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郑州市 2025 年高中毕业年级第三次质量预测 （注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表）
A. 阅读量的众数估值为 8
数学试卷
B. 阅读量的中位数估值为 6.5
注意事项：
C. 阅读量的平均数估值为 6.76
1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
D. 阅读量的第 70 百分位数估值为 8.86
2.答题时请按要求用笔.
7. 已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，函数 g x x 3 f x 的图象关于 x 3对称，若 g 2 5，则
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试
卷上答题无效. f 4 （ ）
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. A. 3 B. 1 C. 0 D. 1
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 8. 已知 P点坐标为 2cos ,sin ，直线 l : m 2 x m 1 y 3m 2 3 0与圆M : x2 y2 2 3x 2 0
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确
A,B 交于 两点，则 PA PB的取值范围是（ ）
的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
A x || x 1| 1 B x | x2 x 2 0 A. 1,1 B. 4,4 C. 6 4 3,6 4 3 D. 7 4 3,7 4 3
1. 已知集合 ， ，则 A B （ ）
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
A x | 0 x 2 B. x | 1 x 2
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
C. x | 0 x 2 D. x | 1 x 2
9. 函数 f x 3sin 2x 2cos2 x，则下列关于 f x 的说法中正确的是（ ）
2. 若复数 z 满足 1 2i z 4 3i，则 | z | （ ） A. 最小正周期是 π B. 最大值是 2
A. 3 B. 2 C. 5 D. 3 π π , π C. 是区间 上的增函数 D. 图象关于点 , 0 中心对称
6 6 6
3. 记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a3 7， S5 6a2 5，则 a1 （ ）
10. 如图，在棱长为 6 的正四面体 P ABC中，点 O 是顶点 P 在底面 ABC 内的射影，N 为 PO 的中点，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
A. AN PC
4. 在△ABC 中，已知 A 30 ， a 2，b 2，则角 C为（ ）
B. 点 C到平面 ABN 的距离为3 2
A. 45° B. 105° C. 45°或 135° D. 15°或 105°
6
5. 河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特 C. 如果在此正四面体中放入一个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 3
色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择 1 到 3 种进行品尝（每
D. 动点 Q 在平面 ABC 内，且满足 PQ 5，则动点Q的轨迹表示图形的面积为 π
天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（ ）
11. 群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设 G 是一个非空集合，“ ”是 G 上的一个代数运算，如果该运算
A. 450 B. 360 C. 180 D. 90
6. 4 月 23 日是“世界读书日”，全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围．某中学共有 满足以下条件：①对任意的 a,b G，有a b G；②对任意的 a,b,c G，有 a b c a b c ；③存在 e G，
3000 名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取 200 名，统计他们 2024 年阅读的书籍数量， 使得对任意的 a G，有 e a a e a， e称为单位元；④对任意的 a G，存在b G，使 a b b a e，称 a
由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（ ） 与 b 互为逆元．则称 G 关于“ ”新构成一个群．则下列说法正确的有（ ）
A. G 1,1, i, i （ i为虚数单位）关于数的乘法构成群 从总经济损失期望最小的角度，判断哪种方案更优．
x
Q 16 已知函数 f x e ax 1 ．B. 有理数集 关于数的加法构成群
1
G a 2b |a,b Z （1）若 x 是函数 f x 的极值点，求 a的值；C. 关于数的除法构成群 2
D. 正实数集R 关于数的乘法构成群 （2）在（1）的条件下，若函数 g x f x m x 1 有两个零点，求实数 m 的取值范围．
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5 分，共计 15 分． 1 3 1 n
17. 已知数列 an 的首项 a1 ，且满足 an 1 an ．
x2 y2 2 2 2
12. 若直线 x 2y 2 0经过椭圆 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为
a2
2 1 a 0,b 0 b
（1）求数列 an 的通项公式；
________． n n n
1 1 （2）设
bn nan，数列 bn 的前 n项和为 Sn，若不等式 1 Sn 对一切 n N*恒成立，求实数 的
tan tan cos 2 cos 2
n 2
13. 已知 ， ，则 ________．
3 3 取值范围．
b
14. 若直线 y x为曲线 y eax b的一条切线，则 的最小值为________． 2 5 7a 18. 已知抛物线 E : y 2px p 0 的焦点为 F，点M , y0 在 E上，且 |MF | ．
4 4
四、解答题：本题共 5 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（1）求 E 的方程；
15. 某云计算平台部署了多台同型号服务器，运维系统会检测服务器是否触发“高温异常”警报．历史数据表明，警
（2）过 F 作互相垂直的两条直线 l1， l2，这两条直线与抛物线 C 分别交于 A，B 和 P，Q两点，其中点 A，P 在第一象
报与服务器状态（正常/故障）高度相关．从触发警报和未触发警报的数据中各随机抽取 500 条，统计如下：
限．
触发警报时状态分布 未触发警报时状态分布
正常 25 台 正常 450 台 （ⅰ）记△AOB 和△POQ 的面积为
S1， S2，求 S1S2的最小值；
故障 475 台 故障 50 台 （ⅱ）过 F 点作 x 轴的垂线，分别交 AP，BQ 于 C，D 两点，请判断是否存在以 CD 为直径的圆与 y 轴相切，并说明理
运维单台服务器时，可选操作及经济损失（单位：千元）如下： 由．

状态/操作 保持运行 快速诊断 深度检修 19. 在空间直角坐标系 O-xyz 中，已知向量u a,b,c abc 0 ，经过点 P0 x0 , y0 , z0 ，且以u为法向量的平面α
正常 0 1 3 的方程为 a x x0 b y y0 c z z0 0．
故障 10 4 6 （1）求原点O到平面 x y z 4 0的距离；
假设用频率估计概率，各服务器状态相互独立． （2）根据平面直角坐标系中点到直线的距离公式，类比出 P x0 , y0 , z0 到平面 A x B y C z D 0的距离公式，
（1）若服务器触发高温警报，求其处于故障状态的概率； 并利用有关知识证明；
（2）某次维护中，发现 1 台触发警报的服务器和 1 台未触发警报的服务器．现有三种操作方案：
（3）已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1，平面CDD1C1 的方程为 x 2y z 2 0，平面 ADD1A1经过点
方案甲：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的保持运行；
E 0,0,1 ,F 1,1,2 ,G 2,2,1 ，平面 ACC1A1的方程为 kx ty 2z 1 0 1≤t≤2 ，求平面CDD1C1与平面
方案乙：触发警报的服务器快速诊断，未触发警报的保持运行；
方案丙：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的快速诊断． ACC1A1夹角的余弦值的最大值．
参考答案及解析 根据分步乘法计数原理，按1 2 3分配的选法种数为：
1 2 3 3
1. 答案：B C6 C5 C3 A3 6 10 1 6 360种.
解析： | x 1| 1 1 x 1 1 0 x 2，故 A x | 0 x 2 ， ②按照 2 2 2分配的选法种数为：
2
2 B x | 1 x 2 C6 C
2 C2
x x 2 0 1 x 2，故 4 2， 3 A
3 15 6 1
3 6 90种.A3 6
故 A B x | 0 x 2 x | 1 x 2 x | 1 x 2 . 最后将两种选法种数相加得到总的选法种数为360 90 450种.
故选：B 故选：A.
2. 答案：C 6. 答案：D
4 3i 4 3i 1 2iz 10 5i
4 8
解析：因为 1 2i z 4 3i，所以 2 i 解析：众数估值为 6，A 错误；，1 2i 1 2i 1 2i 5 2
中位数 x在 4,8 内，所以0.06 4 0.1 x 4 0.5，解得 x 6.6，B 错误；
所以 z 2 i， | z | 12 22 5
平均数 x 0.24 2 0.4 6 0.28 10 0.06 14 0.02 18 6.88，C 错误；
故选：C.
第 70 百分位数 y3. 答案：A 在 8,12 内，所以0.06 4 0.1 4 0.07 x 8 0.7，
解析：等差数列 an
62
的前 n 项和为 Sn， 解得 y 8.86，D正确.7
因为 a3 7 a1 2d ， S5 6a2 5 5a1 10d 6 a1 d ， 故选：D.
7. 答案：D
所以 a1 3,d 2，
解析：因为 g 2 2 3 f 2 5 f 2 5，所以 f 2 1，
故选：A.
4. 答案：D 因为 f x 是奇函数， f 2 f 2 1，所以 g 2 2 3 f 2 1，
a b 2 2 因为函数 g x x 3 f x 的图象关于 x 3对称，所以 g 4 g 2 1，
解析：由正弦定理得 ，即 ，
sin A sin B sin 30 sin B
即 g 4 4 3 f 4 f 4 1.
2 1
所以 sin B 2sin30 2 2 ，故 B 45 或135 ，
故选：D.
2 2 2 8. 答案：C
当 B 45 时，C 180 45 30 105 ， 2解析：由 x2 y2 2 3x 2 0得 x 3 y2 1，所以圆心M 3,0 ，半径 r 1
当 B 135 时，C 180 135 30 15 .
由 m 2 x m 1 y 3m 2 3 0得m x y 3 2x y 2 3 0，
故选：D
x y 3 0
5. 答案：A x 3由 得 ，所以直线 l过定点 3,0 ，即为圆心M ，
2x y 2 3 0 y 0
解析：①计算按照1 2 3分配的选法种数.

所以 A,B是圆M 的直径的两端点，所以MA MB 0，且 MA MB r 1， 10. 答案：BD
2 2 2 解析：取 AC的中点D，连接 BD，则BD AC且O为靠近D的一个三等分点，过点O作OE//AC交 BC 于点 E，
PA PB PM MA PM MB PM MA PM MA PM MA PM 1，
则OE OB ，
又 PO 平面 ABC，如图建立空间直角坐标系，
2
因为 BD 62 32 3 3，所以OP 62 2 3 2 6 ，
则 A 3, 3,0 ，C 3,3,0 ，B 2 3,0,0 ， P 0,0,2 6 ，N 0,0, 6 ，
所以 PC 3,3, 2 6 ， AN 3,3, 6 ，

所以 AN PC 3 3 3 3 2 6 6 6 0 ，所以 AN与 PC不垂直，故 A 错误；
因为 P 2cos , sin ,M 3,0 ，所以 PM 3 2cos , sin ，
2 2 1 22
PM 3 2cos 2 2 因为sin 3 4 3 cos 4cos2 sin2 3cos2 4 3 cos 4 AN BN 2 3 6 3 2 ，所以 S ABN 6 3 2 3
2 9，
， 2
22
令 cos t 1,1 1 1，则 PM 3t 2 4 3t 4 2 3 3 t 3 ， 又 S ABC 3 3 6 9 3，所以VN ABC 9 3 6 9 2， 2 3
2 2
所以当 t 1时， PM 取得最小值7 4 3；当 t 1时， PM 取得最大值7 4 3， 1
设点C 到平面 ABN 的距离为 d ，则VN ABC VC ABN S ABNd 9 2，解得3 d 3 2
，
2
所以 PA PB PM 1 6 4 3,6 4 3 ，
即点 C 到平面 ABN 的距离为3 2，故 B 正确；
故选：C.
9. 答案：AC 1对于 C：因为VP ABC 9 3 2 6 18 2，设正四面体的内切球的半径为 r ，3
f x 3 sin 2x 2cos2解析： x 3 sin 2x cos 2x 1 2sin 2x
π
1，
6 V 4 S 4则 P ABC ABCr，即 9 3r 18 2 r
6
，解得 ，
2π 3 3 2
所以 f x 的最小正周期T π，A 正确；
2 6
最大值是 2 1 3，B 错误； 所以在此正四面体中放入一个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 ，故 C 错误；2
x π π , 2x π π π , 当 时， ，是 y sin x
2
的单调递增区间，C正确； 对于 D：连接OQ，因为 2
6 6 6 6 2 OP 6 2 3 2 6 ， PO 平面 ABC，OQ 平面 ABC，
π π π 所以 PO OQ，所以 PQ OP
2 OQ2 24 OQ2 5，所以OQ2 1，
因为 f 2sin

2

1 3 1， f
π 2sin 2 π π
1 3 1，
4 4 6 12 12 6 则点Q在平面 ABC所表示的图形为以O为圆心，1为半径的圆面，
f π
Q 2
f
π π
0，所以 f x 图象不关于 , 0
所以动点 的轨迹表示图形的面积为 π 1 π，故 D 正确.
中心对称，D错误.
4 12 6
故选：BD
故选：AC.
故选：ABD.
2 5 5
12. 答案： 或
5 5
解析：直线 x 2y 2 0与坐标轴的交点为 2,0 和 0,1 ，
若 2,0 是椭圆的焦点， 0,1 是椭圆的一个顶点，
11. 答案：ABD 此时椭圆的焦点在 x轴且 c 2,b 1，所以 a2 b2 c 2 2 5 c2 5,a 5，离心率 e ，
a 5 5
解析：对于 A 选项：
因为G 1,1, i, i ，可以计算里面任意两个元素的乘积结果都属于集合G .
因为数的乘法满足结合律，对于复数也不例外.
存在 e 1 G，对于 a G，当 a 1时，1 1 1 1 1.
若 0,1 是椭圆的焦点， 2,0 是椭圆的一个顶点，
当a i时，1 i i 1 i ;当 a i时，1 i i 1 i .
c 1 5
集合G也满足逆元，关于数的乘法能够构成群，所以 A 选项正确. 此时椭圆的焦点在 y轴且 c 1,b 2，所以 a
2 b2 c2 5,a 5，离心率 e ，
a 5 5
对于 B选项：
对于任意两个有理数，它们的和仍为有理数；有理数的加法也满足结合律.
存在 e 0 Q，对于 a Q，有0 a a 0 a .
对于任意的 a Q，存在b a Q，使得 a a a a 0 .
所以有理数集Q关于数的加法构成群，B选项正确.
对于 C选项： 2 5 5所以椭圆的离心率为 或 ，
5 5
取 a 0,b 1,a 2b 2 a 2b， 无意义，不满足对任意的 a,b G a 2b | a,b Z ，
0 2 5 5故答案为： 或 .
5 5
a 2b
有 G c G ，所以不满足封闭性，C选项错误. 2
c 13. 答案： 3
对于 D选项： 1解析： cos 2 cos cos cos sin sin ，3
任意两个正实数的乘积仍然是正实数；实数的乘法满足结合律.
sin sin 1 1 1 tan tan
1
，
对于任意的 a R ，存在b R 使得 a· ·a 1. cos cos 3
a a a
满足 a·b b·a e.所以 D选项正确. 故 cos cos 3sin sin ，
所以3sin sin sin sin 1 ， 方案甲：触发警报的服务器深度检修的经济损失的数学期望为：
3
1 1 1 E1 0.95 6 0.05 3 5.85sin sin （千元）．解得 ，故 cos cos 3 ，
6 6 2
未触发警报的服务器保持运行的经济损失的数学期望为：
所以 cos cos cos cos sin sin
E2 10 0.1 0 0.9 1（千元）．1 1 2
.
2 6 3
∴ E2 甲
E1 E2 6.85（千元）
故答案为：
3 方案乙：触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为：
14. 答案： 1
E3 0.95 4 0.05 1 3.85（千元）．
解析： y aeax b，
所以， E乙 E2 E3 1 3.85 4.85（千元）
设直线 y x与曲线 y eax b相切于点 x, x ，则 x eax b且 aeax b 1，
方案丙：未触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为：
eax b 1 x 1 b 1 ln a b 1 ln a解得 ，所以 ，从而得 ，所以 ， E
a a a a 4
0.1 4 0.9 1 1.3（千元），
1 所以 E丙 E1 E4 5.85 1.3 7.15（千元）
设 g a 1 ln a a 0 a 1 ln a ，
a g a
ln a
a 2
，
a a2 ∵ E乙 E甲 E丙，所以方案乙更优．
令 g a 0得0 a 1，令 g a 0得a 1， 16. 答案及解析：
x
所以 g a 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增， （1） f x e ax 1 a ，
1 1

所以 g a gmin 1 1
b 1
，即 的最小值为 1. 因为 x 是函数 f x f 1 e 2 1 1的极值点，所以 a 1 a
e 2 a 1
a 2
0，
2 2 2
故答案为： 1. 即 a 2 x，此时 f x e 2x 1 ，
15. 答案及解析：
由 ，得 x
1
；由 f x ex 2x 1 0 1， x ，
（1）设服务器触发警报时其处于故障状态设为事件 A，服务器未触发报警记时其处于故障状态记为 B． 2 2
由题意可知， n Ω 500 n A 475 f x 1 1； ， 所以函数 在区间 , 上单调递减，在区间 , 上单调递增，
2 2
n A 475 1
由古典概型知识可知， P A 0.95 . 所以， x 是函数
f x 的极小值点，故 .
n Ω 500 a 22
x
（2）∵P A 0.95 P A 1 P A 0.05 （2）由（1）可知 g x f x m x 1 e 2x 1 m x 1 有两个零点，，∴ ，
n B 50 即方程 g x e
x 2x 1 m x 1 0有两个解．
又 n B 50，∴ P B 0.1．
n Ω 500
当 x 1时， g 1 e 0，
∴ P B 1 P B 0.9 .
x
x 1 ex 2x 1 m x 1 e 2x 1 n n当 时， ，即m ． （2）由（1）可得bn nan 1 n ，x 1 2n
x
设 h e 2x 1x ，函数 g x 零点个数为函数 y h x 的图象与直线 y m的交点个数． 所以， Sn 1 2 3 4
1 2 n
1 n n
x 1 2 22
n ，2
ex 2x2 3x
h x 2 ， x 1 1 n 1 2 n ， 当 n 为奇数时， S ①， x 1 n 2 2 22 2n
h x 0 x 3 x 0 h x 0 0 x 3令 ，得 或 ；令 ，得 且 x 1． 1
2 2 S
n 1 1 2 n 1 n
n 2 3 2 4 2 2 2n 2n 1
②，
所以函数 h x 在区间 0,1 和 1,
3 3
上单调递减，在区间 ,0 和 , 上单调递增．
2 2 1 n 1
由①-②得 Sn 1
n 2
n 1 ，2 4 2
当 x 时， h x 0；当 x 时， h x ；如图所示
S 3 n n 2所以， n 2 2n
3 n 2 n所以， ，
2 2n 2
2 3 2 3 1
3 3 所以， n ，所以 ，h 0 1 h 4e2 2 2 2 2 2， ，
2
3 当 n 为偶数时， S n 1 2 n n 4 n 2 ，同理求和可得， S ，
函数 y h x 的图象与直线 y m有两个交点，即0 m 1或 n 2 n n nm 4e2 ， 2 2 2 2 2 2
3
即0 m 1或m 4e2 时，函数 g x f x m x 1 有两个零点. n 4 n 2 n n所以， n 2 n
1
，
2 2 2n 2 2n 1
17. 答案及解析：
7
n 故，
a a 3 1 2（1）由题意可知， n 1 n ，2 2 1 7
综上，实数 的取值范围为 , .
1 1 2 2

a

可得 n 1 2n 1
an n ， 2 18. 答案及解析：
a 1 1
1 7
又 1 ，故数列 an n 是以-1 为首项，以-1 为公比的等比数列， （1）依题意得，点 M在抛物线上，且 |MF | ，2 2 4
所以 an
1 p 5 7
1 n . 所以 ，所以可得 p 1n ，2 2 4 4
所以 E 的方程为 y2 2x；
1 1 1 y y
（2）（ⅰ）抛物线方程为 y2 2x 1 3，焦点坐标为 F ,02
， 又 x y
C
，故可得 C
2 y1 y
，
3
当 l1的直线斜率为 0 时，与抛物线只有 1个交点，不合要求， 2
同理可得直线 BQ的方程为 y y2 x x y 2 ，2 y4
当 l1的斜率不存在时， l2的斜率为 0，此时 l2与抛物线只有 1 个交点，不合要求，
1 y 1 y2 yx 4又 D ，故 D ，
故设 l : x 1 1 1 y y1 my ，m 0
2
，则 l 2 4
2 2
: x y ，
m 2
1 1
A x1, y1 ， B x2 , y2 ， P x3, y3 ，Q
1
x , y 4 4 ， y y1 y3 1 y1y又 31y2 y3y4 1，所以可得 yD ，
1 1

y y
y2
1 3
2x,
y1 y3
由 1 ，消去 x 得 y2 2my 1 0，
x my , 2 可得 yC yD 0，所以可得 CD 的中点恒为 F，
2 y y 2m y y 1 1 m 4 0， 1 2 ， 1 2 ， 以 CD 为直径的圆与 y轴相切等价于 yC ，2
1
所以 S1 OF y
1 2 1 1
1 y2 y1 y2 4y1y 4m22 4 m2 1， 1 1 1 y2 4 4 2 1
y3
若 yC ，则 2 y y ，所以
2y
2 1
y3 2 y1 y3，
1 3
同理 S 1 12 1，2 m2 2 2 1
又 l
1
1 l2，所以 1，故 y1 y3 4y ，1 y

2 y3 y4 y1 y3
1
所以 S S 2 1 1 1 1 1 11 2 m 1 1 24 m2 m 2 2 2m 2 ， 2 4 m 4 m 2 2 2整理可得 y1y3 y1 y3 1 4y1y3，
当且仅当m2 1 2 2
m2
，即m 1时等号成立， 即 y1y3 1 y1 y3 ，
S S 1故 1 2的最小值为 ． 因为m 0，故 y1 y3 ，所以 y1y3 1 y1 y2 3．
又 2y1y3 2 y1 y3，故可得 y1 3y3．
2
代入方程 y1y3 1 y1 y3可得，3y3 2y3 1 0，
4 12 8 0，
故不存在以 CD 为直径的圆与 y轴相切
19. 答案及解析：

y y （1）根据题意，平面的法向量 n1 1, 1, 1 ，1 3
（ⅱ）不妨设m 0，由题意可知 lAP : y y1 x x x x 1 ， 1 3
在平面 x y z 4 0上任取点M 4,0,0 ，可得OM 4,0,0 ，
2 2
又 y21 2x1， y3 2x3，所以 AP 的直线方程可化为： y y1 x x1 y y ，1 3

O x y z 4 0 d d
|OM
n1 | 4 4 3 所以平面CDD1C1与平面 ACC1A1夹角的余弦值为设原点 到平面 的距离为 ，则 ，
| n1 | 3 3
| q s | | k 2t 2 | | 3t |
x y z 4 0 4 3 | q || s | k
2 t 2 2故原点 O 到平面 的距离为 . 4 6 2t 4t 8 6
3
3t 3 t 2 3 1 3 1
| A x0 B d y0 D
| 2 2 2
（2）由点到直线的距离公式 ， 2 3 t 2t 4 2 t 2t 4 2 1 2
1 4 1 2 1 1 3
2 2 t t 2 4 A B t 4 4

A x0 B y0 C z0 D q s 3 1 1
类比：点到平面的距离公式为 d ， 1 1
A 2 B 2 C 2 又1 t 2， 1， q s 22 t 4 1 1
2 3 2


t 4 4
证明如下：
1
D 平面
CDD1C 1
与平面 ACC1A1夹角的余弦值的最大值为 ．2
不妨设C 0，在平面 A x B y C z D 0内取一点Q 0,0, ，
C
D
则向量QP x0 , y , z

0 0 ，
C

取平面 A x B y C z D 0的一个法向量 n A ,B ,C ，
所以点 P x0 , y0 , z0 到平面 A x B y C z D 0的距离为：

d |QP n | | A
x0 B y0 C z0 D |
| n | A 2 B 2 C 2

（3） EF 1,1,1 ， FG 1,1, 1

EF

p i j r 0
设 p i, j, r 为平面 ADD1A1的一个法向量，则 ，
EG p i j r 0

令 i 1，得 j 1， r 0，所以 p 1, 1,0 ．

因为平面CDD1C1的方程为 x 2y z 2 0，所以由（2）知平面CDD1C1的一个法向量为q 1, 2,1 ，

t p x y 0,
设直线DD1的一个方向向量为 t x1, y1, z 1 11 ，则
t q x1 2y1 z1 0.

令 x1 1，得 y1 1， z1 1所以 t 1,1,1 ．

因为DD1 / / 平面 ACC1A1，所以平面 ACC A s

1 1的一个法向量 k, t, 2 与直线DD1的方向向量 t 1,1,1 垂直，

所以 s t k t 2 0，

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