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石家庄市 2025 届普通高中毕业年级教学质量检测（三） 5. 将函数 f x sin 2x
π
π 3的图象向右平移 个单位长度，得到函数 g x 的图象，则函数 g x 图象的一
3 12
数学试卷
个对称中心是（ ）
（本试卷满分 150分，考试时间 120 分钟）
π ,3 π ,0 π ,3 π 注意事项： A. B. C. D. , 0 12 12 6 6
1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 1
6. 已知平面向量a，b是两个单位向量，a在b上的投影向量为 b，则2 a 2b a b （ ）2.答题时请按要求用笔.
1
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试 A. -1 B. C. 0 D. 12
卷上答题无效. x
f x R x 0, x x 2
f x1 x1 f x2
7. 已知 是定义在 上的奇函数，当x1、 2 且 1 2 时，都有 0成立，
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. x1x2 x1 x2
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. f 2025 2025，则不等式 f x x 0的解集为（ ）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
A. , 2025 2025, B. 2025,0 2025,
目要求的．
1. 设复数 z 4 3i的共轭复数为 z，则 z z （ ） C. 2025,2025
1 , 1 D. 2025 2025
A. 25 B. 10 C. 13 D. 25
3
2. 已知 a 20.6 0.8 c log 0.9
8. 在如图所示的试验装置中，正方形框架 ABCD 的边长为 2，长方形框架 ABEF 的长 BE AB，且它们所在平面形
，b 0.5 ， 2 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） 2
A. a b c B. b a c C. b c a D. c b a π成的二面角C AB E 的大小为 ，活动弹子 M，N 分别在对角线 AC和 BF 上移动，且始终保持
3
x2 y2 AM BN
3. 已知椭圆C : 1 a b 0 的左、右焦点为 F1 3,0 ，F2 3,0 ，且过右焦点F2的直线 l 交椭圆于 A、B a 0 a 1 ，则MN的长度最小时 a的取值为（ ）a2 b2 AC BF
两点，△AF1B的周长为 20，则椭圆 C 的离心率为（ ）
3 3 4
A. B. C. D. 3
10 5 5 2
4. 已知随机事件 A、B， B表示事件 B 的对立事件， P A 0.4， P B 0.6，则下面结论正确的是（ ）
A. 事件 A 与 B 一定是对立事件 8 6 6 2A. B. C. D.
23 23 15 15
B. P A B 1
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
C. P AB 0.24 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
D. 若事件 A、B 相互独立，则 P AB 0.16 9. 已知数列 a 2n 的前 n 项和为 Sn n 11n，则下列说法正确的是（ ）
Sn 15. 设VABC 的内角A、 B、C 的对边分别为a、b、c，已知A. b sinC 3c cosB 3a．数列 为递减数列
n


（1）求角C 的大小；
B. 当且仅当 n 5时， Sn取得最大值
C. an 2n 12
（2）若 AB 2 2 ，且 sin Asin B
3
，求 AB边上中线CT 的长．
8
D. 2an 是等比数列
10. 已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数， f x 1 是定义在 R 上的奇函数，则（ ） 16. 某短视频平台在 2025 年上半年推出了新一代的“AI 推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随
A. f x 的图象关于点 1,0 中心对称 机选取 100 名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如下频率分布直方图.
B. f x 是周期为 2 的函数
C. f 2027 0
19
D. f i 0
i 1
（1）估计这 100 名志愿者年龄的中位数（结果精确到 0.01）和平均数；
11. 已知四面体 ABCD中， AB BC ，BC CD，BC 2，O为四面体 ABCD外接球的球心，则下列说法中正
确的是（ ）
（2）依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这 100 名志愿者中随机选取 20 名志
A. 若 AB CD，则 AB 平面 BCD
B. 若 AB CD 1，则 AD的取值范围是 2,2 2 愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在 25,45 的人中随机选出 3 人作为代表发
2,2 言，设随机变量 X表示代表年龄在 25,35CO CD BA 的志愿者人数，求 X 的分布列及期望.C. 若 AB CD 2，则 的取值范围是
D. 若 AB CD 2，直线 AB与CD
28
所成的角为60o，则四面体 ABCD外接球的表面积为 π
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
x2 y2
2 17.x 0 已知双曲线 ，左、右焦点分别为
F 、F ，两条渐近线为
y 3x
，且经过点
12. 若命题 p： ， x 7x 6 0，则命题 p 的否定为________________ C : 1 a 0,b 0 1 2． a2 b2
13. 过点 P 2,1 作直线与抛物线 y2 8x相交于 A，B 两点，若点 P 是线段 AB 的中点，则直线 AB 的斜率是 2, 3 ．
________________． （1）求双曲线C 的方程；
14. 有数学、物理、化学三类竞赛名额各10个，将所有名额全部分给甲、乙两所学校，每所学校每类名额至少分得
一个，则甲学校所得到的三类名额的个数的乘积与乙学校所得到的三类名额的个数的乘积相等的分法有________种 （2）设过原点的直线 l与C 交于M 、N 两点且点M 在第一象限，
（用数字作答）． ① 若以MN为直径的圆恰好过右焦点F2，求点M 的坐标．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
② 连接 NF2与双曲线C 交于点 E，若 EMN面积为 6 2，求直线 NF2的方程．
*
f x m x 1 ln x （3m 0 ）若输入 (a , b )，其中1≤a b≤5n 1 n N ，通过上面三台自动打印机运算可以得到自然数对18. 已知函数 x ，其中 ．
f x 1,1 5k k N
* 1的概率为 Pn，证明： P
（1）讨论 的单调性； n
．
5
（2）若 f x 在定义域内有三个零点 a，b，c（a b c）．
① 求实数 m 的取值范围；
a c② 求证： 3b．
m
19. 有三台自动打印机，分别对自然数对进行运算：
第Ⅰ台：输入 (a , b )，则输出 a 1,b 1 ；
a b
第Ⅱ台：输入 (a , b )，则输出 , ，仅当 a，b同为偶数时；
2 2
第Ⅲ台：输入 (a , b )， (b,c)，则输出 (a,c)．
若输入一组自然数对，运算过程中不再输入其它自然数对，但运算中输出的所有自然数对均可重复使用．例如：若输
入 (2,5)，通过第Ⅰ台自动打印机依次可以得到 (3,6)， 4,7 ，(5,8)；通过第Ⅲ台自动打印机输入 (2,5)， (5,8)可
以得到 (2,8)；通过第Ⅱ台自动打印机输入 (2,8)可以得到 (1,4)．
运算过程简单表示为：
2,5 3,6 4,7 5,8
2,8 1,4 2,5
通过上述运算可以将自然数对中的第一个数字变为 1．
根据上述运算回答下面问题：
（1）若输入 (3,17)，输出 (1,8)，试列举一个完整运算过程；
（2）若输入 (5,19)，能否得到 (1,100)，并说明理由；
参考答案及解析
解析：由题知 g x f x
π
sin 2
x π π π
3 sin 2x 3 .
12 12 3

6
1. 答案：D
π π kπ π kπ
解析：由 z 4 3i可得 z 4 3i，则 z z 4 3i 4 3i 16 9i2 16 9 25 . 令 2x kπ,k Z，解得 x ,k Z，∴函数 g x 图象的对称中心 ,3 ,k Z .
6 12 2 12 2
故选：D .
π
2. 答案：D ∴当 k 0时， ,3 为函数 g x 图象的一个对称中心. 12
解析：因为 y log2 x单调递增，所以 c log2 0.9 log21 0， 故选：A.
因为 y 2x单调递增，所以 a 20.6 20 1， 6. 答案：B

因为 y 0.5x单调递减，所以b 0.50.8
解析：因为平面向量 ， 是两个单位向量，
0.50 1 a b，且b 0

a b c 所以 ， 故a在b上的投影向量为 (| a | cos a,b )
b 1 b, cos a,b 1 ,
| b | 2 2
故选：D.
1
3. 答案：B 所以 a b ,2
2 2 1
解析：因为 AF1B的周长为 20，所以 AB AF1 BF1 AF2 BF2 AF1 BF1 20， 所以 a 2b a b a a b 2b ,2
由椭圆定义可知： 4a 20，即 a 5， 故选：B.
c 3
又因为 c 3，所以椭圆 C 的离心率为 . 7. 答案：B
a 5
故选：B f x f x f x 解析：构造函数 g x ，其中 x 0，则 g x g x ，
x x x
4. 答案：D
解析：对于 AB，一个密封的盒子中有标号为 1,2，3,4,5 的 5 个小球从中任取 1 球， 故函数 g x 为偶函数，
记事件 A：从中取出球的标号为 1,2，事件 B：从中取出球的标号为 1,2,3， x f x x f x
当x 、 x 2 1 1 21 2 0, 且 x1 x2 时，都有 0成立，
则 P A 0.4,P B 0.6，满足P A P B 1 x x x，但 A,B不是对立事件，故 A 错误； 1 2 1 x2
x f x x f x f x f xP A B P B 0.6 B x x 2 1 1 2 1 2 由上例可知 ，故 错误； 不妨设 1 2，则 0，即 g x1 g xx x x x 2 ，1 2 1 2
对于 C，P AB P A P B 仅在事件 A、B 相互独立时才成立，而不知道事件 A、B 的关系，故不确定 P AB 的
故函数 g x 在 0, 上为增函数，即该函数在 ,0 上为减函数，
值，错误.
f 2025
因为 f 2025 2025，则 g 2025 g 2025 1，
对于 D，若事件 A、B 相互独立，则事件 A、 B也相互独立， 2025
所以 P AB P A P B P A 1 P B 0.4 1 0.6 0.16，正确.
当 x 0时，由 f x x 0 f x 得 1，即 g x g 2025 ，解得 x 2025；
x
故选：D
5. 答案：A
f x 2
当 x 0时，由 f x x 0得 1，即 g x g 2025 ，解得 2025 x 0 . 23a2 16a 4 23 a
8 28
x 23
，
23
综上所述，不等式 f x x 0的解集为 2025,0 2025, a 8. 当 时， MN 2取到最小值，即MN取到最小值.
23
故选：B. 故选：A
8. 答案：A 9. 答案：ACD
Sn n 11 Sn 1 S解析：由题意可知， ，则 n n 10 n 11 1 0，
n n 1 n
解析： S
n

故数列 为递减数列，故 A 正确；
n


11
因二次函数 y x2 11x 的对称轴为 x ，且开口朝下，
2
由题意知， AB BC, AB BE，
则当 n 5或6时， Sπ n取得最大值，故 B 错误；
CBE就是二面角C AB E 的平面角，即 CBE ，
3
当 n 2 2时， Sn 1 n 1 11 n 1 n2 13n 12，
以 B为原点，以 BA,BE所在直线分别为 x, y轴，过 B点作 z轴 平面 ABEF，
则 an Sn S
2 2
n 1 n 11n n 13n 12 2n 12，
建立如图所示的空间直角坐标系，
又 a1 S1 10，符合上式，故 a 2n 12,n N
*
，故 C 正确；
则 B 0,0,0 , A 2,0,0 ，C 0,1, 3 ,F 2,3,0 ， n
2n 10
AC 2,1, 3 b 2， BF 2,3,0 b an 2n 12 n 1 2 a， 令 nn 2 2 ，则 b 2 2n 12 2 ，则 2 是等比数列，故 D正确.n
设M x, y, z ,N m,n,0 ， 故选：ACD
AM BN
由 a 0 a 1 ，可知 AM aAC,BN aBF ， 10. 答案：AC
AC BF
x 2, y, z a 2,1, 3 m,n,0 a 2,3,0 解析：对于 A，因为 y f x 1 是 R 上的奇函数，其图象关于原点对称，， ，
x 2 2a 又 y f x 1 可看成是函数 y f x 向左平移 1 个单位得到，所以 f x 的图象关于点 1,0 中心对称，故 A 正确；
m 2a
y a ， ，
n 3a 对于 B，由 y f x 1 是 R 上的奇函数，可得 f x 1 f x 1 ，即 f x f x 2 ，
z 3a
解得 x 2 2a， 又 f x f x ，则 f x 2 f x ，所以 f x 4 f x 2 f x ，故 f x 是周期为 4 的函数，故 B
M 2 2a,a, 3a ,N 2a,3a,0 ， 错误；
2 2 2 f x f x 2 f 1 f 2 对于 C，由 ，令 x 1，得 1 ，则 f 1 0， MN 2 2a 2a a 3a 3a
f 2027 f 506 4 3 f 3 f 1 f 1 0，故 C 正确；
对于 D，由 f x 2 f x 0，则 f 2 f 4 0，又 f 1 f 3 0， f x 是周期为 4 的函数， 对于 D 选项，以 BC 、CD为邻边作平行四边形 BCDF ，则 BCDF为矩形，
故 A BCDF的各顶点都在球O的球面上，如下图所示：
19
则 f i 4 f 1 f 2 f 3 f 4 f 1 f 2 f 3 f 2 ，
i 1
而 f 2 的值无法确定，故 D 错误.
故选：AC.
11. 答案：ABC
解析：对于 A 选项，若 AB CD，又因为 AB BC ， BC CD C ，
则 BF BC，又因为 BC AB， AB BF B ，
BC CD AB、 BF 平面 ABF ，、 平面 BCD，故 AB 平面 BCD，A 对；
所以， BC 平面 ABF ，且 BF CD 2，
对于 B 选项， AD AB BC CD，由题意 AB BC BC CD 0，
如下图所示：
2 2 2 2 2 所以 AD AB BC CD AB BC CD 2 AB BC BC CD AB CD

6 2AB CD 6 2 AB CD cos AB,CD 6 2cos AB,CD ，

因为 AB、CD互为异面直线，则 AB,CD 0, π ，
2
故 AD 6 2cos AB,CD 4,8 ，故 2 AD 2 2 ，B 对；
对于 C 选项，不妨取CD的中点E，连接OE、OD，则OE CD，
2CO CD CE EO CD CE CD EO 1 CD CD ， 圆柱O1O2的底面圆直径为 2r，母线长为 h，则O1O2的中点O到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则O为圆柱O1O2 2
的外接球球心.
可将三棱锥C ABF 置于圆柱O1O2内，使得△ABF的外接圆为圆O2，如下图所示：
1 2 1 2
同理可得CO CA CA ，CO CB CB ，
2 2
所以，CO CD BA CO CD AB CO CD CB CA
1 2 2 2 CD CB CA 1 1 CD2 BC 2 AC 2 CD2 AB22 2 2 因为CD //BF ，故异面直线 AB、CD所成的角为 ABF 或其补角，
1
CD AB CD AB CD AB CD 2 CD 2CD 2，
2 2r
2 4 3

当 ABF 60 时，△ABF为等边三角形，则该三角形外接圆直径为 π 3 ，
因为 AB CD 2，故0 CD 2，故CO CD BA 2CD 2 2,2 sin，C 对； 3
2 16 28
设球O的半径为 R，则 2R 2r 2 BC 2 4 ， 所以方程 y2 2y 14 0有两个根，故方程组有两组解，满足条件，
3 3
2 28π
此时，球O的表面积为 4πR ； 若直线 AB的斜率不存在，则直线方程为 x 2，此时线段 AB 的中点为 2,0 矛盾，3
当 ABF 120 时，由于 AB BF 2，则 AFB 30 ， 故答案为：4 .
2 14. 答案：
ABF 2 2
25
则△ 外接圆直径为 2r 4，则 2R 2r BC 2 16 4 20，sin 30 解析：设甲学校所得到数学、物理、化学三类竞赛名额分别为 a、b、 c，
此时，球O的表面积为 4πR2 20π .
其中a、b、 c 1,9 且a、b、 c N ，
28π
综上所述，球O的表面积为 或 20π，D 错.
3 则甲学校所得到数学、物理、化学三类竞赛名额分别为10 a、10 b、10 c，
故选：ABC. 由题意可得 abc 10 a 10 b 10 c ，
12. 答案： x 0，x2 7x 6 0 若a、b、 c均不为5，则a、b、 c中有两个数大于5一个数小于5或者两个数小于5一个数大于5，
a c a
2 2 由于对称性，不妨考查 、b均小于5， 大于5，则 、b 1,2,3,4 ， c 6,7,8,9 ，解析：命题 p： x 0， x 7x 6 0的否定为： x 0，x 7x 6 0，
2 则 ab 1,2,3,4,6,8,9,12,16 ，则6 10 a 9，6 10 b 9，故36 10 a 10 b 81，故答案为： x 0，x 7x 6 0
13. 答案：4 当 c 6时，则6ab 4 10 a 10 b ，因为6ab 96， 4 10 a 10 b 144，
解析：设 A x , y ,B x , y ， 等式不成立；1 1 2 2
x x 当 c 7时，则7ab 3 10 a 10 b ，因为7ab 112，3 10 a 10 b 108，若直线 AB的斜率存在，则 1 2 ，
x x点 P 是线段 AB的中点， 1 2
y1 y2 由于7ab 3 10 a 10 b ，且 7ab为 7 的倍数也为3的倍数， 2, 1，
2 2
而108、109、110、111、112中没有 21的倍数，不合乎题意；
∴ x1 x2 4, y1 y2 2，
当 c 8时，则8ab 2 10 a 10 b ，因为8ab 128， 2 10 a 10 b 72，
y21 8x 12 ，两式作差可得 y1 y2 y1 y2 8 x1 x2 ，
y2 8x2 又因为8ab为8的倍数，8ab 72,80,88,96,104,112,120,128 ，
y1 y2 8 k y1 y 2 可得 ab 9,10,11,12,13,14,15,16 ，所以， ab 9,12,16 ，即 x1 x2 y
，又 AB ，
1 y2 x1 x2
若 ab 9时，则a b 3，此时8ab 2 10 a 10 b ，
kAB 4，
a 3 a 4
直线 AB的方程是 y 1 4 x 2 8ab 2 10 a 10 b，即 4x y 7 0 若 ab 12，则 或 ，此时 ，， b 4

b 3
4x y 7 0 2 若 ab 16，则 a b 4，此时8ab 2 10 a 10 b ，均不合乎题意；联立 2 ，可得 y 2y 14 0，
y 8x
当 c 9时，则9ab 10 a 10 b ，因为9ab 144，36 10 a 10 b 81，
方程 y2 2y 14 0的判别式 4 56 0，
则9ab 36,45,54,63,72,81 ，可得ab 4,5,6,7,8,9 ，故 ab 4,6,8,9 ， 在VABC 中，由余弦定理可得 c2 8 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab a2 b2 4，
若 ab 4，则 a b 2，此时9ab 10 a 10 b ； 所以， a2 b2 12，
a 2 a 3 1
若 ab 6，则 或 ，此时9ab 10 a 10 b ， 因为CT 为 AB边上的中线，所以CT CB CA ，
b 3 b 2 2

a 2 a 4 2
若 ab 8，则 或 ，此时9ab 10 a 10 b 1， 所以CT 2 1 2 2 CB CA CB 1 CA 2CB CA a2 b2 2abcosC
b 4 b 2 4 4 4

若 ab 9，则 a b 3，此时9ab 10 a 10 b ，均不合乎题意. 1 a2 1 b2 ab 12 4 4，故 CT 2，4 4
故a、b、 c中至少有一个为5，不妨设 c 5，则10 c 5，
因此， AB边上的中线CT 的长为2 .
由 abc 10 a 10 b 10 c 可得 ab 10 a 10 b ，则 a b 10，
16. 答案：（1）估计这 100 名志愿者年龄的中位数和平均数分别为42.14和 41.5
当 a,b,c 5,5,5 时，只有1种情况， （2） X 的分布列为：
当 a,b,c 为1、5、9 3的一个排列时，有A3 6种情况； X 0 1 2 3
当 a,b,c 为2、5、8或3、5、 7 或4、5、6的一个排列时，各有6种情况. 7 21 7 1
P
的 4 6 1 25 24 40 40综上所述，符合条件 分法种数为 种. 120
故答案为： 25 . E X 9
π 10
15. 答案：（1）C
3 解析：
（2）2 （1）由频率分布直方图可知：因为前两组的频率之和为 0.01 0.015 10 0.25，前三组的频率之和为
解析：
0.01 0.015 0.035 10 0.6，所以中位数位于区间 35,45 中，
（1）在VABC 中，由b sinC 3c cosB 3a及正弦定理得
35 10 0.5 0.25 50sin B sinC 3 sinC cos B 3 sin A 3 sin B C 3 sin B cosC 3 cos B sinC 中位数的估计值为 35 42.14；， 0.35 7
即 sinBsinC 3sinBcosC， 由频率分布直方图可知：样本平均数的估计值为
π 20 0.01 10 30 0.015 10 40 0.035 10 50 0.03 10 60 0.01 10 41.5
.
因为 B、C 0,π ，则 sin B 0，即 sinC 3 cosC 0，可得 tanC 3，故C .3 故估计这 100 名志愿者年龄的中位数和平均数分别为42.14和 41.5 .
a b c 2 2 4 6
π （2）由题可知从中选取的 20名志愿者中，年龄在 25,45 的有 20 0.015 0.035 10 10人，其中年龄在 25,35 （2）由正弦定理可得 sin A sin B sinC ，sin 3
3 的有 20 0.015 10 3人.
2
ab sin Asin B c 4 由题知年龄在 25,35 的志愿者人数 X服从超几何分布， X 的所有可能取值为0，1，2，3，所以 ，
sin2 C
0 3
P X 0 C C 35 7 C
1C2 3 21 63 21
3 7 P X 1 3 7 ② 设直线 NE的方程为 x my 2，设点 E x1, y1 、 N x2 , y2 ，， ，
C310 120 24 C
3
10 120 120 40
x my 2
C2C1 3 7 21 7 3 0 联立 2 2 可得 3m
2 1 y2 12my 9 0 ，P X 2 3 73 ， P X 3
C3C7 1 3x y 3
C 3
，
10 120 120 40 C10 120
所以 X的分布列为：
X 0 1 2 3
7 21 7 1
P
24 40 40 120
7 21 7
X的期望 E X 0 1 2 3 1 9 .
24 40 40 120 10
2 y 3m
2 1 0
17. 答案：（1） x2 1
3 Δ 144m
2 36 3m2 1 36 m2 1 0

由题意可得 12m ，
M 7 3
y1 y2 2
（2）（i） , ；（ii） x y 2 0 .
3m 1
2 2 y 91y2 2
解析： 3m 1
由双曲线的对称性可知MF1 //NF ，b 2
（1）由双曲线C 的两条渐近线方程为 y 3x，得 3，即
a b 3a
，
S S 1 2 MEN NEF F1F2 y1 y2 2 y1 y2 4y1 2 1y2
2, 3 2 3 2又因为双曲线C 经过点 ，得 2 1 a 1 2，解得 ，a b2 b 3， 2 12m 4 9 12 m 1 1 6 2 2，解得m2 1或m （舍去）， 3m2 1 3m2 1 3m2 1 9
y2 9
所以双曲线C 的方程为 x2 1. 因为 y1y2 2 0，所以3m2 1 0，满足题意，
3 3m 1
由图可知m 0，所以，直线 NF 的方程为 x y 2 0 .
（2）①由题意知，点M 在以原点为圆心，以2为半径的圆上， 2
设点M x0 , y x2 20 ，则 0 y0 4 18. 答案：（1）答案见解析；，
1
（2）（i）0 m ；（ii）证明见解析.
2
x2 y2 2 7
0 0
4

x0
M C 2
4
解析：又因为点 在双曲线 上，联立 y ，可得 ，
x2 00 1 y2 9 3 0 4 （1） f (x)的定义域为 (0, )，
7 3 1 1 mx2 x m
又因为点M 在第一象限，所以M , ； f (x) m 1 2 2 .
2 2 x x x
当m
1
时，
2 1 4m
2 0，所以mx2 x m 0恒成立， f 1 0 1即 3 ，所以 c

m
x2 , 使 f (c) 0 .
m3
所以 f (x)在 (0, )单调递增；
f 1 m 1 x ln 1 m 1 x ln x m x 11 2 因为

ln x

f (x)，
当0 m 时，
2 1 4m 0， x x x x

x
2 2 1 1
所以 f (x) 0 1 1 4m 1 1 4m 3 3
1
的两根为 x , x ， 又因为 3 x2 0 m xm x 1，所以
f m f 0，1 2m 2 2m 32 m
且 x1 x
1
2 0, x1x2 1 0
3
，所以0 x1 x2， 所以 a m , x1 使 f (a) 0，m
所以， x x1, x2 时， f (x) 0, x 0, x1 或 x2 , 时， f (x) 0 1． 所以，当 0 m 时， f (x)有三个零点 a,b 1,c，2
所以 f (x)在 x1, x2 上单调递减，在 0, x1 和 x2 , 单调递增． ② 由（i）可知， f (x)的三个零点： a (0,1),b 1,c (1, )，
1 2 2
综上：当0 m 时， f (x)
1 1 4m ,1 1 4m在 单调递减， 因为 f
1
f (x) ，且 f (a) f (c) 0，所以ac 1，2 2m 2m x

0,1 1 4m
2 1 1 4m2 , 又因为0 m
1 1 c 2
2
，所以
a a 2c a ，
在 和2m 2m
单调递增； 2 m m a

因为 a (0,1)，所以函数 h(a) a 2 单调递减， h(a) h(1) 3，
m 1 a当 时， f (x)在 (0, )单调递增.
2 c
所以 a a 2c 2 a 3 3b，得证．
（2）① 由（1）可知当m
1
时， f (x)在 (0, ) m a单调，
2 19. 答案：（1）答案见解析；
不可能有三个零点；
（2）不能； （3）证明见解析.
1 2 2
当0 m 时， f (x) 0的两根为
2 x
1 1 4m 1 1 4m
， 解析：
1 , x 2m 2 2m
（1）若输入 (3,17)，则 (3,17) (4,18) (2,9) (9,16)
x x 1
，
且 1 2 0, x1x2 1 0，所以 0 x1 1 x2 ，且 f (1) 0，m
再输入 (2,9), (9,16)得 (2,16) (1,8)；
因为 f (x)在 x1, x2 上单调递减，所以 f x1 f (1) 0 f x2 ，
（2）不能得到 (1,100)
2
因为0
1
m 1 1 1 4m 1 1，所以 x2 , f
4
， 输入的 (5,19)两数之差是 7 的倍数．2 m3 2m m3 m2
m 3lnm
第 I 台自动打印机运算，两个数都加 1，运算后两数之差仍是 7 的倍数；
2
1 4 2 3 3 3m 2 4m6设 g(m) 2 m 3lnm, g (m) 3 4m ，3 0 第 II 台自动打印机仅当两个数都是偶数时才能运算，所以运算后两数之差也是 7 的倍数，m m m m
1 1 第 III 台自动打印机输入的两组数对
(a,b), (b,c)的差都是 7 的倍数，所以 (a,c)也是 7 的倍数，
g(m) 0, 1 g(m) g 在 上单调递减， 4 3ln 2 3 3ln 2 02 ， 2 16 综上，通过三台自动打印机运算得到的两数之差都是 7 的倍数，而100 1 99 不能被 7 整除，所以不能得到 (1,100)；
（3）设 An为 (a , b )的所有情况数，因为1 a b 5n 1，
5n (5n 1) 25n2 5n 当 a 5n 4时，b可以取5n 1，共有 1 中取法，
所以 A C2n 5n 1 ；2 2
B 5(1 2 n 1) n 5n
2 3n
所以 n ；
由（2）可知只有当b a是 5 的倍数时符合题意，下面证明： 2
5n21 m m 5k 5n 1,m, k N * 3n假设
P B 1 5n 3所以 n n 2 ，
(m,m 5k) An 25n
2 5n 5 5n 1
输入 ，
2
则 (m,m 5k) (m 1,m 1 5k) (m 2,m 2 5k) (m 5k ,m 10k)， 所以 P 1 .
5
再输入 (m,m 5k), (m 5k ,m 10k)得 (m,m 10k)，
因为m,m 10k 的奇偶性相同，
m ,m 5k m 1 m 1 所以一定可以得到 或2 2
, 5k ，
2 2
m m 1
因为m N*，所以 m或 m，2 2
这样就将自然数对的第一个自然数变小了，
重复上面的运算就可以得到 (1,1 5k) k N*
设通过上面运算可以得到 (1,1 5k) k N* 的所有情况数为 Bn，
由上述证明可知：若输入 (a , b )，其中1 a b 5n 1 n N* ，
*
可以得到 (1,1 5k) k N ，则b a是 5 的倍数，
所以当 a 1时，b可以取6,11, ,5n 1，共有 n中取法，
当 a 2时，b可以取7,12, ,5n 3，共有 n 1中取法，
当 a 3时，b可以取8,13, ,5n 2，共有 n 1中取法，
当 a 4时，b可以取9,14, ,5n 1，共有n 1中取法，
当 a 5时，b可以取10,15, ,5n，共有 n 1中取法，
当 a 6时，b可以取11,16, ,5n 1，共有 n 1中取法，
当 a 7时，b可以取12,17, ,5n 3，共有 n 2中取法，
．．．．．．

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