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（北师大2024版）
七年级下册数学《第二章 整式的乘除》
复习综合测试卷
时间：120分钟 试卷满分：120分
选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1．（2024春 肇源县月考）下列说法正确的是（　　）
A．同一个平面内，不相交的两条线段是平行线
B．同一个平面内，两条直线不相交就重合
C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D．不相交的两条直线是平行线
【分析】根据平行线的定义选择．
【解答】解：A、应该是不相交的两条直线，故错误；
B、还有平行的情况，故错误；
C、正确；
D、应该是在同一平面内，故错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
2．（2024秋 鼓楼区校级期末）下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可．
【解答】解：根据分析可得D的画法正确，
故选：D．
【点评】此题主要考查了垂线的画法，同学们应熟练掌握垂线画法，此知识考查较多．
3．（2024秋 铁东区期末）如图，是一副三角尺的摆放位置，下列说法正确的是（　　）
A．∠α和∠β互余 B．∠α和∠β互补
C．∠α和∠β相等 D．∠α+∠β＝105°
【分析】根据平角的定义，得到∠α+∠β＝90°，即可得出结论．
【解答】解：由图可知：∠α+90°+∠β＝180°，
∴∠α+∠β＝90°，
∴∠α和∠β互余；
故选：A．
【点评】本题考查三角板中的计算，余角的定义．掌握和为90度的两角互余，是解题的关键．
4．（2024秋 晋江市期末）如图所示，下列说法一定正确的是（　　）
A．∠1和∠2互为余角 B．∠1和∠4是内错角
C．∠3和∠4互为补角 D．∠2和∠5是同位角
【分析】根据互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角的定义结合具体图形进行判断即可．
【解答】解：A．由于∠1与∠2的和不一定是90°，所以∠1和∠2不一定是互为余角，因此选项A不符合题意；
B．∠1和∠4不是两条直线被第三条直线所截得的角，不符合内错角的定义，因此选项B不符合题意；
C．∠3和∠4是一组同旁内角，但∠3和∠4不一定互补，因此选项C不符合题意；
D．∠2和∠5是两条直线被第三条直线所截的同位角，因此选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角，掌握互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角的定义是正确解答的关键．
5．（2024秋 鼓楼区期末）下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
故A不符合题意；
B、由∠1＝∠2，不能得到AB∥CD，
故B不符合题意；
C、如图，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD，
故C符合题意；
D、由∠1＝∠2，不能得到AB∥CD，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
6．（2024秋 雁塔区校级期末）如图，已知直角三角板的直角顶点A在直线m上，∠B＝30°，直线m∥n，若∠1＝25°，则∠2的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】根据角的和差、三角形内角和定理求出∠AMC＝55°，再根据“两直线平行，同位角相等”求解即可．
【解答】解：如图，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，∠C＝60°，
∴∠MAC＝∠BAC﹣∠1＝90°﹣25°＝65°，
∴∠AMC＝180°﹣∠MAC﹣∠C＝55°，
∵m∥n，
∴∠2＝∠AMC＝55°，
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
7．（2024秋 长沙县期末）已知∠α与∠β互为补角，并且∠α的2倍比∠β大30°，则∠α，∠β分别为（　　）
A．70°，110° B．40°，50° C．75°，115° D．50°，130°
【分析】根据补角的定义可得∠α＝180°﹣∠β，然后根据∠α的2倍比∠β大30°列得方程并解得∠β的度数，再将其代入∠α＝180°﹣∠β中计算即可．
【解答】解：∵∠α与∠β互为补角，
∴∠α＝180°﹣∠β，
∵∠α的2倍比∠β大30°，
∴2（180°﹣∠β）﹣∠β＝30°，
解得：∠β＝110°，
则∠α＝180°﹣110°＝70°，
故选：A．
【点评】本题考查补角的定义，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
8．（2024秋 仪征市期末）如图，给出下列条件，其中不能判定a∥b的是（　　）
A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3
C．∠1+∠5＝180° D．∠2+∠4＝180°
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠4，
∴a∥b，
故A不符合题意；
由∠2＝∠3，不能判定a∥b，
故B符合题意；
∵∠1+∠5＝180°，∠4+∠5＝180°，
∴∠1＝∠4，
∴a∥b，
故C不符合题意；
∵∠2+∠4＝180°，
∴a∥b，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
9．（2024秋 凤翔区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，∠B＝55°，∠C＝135°，那么∠BEC等于（　　）
A．5° B．10° C．15° D．20°
【分析】根据平行线的性质求出∠BEF，∠CEF的度数即可得到答案．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝∠B＝55°，∠CEF＝180°﹣∠C＝45°，
∴∠BEC＝∠BEF﹣∠CEF＝10°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
10．（2024 汕头模拟）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝（　　）
A．58° B．68° C．32° D．22°
【分析】如图所示，过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD，则AG∥MN∥BH∥CD，由OA⊥MN得到∠OAG＝90°，则∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°，进而得到∠ABH＝∠BAG＝68°，再根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD，由此即可得到∠DCE＝∠ABH＝68°．
【解答】解：如图所示，过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD，
∵CD∥MN，
∴AG∥MN∥BH∥CD，
∵OA⊥MN，
∴AG⊥OA，即∠OAG＝90°，
∵∠BAO＝158°，
∴∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°，
∴∠ABH＝∠BAG＝68°，
∵CE∥AB，BH∥CD，
∴∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD，
∴∠ABH+∠CBH+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCE+∠DCE，
∴∠DCE＝∠ABH＝68°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共16个小题，共18分）
11．（2024春 琼海校级期中）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠AOC＝25 ，则∠BOE＝　 　．
【分析】根据对顶角相等，可知∠AOC＝∠DOB＝25°，然后根据OE⊥CD，利用角的和差即可求得答案．
【解答】解：由条件可知∠AOC＝∠DOB＝25°，
所以∠BOE＝90°﹣∠BOD＝90°﹣25°＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题综合考查对顶角相等的性质及余角的定义，属于基础题，注意仔细观察图形．
12．（2024秋 铁西区期末）如图，直线AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠ADC＝30°，则∠BAC的度数为 　 　°．
【分析】由平行线的性质推出∠BAD＝∠ADC＝30°，由角平分线定义得到∠BAC＝2∠BAD＝60°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC＝30°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BAD＝∠ADC．
13．（2024秋 浦东新区校级期末）如图所示，将长方形纸片ABCD折一下，折痕为MN，再折，使MB、MC与MN叠合，折痕分别为ME、MF，则∠EMF的度数为　 　．
【分析】先根据折叠的性质可得∠BME＝∠NME，∠CMF＝∠NMF，再根据角的和差即可得．
【解答】解：由折叠的性质得：∠BME＝∠NME，∠CMF＝∠NMF，
∴∠NME+∠NMF＝∠BME+∠CMF，
又∵∠NME+∠NMF+∠BME+∠CMF＝180°，
∴，
∴∠EMF＝∠NME+∠NMF＝90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查了折叠的性质、角的和差，掌握理解折叠的性质是解题关键．
14．（2024春 白塔区校级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10．点P为边BC上一动点，连接AP，则AP的最小值是 　 ．
【分析】依据垂线段最短，即可得到当AP⊥BC时，AP最短．根据面积法求得垂线段AP的长即可．
【解答】解：如图所示，当AP⊥BC时，AP最短，
∵，
∴，
∴AP的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握垂线段最短是关键．
15．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝130°，AB∥DE，∠D＝70°，则∠ACD＝　 　．
【分析】过点C作CF∥AB，先证明CF∥DE，然后根据平行线的性质求出∠ACF＝130°，∠DCF＝110°，最后利用角的和差关系求解即可．
【解答】解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠ACF＝∠BAC，∠D+∠DCF＝180°，
又∠BAC＝130°，∠D＝70°，
∴∠ACF＝130°，∠DCF＝110°，
∴∠ACD＝∠ACF﹣∠DCF＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，添加合适的辅助线是解题的关键．
16．（2024秋 朝阳区校级期末）如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于点M、N，MG平分∠BMF，NG平分∠DNE，MH平分∠AMF，下列四个结论中正确的是 　 　．（只填序号）
①∠G＝90°；②∠BMG+∠MNG＝90°；③∠HMN＝∠HNM；④MH∥NG．
【分析】根据平行线的判定与性质及三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BMF+∠DNE＝180°，
∵MG平分∠BMF，NG平分∠DNE，
∴∠BMG＝∠GMN∠BMF，∠MNG∠DNE，
∴∠BMG+∠MNG＝∠GMN+∠MNG（∠BMF+∠DNE）＝90°，
∴∠G＝180°﹣（∠GMN+∠GNM）＝90°，
故①②正确，符合题意；
∵NG平分∠DNE，MH平分∠AMF，
∴∠ENG∠DNE，∠HMN∠AMF，
∵AB∥CD，
∴∠AMF＝∠DNE，
∴∠ENG＝∠HMN，
∴MH∥NG，
故④正确，符合题意；
只有∠HMN＝60°时，∠HMN＝∠HNM，
故③错误，不符合题意；
故答案为：①②④．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（8分）（2024秋 五莲县期末）如图，已知点O为直线AB上一点，∠BOC＝110°，∠COD＝90°，OM平分∠AOC．
（1）求∠MOD的度数；
（2）若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数．
【分析】（1）由已知角度结合平角的定义可求解∠AOD，∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解；
（2）根据余角的定义，平角的定义可求解∠MOP的度数，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝110°，∠COD＝90°，
∴∠BOC+∠COD＝110°+90°＝200°，
∵∠AOB＝180°，
∴∠AOD＝20°，∠AOC＝180°﹣110°＝70°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM∠AOC＝35°，
∴∠MOD＝∠AOM+∠AOD＝35°+20°＝55°；
（2）∵∠BOP与∠AOM互余，
∴∠BOP+∠AOM＝90°，
∵∠AOB＝180°，
∴∠MOP＝180°﹣90°＝90°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM∠AOC＝35°，
∴∠COP＝∠MOP﹣∠COM＝90°﹣35°＝55°．
【点评】本题主要考查余角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键．
18．（8分）（2024春 武侯区校级期中）如图，EF⊥AC于点F，DB⊥AC于点M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，请问AB与MN平行吗？说明理由．完成下列推理过程：
解：AB∥MN，理由如下：
因为 EF⊥AC，DB⊥AC，（已知）
∴∠CFE＝∠CMD＝90°，（ 　 　）
∴EF∥DM，（ 　 　）
∴∠2＝∠CDM．（ 　 　）
∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠　 　，（ 　 　）
∴MN∥CD，（ 　 　）
∵∠3＝∠C，（已知）
∴AB∥CD，（ 　 　）
∴AB∥MN．（ 　 　）
【分析】由于EF⊥AC，DB⊥AC得到EF∥DM，根据平行线的性质得∠2＝∠CDM，而∠1＝∠2，则∠1＝∠CDM，根据平行线的判定得到MN∥CD，又∠3＝∠C，则AB∥CD，然后根据平行公理的推论即可得到AB∥MN．
【解答】解：AB∥MN，
理由如下：
因为EF⊥AC，DB⊥AC，
∴∠CFE＝∠CMD＝90°，（垂直的定义）
∴EF∥DM，（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠CDM，（两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠CDM，（等量代换）
∴MN∥CD，（内错角相等，两直线平行）
∵∠3＝∠C，
∴AB∥CD，（内错角相等，两直线平行）
∴AB∥MN．（平行于同一直线的两条直线平行）
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；CDM；等量代换；内错角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；平行于同一直线的两条直线平行．
19．（8分）（2024秋 九龙坡区校级期末）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数．
【分析】（1）先利用角平分线的定义可得∠AOC∠COE，∠2∠DOE，从而利用平角定义可得∠AOC+∠2＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠AOC＝∠1，再利用平行线的判定可得AB∥CD，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得∠DOE：∠3＝4：5，然后利用平角定义可得∠DOE＝80°，∠3＝100°，然后利用对顶角相等可得∠COE＝∠3＝100°，再利用角平分线的定义可得∠AOE＝50°，从而利用平角定义进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，
∴∠AOC∠COE，∠2∠DOE，
∵∠COE+∠DOE＝180°，
∴∠AOC+∠2∠COE∠DOE＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠AOC＝∠1，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠2：∠3＝2：5，∠2∠DOE，
∴∠DOE：∠3＝4：5，
∵∠DOE+∠3＝180°，
∴∠DOE＝180°80°，∠3＝180°100°，
∴∠COE＝∠3＝100°，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE∠COE＝50°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝130°，
∴∠AOF的度数为130°．
【点评】本题考查了平行线的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
20．（8分）（2024春 新华区校级期中）如图，直线EF，CD相交于点O，OC平分∠AOF，∠AOE＝2∠BOD．
（1）∠COF的对顶角是 　 ，∠BOD的邻补角是 　 　；
（2）若∠AOE＝40°，求∠DOE的度数；
（3）猜想OA与OB之间的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）由对顶角，邻补角的定义，即可得到答案；
（2）由邻补角的性质求出∠AOF的度数，由角平分线定义求出∠FOC的度数，由对顶角的性质即可求出∠DOE 度数；
（3）设∠BOD＝α，∠BOE＝β，由角平分线定义，对顶角的性质，平角定义推出2α+β＝90°，得到∠AOE+∠BOE＝90°，即可证明OA⊥OB．
【解答】解：（1）∠COF的对顶角是∠DOE，∠BOD的邻补角是∠BOC，
故答案为：∠DOE，∠BOC；
（2）∵∠AOF+∠AOE＝180°，∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝140°，
∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC∠AOF＝70°，
∴∠DOE＝∠FOC＝70°；
（3）OA⊥OB，理由如下：
设∠BOD＝α，∠BOE＝β，
∴∠AOE＝2∠BOD＝2α，∠FOC＝∠DOE＝α+β，
∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC＝∠FOC＝α+β，
∵∠AOC+∠AOE+∠DOE＝180°，
∴α+β+2α+α+β＝180°，
∴2α+β＝90°，
∴∠AOE+∠BOE＝90°，
∴OA⊥OB．
【点评】本题考查对顶角，邻补角，角平分线 定义，垂直的定义，关键是由角平分线定义，对顶角的性质，平角定义推出∠AOE+∠BOE＝90°．
21．（9分）（2024春 杭州期中）如图，AB∥CD，连接AC、BC、BD，且BD⊥BC．
（1）若∠ABC＝40°，求∠BDC的度数．
（2）若∠A＝2∠BDC，求证：∠ABC＝∠ACB．
（3）若∠BDC与∠A互补，求∠ABC与∠ACB的数量关系，并证明．
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝40°，再根垂直定义可得∠CBD＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余可得∠BDC＝90°﹣∠BCD，从而可得∠BDC＝90°﹣∠ABC，然后根据已知和三角形内角和定理可得180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝2（90°﹣∠ABC），从而进行计算即可解答；
（3）根据已知可得∠BDC+∠A＝180°，然后再利用等量代换可得90°﹣∠ABC+180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°，进行计算即可解答．
【解答】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝40°，
∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣∠BCD＝50°，
∴∠BDC的度数为50°；
（2）证明：∵∠CBD＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣∠BCD，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠BDC＝90°﹣∠ABC，
∵∠A＝2∠BDC，
∴180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝2（90°﹣∠ABC），
∴180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠ABC，
∴∠ABC＝∠ACB；
（3）解：2∠ABC+∠ACB＝90°，
理由：∵∠BDC与∠A互补，
∴∠BDC+∠A＝180°，
∵∠BDC＝90°﹣∠ABC，∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，
∴90°﹣∠ABC+180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°，
∴2∠ABC+∠ACB＝90°．
【点评】本题考查了平行线的性质，余角和补角，垂线，熟练掌握平行线的性质，以及余角和补角的意义是解题的关键．
22．（9分）（2024秋 金凤区校级期末）问题情景：如图1，AB∥CD．
（1）观察猜想：若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°．则∠P的度数为 　 　．
（2）探究问题：在图1中探究，∠EPF、∠CFP与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由．
（3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠EPF、∠PFD与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由．
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等得到∠QPE＝∠AEP＝50°，∠QPF＝∠CFP＝40°，则∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝90°；
（2）同（1）求解即可；
（3）过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质得到∠QPE＝∠AEP，∠QPF+∠PFD＝180°，再证明∠QPF＝∠EPF+∠AEP，即可得到∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°．
【解答】解：（1）如图所示，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠QPE＝∠AEP＝50°，∠QPF＝∠CFP＝40°，
∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝90°，
故答案为：90°；
（2）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下：
如图所示，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF＝∠CFP，
∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝∠AEP+∠CFP；
（3）解：∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°，理由如下：
如图所示，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF+∠PFD＝180°，
∵∠QPF＝∠EPF+∠QPE，
∴∠QPF＝∠EPF+∠AEP，
∴∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，内错角相等，两直线平行同旁内角互补是解题的关键．
23．（10分）（2024秋 罗湖区期末）如图①，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE＝90°，过点O作射线OF．
（1）若射线OF平分∠AOC且∠BOF＝130°，求∠BOE的度数；
（2）若将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图②，∠COE＝90°，当射线OE平分∠BOF时，射线OC是否平分∠AOF，请说明理由；
（3）若∠BOE＝20°，∠BOF＝130°，将图①中的直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），∠COE始终保持为90°，设旋转的时间为t秒，当∠AOC+∠EOF＝90°时，求t的值．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及余角和补角进行角的和、差运算即可；
（2）根据∠COE＝∠COF+∠FOE＝90°，则∠AOC+∠EOB＝90°，再根据当射线OE平分∠BOF，得出结论；
（3）现根据题意求出∠AOC＝110°，然后分0＜t≤22，22＜t≤30和30＜t＜36三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵∠BOF＝130°，
∴∠AOF＝50°
∵射线OF平分∠AOC，
∴∠AOF＝∠FOC＝50°，
∴∠COB＝80°，
∵∠COE＝∠COB+∠BOE＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣80°＝10°；
（2）射线OC平分∠AOF，理由如下：
∵∠COE＝∠COF+∠FOE＝90°，
∴∠AOC+∠EOB＝90°，
∴∠COF+∠FOE＝∠AOC+∠EOB，
∵OE平分∠FOB，
∴∠FOE＝∠EOB，
∴∠AOC＝∠COF，
即射线OC平分∠AOF；
（3）∵∠BOE＝20°且∠BOF＝130°，
∴∠EOF＝150°，
又∵∠COE＝90°，
∴∠BOC＝70°，
∴∠AOC＝110°，
①当0＜t≤22时，
∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转，
∴∠AOC＝110°﹣5t，∠EOF＝150°﹣5t，
∵∠AOC+∠EOF＝90°，
∴110﹣5t+150﹣5t＝90，
解得t＝17，
②当22＜t≤30时，
∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转，
∴∠AOC＝5t﹣110°，∠EOF＝150°﹣5t，
∵∠AOC+∠EOF＝90°，
∴5t﹣110+150﹣5t＝90，
40＝90，
此时无解，
③当30＜t＜36时，
∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转，
∴∠AOC＝5t﹣110°，∠EOF＝5t﹣150°，
∵∠AOC+∠EOF＝90°，
∴5t﹣110+5t﹣150＝90，
解得t＝35，
综上所述，当∠AOC+∠EOF＝90°时，t＝17或t＝35．
【点评】本题考查一元一次方程的应用以及角平分线的定义、余角补角的定义，解决本题的关键是掌根据题中的等量关系列出方程．
24．（12分）（2024秋 常宁市期末）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE＝90°，点E在线段AB上，∠FCG＝90°，点F在直线AD上，∠AHG＝90°．
（1）找出图中与∠D相等的角，并说明理由；
（2）若∠ECF＝25°，求∠BCD的度数；
（3）在（2）的条件下，点C（点C不与B，H两点重合）从点B出发，沿射线BG的方向运动，其他条件不变，求∠BAF的度数．
【分析】（1）根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与∠D相等的角；
（2）根据∠ECF＝25°，∠DCE＝90°，可得∠FCD＝65°，再根据∠BCF＝90°，即可得到∠BCD＝65°+90°＝155°；
（3）分两种情况讨论：当点C在线段BH上；点C在BH延长线上，根据平行线的性质，即可得到∠BAF的度数为60°或120°．
【解答】解：（1）与∠D相等的角为∠DCG，∠ECF，∠B，∠AME，∠CMH，理由如下：
如图，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCG，
∵∠FCG＝90°，∠DCE＝90°，
∴∠ECF＝∠DCG，
∴∠D＝∠ECF，
∵AB∥DC，
∴∠DCG＝∠B，
∴∠B＝∠D，
∵∠FCG＝90°，∠AHC＝90°，
∴∠HCM+∠CMH＝90°，∠HCM+∠FCM＝90°，
∴∠CMH＝∠FCM，
∴∠CMH＝∠D，
∵∠AME＝∠CMH，
∴∠AME＝∠D，
∴与∠D相等的角为∠DCG，∠ECF，∠B，∠AME，∠CMH；
（2）∵∠ECF＝25°，∠DCE＝90°，
∴∠FCD＝65°，
又∵∠BCF＝90°，
∴∠BCD＝65°+90°＝155°；
（3）如图，当点C在线段BH上时，点F在DA延长线上，
∠ECF＝∠DCG＝∠B＝25°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝∠B＝25°；
如图，当点C在BH延长线上时，点F在线段AD上，
∵∠B＝25°，AD∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣25°＝155°．
综上所述，∠BAF的度数为25°或155°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
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（北师大2024版）
七年级下册数学《第二章 整式的乘除》
复习综合测试卷
时间：120分钟 试卷满分：120分
选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1．（2024春 肇源县月考）下列说法正确的是（　　）
A．同一个平面内，不相交的两条线段是平行线
B．同一个平面内，两条直线不相交就重合
C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D．不相交的两条直线是平行线
2．（2024秋 鼓楼区校级期末）下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 铁东区期末）如图，是一副三角尺的摆放位置，下列说法正确的是（　　）
A．∠α和∠β互余 B．∠α和∠β互补
C．∠α和∠β相等 D．∠α+∠β＝105°
4．（2024秋 晋江市期末）如图所示，下列说法一定正确的是（　　）
A．∠1和∠2互为余角 B．∠1和∠4是内错角
C．∠3和∠4互为补角 D．∠2和∠5是同位角
5．（2024秋 鼓楼区期末）下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024秋 雁塔区校级期末）如图，已知直角三角板的直角顶点A在直线m上，∠B＝30°，直线m∥n，若∠1＝25°，则∠2的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
7．（2024秋 长沙县期末）已知∠α与∠β互为补角，并且∠α的2倍比∠β大30°，则∠α，∠β分别为（　　）
A．70°，110° B．40°，50° C．75°，115° D．50°，130°
8．（2024秋 仪征市期末）如图，给出下列条件，其中不能判定a∥b的是（　　）
A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3
C．∠1+∠5＝180° D．∠2+∠4＝180°
9．（2024秋 凤翔区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，∠B＝55°，∠C＝135°，那么∠BEC等于（　　）
A．5° B．10° C．15° D．20°
10．（2024 汕头模拟）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝（　　）
A．58° B．68° C．32° D．22°
二、填空题（每小题3分，共16个小题，共18分）
11．（2024春 琼海校级期中）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠AOC＝25 ，则∠BOE＝　 　．
12．（2024秋 铁西区期末）如图，直线AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠ADC＝30°，则∠BAC的度数为 　 　°．
13．（2024秋 浦东新区校级期末）如图所示，将长方形纸片ABCD折一下，折痕为MN，再折，使MB、MC与MN叠合，折痕分别为ME、MF，则∠EMF的度数为　 　．
14．（2024春 白塔区校级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10．点P为边BC上一动点，连接AP，则AP的最小值是 　 ．
15．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝130°，AB∥DE，∠D＝70°，则∠ACD＝　 　．
16．（2024秋 朝阳区校级期末）如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于点M、N，MG平分∠BMF，NG平分∠DNE，MH平分∠AMF，下列四个结论中正确的是 　 　．（只填序号）
①∠G＝90°；②∠BMG+∠MNG＝90°；③∠HMN＝∠HNM；④MH∥NG．
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（8分）（2024秋 五莲县期末）如图，已知点O为直线AB上一点，∠BOC＝110°，∠COD＝90°，OM平分∠AOC．
（1）求∠MOD的度数；
（2）若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数．
18．（8分）（2024春 武侯区校级期中）如图，EF⊥AC于点F，DB⊥AC于点M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，请问AB与MN平行吗？说明理由．完成下列推理过程：
解：AB∥MN，理由如下：
因为 EF⊥AC，DB⊥AC，（已知）
∴∠CFE＝∠CMD＝90°，（ 　 　）
∴EF∥DM，（ 　 　）
∴∠2＝∠CDM．（ 　 　）
∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠　 　，（ 　 　）
∴MN∥CD，（ 　 　）
∵∠3＝∠C，（已知）
∴AB∥CD，（ 　 　）
∴AB∥MN．（ 　 　）
19．（8分）（2024秋 九龙坡区校级期末）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数．
20．（8分）（2024春 新华区校级期中）如图，直线EF，CD相交于点O，OC平分∠AOF，∠AOE＝2∠BOD．
（1）∠COF的对顶角是 　 ，∠BOD的邻补角是 　 　；
（2）若∠AOE＝40°，求∠DOE的度数；
（3）猜想OA与OB之间的位置关系，并说明理由．
21．（9分）（2024春 杭州期中）如图，AB∥CD，连接AC、BC、BD，且BD⊥BC．
（1）若∠ABC＝40°，求∠BDC的度数．
（2）若∠A＝2∠BDC，求证：∠ABC＝∠ACB．
（3）若∠BDC与∠A互补，求∠ABC与∠ACB的数量关系，并证明．
22．（9分）（2024秋 金凤区校级期末）问题情景：如图1，AB∥CD．
（1）观察猜想：若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°．则∠P的度数为 　 　．
（2）探究问题：在图1中探究，∠EPF、∠CFP与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由．
（3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠EPF、∠PFD与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由．
23．（10分）（2024秋 罗湖区期末）如图①，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE＝90°，过点O作射线OF．
（1）若射线OF平分∠AOC且∠BOF＝130°，求∠BOE的度数；
（2）若将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图②，∠COE＝90°，当射线OE平分∠BOF时，射线OC是否平分∠AOF，请说明理由；
（3）若∠BOE＝20°，∠BOF＝130°，将图①中的直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），∠COE始终保持为90°，设旋转的时间为t秒，当∠AOC+∠EOF＝90°时，求t的值．
24．（12分）（2024秋 常宁市期末）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE＝90°，点E在线段AB上，∠FCG＝90°，点F在直线AD上，∠AHG＝90°．
（1）找出图中与∠D相等的角，并说明理由；
（2）若∠ECF＝25°，求∠BCD的度数；
（3）在（2）的条件下，点C（点C不与B，H两点重合）从点B出发，沿射线BG的方向运动，其他条件不变，求∠BAF的度数．
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