
又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
因为PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB.
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（2）在线段PC上是否存在点D，使得AC⊥BD？若存在，求出
PD的值，若不存在，请说明理由.
解：在线段PC上存在点D，当PD
＝ 时，使得AC⊥BD.
理由如下：如图，在平面ABC内，过点
B作BE⊥AC，垂足为E，在平面PAC
内，过点E作DE∥PA，交PC于点D，
连接BD，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，
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所以DE⊥AC，所以AC⊥平面DBE，
又因为BD 平面DBE，
所以AC⊥BD，
在△ABC中，BE＝ ＝ ，
所以AE＝ ，CE＝ ，
所以 ＝ ，
所以CD＝ ，PD＝ .
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谢 谢 观 看！

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