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南京市 2025届高三年级第二次模拟考试 7. 在四边形 ABCD中，AB / /DC，A 90 ，AB AD 2CD 2，E是线段 AD中点，F 是线段 BE上的动点，

数学试卷 则 FB FC的最小值为（ ）
注意事项： 4 5 4 7
A. B. C. D.
1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 3 4 5 9
2.答题时请按要求用笔. x2 y2
8. 在平面直角坐标系 xOy中，双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的右焦点为 F ，点M ， N 在C 的右支上，且
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试 a b
卷上答题无效. MF 3FN ，点 N 关于原点O的对称点为 P .若 PF MN ，则C的离心率为（ ）
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5 6 3 10
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. A. B. C. D.2 2 2 2
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 1S 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
目要求的.
部选对的得 6分.部分选对的得部分分.不选或有选错的得 0分.
U 1, 2,3, 4 A 1,3,4 B 3,41. 已知全集 ，集合 ， U ，则 A B （ ） 9. 某研究所研究耕种深度 x（单位： cm）与水稻每公顷产量 y（单位： t）的关系，所得数据资料如下表：
A. 1 B. 3,4 C. 1,2,3,4 D. 耕种深度 x / cm 8 10 12 14 16
z 3
2. 已知 2 i，其中 i为虚数单位， z 是 z的共轭复数，则 z （ ）
i 每公顷产量 y / t 6.0 7.5 78 9.2 9.5
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 8
经计算可知每公顷产量 y与耕种深度 x的线性回归方程为 y 0.435x a ，则下列说法中正确的是（ ）
3. 设 是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 每公顷产量与耕种深度呈负相关 B. 耕种深度的平均数为 12
A. 若m / / ， n / / ，则m // n B. 若m ，n / / ，则m n
C. 每公顷产量的平均数为 7.8 D. a 2.78
C. 若m / / ，m // n，则 n / / D. 若m,n与 所成的角相等，则m // n 1
π 10. 已知数列 an 中， a3 ， an an 1 3an 1an，n N
* ，其前 n项和为 Sn，则（ ）
4. 把函数 y cosx 1 8图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移 个单位6 1 1
A. a1 B. an C. an a7 D. S10 0
长度，得到函数 y f x 的图象，则 f x （ ） 14 17 3n
11. 已知定义在R上的函数 f x ，当 x 0,2 时， f x 2k k 1 f x k Z ，且 f x x x a ，a 0，
cos 2x π cos 2x π cos 1 x π cos 1 πA.

B. C. D. x 6 3 2 6
.
2 12 则下列说法正确的是（ ）
2 6 A.
f 2 0
5. x 展开式中的常数项为（ ）
x B. 若a 2，则 f 99 50
A. 160 B. 60 C. 160 D. 60
C. 若 a 1，则 g x f x 2 x 1 在 6,6 上恰有 5个零点
6. 已知 a log23，b log43
3
， c ，则 a，b，c的大小关系为（ ） 3
2
D. 若 k N*， f x 在区间 2k 2, 2k 有最大值，则 4 2 4 a 4
A. a b c B. c a b C. c b a D. b c a
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. （2）当 a 0时，若 x1, x2 1,e ， f x1 f x2 e2 1恒成立，求实数 a的取值范围.
12. 若圆心在 x轴上的圆C与直线 l : x y 1 0相切于点 A 1,2 ，则圆心C的坐标为__________.
13. 所有棱长均为 2的正三棱柱 ABC A1B1C1，它的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为__________. 18. 在平面直角坐标系 xOy中，点 A 1,0 ，B 1,0 ，Q 4,0 ，动点 P满足 PA PB 4，记点 P的轨迹为C .
14. 英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现 （1）求C 的方程；
相邻区域颜色不同.该猜想于 1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为 6个行政区域，现给地
图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂 1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿 （2）过点Q且斜率不为 0的直线 l与C相交于两点 E，F（E在 F 的左侧）.设直线 AE， AF 的斜率分别为 k1， k2 .
4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有__________种（用数字作答）.
k1
①求证： k 为定值；2
②设直线 AF ， BE 相交于点M ，求证： MA MB 为定值.
*
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 不透明的口袋中装有编号分别为1,2, ,n n 2,n N 的 n个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任
15. 如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD是菱形， BAD 120 ，点 E在线段 PD上， 取 r 次，每次取 1 个球，记取出的 r 个球的最大编号为随机变量 X ，则称 X 服从参数为 n, r 的“ BM ”分布，记为
PB//平面 AEC . X BM n,r .
（1）证明： E为 PD的中点； （1）若 X BM 2,2 ，求 P X 2 ；
1
（2）若 AB 2，二面角C AE D的余弦值为 ，求 PA的长. X BM 4,m E X 134 （2）若 ，且 ，求m的最小值；
4
（3）若 X BM n,n ，求证： n 2且 n N*， E X n 1sinA sinB sinC .
16. 记VABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 .
c b a b
（1）求A；

（2）若 BD 2DA， BC CD，求 cosB .
17. 已知函数 f x x2 2alnx 1,a R .
（1）当 a 1时，设曲线 y f x 在 x 1处的切线为 l，求 l与曲线 y f x 的公共点个数；
y cosx 1参考答案及解析 解析：把函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变）后的函数为 y cos 2x，
1. 答案：A π π π再将图象上所有的点向右平移 个单位长度后的函数为 y cos[2(x )] cos(2x ) .
6 6 3
解析：因为U 1, 2,3, 4 ， UB 3,4 ， 5. 答案：B
所以 B 1,2 ，故 A B 1 r， 6 r
解析：由题可知T C r x 2 ，当 r 1 3, r 2r 1 6 时，
x
2. 答案：C
z 3 24
解析：由 2 i，得 z 2 2i， T3 C
2 x 2 26 C6 4 60，故展开式中的常数项为：60i x
2 2
所以 z 2 2i，所以 z 2 ( 2) 2 2 . 6. 答案：D
3. 答案：B 解析： a log2 3 log2 2 1，
解析：对于 A选项，若m / / ， n / / ，则m与 n可能平行、相交或异面. 3
2 3 3 3
例如，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，A1D1 / /平面 ABCD AB // ABCD A
由3 2 ，得 2 ，则 2 ，即 a c 1；
， 1 1 平面 ，但 1D1与 A1B1是相交的；AD 3 2 log 3 log 2 1 1 / / 2 2 2
平面 ABCD，B1C1 / /平面 ABCD，但 A1D1与 BC1是平行的. A1C1 / /平面 ABCD，RS / /平面 ABCD，但 A1C1与 RS b log4 3 log4 4 1，
是异面的. 所以b c a .
7. 答案：C
解析：由题以点A为坐标原点， AB, AD为 x, y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
所以 A选项错误.
对于 B选项，若 n / / ，则存在直线 l ，使 n / /l .
又因为m ，根据直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的任意一条直线
因为 AB AD 2CD 2，E是线段 AD中点，
垂直，所以m l .
所以 A 0,0 ,B 2,0 ,C 1,2 ,D 0,2 ,E 0,1 ，
由于 n / /l，根据异面直线所成角的定义可知m n，所以 B选项正确.
而 是线段 上的动点，
对于 C选项，若m / / ，m // n F BE，则 n / / 或n .例如，当 n在平面 内时，也能满足m / / 且m // n ,所以 C选

项错误. 从而可设 AF AB 1 AE 2 ,0 0,1 2 ,1 , 0,1 ，
对于 D选项，若m， n与 所成的角相等，则m与 n可能平行、相交或异面. 所以点 F 的坐标是 2 ,1 ，
例如，圆锥的母线与底面所成的角都相等，但母线之间可能相交.所以 D选项错误.
所以 FB 2 2 , 1 ,FC 1 2 ,1 ，
4. 答案：B

FB FC 2 2 1 2 1 1 x 8 10 12 14 16B：由题意知， 12，故 B正确；5
2 6 7.5 7.8 9.2 9.5
4 2 6 2 2 2 3 4
C：由题意知， y 8，故 C错误；
1 5 6 1 5 , 0,1 ， 5
5 5
D：将点 (x, y) (12,8)代入方程 y 0.435x a ，
3
所以当
4
时， FB FC的最小值是 .5 5 得 8 0.435 12 a ，解得 a 2.78，故 D正确.
8. 答案：D 10. 答案：ABD
解析：设双曲线的左焦点为 F1，连接 PF 、 PF1、NF1、MF1，如图所示， 1 1
解析：由 an an 1 3anan 1，得 3an 1 a
，
n
{ 1所以数列 }a 是以 3为公差的等差数列，n
1 1 1
而 2 ( 3)
1 1
a a ， a3 ，所以
14
a ，得 a1 ，故 A正确；3 1 8 1 14
1 1
所以 ( 3)(n 1) 17 3n
1
a a ，得 an ，故 B正确；n 1 17 3n
1
令 17 3n 0 n 17 1a ，解得 ，对于 a ，n 3 n 17 3n
根据双曲线的对称性可知四边形 PF1NF 为平行四边形，
a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 为正，且依次递增；
又因为 PF MN ，所以四边形 PF1NF 为矩形，
a6 ,a7 , ,an为负，且依次递增，
设 NF t t 0 ，因为MF 3FN ，则 MF 3t，
所以 an a6，故 C错误；
由双曲线的定义可得： NF1 2a t， MF1 2a 3t， S 1 1 1 1 1 1 1 1 110 a1 a2 a10 1 14 11 8 5 2 4 7 10 13
又因为△MNF1为直角三角形， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0，故 D正确.
14 11 8 5 2 2 5 8 11 14
所以 MN 2 NF 21 MF
2
1 ，即 4t
2 2a t 2 2a 3t 2，解得 t a， 11. 答案：AD
所以 NF1 3a， NF a， 解析：对于 A，由题意可知：当 x 0,k 1时，有 f 2 2 f 0 0 0 a 0，故 A正确；
又因为 NFF1为直角三角形， FF1 2c， 对于 B，当 x 1,k 50时，有 f 99 49 f 1 49 1 1 a ，
2
所以 NF NF 2 FF 2 ，即 a2 9a2 4c21 1 ， 又因为 a 2，所以有 f 99 49 1 1 2 49，故 B错误；
c2 10 c 10 x
2 x, x 1,2
所以 ，即 e . 对于 C，当 a 1时， f x x x 1 ，
a2 4 a 2 x x
2 , x 0,1
9. 答案：BD 当 x 0,2 时，由于 f x 2 2 f x ， f x 4 3 f x ，
解析：A：对于 y 0.435x a ， 0.435 0，所以每公顷产量与耕种深度呈正相关，故 A错误；
f x 2 0 f x 0， f x 4 f x ， f x 6 2 f x ， 故答案为： 3,0
作出分段函数 f x y 2 28π 28和函数 x 1 的图象如下： 13. 答案： ## π
3 3 3
解析：设正三棱柱 ABC A1B1C1上、下底面的外接圆的圆心分别为O1,O2，
如图，连接O1O2，则O为O1O2的中点，连接OB，
则OB为球O的半径 R，设圆O1的半径为 r ，
VABC 2 2 3在 中，由正弦定理得 2r，解得 r ，sin 60 3
2 2 2 2 7
又OO1 1，所以 R OB O1O r ，3
2 28π
所以球O的表面积为 4πR .
3
由于 f 2 0，直线 y 2 x 1 经过点 2, 2 ，而函数 f x 不经过点 2, 2 ， 28π
3 故答案为：
3
则由图象可得，它们只有 4个交点，即 g x f x 2 x 1 在 6,6 上恰有 4个零点，故 C错误；
3
对于 D，根据当 x 0,2 时，由于 f x 2 2 f x ， f x 4 3 f x ,
要满足对 k N*， f x 在区间 2k 2, 2k 有最大值，
则只需要 f x x x a 在 x 0,2 上存大最大值，
0 a 1
1 a

2 2即满足 或 2 ，解得 2 a 4或 ，2 a 4 2 4 a 2 14. 答案：216 2 2 a
4 解析：如图，将 6个行政区标上序号，
综上可得： 4 2 4 a 4，故 D正确；
12. 答案： 3,0
解析：设过点 A 1,2 且与直线 l : x y 1 0垂直的直线为 x y m 0，
则1 2 m 0，解得m 3， 区域 1有 4种颜色可选，共 4种方法；
所以 x y 3 0，即圆心在直线 x y 3 0，又圆心在 x轴上， 区域 2与区域 1相邻，不能与区域 1同色，有 3种颜色可选，共 3种方法；
区域 3与区域 1、2相邻，不能与区域 1、2同色，有 2种颜色可选，共 2种方法；
令 y 0，可得 x 3，所以圆心坐标为 3,0 .
①若区域 4与区域 2同色，有 1种颜色可选，此时区域 5与区域 2不同色且有 2种涂色方法，此时区域 6有 2种涂色

方法；
cosm
m n
,n 3 1 2
②若区域 4与区域 2不同色，有 1 m n 4种颜色可选，此时若区域 5与区域 2同色，有 1种涂色方法，区域 6有 3种涂色方 所以 2 6 ，解得 t 1（负值已舍去）， 3 32
t
法，
所以 PA 1．
若区域 5与区域 2不同色，有 1种涂色方法，区域 6有 2种涂色方法，
所以一共有 4 3 2 1 2 2 1 1 3 1 2 216种方法.
故答案为：216.
15. 答案及解析：
（1）连接 BD交 AC于点O，连接 EO．
因为底面 ABCD为菱形，所以O为 BD的中点．
PB// 16.
答案及解析：
又因为 平面 AEC，PB 平面 PBD，平面 PBD 平面 ACE EO，
所以 PB//EO， sin A sin B sinC a b c（1） ，由正弦定理得 ，
c b a b c b a b
所以 E为 PD的中点.
2 2 2
（2）取 BC中点 F ，连接 AF ． 得b2 c2 b c a bc 1 a2 bc，所以 cos A ，
2bc 2bc 2
在菱形 ABCD中， BAD 120 ，所以 ABC 60 ，则VABC 为正三角形，

所以 AF BC，又 AD//BC，所以 AF AD． 由0 A 180 ，得 A 60 .
1
又因为 PA 平面 ABCD，如图建立空间直角坐标系 A xyz． （2）如图，因为 BD 2DA，BC DC，所以 AD c，DC a，3
2 2 2
设 AP t(t 0)， 则C 3,1,0 ，D 0,2,0 ， P 0,0, t ， E 0,1, t 在△ADC中，由余弦定理得DC AD AC 2AD AC cos A，2 ，
a2 c
2
b2 1即 bc；

9 3
则 AC 3,1,0 ， AP 0,0,t ， AE t 0,1, 2 ，

则平面 AED的一个法向量为m 1,0,0 ．

设平面 ACE的一个法向量为 n x, y, z ，
在VABC 中，由余弦定理得 BC 2 AB2 AC 2 2AB AC cos A
，
n AC 3x y 0

则

t ，取 n 3,3,
6
， 即 a2 c2 b2 bc，①
n AE y z 0 t 2 c2 1 4
所以 b2 bc c2 b2 bc，得 c( c b) 0，
9 3 3
因为二面角C AE D 1的余弦值为 ，
4
由 c 0 b 4 c a2 13 c2 13解得 ，代入①得 ，由 a 0解得 .
3 9
a c
3
13
a2 c2 b2 c
2 c2 16 c2 213 当 f 1 2 e 1取得最大值时，即 2 ,解得 .
在VABC 中，由余弦定理得 cos B 9 9 a 2ac 2 13 13 .
e 2a 1 2
2
c2
3
此时 f x1 f x2 2 a a ln a 1 e2 1，即 a a ln a e2 0恒成立.
17. 答案及解析：
2
（1）当 a 1时， f x x2 2ln x 1 0, . e 1，其定义域为 所以 a e2 满足不等式恒成立.
2
对函数 f x 求导得： f x 2x 2 ，所以 f 1 2 2 4 .
x 综上，该情况下1 a e2 .
所以根据点斜式方程，曲线 y f x 在 x 1处的切线方程为 y 2 4 x 1 ,
③当 a e时，即 a e2， f x 在区间 1,e 内单调递减，
即 y 4x 2 .
此时 f x1 f x2 f 1 f e 2 e2 2a 1 2a e2 1 e2 1 .max
y 4x 2
联立方程 22 可得 x 4x 3 2ln x 0 . 若其成立，则 a e2，与条件 a e2相矛盾，所以该情况下不满足不等式恒成立.
y x 2ln x 1
综上所述，实数 a的取值范围为0 a e2 .
g x x2 4x 3 2ln x , x 0, , 2 2 x
2
1
设 求导得 g x 2x 4 0 .
x x 18. 答案及解析：
所以 g x 在 0, 上单调递增. （1）由 AB 2， PA PB 4 AB ，
又 g 1 1 4 3 2ln1 0，所以 g x 有且仅有一个零点，所以直线 l与曲线 y f x 的公共点个数为 1. 所以点 P在以A， B为焦点， 4为长轴长的椭圆上，
f x 2x 2a
2 2
（2）对函数求导得 x y，令导数为 0，可得
x x a
. 设椭圆方程为
2 2 1 a b 0 ，焦距为 2c，a b
分情况讨论，①当 a 1时，即0 a 1，此时 f x 在区间 1,e 内单调递增，
则 c 1，a 2，所以b2 a2 c2 3，
则 f x1 f x2 f e f 1 e2 2a 1 e2 1 .max x2 y2
所以C的方程为 1.
求解不等式可得 e2 2a 1 e2 1，解得a 1 . 4 3
又0 a 1，所以该情况下0 a 1. （2）①由Q 4,0 ，直线 l的斜率存在且不为0．
②当1 a e时，即1 a e2 ， f x 在 1, a 上单调递减，在 a , e 上单调递增. 设直线 l的方程为 x my 4， E x1, y1 ， F x2 , y2 ， x1 0，
所以最小值为 f a a a lna 1，最大值为 f 1 2或者 f e e2 2a 1 x2 y2 1
4 3 3m2联立 ，得 4 y2 24my 36 0，
2
当 f e 取最大值时，即 e2 x my 4 2a 1 2 , a e 1解得 .
2
则Δ 144 m2 4 0， y 24m 361 y2 2 ， y1y2 2 ，
, e2此时 2a 1 a a ln a 1 e2 1即3a a ln a 1 0恒成立. 3m 4 3m 4
所以my1y
3
2 y1 y2 ．
1 a e
2 1 2
所以 满足不等式恒成立.
2
k y y
2 2
1
又 A 1,0 ，所以 1 k 2 x yx 1， 2 x 1，
2 0 0
1 2 即 x2
y0 1 1 x 0
0

，即 1 3 0 ，
3 4 4 4
k1 y1 x2 1 y1 my2 3 my1y2 3y 1所以
k y x 1 y my 3 my y 3y 所以点M 在以A， B为焦点，1为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动，2 2 1 2 1 1 2 2
3 所以 MA MB 1． y1 y2 3y
3 3
2 1
y1 y2
3
2 2
3 3 1 . y1 y2 3y2 y1 y2 2 2 2
19. 答案及解析：
k1
②由①知 1，所以 k1 k2 0． （1）由 X ~ BM (2, 2)k ，得2
1
1 1
1 2

作 E关于 x轴的对称点 E x1, y1 ，则 F ，A， E 三点共线． P(X 2) C12 C2
1 3
2 .
2 2 2 4
又 A 1,0 ， B 1,0 ，设M x0 , y0 . km (k 1)m
（2）由 X ~ BM (4,m), X 1,2,3, 4，得 P(X k) P(X k) P(X k 1) ．
4m
,k 1,2,3,4
x 1
则直线 AF 方程即为直线 AE 1方程 x y 1y .1 E(X ) 1 1m 2 2m 1m 3 3m则 2m 4 4m 3m4m
x1 1 1
又直线 BE方程为 x y 1， y m 4 4
m 1m 2m 3m 4 1
1 m my 4 2 3
m
y 1

.
作差，得 0 x ， 4 4 4 1
13 1 m 2 m 3 m x 1 y 13 3x 1 1

1 1 令 E(X ) ，得 4 ．所以 0 ，y 4 4 4 4 4 41 x1 x1
1 m m m
x 1 y y 0 又 f (m)
2 3 *
所以 ， ， 在m N 上单调递减，1 x 1 x 4 4 4 0 0
3 3 7 3 9 3
x 0 且 f (1) , f (2) , f (3) ，由 1 ，得 x0 0． 2 4 8 4 16 4
m
2 2 故 的最小值为 3．
2 x y2 1 y 0

又因为 1 1 1，所以 x x ， （3）由 X ~ BM (n,n), X 1,2, ,n(n 2)，得4 3 0 0 1
4 3
k n (k 1)n 1
n
2
n
n 1
n
1
P(X k) P(X k) P(X k 1) ,k 1,2, ,n ， 所以 nn n
，
n n e 1
n 1 1n n n n n n n 所以 E(X ) n n 1，故 n 2且 n N*,E(X ) n 1．
所以 E(X ) kP(X k) n 1 1 2 2 1 3 3 2 n n (n 1) n e 1k 1
n
1 2 n 2 n N*,E(X ) n 1 1 2
n
n 1
n
n n n n
n n 1 1n 2nn (n 1)n 方法 ：要证 且 ，即证 1，即证1 2 (n 1) n ．n n n n
1
n
2
n n 1 n ①当 n 2时，左边 1 4 右边，成立； n n n
.
n *②假设当n k k 2且 k N 时命题成立，即1k 2k (k 1)k kk ．
方法 1：先证 x R, er x 1．
则当 n k 1 k 时，1 1 2k 1 kk 1 1 1k 2 2k k kk
设 g(x) ex x 1, x R，则 g (x) e x 1．令 g (x) 0，得 x 0，列表如下： k 1k 2k k k k k k k k 2 k k 1，
x ( ,0) 0 (0, ) k 1

只要证 2k k 1 (k 1)k 1 1，即证 2 1
, k 2且 k N*．
k
g x 0
1 k 1 k 1 r r k 1
因为 1 Cr 1 1 k 1 1 1 k 1 Cr k 1 2 2，
k r 0 k k r 2 k k
g x 极小值
k 1
所以 k 2 1且
g(x) g(0) 0 k N
*, 2 1 ．
所以 ， k
n k 1 k 1 1故 x R,ex x 1，当且仅当 x 0时取＂=＂． 故当 时，1 2k 1 k k 1 (k 1)k ，命题也成立．
k k * k 综合①②， n 2且 n N
*,1n 2n (n 1)n nn ，
令 x n N ,k 1,2, ,n 1 ，则0 1 e n ，
n n
故 E(X ) n 1得证．
n
n
故 1
k
e k e k (k 1,2, ,n 1)，
n
n
n k
即 e
k (k 1,2, ,n 1)．
n
n
1 2
n
n 1
n
所以 e n 1 e n 2 2 1 n n
e e
n
1
n 1 n 1
e

1 1
1 1 1
1 1

，
1 e e 1 e e 1
e

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