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第66届IM0(2025)
第一天
1.称坐标平面上的一条直线为阳光的，如果它与x轴、y轴和直线x+y=0均
不平行.
给定整数n≥3.求所有的非负整数，使得存在平面上两两不同的n条直线，
满足下面两个条件：
·对所有满足a+b≤n+1的正整数a和b,这n条直线中至少有一条经过
点(a,b):
·这n条直线中恰有k条是阳光的.
2.设圆2和圆T的圆心分别为点M和点N,且2的半径小于T的半径.设两
圆2与T交于相异的两点A,B.设直线MN与圆2的交点之一为C,直线MN与
圆T的交点之一为D,且点C,M,N,D在直线上顺次排列.记P为△ACD的外
心.直线AP交圆2于点E卡A,直线AP交圆T于点F卡A.设H为△PMN的
垂心.
求证：过H且平行于AP的直线与△BEF的外接圆相切.
3.称函数：N+→N+为超棒的，如果对任意正整数a,b,均有f(a)|
b一-f(b)f(@.求最小的实数c,使得f(n)≤cm对所有超棒的函数f和所有正整
数n成立.
第66届IM0(2025)
第二天
4.正整数N的一个正因子称为N的“非自身因子”，如果它不等于N
无穷正整数序列a1,a2,·满足，其每一项都至少有三个非自身因子，且对n≥
1,an+1是an的最大的三个非自身因子之和.
求a1的所有可能值，
5.甲乙两人玩一个双人游戏，其规则依赖于一个双方都知道的正实数入.在此游
戏的第n轮（从n=1开始），玩家按照如下规则操作：
·若n是奇数，甲选取一个非负实数xn满足
x1+c2+·+rn≤入n.
·若n是偶数，乙选取一个非负实数xn满足
x+x号+…+x品≤n.
若某位玩家无法选取满足要求的x,则游戏结束且另一位玩家获胜.若此游戏
可以永远进行下去，则两人皆不算获胜.双方都知道之前每一轮中选取过的数.
求所有使得甲有必胜策略的λ，并求所有使得乙有必胜策略的入.
6.在一个由单位方格组成的2025×2025方格表上放置若干（可能大小不同的）
长方形瓷砖，使得每片瓷砖的边界都在方格表的网格线上，且每个单位方格至多被
一片瓷砖覆盖.
若要使得方格表中每行与每列都恰有一个单位方格没有被瓷砖覆盖，求长方形
瓷砖数量的最小可能值.2025年第66届IM0第一天解答
(2025年7月15日澳大利亚)
1、在平面直角坐标系中与x,y轴以及x+y=0都不平行的直线称为好直线。给定正整数
n≥3，求所有非负整数k,使得平面上有n条不同的直线满足以下条件：对于任意满足
a+b≤n+1的正整数，点(a,b)至少在其中一条直线上，并且n条中恰好有k条好直线。
解：记第一象限所有满足a+b≤n+1的格点(a,b)构成集合P,P的凸包为三条直线x=1,
y=1以及x+y=n+1,记这三条直线构成集合C,满足要求的n条直线构成集合S。
结论：对于任意n≥3，k∈{0,1,3}是所有的解。
(一n=3时，P=6,每条好直线最多过P的两个点，并且只有三条这样的直线，因此
k≠2。
①取S是C的n条直线，得到k=0的例子：
②取S为直线y=x,x+y=3,x+y=4得到k=1的例子。
③取S为直线y=x,2x+y=7,x+2y=7得到k=3的例子。
因此，k∈{0,1,3}是所有的解。
(白)以下设n>3,(*)对于n-1成立。P的凸包上有3n-3个P中的格点，C之外的
每条直线最多过P的边界上的两个格点，由于3n-3>2n,因此S中至少有一条C的直线。
去掉这条直线以及直线上P的格点，得到一1的情况，所以(*)成立。
综上所述，k∈0,1,3是所有的解。
2、M,N分别是圆G,C2的圆心，G,C2交于A,B,直线MW与C,C2交于C,D,使得
C,M,N,D在直线上依次排列。P是△ACD的外心，AP与G,C2交于E,F。H是△PMN
的垂心，过H作AP平行的直线l,求证：I与△BEF的外接圆相切。
C2
证明：设ME,WF交于W,不妨设
∠ACD=C>∠ADC=B,由已知
M
N
∠BAE=∠PAC-∠BAC=C-B,
B
因此∠ECD=∠BCD-∠BCE=B,
因此CE‖AD。
由于PN⊥AD,因此MHI‖AD,所以∠HMN=B,由于∠WMN=2∠ECD=2B,
故HM平分∠WMN,同理可得∠WNM=2a,DFI‖AC,HN平分∠WNM,所以H
是△WMN的内心。
由于∠ABF=180°-∠ADF=180°--B,∠ABE=∠ACE=a+B，所以
∠EBF=180°-2C-2B=∠EWN,所以W在△BEF的外接圆o上。
由于∠WEF=∠MEA=90°-x-B,所以∠WFE=90°--B,因此WE=WF,
所以∠EWF的外角平分线WH与EF平行，并且与0相切。
综上所述，结论成立。

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