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(共24张PPT)
函数的概念及其表示
环节一 函数的概念（一）
引入新课
问题1 在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．例如，正方形周长l与边长x的对应关系是l＝4x．
（1）l是x的函数吗？
（2）这个函数与正比例函数y＝4x是同一个函数吗？
是
不是
追问：针对一个概念要研究哪些内容？
答案：实际问题→下定义→表示→应用
探究新知
（1）S＝350t是函数吗？为什么？
（2）有人说：“根据对应关系S＝350t，这趟列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进了350 km．”你认为这个说法正确吗？
答案：（1）是．因为t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，
S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数．
（2）错误．
问题2　阅读材料，回答问题：
某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S（单位：h）的关系可以表示为S＝350t．
不能，因为半小时之后列车的运行状况未知．
追问2　这个说法犯了什么错误？
忽略了时间t的变化范围．
追问3　你认为如何描述才能准确反映实际问题？
在S＝350t的基础上，给时间t备注上范围．
追问1　能否根据现有条件回答“24 h时对应的距离是多少？”为什么？
探究新知
问题2中函数的精确描述：
列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是
S＝350t．①
其中，t的变化范围是数集A1＝{t|0≤t≤0.5}，
S的变化范围是数集B1＝{S|0≤S≤175}．
对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系①，
在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应．
探究新知
（1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？
（2）问题3与问题4中函数有相同的对应关系，它们是同一个函数吗？为什么？
（3）请同学们模仿问题3给出的精确描述，准确地反映实际问题．
某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．
问题3　阅读材料，回答问题：
探究新知
答案：（1）w＝350d，w是工作天数d的函数．
某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．
（1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？
问题3　阅读材料，回答问题：
探究新知
答案：（2）不是同一个函数．
因为在函数S＝350t中，0≤t≤0.5；
在函数w＝350d中，d∈{1，2，3，4，5，6}，
虽然两个函数的对应关系相同，但是自变量的取值范围不同．
某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．
（2）问题3与问题4中函数有相同的对应关系，它们是同一个函数吗？为什么？
问题3　阅读材料，回答问题：
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答案：（3）工资w与一周工作天数d的对应关系：w＝350d． ②
其中，d的变化范围是数集A2＝{1，2，3，4，5，6}，
w的变化范围是数集B2＝{350，700，1050，1400，1750，2100}．
对于数集A2中的任一个工作天数d，按照对应关系②，
在数集B2中都有唯一确定的工资w与它对应．
某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．
（3）请同学们模仿问题3给出的精确描述，准确地反映实际问题．
问题3　阅读材料，回答问题：
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问题4　阅读材料，回答问题：
如图是北京市2016年11月23日空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图．
（1）I是t的函数吗？为什么？
（2）模仿前两个问题，用精确的集合语言和对应关系描述这个实际问题．
探究新知
追问2 ②从所给的图中确定11月24日12：00的AQI的值吗？为什么？
在横轴上，过t0作垂线交曲线与点（t0，I0），
I0就是与t0对应的值．
不能，因为时间不在图象覆盖的范围内．
追问1　①通过图形能确定唯一的I与每个t值对应吗，怎么找？
探究新知
答案：从图中的曲线可知，t的变化范围是数集A3＝{t|0≤t≤24}，
AQI的值都在数集B3＝{I|0＜I＜150}．
对于数集A3中的任一时刻t，
按照图中曲线所给的对应关系，
在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应．
因此，这里的I是t的函数．
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问题5　阅读材料，回答问题：
国际上常用恩格尔系数r（ ×100% ）反应一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高．
表1 我国某居民恩格尔系数变化情况
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（1）你认为按表1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？为什么？
（2）如果是，这个函数有解析式吗？如何描述这个函数？
表1 我国某居民恩格尔系数变化情况
答案：（1）r是y的函数．因为对于2006到2015年中任一个年份y，根据表1，都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应．
探究新知
（1）你认为按表1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？为什么？
（2）如果是，这个函数有解析式吗？如何描述这个函数？
表1 我国某居民恩格尔系数变化情况
答案：（2）这个函数没有解析式．从表格1可知，y的取值范围是数集
A4＝{2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，
恩格尔系数r的取值范围是数集B4＝{r|0＜r≤1}．对于数集A4中的任一个年份y，根据表1所给的对应关系，在数集B4中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应．
探究新知
对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应．
上述问题的共同特征有：
（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；
（2）都有一个对应关系；
（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：
问题6　上述问题3~问题6中的函数有哪些共同特征？由此你能抽象出函数概念的本质特征吗？
探究新知
对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：
y＝f（x），x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．
函数的定义域，对应关系和值域也叫函数的三要素．
抽象函数概念
探究新知
答案：值域与集合B不一定相等，值域是集合B的子集．
具体例子见问题6．
追问　值域和集合B相等吗？它们的关系是什么？
探究新知
函数 一次函数 二次函数 反比例函数
a＞0 a＜0 对应关系
定义域
值域
R
R
R
R
问题7　你能用新的定义描述一次函数y＝ax＋b（a≠0）、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和反比例函数y＝（k≠0）吗？从哪几个角度描述？
探究新知
知识应用
例 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数y＝kx（k≠0）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x（10－x）来描述．
解：把y＝x（10－x）看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B＝{y|y≤25}．
对应关系 f 把R中的任意一个数x，对应到B中唯一的数x（10－x）．
其中，x的取值范围是A＝{x|0＜x＜10}，y的取值范围是B＝{y|0＜y≤25}．
对应关系 f 把每一个长方形的周长x，对应到唯一确定的面积x（10－x）．
如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0＜x＜10}，那么可以构建如下情境：
长方形的周长为20，设其一边长为x，面积为y，那么y＝x（10－x）．
答案：
知识应用
归纳总结
问题8
（1）本节课我们主要学习了函数的概念，为什么要重新学习函数的概念？
（2）用“集合—对应说”下的函数概念分析一个函数要关注哪几个要素？这些要素的特点是什么？
（3）与初中的函数概念相比，要特别注意哪个要素？
（4）按照问题2的答案，下一课时应该研究什么？
答案：
（1）初中所学的函数概念主要关注的是变量之间的依赖关系，对自变量的变化范围缺乏约束，在应用中容易产生误判．
（2）采用“集合—对应说”之后，同时关注函数的定义域、对应关系和值域．其中对应关系是核心，有如下特征：对于定义域中任意实数在值域中都能找到唯一的实数与之对应．但对应关系的形式多样，除了解析式，还可以是图象，表格，文字语言等．
（3）与初中的函数概念相比，要特别注意定义域必须符合题目要求．
（4）研究函数的表示．
归纳总结
再 见

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