资源简介

2025 年长春市高三毕业班质量监测（四） 1 3 2 6
A. B. C. D.
3 3 3 3
数学试卷
7. 已知直线 y x 1与曲线mx2 ny2 0(m 0,n 0) 交于 A，B 两点，若同时经过原点和线段 AB 中点的直线斜率
本试卷共 4 页.考试结束后，将答题卡交回.
3 x2 y2
注意事项： 为 ，则双曲线 1的离心率为（ ）2 m n
1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 5 10 5 15
A. B. C. D.
2.答题时请按要求用笔. 2 2 3 3
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试 8. 结合以下材料：“在空间直角坐标系 O-xyz 中，过点 P x0 , y0 , z0 且一个法向量为n a,b,c 的平面 的方程
卷上答题无效.
为 a x x0 b y y0 c z z0 0 .”解决问题：在空间直角坐标系 O-xyz 中，若直线 l 是两平面 x 3y 7 0
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 与 4y 2z 3 0的交线，则直线 l 的方向向量可以是（ ）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 A. 3,1, 2 B. 3,1,2 C. 2,1, 3 D. 2,1,3
目要求的.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
z 1 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
1. 复数 2 i在复平面上所对应的点在（ ）
π
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 已知函数 f (x) 2sin 2x ，则（ ） 6
1 2π
2. 已知随机变量 X ~ B 3, ，则 P X 1 （ ） A. x 是 f x 的一条对称轴
3 3
7 8 12 20
A. B. C. D. B. f x 与函数 y 2cos 2x π 相等
27 27 27 27 3

3. 已知向量 a和b满足 a b 3,a

与b的夹角为60o，则 2a b （ ）
C. f x 在区间 0,
π
上单调递减
3
A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 3 3
D. f x 在区间 0,
π
上的取值范围是 2,1 2
0, π

4. 若 ，且 sin

2
π
cos 2 0 ，则 tan （ ）
2 6
10. 已知函数 f (x) x2 2 x x a ，若函数 F x f x x存在两个零点，则 a的取值可能是（ ）
3 3
A. 3 B. 3 C. D. A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
3 3
11. 数学里常研究一些形状特殊的曲线，常用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线
5. 圆 x2 y2 4 0与 x2 y2 4x 4y 12 0 的公共弦长为（ ） 1 1
C : x 2 y 2 2（如图所示），则下列关于曲线C的说法正确的有（ ）
A. 2 2 B. 2 3 C. 14 D. 4 A. 周长大于 25
6. 在正四面体 ABCD 中，M，N分别是棱 AB，CD 的中点，则直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为（ ） B. 共有 4 条对称轴
C. 围成的封闭图形面积小于 14
2 n ad bc
2
，
D. 围成的封闭图形内能放入圆的最大半径为 1 a b c d a c b d
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分. P 2 k

0.050 0.010 0.001
12 已知 a b a b 2 ，则 a b ______.
k 3.841 6.635 10.828
13. 已知 Sn是公差不为 0 的等差数列
S
an 6的前 n 项和，且 a1， a2， a5 成等比数列，则 S ________.3
a 1 16. 已知函数 f (x) xsin x ax2 1.
14. 已知函数 f x x 0 a 3 在 2, 1 上的最大值比最小值大 ，则 a 2 ______.x
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （1）当 a 1时，求 f x 在 x π 处的切线方程；
15. 为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，随机抽取了 200 名高三年级学生，整理数据得到如下列联表，
并画出身高的频率分布直方图： π
（2）当 x 0, 时， f x 1恒成立，求 a 的取值范围. 2
5
17. 已知数列 an 中， an 1 2an 3n 1 .
（1）若 a1,a2 ,a3 依次成等差数列，求 a1 ；
（1）根据身高的频率分布直方图，求列联表中的m， n的值； 1
a 4 （2）若 1 ，证明数列 an n 为等比数列，并求数列 an 的前 n项和 Sn .3 3
（2）依据小概率值 0.001的独立性检验，能否认为“高三年级学生的性别”与“身高是否低于170 cm ”有关联？
（3）将样本频率视为概率，在全市不低于170 cm 的学生中随机抽取 6人，其中不低于175 cm的人数记为 X ，求 X 18. 如图，两个底面相同的正四棱锥，顶点 M，N位于底面两侧，底面 ABCD 是边长为 6 的正方形.
的期望.
附：
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
女 m 20
男 50 n
（1）证明：平面 AMCN 平面 BMDN；
合计 200
1 1 1
（2）若 AM AN 且 AM 2AN ，点 P满足 NP AD AB MN ，求直线 AM 与平面 BPN 所成角的正弦值.6 2 3
2
19. 已知点 P为圆C : x 2 y2 12 上任意一点，点 A 2,0 ，线段 PA的垂直平分线交直线PC于点 B，设点 B
的轨迹为曲线H .
（1）求曲线H 的方程；
（2）若过点 B的直线 l 3与曲线H 相切，且与直线 y x分别交于点M ,N .
3
① 证明：点 B为线段MN的中点；
② 求 2 OM 3 ON 的取值范围.
参考答案及解析 即公共弦长为 l 2 R2 d 2 2 4 2 2 2 .
1. 答案：A 故选：A
解析：复数 z 1 2 i 2 1 i . 6. 答案：C
2 i 5 5 5
解析：将正四面体 ABCD 中置于正方体中，如图，
故选：A
2. 答案：D
1 0 2 3P X 1 P X 0 P X 1 1
1 2 2 20
解析：由题意得 C0 1 3 C3 3 3

3

3 27
故选：D.
3. 答案：D
2a b (2a b )2 4a
1
解析：由题意， 2 4a b b 2 4 9 4 3 3 9 3 3 .
2 易得CN //ME ，CN ME，
所以四边形CNEM 为平行四边形，则 NE∥CM ，
故选：D.
则异面直线 AN 与 CM 所成角即为直线 AN 与 NE 所成角，
4. 答案：B
即 ANE为直线 AN 与 CM 所成角（或补角），
sin 2 π cos 2 0 3 1解析：由 ，则6 sin 2 cos 2 cos 2 0
，
2 2 设正方体的棱长为 2，则 AE DE 2,DN 2 ， AN NE 6 ，
则 tan 2 3 ， ANE AN
2 NE 2 AE 2 6 6 4 2
在 中，由余弦定理可得， cos ANE ，
2AN NE 2 6 6 3

又 0,
π
2
2 0,π ， 2
因此直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为 .3
2 2π π所以 ，所以 ， tan tan π 3 . 故选：C.
3 3 3
7. 答案：D
故选：B
5. 答案：A 解析：设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，
解析：圆C ： x2 y21 4 0 ①，所以C1 0,0 r 2 mx2 ny2， 1 . 则 1 1 0，①
圆C ： x22 y2 4x 4y 12 0 2 2②，所以C2 2, 2 ， r2 2 5 mx2 ny2 0，②
因为 r2 r1 C1C2 2 2 r2 r1，所以圆C
3
1与圆C2 相交. 因为：同时经过原点和线段 AB 中点的直线斜率为 ，2
因此公共弦所在直线的方程为① ②： x y 2 0 ， y x 1
x x 4
由 3 得： A,B中点坐标为 2,3 1 2，所以 ，
d | 0 0 2 |
y x y1 y2 6
圆C 21的圆心到公共弦的距离为 2 ，12 12
y y 故选：AD1 2
且 kAB 1x .1 x2 10. 答案：BCD
m x2 x2① ②可得 1 2 n y2 2 21 y2 0，
解析： F x x, x 0x f x x 2 ，图象如图
x 3x, x 0
m y21 y
2
2 y1 y2 y1 y 2 3 3则 2 2 1 ，n x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 2
m ( n)
e 1 n 2 15 1
m m 3 3
故选：D
8. 答案：A
则 F x 在R 上共有 3个零点，
解析：由阅读材料可知：平面 x 3y 7 0的法向量可取 a (1, 3,0) ，
即 F x 0在R 上有 3 个根， x1 1， x2 0， x3 3.
平面 4y 2z 3 0的法向量可取b (0, 4, 2)，
又因为函数 F x f x x在 x ,a 上存在两个零点，故a 0,3 .
设直线 l的方向向量m (x, y, z)，
故选：BCD.

m a

x 3y 0
则 ，令 y 1，则m 3,1, 2 ， 11. 答案：ABC
m b 4y 2z 0
解析：对 A：由题意，在第一象限曲线C的方程为 x y 2 ，
故选：A.
9. 答案：AD 即 y x 4 x 4(0 x 4,0 y 4)，
2 2
f (x) π π 0 x 4,0 y 4 2sin 2x 2sin 2x 当 时，曲线C在圆 (x 4) (y 4) 16 的下方，理由如下：解析： ，
6 6
2 2
2x π kπ π x kπ π
因为 x y 2，可设 x 2cos θ ， y 2sin θ ，
令 ， ， k Z ，
6 2 2 6 2 2 2
2 2
2π 则 x 4 y 4
2 4cos4 θ 4 4sin4 θ 4 16 cos4 θ 1 sin4 θ 1


当 k 1时， x 为 f x 的一条对称轴，A 正确；
3 2 2
而 cos4 θ 1 sin4 θ 1 cos8 θ sin8 θ 2 cos4 θ sin4 θ 2
y 2cos 2x π 2cos 2x π π 2sin 2x
π
f (x)，B 错误；
3 6 2 6

2cos4 θ sin4 θ 2cos4 θsin4 θ 2 cos4 θ sin4 θ 2
π 2π 5π 2
t 2x π x 0, t , 1 2cos θsin
2 θ 2cos4 θsin4 θ 2 1 2cos2 θsin2 θ 2
令 ，当 时， ，6 3 6 6
2cos4 θsin4 θ 1 1（只有当 cosθ 0 或 cosθ 1时取“ ”）.
π 5π
显然 y 2sin t在 , 上不单调，C 错误；
6 6 x 0 x 4
所以 x 4 2 y 4 2 16 （只有 和 时取“ ”）.
y 4

y 0
x π π 7π 1当 0, 时， t , ，所以 sin t ,1

，∴ y 2sin t 2,1 ，D正确. 2 6 6 2 故0 x 4,0 y 4时，曲线C在圆 (x 4)2 (y 4)2 16 的下方.
即第一象限曲线C a的长度大于圆 (x 4)2 (y 1 4)2 16 周长的 ， 所以 f x x 0 a 3 为奇函数，且 f x 在 2, 1 1上的最大值比最小值大4 x 2 ，
即曲线C的周长大于圆 (x 4)2 (y 4)2 16 的周长8π 1，而8π 25，则 A 选项正确； 所以 f x 在 1, 2 上的最大值比最小值大 2 .
1 1
对 B：由曲线C的方程为 x 2 y 2 2可知， 由对勾函数的性质可得 f x 在 0, a 上单调减，在 a , 上单调递增.
因为 x, y ， x, y ， y, x ， y, x 代入方程，方程都不变， 当 a 1时，即0 a 1时， f x 在 1, 2 上单调递增.
所以曲线C关于 x轴， y轴，直线 y x和 y x对称，共有 4条对称轴，则选项 B 正确； 则 f x f x f 2 f 1 2 a 1 a 1 a 1 max min ，2 2 2
2
对 C：由 A选项的推证可知：曲线C围成的封闭图形的面积 S 8 8 π 4 16 4 π 14 ， 解得 a 1 .
则选项 C 正确； 当1 a 4 3 时，即1 a 3 时， f x 在 1, a 上单调递减，在 a , 2 上单调递增.
对 D：第一象限曲线C的方程为 x y 2 ， f (x)min f ( a) 2 a ，
2x y 2 2 x y 2 a所以 x y 2 ， x y 2 ，（都是当且仅当 x y 1时取“ ”）. 因为 f 2 f 1 1 0 ，所以 f 2 f 1 ，
2 2 2
所以 f x f x f 2 f a a 1 2 2 a ，
所以曲线上距离原点的最短距离为 2 ，因此围成的封闭图形内最大能放入半径为 2 的圆， max min 2 2
解得 a 1（舍去）或 9（舍去）.
则选项 D 错误.
综上 a 1，
故选：ABC
故答案为：1
12. 答案：2 3
15. 答案：（1）m 60， n 70

解析：因为 a b a b 2 ，所以 4 2a b 4 4，解得 2a b 4， 8
（2）有，过程见解析 （3）

3
2
所以 a b a b 4 4 2a b 2 3 . 解析：
故答案为： 2 3 . （1）由图，低于170cm 的学生有 200 5 0.005 0.015 0.030 0.060 110 人，则不低于 170cm 的学生有
13. 答案：4 200 110 90 人.
2
解析：设等差数列 a 的公差为 d ，由 a ， a ， a 成等比数列，则 a a a ， 从而m 110 50 60， n 90 20 70；n 1 2 5 2 1 5
2 （2）零假设为H0：性别与身高没有关联，即 a1 d a1 a1 4d ，可得 d 2a1 ，
计算可得
S6 3 a a 2 5 1 a 5 a 4d 9a 1 1 1 1 1 3 4 .
S3 3a2 a2 a d 3a 2 n(ad bc)
2 200(60 70 50 20)2 6400
1 1 21.549 10.828
a b c d a c b d 80 110 120 90 297
故答案为：4.
14. 答案：1 根据 0.001的独立性检验，推断H0 不成立，因此该市高三年级学生的性别与身高是否低于 170cm 有关联；
a
解析： f x x f x ，x ,0 0, ， （3）样本中抽中不低于 175cm 的频数为 0.032 0.008 5 200 40人
x
40 4
样本中抽中不低于 175cm的频率为
90 9 sin
π
m x 0, π m x m π 2 2所以 在 上单调递增，所以 max .
将样本频率视为概率，在全市不低于 170cm 的学生中随机抽取 6 人， 2 2 π π
2
X B 6, 4 其中不低于 175cm 的人数记为 X ，则
9 所以 a m
π 2
.
2 π
E X np 6 4 8 .
9 3 a 2 即 的取值范围为： , π
16. 答案：（1） y πx 1
5
2
（2） ,
17. 答案：（1） a1
π
27

解析： n 1 1（2）证明见解析， Sn 2 2 3n 2
（1）当 a 1时， f (x) xsin x x2 1， f (x) sin x x cos x 2x
解析：
f (π) sin π π cos π 2π π
a 5 5（1） 2 2a1 ,a3 2a2 4a
35
1 ，
又因为 f π πsin π π2 1 π2 1 9 27 27，
又 a1,a2 ,a3 依次成等差数列，所以 2a a a ，
所以，切线方程为 y π2 1 π(x π) ，即 y πx 1. 2 1 3
5 35 5
（2）当 x 0,
π 2 2a f x 1 即 1 a1 4a1 ，解得a1 . 时， ，2 9 27 27
1 5 1 6 2 1
①当 x 0时，因为 f 0 1 1恒成立，所以 a R ； （2）证明：因为 an 1 n 1 2an n 1 n 1 2a

3 3 3 n

3n 1
2an 3n
2 an 3n
，

sin x
②当 x 0,
π
时，由 x sin x ax2 1 1恒成立，得 a 1 1
2 x max 且 a1 1，所以 a3 n
n 是首项为 1，公比为 2的等比数列， 3
m(x) sin x x π 0, m (x) x cos x sin x令
x
， . 1 1
2
n 1 n 1
x2 可得 an n 2 ，则 an 2 3 3n
，
再令 n(x) xcos x sin x
x π
1 1
0, ，2 n

S 20 21 22 2n 1 1 1 1 1 2
n 1
n

2 n
3 3
1 2
n 1 1 .
3 3 3 1 2 1 2 3
n 2
n (x) cos x x sin x cos x x sin x 0 3
18. 答案：（1）证明见解析
π
所以 n(x) 在 0,
2
上单调递增，
21
（2）
6
所以 n x n 0 0 ，所以m x 0 .
解析：
（1）由题意，连接 AC，BD，MN 交于点 O，则 MN⊥平面 ABCD， x2
19. 答案：（1） y2 1
∵ AC 平面 ABCD，∴MN AC，∵ABCD 为正方形，∴ AC BD， 3
∵ BD 平面 BMDN，MN 平面 BMDN， BD MN O，∴ AC 平面 BMDN， （2）（i）证明见解析；（ii） 4 6,
∵ AC 平面 AMCN，∴平面 AMCN 平面 BMDN.
解析：
（2）由 AM AN 且 AM 2AN ， （1）
在△AMN 中，易得OM 2ON 6 .
1 1 1 NP AD AB MN 1 1 1 (ND NA) (NB NA) NM
6 2 3 6 2 3
1 1 NP ND NA 1
1
NB NA NO
6 6 2 2
1 NP NO (OD ON ) 1 (OB ON ) 1 (OA ON )
6 2 3

OP 1 1

OD OB 1

OA
6 2 3
2 1 OP OD OA B为 PA的垂直平分线上一点，则
BP BA .

3 3
以 O 为坐标原点，如图，建立空间直角坐标系， BA BC BP BC CP 2 3 AC 4
点 B的轨迹为以 A,C为焦点的双曲线，且 2a 2 3,c 2
x2
故点 B的轨迹方程为H : y2 1.
3
（2）
则 A 3, 3,0 ，M 0,0,6 ，B 3,3,0 ， N 0,0, 3 ，D 3, 3,0 ， P 1, 3,0 ，

所以 AM ( 3,3,6)， BN ( 3, 3, 3)， BP ( 4, 6,0)，

求出平面 BPN 的一个法向量 n 3, 2, 1 .
① 设 B x0 , y0 ,M x1, y1 ,N x2 , y2 ，
设直线 AM 与面 BPN 所成角为 ，
| n | AM 21 21 双曲线的渐近线方程为 y
3
1 x
3
1 ①， y2 x2②
则 sin | cos n, AM ∣ | ， 3 3
| n | | AM | 14 54 6
3
当直线 l的斜率存在时，设过点 B且与H 相切的直线 l的方程为 y kx m k ，21 3
所以直线 AM 与平面 BPN 所成角的正弦值为 .
6
y kx m

与双曲线联立 x2 1 3k 2 x2 6kmx 3m2 3 02
y 1 3
3km 3km m
由 0 3k 2 m2 1，且 x0 1 3k 2
，故可得 B , .
1 3k 2 1 3k 2
y kx m
3m 3m
由 3 M , ；
y x 3 3k 3 3k 3
y kx m
N 3m 3m

3 , .
y x 3 3k 3 3k 3
6km 2m
x1 x2 2 2x0 , y y 1 3k 1 2 1 3k 2
2y0 .
点 B为线段MN的中点.
当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程是 x 3 ，根据双曲线的对称性可知，
3
此时直线 l即是双曲线H 的切线，同时满足点 B为线段MN的中点.
综上，点 B为线段MN的中点.

M 3m 3m
3m
② 由（i）知， , ,N ,
3m
.
3 3k 3 3k 3 3k 3 3k
2 9 3k 2 1
OM ON x2 2 2 2 4 4 9m 4

1 y1 x2 y2 x1x3 2

3 9k 2
4
3 3 9k 2 3
2 OM 3ON 2 6 OM ON 2 6 4 4 6 .
当且仅当 2 OM 3ON ，即 OM 6 时取等号.
又 OM 0, ，
2 OM 3ON 的取值范围为 4 6, .

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