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南昌市 2025 届高三下学期信息卷 z与 5都是函数 f x ex ex的“同值点”，则（ ）
A. x y z B. y x z C. z x y D. z y x数学试卷
注意事项： 7. 我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况：如果函数 f x 的
1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 图象有对称中心，那么其导函数 f x 的图象会有对称轴；如果函数 f x 的图象有对称轴，那么其导函数 f x 的
2.答题时请按要求用笔.
2 x
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试 图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数 f x ln 的对称性，并判断下列选项中正确的是（ ）3 x
卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. A. f x
1
有对称中心 ,
3
B. f x
1
有对称中心 ,0 2 7 2
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 C. f x
1 1
有对称轴 x D. f x 有对称轴 x
2 2
目要求的.
π π
x 3 8. 已知三棱锥 A BCD，平面 ABC 平面 BCD， BAC ， BDC ，BC 2，则三棱锥 A BCD外4 6
A x 1 2x 16, x Z B {x | 0}1. 已知集合 ， x 1 ，则 A B （ ）
接球的表面积为（ ）
A. 1,3 B. 3,4 C. 2,3 D. 2,3 A. 16π B. 20π C. 28π D. 32π
1 二、选择题：本题共 3小题，每题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
2. 已知 a，b均为正数，则“ ln a ln ”是“ a b 2 ”的（ ）
b 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 9. 已知一组数据为连续的正整数： x1, x2 , , x10 x1 x2 x10 .现去掉x1， x10 后组成一组新数据，则新数据与
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
原数据相比，下列说法中正确的是（ ）
3. 在 x 1 x 2 x 10 的展开式中， x9 的系数为（ ） A. 中位数不变 B. 平均数不变
A. 55 B. 60 C. 75 D. 90 C. 方差变小 D. 若 x1 1，则数据 x1, x2 , , x10 的第 80百分位数为 8
x
4. 已知函数 f x 2 2, x 1 ，若 f a 5 a，则实数 a的值为（ ） 10. 已知函数 f x sin x sin 2x，则下列说法中正确的是（ ）
4x 3, x 1
2 2 2 A. f x π为周期函数 B. f x 在 ,
3π
单调递减A. 或 2 B. 或 1 C. 1 D.
5 5 5 3 4
f x x R 2
a
C. 最大值为 2 D. 0 ， x0 f (x0 ) 3x 0
5. a b 3 a 3已知平面向量 ， b满足 ，且 在 b上的投影向量为 b ，则向量 a 与向量 b的夹角为（ ）
2 11. 已知定义在 R上的单调函数 f x ，满足 x， y R， f xy f x f y ，则下列说法正确的是（ ）
π 2π 3π 5π
A. B. C. D.
3 3 4 6 A. f 1 1 B. f x 可能是单调递减函数
6. 对于函数 f x ，实数 a，b满足 a b， f a f b ，则称 a与 b是函数 f x 的“同值点”.若 x与 2，y与 3，
n
C. f x 为奇函数 D. 若 f 8 2，则 f 2n 23
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 已知复数 z满足 z2 2 2 3i，则 z的虚部为________.
13. 1
n
已知数列 an 的各项均为正数， an 1 2 an ，则前 40项和的最小值为________.
（1）求 C的方程；
2 2 3
14. 已知椭圆C : x y 1 a b 0 的左、右两焦点分别为 F1， F2，其离心率 e ，点 P是椭圆 C上异于椭a2 b2 5 （2）设 ABM 为曲线 C的内接直角三角形（A在第一象限，M在 B的下方），且 M为直角顶点，若 ABM 的重心
G在 x轴上.
圆顶点的一点，线段 PF1与 y轴交于 M点，若 MF1 PF2 ，则 cos F1PF2 ________.
① 求证：直线 AB过定点；
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
S1
② 设直线 AB经过的定点为 P，AM与 x轴交于 H，设 BPG的面积为 S1， MGH 的面积为 S2，则 的取值范围.15. 在VABC 中，内角 A，B，C所对边分别为 a，b，c，已知 a 3，3cos2A cos2B 2 . S2
（1）求 b； 19. 一游戏活动中，准备了 n张卡片，这 n张卡片各标记了一个数字，各卡片的数字互不相同，游戏者不知道各卡片
（2）如图延长 AB，若 BD 3c时，CD BC，求 c. 的数字.游戏规则是：逐张抽出卡片，观察卡片的数字，并确定是否选择这张卡片的数字，若选择这张卡片的数字，
16. 如图所示，正三角形 ABC的边长为 2，D， E，F 分别是各边的中点，现将VADE，△BEF，VCDF 分别 游戏结束，若不选择这张卡片的数字，继续逐张抽出卡片，不能回头选择.为使选择到卡片的数字大，甲采取的策略
沿DE， EF ，DF折起，使得VADE，△BEF，VCDF所在平面均与底面DEF 垂直. 是：前 k（ k N ， k n 1）张卡片的数字都不选择，记下这 k张卡片的最大数字，从第 k 1张卡片开始，一旦
（1）求证：平面 ABC∥平面DEF ；
发现数字比前 k张卡片最大数字大的卡片，则选择该张卡片的数字，若一直没有比前 k张卡片最大数字大的卡片，则
（2）求二面角C DA E 的正弦值.
选取最后一张卡片的数字.
（1）若 n 3， k 1，求甲选到这 3张卡片数字中的最大数字的概率；
（2）若n 4，k 2，这 4张卡片标记的数字从小到大分别是 1，2，3，4，记甲选到卡片的数字为 X，求随机变量
X的分布列和数学期望；
f x e
x
17. 已知函数 2 a ln x
2
a 0 ，且 x 2不是 f x 的极值点. （3）甲选取到这 n张卡片中的最大数字的概率最大时， k kx x 0，证明：
1 a 1 1 1 1 1 1 1（ ）求 的值； 1
k .0 1 k0 2 n 1 k0 k0 1 k0 2 n 1
（2）判断 f x 的零点个数.
18. 在直角坐标系 xOy中，动点 Q（y轴右侧）到点 F 1,0 的距离比到 y轴的距离大 1.记动点 Q轨迹为 C.
参考答案及解析 故选：D
5. 答案：D
1. 答案：C

A {x 1 2x 16, x Z} {x | 0 x 4, x Z} 0,1,2,3,4 a b b

3 b a b 3

解析：由 ， 解析：由题设 ，即 a b 3
| b | | b | 2 | b |2
，又 ，
2
x 3 (x 1)(x 3) 0
由 B {x | 0} {x | } {x |1 x 3} ， 5πx 1 x 1 0 所以 cos a,b
3
，又0 a,b π，则 a,b .
2 6
所以 A B 2,3 . 故选：D
故选：C 6. 答案：D
2. 答案：A 解析：由 f x ex e，当 x 1时 f x 0，当 x 1时 f x 0，
1
解析：由 ln a ln ，可得 ln a ln1 lnb，所以 ln a lnb ln1，即 ln ab ln1， 所以 f x 在 ( ,1)上单调递减，在 (1, )上单调递增，
b
由 2,3,5 (1, )，且 f (x) f (2) f (y) f (3) f (z) f (5)，
所以 ab 1 1，所以a b 2 ab 2，所以“ ln a ln ”是“ a b 2 ”的充分条件；
b
根据同值点的定义，知 x, y, z ( ,1)，故 x y z .
取 a 2,b 1 ，可得 ln a ln 1 ln a ln 1，故“ ”是“ a b 2 ”的不必要条件； 故选：D
4 b b
7. 答案：B
所以“ ln a ln 1 2 x”是“a b 2 ”的充分不必要条件. 解析：因为函数 f x ln ，定义域为 2,3 ，
b 3 x
3 x 3 x x 2A. f x 3 x 5 5故选： 所以 2 x 3 x 2 2 x
，
3 x 2 x 2 x 6
3. 答案：A
1 1 1 1
解析：从十个括号中选出 9个 x，再从剩下一个括号中选出一个数相乘即含有 x9 项， 导函数关于 x 对称，所以 f x 关于 , f 即2 2 2 , 0 对称， 2
故 x9 的系数为1 2 3 10 55， 故选：B
故选：A 8. 答案：B
4. 答案：D
解析：当 a 1时，因为 f a 5 a，得到 2a 2 5 a 2a a 3，解得： a 1 ,
又因为 y 2x x在区间R 上单调递增，只有这一个根，又因为 a 1 ,故将 a 1舍去； 解析：
当 a 1时，由 f a 5 a 2，得到 4a 3 5 a 5a 2，解得： a ，
5
2
综上：实数 a的值为
5
设 ABC, BCD的外接圆圆心分别为O1,O2，三棱锥 A BCD外接球球心为O，
过O1作平面 ABC的垂线，过O2作平面 BCD的垂线，两垂线的交点即为三棱锥 A BCD外接球的球心. 因为 f (x) cos x 2cos 2x cos x 2 2cos2 x 1
取 BC中点 E，则 EO 21 BC， 4cos2 x cos x 2 4 cos x 1 33 ，
8 16
因为平面 ABC 平面 BCD，平面 ABC 平面 BCD BC， EO1 平面 ABC，
x (π , 3π ) cos x ( 2当 时， , 1)，
所以 EO1 平面 BCD， 3 4 2 2
所以 EO1 / /OO
2
2 ，同理， EO2 / /OO1 ， f (x) 4 cos x 1 33 4 (1 1 33 1则 )
2 0，
8 16 2 8 16 2
因为 EO2 平面 BCD，所以 EO1 EO2 ，故四边形 EO1OO2 为矩形.
故 f (x) (π , 3π)BC 在区间 上单调递减，故 B正确；
VABC r 2 O B 2 3 4因为 的外接圆半径 1 ，即 ，2sin BAC 1
sin x 12 2 因为 1 sin x 1, 1 sin 2x 1，所以 f x

2，当且仅当 时取等号，
所以 EO1 OO2 O1B BE 2 1 1 .

sin 2x 1
BCD r BC 2 O B 2 x π因为△ 的外接圆半径 2 ，即 2 ， 但当 sin x 1，即 2kπ(k Z)时， sin 2x 0 1 ，所以 f x 2，故 C错误；2sin BDC 2
所以OB OO2 O B2 5，即球O的半径 r 5 ， 令 g x f x 3x sin x sin 2x 3x2 2 ， x R ，
所以三棱锥 A BCD外接球的表面积为 4πr 2 4π 5 20π . g (x) cos x 2cos 2x 3 cos x 2 2cos2 x 1 3
故选：B. 2
4cos2 x cos x 5 4 cos x 1 81 ，
9. 答案：ABC 8 16
x x
解析：原来的中位数与现在的中位数均为 5 6 ，故中位数不变，故 A正确； ∵ 1 cos x 1，∴ g (x) 4 1 (1 )2 81 0，故 g(x)在R上单调递减，
2 8 16
由连续的正整数的性质可知平均数不变，故 B正确； 当 x 0时， g(x) g(0) 0，从而 xg(x) 0 2 2，即 xf x 3x 0，即 xf x 3x ；
由方差的意义可知，去掉 x1, x10 ，数据更集中，方差变小，故 C正确；
当 x 0时， g(x) g(0) 0，从而 xg(x) 0，即 xf x 3x2 0，即 xf x 3x2；
若 x1 1，则数据为1,2,3, 4,5,6,7,8,9,10，
当 x 0时， g(x) g(0) 0，从而 xg(x) 0，即 xf x 3x2 0，即 xf x 3x2 ，
10 80% 8 8 9因为 ，所以第 80百分位数为 8.5，故 D错误.
2 综上， xf x 3x2 ，故不存在 x0 R 2，使 x0 f (x0 ) 3x0 成立，故 D错误，
故选：ABC.
故选：AB．
10. 答案：AB
11. 答案：ACD
解析：函数 f x sin x sin 2x的定义域为R，
解析：因 f x 为定义在 R上的单调函数，则 x，y， f x f y .
由于 f (x 2π) sin x 2π sin 2(x 2π) sin x sin 2x f x ， 2
对于 A，令 x y 1，则 f 1 f 1 f 1 1或 f 1 0，
所以 2π为 f x 的一个周期，故 A正确；
若 f 1 0，则对 y，取 x 1，都有 f y 0，不满足单调函数性质，
故 f 1 0 f 1 1 7，故 A正确； 14. 答案：
18
对于 B，令 x y 0，则 f 0 f 2 0 f 0 0或 f 0 1（舍），则 f 0 0，
因 f 1 f 0 ，结合 f x 为定义在 R上的单调函数，则 f x 只能是单调递增函数；
对于 C，令 x y 1 2，则 f 1 f 1 1 f 1 1 f 1 1 解析：（舍），
则 f 1 1，取 y 1 x, f x f x ，取 y 1 x, f x f x ，
则 x, f x f x 0，又 f x 定义为 R，则 f x 为奇函数，故 C正确；
e 3 c 3根据已知条件 ，可知 ，
对于 D，令 y 2，x 2，则 f 4 f 2 2 ，令 y 2，x 4 5 a 5，
设 a 5t,c 3t，线段 MF1 l，1
则 f 8 f 4 f 2 f 3 2 2 f 2 23 ，
2
PF F l (10t l)
2 (6t)2
n 则在 中有 cos F PF ，
则 f 2n f 2 f 2n 1 f 2 2 f 1 22n 2 f n 2 23，故 D正确. 1 2 2 l (10t l)
故选：ACD l 2PMF (10t 2l)
2 l 2
在V 2中有 cos F1PF2 ，
12. 答案： 1 2 l (10t 2l)
解析：设 z a bi, a,b R ，则 z2 a2 b2 2abi 2 2 3i l 2 (10t l)2 (6t)2 l 2 (10t 2l)2 2， l
可得到方程 ，化简得 l 18 t，
2 l (10t l) 2 l (10t 2l) 5
a2 b2 2 a 3 a 3
所以 ，解得 或 ，所以 z 3 i或 z 3 i， 18 18
2ab 2 3 b 1 b 1
2
l 2 (10t l)2 (6t)2 ( t) (10t t)
2 (6t)2
带入 cos
7
F1PF2 5 5
所以 z的虚部为 1. 2 l (10t l) 2 (18
.
t) (10t 18 t) 18
5 5
故答案为： 1. 7
故答案为: .
13. 答案：60 18
15. 答案及解析：
2
解析：当 n为奇数时， an 1 ；当 n为偶数时， an 1 2aa n； （1）∵3cos2A cos2B 2，n
∴3 1 2sin2A2 4 m 1 2sin
2B 2，得： sin2B 3sin2A，
令 a1 m 0，则 a L2 ， a3 ， a4 ， a5 m， ，m m 2
由正弦定理得：b2 3a2，又因为 a 3，
所以 a 3m 6 3m 6n 是周期为 4的数列，且 a1 a ∴b 3；2 a3 a4 2 6，2 m 2 m
（2）因为 ABC CBD π，所以cos ABC cos CBD 0
当且仅当m 2时取等号，则 S40 10(a1 a2 a3 a4 ) 60 .
所以在 BCD中， BD 3c， a BC 3 3，且CD BC，所以 cos CBD ，
所以S40的最小值为 60. 3c
故答案为：60
2
在 ABC中，由余弦定理可得cos ABC c 3 9 ，
2c 3
c2 3 9 3 c2 3 9 2
所以 0，即 0，
2c 3 3c 2c 2c
得 c 2．
16. 答案及解析：

A 0,0, 3 C 1 , 3 3
1 1
（1）因为VABC 为正三角形，且D， E， F 分别是各边的中点， 则 ， , ，D ,0,0 ， E2 4 4 2 2
,0,0 ，
2
1 3 1 3
所以 AC , ,0 ， AD , 0, 4 4 2 2
，


n
1 3
1 AC 0 x y 0, 4 4
设平面CDA的法向量为 n1 x, y, z ，则
1 3
n1 AD 0 x z 0, 2 2
所以VADE，△BEF，VCDF 均为正三角形.
令 x 3，得 y 3， z 3，所以 n1 3, 3, 3 ，
分别取DE， EF ，FD的中点 A1， B1，C1，
易知平面 EDA的一个法向量为 n2 0,1,0 ，
则 AA1 DE， BB1 EF ，CC1 DF ， AA1 BB1 CC1，
cos n ,n n n 3 5所以 1 2 ，
又因为平面 ADE 底面DEF ，平面 ADE 底面DEF DE
1 2
， AA1 平面 ADE ， n1 n2 15 1 5
所以 AA1 平面DEF ，同理可得BB1 平面DEF ，所以 AA1 BB1， C DA E 2 5所以二面角 的正弦值为 .
5
所以四边形 AA1B1B为平行四边形，所以 AB∥A1B1，
17. 答案及解析：
因为 AB 平面DEF ， A1B1 平面DEF ，所以 AB∥平面DEF ，同理可得CB∥平面DEF ， x2ex 2xexf x a 1 2 x 2（1） 4 2 ex3 ax ，
又 AB BC B， AB 平面 ABC， BC 平面 ABC， x x x x
所以平面 ABC∥平面DEF 因为 x 2不是 f x 的极值点，
（2）由（1）可知 A1E, A1F , A1A两两垂直，
所以方程 ex ax 0还有其它正根（变号零点），

以 A1为坐标原点，分别以 AE， AF， A x y1 1 1A为 ， ， z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则 a必须大于 0，
若曲线 y ex , y ax在 0, 只有一个公共点，
则 y ex , y ax相切，不符合题意，
所以此时 ex ax 0必须有两个正根，且 x 2为其中一个，
即 e2 2a 0 （1）依题意可知动点 Q到点 F 1,0 的距离等于到直线 x 1的距离，
e2 所以动点 Q的轨迹是以F 1,0 为焦点， x 1为准线的抛物线，
所以 a ；
2
所以 C的方程为 y2 4x；
x 2 2x e
（2）由（1）可得： f x
x3
e x
2
，
（2）① 设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ,M x3, y3 ，
e2 2x y 4x 4设 g x =e x， 因为 A,B C 1 1在曲线 上，所以 ，两式相减得： k ，
2 y
2 AB
2 4x2 y2 y1
e2 4 4
则方程 g x 0的两根为 x 2, x x 0 x x00 0 2 ，其中 e x0， 则理可得 kAM k 2 y y
， ，
3
BM
1 y2 y3
当0 x x 时， g x 0，所以 x 2 g x 0，即 f x 0， f x 在 0, x 单调递减， 因为 ABM 为直角三角形，所以 MA MB ，0 0
4 4
当 x0 x 2时， g x 0，所以 x 2 g x 0，即 f x 0， f x 在 x0 ,2 单调递增， 所以 kAM kBM 1，即 1y ，2 y3 y3 y1
当 x 2时， g x 0，所以 x 2 g x 0，即 f x 0， f x 在 2, 单调递增，
则 y 21y2 y1 y2 y3 y3 16，
所以 f x min f x0 又因为 ABM 的重心 G在 x轴上，则有 y1 y2 y3 0，即 y1 y2 y3 ，
2
因为 ex e0 x 即 x0 ln x 2 ln 2， 42 0 0 所以 y1y2 16，直线 AB的方程为 y y1 x x1 y y ，2 1
ex0 e2 2
所以 f x f x0 2 ln x0 所以直线 AB的方程为 4x y2 y1 y y2 y1 0min ，所以直线 AB过定点 4,0 ；x0 2 x0
x 2 ② 设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ,M x3, y3 ，且 y1 0, y2 0, y3 0e 0 e ，
x0 2 ln 2
2

2x . 2 x0 因为G 1是 ABM 的重心，所以 S GAB S GAM S3 ABM
，
e2 1 e2
x0 2 ln 2 2 2 ln 2 0， 1 y 1 y2 x 2 不妨设 S ABM S
2 3
0 ，所以
S BPG S1 S S S S3 y1 y
， MGH 2 ，
2 3 y1 y3
且 x 0时， f x ， y1 1
x f x S 1 y 1y2 y2 y3 y 3时， 所以 ，又因为 y y y ，
S2 y1y3 y y y
1 2 3
2 3 1 1
所以 f x y在 0, x0 , x0 , 上各有一个零点， 2
所以 f x y在 0, 1上有且仅有 2个零点. 1S y y y t1 1 2 1 1
所以 ，令 t y y ，所以
S1 t 1 2t 1
18.
，
答案及解析： S2 1 1 2 S2 1 t 1 t
2
y2
y 1 1 2 2
又因为M 在 B的下方，所以 y y ，即 y y y t 1 2 P X 4 A A，即 ， 2 2A2 A2 53 2 1 2 2 y ，2 24 24 12
S1 4a 4 所以， X 的分布列为
令 a 2t 1 3，即 S a2 2a 3 a 2 3 ，2
a X 1 2 3 4
f a 4
设 a 2 3 ，则
f a 在 , 3 为增函数， 1 1 1 5P
a 6 6 4 12
S E X 1 2 3 20 350 f a 1 1 0,1 .所以 ，即 S 6 6 4 12 122
（3）将这 n张卡片标记的数字从小到大依次记为 a1,a2 ,a3 , a n
n
n ，将这 个数字随机排列，共有An ，
19. 答案及解析：
1 a ,a ,a 甲选到这 n张卡片中的最大数字，即甲选到数字 an ，可以分为 an 排在第 k 1,k 2, ,n位，并且甲选中 a ，分别（ ）设这三张卡片标记的数字从小到大依次为 n1 2 3 ，
a a a ,a a a ,a a a ,a a a ,a a a ,a a a , 记为事件 Ai i k 1,k 2, ,n ，排列有： 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 2 1 3 1 2
1
a A 表示 a 排在第 k 1位，其它卡片随机排，因此 P A ，按照甲的策略，能取到 3的有： a1a3a2 ,a2a1a3 ,a a a ， k 1 n k 12 3 1 n
3 1
3 . Ai表示 an 排在第 i位，且前 i 1个数中最大数在前 k位， i k 2,k 3, ,n 1,n，所以，甲选到这 张卡片数字中最大数字的概率是
6 2
n i
（2） X 的可能取值是 1,2,3,4， P A An 1 k A
i 2
i 2 n 1 n 2 i 1 ik i 2 i 3 2 1 k
因此， i n ，An n n 1 2 1 n i 1
将这四张卡片排成一列，有A44 24种排法，
因此，甲选到最大数字的概率为：
“ X 1”表示标记数字 4的卡片排在前 2位，标记数字 1的卡片排在第 4位，
k 1 1 1
A1A2
Pk 1
，
P X 1 2 2 n k k 1 n 1

，
24 6
P P k 1 1 1 k 1 1 1 “ X 2 ”表示标记数字 4的卡片排在前 2位，标记数字 2的卡片排在第 4位， k 1 k n k 1 n 1 n k k 1 n 1
1 2
P X A A 1 2 2 2 ， 1 1
24 6
1
1 ，
n k 1 n 1
“ X 3”表示标记数字 1,2的卡片排在前 2位，标记数字 3的卡片排在第 3位，或标记数字 4的卡片排在前 2位，标
1 1 1 1 1 1 1
记数字 3的卡片排在第 4位， 因为 Pk 最大，所以 Pk 1 Pk 0,Pk Pk 1 0，即 1 .0 0 0 0 0 k0 1 k0 2 n 1 k0 k0 1 k0 2 n 1
A2 A1A2P X 3 2 2 2 1 ，
24 24 4
“ X 4 ”表示标记数字 3的卡片排在前 2位，标记数字 4的卡片排在后 2位，或标记数字 1,2卡片排在前 2位，标记
数字 4卡片排在第 3位，

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