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章末检测（十一）　立体几何初步
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.棱柱的侧面和底面可以同时都是（　　）
A.三角形　　　　　　 B.四边形
C.五边形 D.六边形
2.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）
A.l与l1，l2都不相交
B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交
D.l至少与l1，l2中的一条相交
3.已知α，β为两个不同平面，l为直线且l⊥β，则“α⊥β ”是“l∥α”（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.正方体的内切球与外接球的体积之比为（　　）
A.1∶3 B.1∶
C.1∶3 D.1∶2
5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为（　　）
A.30°　 　B.45° C.60°　 　D.90°
6.已知四棱锥S-ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥的表面积等于16＋16，则球O的体积等于（　　）
A. B.
C. D.
7.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，沿MN将四边形MBCN折起，使点B，C分别落在B1，C1处，且二面角B1-MN-A的大小为120°，则B1D与平面AMND所成的角的正切值为（　　）
A. B.
C. D.
8.如图，E，F，G分别是空间四边形ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.一个正方体内有一个内切球，用一个平面去截，所得截面图形可能是图中的（　　）
10.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，一定成立的是（　　）
A.AB∥m B.AC⊥m
C.AB∥β D.AC⊥β
11.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是（　　）
A.直线A1C1与AD1为异面直线
B.A1C1∥平面ACD1
C.BD1⊥AC
D.三棱锥D1-ADC的体积为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'＝6，O'C'＝3，B'C'∥x'轴，则原平面图形的面积为　　　　.
13.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现.我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为　　　　，圆柱的表面积与球的表面积之比为　　　　.
14.已知球O是三棱锥P-ABC的外接球，△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC，若三棱锥P-ABC的体积为2，则球O的表面积为　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，AD＝3，CD＝2，AB＝2，∠DAB＝45°，四边形绕着直线AD旋转一周.
（1）求所形成的封闭几何体的表面积；
（2）求所形成的封闭几何体的体积.
16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA＝2，E是线段PC上的动点.
（1）若E是线段PC的中点，证明：PA∥平面EBD；
（2）若直线PC与底面ABCD所成的角的正弦值为，求菱形ABCD的边长.
17.（本小题满分15分）如图，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1.
（1）证明：D1A∥平面C1BD；
（2）求异面直线BC1与AA1所成的角的大小；
（3）求三棱锥B1-A1C1B的体积.
18.（本小题满分17分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE＝a，点M在线段EF上.
（1）求证：BC⊥平面ACFE.
（2）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论.
19.（本小题满分17分）如图（ⅰ），已知等边△ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且BM＝2MA，AN＝2NC.如图（ⅱ），将△AMN沿MN折起到△A'MN的位置.
（1）求证：平面A'BM⊥平面BCNM；
（2）给出三个条件：①A'M⊥BC；②二面角A'-MN-C大小为60°；③A'到平面BCNM的距离为.从中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答.
已知　　　　，在线段A'C上是否存在一点P，使三棱锥A'-PMB的体积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
章末检测（十一）　立体几何初步
1.B　四棱柱的侧面和底面均为四边形.
2.D　由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交.
3.B　根据题意，当“l∥α”时，必有“α⊥β ”，反之，当“α⊥β ”时，l可能在平面α内，即“l∥α”不一定成立，则“α⊥β ”是“l∥α”的必要不充分条件.故选B.
4.C　设正方体的棱长为a，则其内切球的半径为a，外接球的半径为a，所以内切球与外接球的体积之比为＝.
5.C　如图，连接A1C1，BC1，A1B.∵M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，∴MN∥BC1.又A1C1∥AC，∴∠A1C1B为异面直线AC与MN所成的角.∵△A1BC1为正三角形，∴∠A1C1B＝60°.故选C.
6.D　由题意，知当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥.如图，设球O的半径为R，则AC＝2R，SO＝R，∴该四棱锥的底面边长为R，则有（R）2＋4××R×＝16＋16，解得R＝2，∴球O的体积是πR3＝，故选D.
7.C　过点B1作B1E⊥AB于点E，连接DE（图略）.由题意，知∠B1MA为二面角B1-MN-A的平面角，∠B1DE为B1D与平面AMND所成的角.设AB＝2，则MB1＝1.又∠B1MA＝120°，所以∠B1ME＝60°，则ME＝，B1E＝，则DE＝＝，所以tan ∠B1DE＝＝，故选C.
8.C　在△ACD中，∵G，F分别为AD与CD的中点，∴GF∥AC.而GF 平面EFG，AC 平面EFG，∴AC∥平面EFG.同理，BD∥平面EFG.故选C.
9.AB　由组合体的结构特征可知：当截面过球与正方体切点时可知A正确，C错误；当截面过正方体的对角面时可知B正确；此题是正方体的内切球，可知D错误.故选A、B.
10.ABC　∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l，∵AB∥l，∴AB∥m，故A一定正确；∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m，故B一定正确；∵A∈α，AB∥l，l α，∴B∈α，∴AB β，l β，∴AB∥β，故C也正确；∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立，故D不一定成立.
11.ABC　对于A，直线A1C1 平面A1B1C1D1，AD1 平面ADD1A1，D1 直线A1C1，则易得直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；对于B，因为A1C1∥AC，A1C1 平面ACD1，AC 平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，故B正确；对于C，连接BD（图略），因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，所以BD1⊥AC，故C正确；对于D，三棱锥D1-ADC的体积＝××2×2×2＝，故D错误.故选A、B、C.
12.36　解析：在直观图中，设B'C'与y'轴的交点为D'，则易得O'D'＝3，所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，所以其面积为6×6＝36.
13.　　解析：由题意，圆柱底面半径r＝球的半径R，圆柱的高h＝2R，则V球＝πR3，V柱＝πr2h＝π·R2·2R＝2πR3.
∴＝＝.
S球＝4πR2，S柱＝2πr2＋2πrh＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2.∴＝＝.
14.20π　解析：∵三棱锥P-ABC的体积为2，
∴××（2）2×PA＝2，∴PA＝2，
将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，
球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，
∵△ABC是边长为2的正三角形，
∴△ABC外接圆的半径r＝2，
∴球的半径为＝，
∴球O的表面积为4π×5＝20π.
15.解：如图，过点B作BE⊥AD于点E.
∵AB＝2，∠DAB＝45°，
∴BE＝2，∴DE＝1，
则四边形绕着直线AD旋转一周所形成的封闭几何体为一个底面半径为2，高为1的圆柱及一个底面半径为2，高为2的圆锥的组合体.
（1）所求几何体的表面积为S＝π×22＋π×2×2×1＋π×2×2＝（8＋4）π.
（2）所求几何体的体积为V＝π×22×1＋×π×22×2＝π.
16.解：（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，连接EO.
∵底面ABCD是菱形，
∴O是AC的中点，又E是PC的中点，
∴PA∥EO，
又PA 平面EBD，EO 平面EBD，
∴PA∥平面EBD.
（2）∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AC，
∴∠PCA为直线PC与底面ABCD所成的角，
∴sin∠PCA＝＝，
又PA＝2，∴PC＝2，∴AC＝2.
∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝AC＝BC＝2.
17.解：（1）证明：∵在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥C1D1，且AB＝C1D1，
∴四边形ABC1D1为平行四边形，
∴AD1∥BC1.
又BC1 平面C1BD，AD1 平面C1BD，
∴D1A∥平面C1BD.
（2）∵AA1∥BB1，
∴异面直线BC1与AA1所成的角即为BC1与BB1所成的角，
∵∠B1BC1＝45°，
∴异面直线BC1与AA1所成的角的大小为45°.
（3）三棱锥B1-A1C1B的体积：＝＝×BB1＝××1×1×1＝.
18.解：（1）证明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，
∴四边形ABCD是等腰梯形，∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC 平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE.
（2）当EM＝a时，AM∥平面BDF.
证明如下：
在梯形ABCD中，设AC∩BD＝N，连接FN（图略），
∵AC⊥BC，∠BAC＝30°，CB＝a，
∴AB＝2a，AC＝a.
∵AB∥CD，∴CN∶NA＝CD∶AB＝a∶2a＝1∶2.
∵EM＝a，EF＝AC＝a，
∴EM∶MF＝1∶2.
又EF∥AC，EF＝AC，∴MF∥AN，MF＝AN，
∴四边形ANFM是平行四边形，
∴AM∥NF.
又NF 平面BDF，AM 平面BDF，
∴AM∥平面BDF.
19.解：（1）证明：由已知得AM＝1，AN＝2，∠A＝60°，
∴MN⊥AM，MN⊥MB，∴MN⊥A'M，
又MB∩A'M＝M，
∴MN⊥平面A'BM.
又MN 平面BCNM，
∴平面A'BM⊥平面BCNM.
（2）连接MC，过C作CE⊥BM于点E（图略），则由题中条件易知CE既为△ABC中AB边上的高，也为△BCM中BM边上的高，且CE⊥平面A'BM，CE＝.
若选条件①，由（1）得A'M⊥MN，又BC和MN是两条相交直线，
∴A'M⊥平面BCNM，此时S△A'BM＝×AM×BM＝1，
∴V三棱锥A'-BCM＝S△A'BM×＝＞，
∴线段A'C上存在一点P，使三棱锥A'-PMB的体积为，且＝＝.
若选条件②，由（1）得∠A'MB是二面角A'-MN-C的平面角，
∴∠A'MB＝60°.
此时S△A'BM＝×A'M×sin 60°×BM＝，
∴V三棱锥A'-BCM＝S△A'BM×＝.
∴线段A'C上存在一点P，使三棱锥A'-PMB的体积为，且＝1.
若选条件③，过A'作A'O⊥BM，垂足为O（图略），
则A'O⊥平面BCNM，
∴A'O＝，
此时S△A'BM＝×BM×A'O＝×2×＝.
∴V三棱锥A'-BCM＝S△A'BM×＝＜，
∴线段A'C上不存在点P，使三棱锥A'-PMB的体积为.
4 / 4(共45张PPT)
章末检测（十一）　立体几何初步
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 棱柱的侧面和底面可以同时都是（　　）
A. 三角形 B. 四边形
C. 五边形 D. 六边形
解析：　四棱柱的侧面和底面均为四边形.
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2. 若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面
α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）
A. l与l1，l2都不相交
B. l与l1，l2都相交
C. l至多与l1，l2中的一条相交
D. l至少与l1，l2中的一条相交
解析：　由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中
至少有一条与l相交.
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3. 已知α，β为两个不同平面，l为直线且l⊥β，则“α⊥β ”是
“l∥α”（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　根据题意，当“l∥α”时，必有“α⊥β ”，反之，
当“α⊥β ”时，l可能在平面α内，即“l∥α”不一定成立，
则“α⊥β ”是“l∥α”的必要不充分条件.故选B.
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4. 正方体的内切球与外接球的体积之比为（　　）
A. 1∶3 B. 1∶
C. 1∶3 D. 1∶2
解析：　设正方体的棱长为a，则其内切球的半径为 a，外接球
的半径为 a，所以内切球与外接球的体积之比为 ＝ .
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5. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1
的中点，则异面直线AC与MN所成的角为（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
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解析：　如图，连接A1C1，BC1，A1B.
∵M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，
∴MN∥BC1.又A1C1∥AC，∴∠A1C1B为异面
直线AC与MN所成的角.∵△A1BC1为正三角
形，∴∠A1C1B＝60°.故选C.
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6. 已知四棱锥S-ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方
形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥的
表面积等于16＋16 ，则球O的体积等于（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　由题意，知当此四棱锥体积取得最大
值时，四棱锥为正四棱锥.如图，设球O的半径
为R，则AC＝2R，SO＝R，∴该四棱锥的底面
边长为 R，则有（ R）2＋4× ×
R× ＝16＋16 ，解得R＝
2 ，∴球O的体积是 πR3＝ ，故选D.
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7. 如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，沿MN
将四边形MBCN折起，使点B，C分别落在B1，C1处，且二面角
B1-MN-A的大小为120°，则B1D与平面AMND所成的角的正切值
为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　过点B1作B1E⊥AB于点E，连接DE（图略）.由题意，
知∠B1MA为二面角B1-MN-A的平面角，∠B1DE为B1D与平面
AMND所成的角.设AB＝2，则MB1＝1.又∠B1MA＝120°，所以
∠B1ME＝60°，则ME＝ ，B1E＝ ，则DE＝
＝ ，所以tan ∠B1DE＝ ＝ ，故选C.
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8. 如图，E，F，G分别是空间四边形ABCD的棱BC，CD，DA的
中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是（　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：C　在△ACD中，∵G，F分别为AD与CD的中点，
∴GF∥AC. 而GF 平面EFG，AC 平面EFG，∴AC∥平面
EFG. 同理，BD∥平面EFG. 故选C.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 一个正方体内有一个内切球，用一个平面去截，所得截面图形可能
是图中的（　　）
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解析：　由组合体的结构特征可知：当截面过球与正方体切点时可知A正确，C错误；当截面过正方体的对角面时可知B正确；此题是正方体的内切球，可知D错误.故选A、B.
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10. 已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线
AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关
系中，一定成立的是（　　）
A. AB∥m B. AC⊥m
C. AB∥β D. AC⊥β
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解析：　∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l，
∵AB∥l，∴AB∥m，故A一定正确；∵AC⊥l，m∥l，
∴AC⊥m，故B一定正确；∵A∈α，AB∥l，l α，
∴B∈α，∴AB β，l β，∴AB∥β，故C也正确；
∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面
α内时，AC⊥β不成立，故D不一定成立.
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11. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论
正确的是（　　）
A. 直线A1C1与AD1为异面直线
B. A1C1∥平面ACD1
C. BD1⊥AC
D. 三棱锥D1-ADC的体积为
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解析：　对于A，直线A1C1 平面A1B1C1D1，AD1 平面
ADD1A1，D1 直线A1C1，则易得直线A1C1与AD1为异面直线，故
A正确；对于B，因为A1C1∥AC，A1C1 平面ACD1，AC 平面
ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，故B正确；对于C，连接BD（图
略），因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，
BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，所以BD1⊥AC，故C正
确；对于D，三棱锥D1-ADC的体积 ＝ ×
×2×2×2＝ ，故D错误.故选A、B、C.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
O'A'＝6，O'C'＝3，B'C'∥x'轴，则原平面图形的面积为 .
36 　
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解析：在直观图中，设B'C'与y'轴的交点为D'，则易得O'D'＝
3 ，所以原平面图形为一边长为6，高为6 的平行四边形，所
以其面积为6×6 ＝36 .
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13. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆
柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，
相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现.我们来重温这
个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为 ，圆柱的表面积与
球的表面积之比为 .
　
　
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解析：由题意，圆柱底面半径r＝球的半径R，圆柱的高h＝
2R，则V球＝ πR3，V柱＝πr2h＝π·R2·2R＝2πR3.∴ ＝ ＝
.S球＝4πR2，S柱＝2πr2＋2πrh＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2.∴ ＝
＝ .
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14. 已知球O是三棱锥P-ABC的外接球，△ABC是边长为2 的正三
角形，PA⊥平面ABC，若三棱锥P-ABC的体积为2 ，则球O
的表面积为 .
解析：∵三棱锥P-ABC的体积为2 ，∴ × ×（2 ）
2×PA＝2 ，∴PA＝2，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱
柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，
∵△ABC是边长为2 的正三角形，∴△ABC外接圆的半径r＝
2，∴球的半径为 ＝ ，∴球O的表面积为4π×5＝20π.
20π　
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四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，AD⊥DC，
AD∥BC，AD＝3，CD＝2，AB＝2 ，∠DAB＝45°，四边
形绕着直线AD旋转一周.
（1）求所形成的封闭几何体的表面积；
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解：如图，过点B作BE⊥AD于点E.
∵AB＝2 ，∠DAB＝45°，
∴BE＝2，∴DE＝1，
则四边形绕着直线AD旋转一周所形成的封闭
几何体为一个底面半径为2，高为1的圆柱及一
个底面半径为2，高为2的圆锥的组合体.
（1）所求几何体的表面积为S＝π×22＋
π×2×2×1＋π×2×2 ＝（8＋4 ）π.
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（2）求所形成的封闭几何体的体积.
解：所求几何体的体积为V＝π×22×1＋
×π×22×2＝ π.
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16. （本小题满分15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面
ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA＝2 ，E是线
段PC上的动点.
（1）若E是线段PC的中点，证明：PA∥平面EBD；
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解：证明：如图，连接AC交BD于
点O，连接EO.
∵底面ABCD是菱形，
∴O是AC的中点，又E是PC的中点，
∴PA∥EO，
又PA 平面EBD，EO 平面EBD，
∴PA∥平面EBD.
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解：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AC，
∴∠PCA为直线PC与底面ABCD所成的角，
∴ sin ∠PCA＝ ＝ ，
又PA＝2 ，∴PC＝2 ，∴AC＝2.
∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB
＝AC＝BC＝2.
（2）若直线PC与底面ABCD所成的角的正弦值为 ，求菱形
ABCD的边长.
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17. （本小题满分15分）如图，已知棱长为1的正方体ABCD-
A1B1C1D1.
（1）证明：D1A∥平面C1BD；
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解：证明：∵在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥C1D1，且AB＝C1D1，
∴四边形ABC1D1为平行四边形，
∴AD1∥BC1.
又BC1 平面C1BD，AD1 平面C1BD，
∴D1A∥平面C1BD.
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（2）求异面直线BC1与AA1所成的角的大小；
解：∵AA1∥BB1，
∴异面直线BC1与AA1所成的角即为BC1与
BB1所成的角，
∵∠B1BC1＝45°，
∴异面直线BC1与AA1所成的角的大小为45°.
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（3）求三棱锥B1-A1C1B的体积.
解：三棱锥B1-A1C1B的体积：
＝ ＝ ×BB1
＝ × ×1×1×1＝ .
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18. （本小题满分17分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝
DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边
形ACFE是矩形，AE＝a，点M在线段EF上.
（1）求证：BC⊥平面ACFE.
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解：证明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，
∠ABC＝60°，
∴四边形ABCD是等腰梯形，∠ADC
＝∠BCD＝120°，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝
AC，BC 平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE.
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（2）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论.
解：当EM＝ a时，AM∥平面BDF.
证明如下：
在梯形ABCD中，设AC∩BD＝N，连
接FN（图略），
∵AC⊥BC，∠BAC＝30°，CB＝a，
∴AB＝2a，AC＝ a.
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∵AB∥CD，∴CN∶NA＝CD∶AB＝a∶2a＝1∶2.
∵EM＝ a，EF＝AC＝ a，∴EM∶MF＝1∶2.
又EF∥AC，EF＝AC，∴MF∥AN，MF＝AN，
∴四边形ANFM是平行四边形，∴AM∥NF.
又NF 平面BDF，AM 平面BDF，∴AM∥平面BDF.
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19. （本小题满分17分）如图（ⅰ），已知等边△ABC的边长为3，点
M，N分别是边AB，AC上的点，且BM＝2MA，AN＝2NC. 如
图（ⅱ），将△AMN沿MN折起到△A'MN的位置.
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（1）求证：平面A'BM⊥平面BCNM；
解：证明：由已知得AM＝1，AN＝2，∠A＝60°，
∴MN⊥AM，MN⊥MB，∴MN⊥A'M，又MB∩A'M＝
M，∴MN⊥平面A'BM.
又MN 平面BCNM，∴平面A'BM⊥平面BCNM.
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（2）给出三个条件：①A'M⊥BC；②二面角A'-MN-C大小为
60°；③A'到平面BCNM的距离为 .从中任选一个，补充
在下面问题的条件中，并作答.
已知 　　　　，在线段A'C上是否存在一点P，使三棱锥A'-
PMB的体积为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说
明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解：连接MC，过C作CE⊥BM于点E（图略），则
由题中条件易知CE既为△ABC中AB边上的高，也为
△BCM中BM边上的高，且CE⊥平面A'BM，CE＝ .
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若选条件①，由（1）得A'M⊥MN，又BC和MN是两条相
交直线，
∴A'M⊥平面BCNM，此时S△A'BM＝ ×AM×BM＝1，
∴V三棱锥A'-BCM＝ S△A'BM× ＝ ＞ ，
∴线段A'C上存在一点P，使三棱锥A'-PMB的体积为 ，
且 ＝ ＝ .
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若选条件②，由（1）得∠A'MB是二面角A'-MN-C的平面角，
∴∠A'MB＝60°.此时S△A'BM＝ ×A'M× sin 60°×BM
＝ ，∴V三棱锥A'-BCM＝ S△A'BM× ＝ .
∴线段A'C上存在一点P，使三棱锥A'-PMB的体积为 ，且 ＝1.
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若选条件③，过A'作A'O⊥BM，垂足为O（图略），
则A'O⊥平面BCNM，∴A'O＝ ，
此时S△A'BM＝ ×BM×A'O＝ ×2× ＝ .
∴V三棱锥A'-BCM＝ S△A'BM× ＝ ＜ ，
∴线段A'C上不存在点P，使三棱锥A'-PMB的体积为 .
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谢 谢 观 看！

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