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湖北省黄石市大冶市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、单选题
1．下列整数能使为最简二次根式，则可以是（ ）
A．5 B． C． D．8
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是（　　）
A．1，2， B．，， C．5，12，13 D．2，2，
4．关于正比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限
C．随的增大而减小 D．不论取何值，总有
5．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角
6．某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：190，194，198，200，202，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员．与换人前相比，下列对5名场上队员身高的平均数和方差描述正确的是（ ）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
7．已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．如果点E、F、G、H分别是四边形四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形应具备的条件是（ ）
A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
9．如图，小明用4个全等且面积为6的直角三角形和1个小正方形刚好拼成一个面积为25的大正方形则每一个直角三角形的周长为（ ）
A．6 B．12 C．13 D．25
10．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小聪根据图象得到下列结论，其中结论不正确的是（ ）
A．
B．关于x的方程的解为
C．关于，的方程组的解为
D．关于的不等式的解为
二、填空题
11．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．若三角形三边长之比为：：，则这个三角形中的最大角的度数是
13．枣庄博物馆拟招聘一名优秀讲解员，王立的笔试、试讲、面试成绩分别为96分、90分、95分．根据实际需要，综合成绩将笔试、试讲和面试三项得分按5：3：2的比例确定最后的成绩，那么王立最后的成绩为 分．
14．如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在菱形中，，，，为边和上的动点，，则的最小值 ．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
17．如图，在中，点、分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形．
18．杭瑞高速阳新段修建过程中需要经过一座小山，如图，施工方计划沿方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（共线）处同时施工，测得，．求的长；
19．阅读材料，解答问题：
材料：已知，求的值．
小迪同学是这样解答的：
，
，
问题：已知．求的值．
20．某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：
20 21 19 16 27 18 31 29 21 22
25 20 19 22 35 33 19 17 18 29
18 19 22 15 18 18 31 31 35 22
整理上面数据，得到如图条形统计图；
样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：
统计量 平均数 众数 中位数
数值 23 21
根据以上信息解答下列问题：
(1)上表中众数的值为_________；
(2)为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据______来确定奖励标准比较合适；（填“平均数”、“众数“或“中位数”）
(3)该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手，若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．
21．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和．把矩形沿对角线所在的直线折叠，使点落在点处，与轴相交于点．
(1)求证；
(2)求点的坐标；
(3)若点是线段上一点，当的面积为时，求点的坐标．
22．某商店准备购进甲、乙两种商品共件，商品甲的进价是元/件，售价是元/件：商品乙的进价是元/件，售价是元/件．设商品甲购进件，销售完购进商品获得的总利润是元
(1)求与的函数关系式
(2)某同学说，有一种进货方案，可获得利润元．这种方案存在吗？为什么？
(3)若计划购进商品甲的数量不低于商品乙数量的倍，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
23．如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接．
(1)求证：；
(2)如图②，过P点作，交射线于点E．求证：；
(3)在图③中，过P点作，交射线于点E，猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，点在轴的负半轴上，且，点为内一点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图，点D，直线交于点，求的值 ．
(3)如图，点是线段上的动点点不与，重合，连接，，若是以为斜边的等腰三角形，点是线段的中点，连接，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
参考答案
1．D
选项A：当时，，被开方数为负数，无意义，排除．
选项B：当时，，结果为整数，不符合最简二次根式的定义，排除．
选项C：当时，，结果为整数，不符合最简二次根式的定义，排除．
选项D：当时，，符合最简二次根式的定义．
故选D．
2．C
A．，而非，故错误．
B．与不是同类二次根式，不能合并，故错误．
C．根据二次根式乘法法则，（），故，正确．
D．根据二次根式除法法则，（），故，故错误．
故选C．
3．A
解：A、∵，故此选项中的三条线段不能构成直角三角形，符合题意；
B、∵，故此选项中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
C、∵，故此选项中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
D、∵，故此选项中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意．
故选：A．
4．C
解：A. 当时，，故图象经过点，而非，选项A错误；
B. 正比例函数的图象经过的象限由的符号决定，因，图象经过第二、四象限，而非第一、三象限，选项B错误；
C. 当时，随的增大而减小，正比例函数中，故随的增大而减小，选项C正确；
D. 当时，，此时不满足；当时，，故选项D错误．
故选：C．
5．D
解：根据正方形和矩形的性质可知，它们具有相同的特征有：四个角都是直角、对角线都相等、对角线互相平分，但矩形的长和宽不相等，对角线不平分对角，
故答案为：D．
6．C
解：原数据的平均数为，
新数据的平均数为，
原数据的方差为，
新数据的方差为，
所以平均数变大，方差变小．
故选：C．
7．C
解：直线中，，
随增大而增大，
，
，
故选：C．
8．B
解：连接，，
四边形中，、、、分别是四条边的中点，要使四边形为菱形，
，
，，
要使，
，
四边形应具备的条件是，
故选：B．
9．B
解：设直角三角形直角边的长分别（），斜边长为，
根据题意得：，，即，
则，，
，
，
，
每个直角三角形的周长为，
故选：B．
10．D
解：∵由图象可知：一次函数与x轴的交点为，
∴当时，，即，
故结论A正确；
∵由图象可知：一次函数与（）的图象相交于点，
∴关于x的方程的解为，
故结论B正确；
∵由图象可知：一次函数与（）的图象相交于点，
∴关于x，y的方程组的解为，
故结论C正确；
∵由图象可知：一次函数图象不在（）的图象上方时，
∴的解为
故结论D错误；
故选：D．
11．/
解：由题意得，，且，
解得．
故答案为：．
12．/度
解：∵三角形三边长之比为：：，可设三边长分别为，，，
∵，
又∵，
∴，
∴此三角形是直角三角形，
∴这个三角形中最大角的度数是．
故答案为：．
13．
解：由题意，王立最后的成绩为（分），
故答案为：．
14．20
解：如图，连接，
四边形是平行四边形，
，
和等底同高，
，
，
，
同理可得：，
图中阴影部分的面积
，
故答案为：20．
15．6
解：如图，连接，交于，作关于的对称点，连接，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
由轴对称的性质可得：，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，，为菱形对角线的交点；
∴，
连接，
由轴对称的性质可得：，，
∴三点共线，
∴，，
∵，，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：6
16．(1)
(2)
（1）原式；
（2）原式．
17．见解析
证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形．
18．
解：过作于，如图所示：
则，
，
，
∵，
，，
，
是等腰直角三角形，
∴．
19．，．
解：
，
①，
②，
由①+②可得，，
，
，
，．
20．(1)
(2)中位数
(3)估计该部门生产能手有名工人
（1）解：（1）由图可得，
众数的值为18，
故答案为：18；
（2）由题意可得，
如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，
故答案为：中位数；
（3）（名），
答：估计该部门生产能手有名工人．
21．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵矩形沿对角线所在的直线折叠，
∴，，
∴在和中，
，
∴（AAS），
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
设，则，
∴在中：，即：，
解得：，
∴；
（3）解：设直线的解析式为：，分别代入，，可得：
解得：，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴把代入可得：，
∴．
22．(1)；
(2)不存在，见解析；
(3)购进商品甲件、商品乙33件能获得最大利润，最大利润是元
（1）解：，
整理得：
与的函数关系式为；
（2）解：这种方案不存在，
理由如下：
当时，
可得：，
解得：，
，
这种方案不存在；
（3）解：根据题意，得，
解得：，
，
随的减小而增大，
且为整数，
当时，值最大，
，（件），
答：购进商品甲件、商品乙件能获得最大利润，最大利润是元．
23．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)线段之间的数量关系是CD2=DE2+CD· PD,证明见解析；
（1）证明：∴AD=DC，∠ADB=∠CDB，
DP是△ADP和△CDP的共同边，根据边角边定理，
∴△ADP与△CDP是全等三角形，
∴AP=CP．
（2）
证明：过点P作AD的垂线，交于点M，作CD的垂线，交于点N．
ABCD是正方形，BD是对角线，
∴四边形PMDN是正方形，
∴PM=PN，
∠MPN=90°，PE⊥PC，
∴∠MPE+∠NPE=90°，∠NPE+∠NPC=90°，
∴∠MPE=∠NPC，
PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PME=∠PNC=90°，
根据角边角定理，
∴△MPE≌△PCN，
∴PE=PC．
（3）
解：连接CE．
△PCE是等腰直角三角形，
∴PC +PE =CE ，
∴PC = CE ，
△DPN是等腰直角三角形，
∴ PN +DN =PD
∴PD =2DN ，DN= PD ，
DN=PN，
代入前面的数量关系得PC -CN =DN ，
如图，CN+DN=CD代入上式得：CE -CD +CD·PD=0，
在Rt△CDE中，CE =CD +DE ，
∴DE + CD·PD=CD ，
∴CD、DE、PD之间的数量关系是DE + CD·PD=CD ．
24．(1)
(2)
(3)是定值为
（1）解：在中，令得，
，
，
，
设直线的函数表达式为，
把点，代入，得：
，
解得，
；
（2）设直线的函数表达式为，
，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵直线交于点，
∴联立，
解得，
∴Q点坐标为（1，3），
∵在中，令，，得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
．
（3）是定值，的度数为，理由如下：
延长到，使，连接，，如图：
设，，，
∵点是线段的中点，
，，
在和中，
≌，
，，
∵，
∴，即，
∵是以为斜边的等腰三角形，
∴，
∵，
∴
∵是的外角，
，
，
，
∵，
，
，
，
∴，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
．

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