资源简介

2025 年沈阳市高中三年级教学质量监测（三） 字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分 100 分）进行统计，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，图
中b 3a，则满意度计分的第一四分位数约为（ ）
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2．答题时请按要求用笔.
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试
A 87.5 B. 85 C. 70 D. 62.5
卷上答题无效.
7. 如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为 r ．若是放
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. r
入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则 （ ）
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. a
一、选择题：本题共 8 小题.每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
A x 2 x 2 B x 1 x 31. 3 3已知集合 ， ，则 A B （ ） A. 2 2 B. 2 2 C. 2 1 D.2 2 2 1
A. x 1 x 2 B. x x 2
f x 2sin x π π8. 已知函数 0 在区间 , π

上有且仅有一个零点，当 最大时， f x 的图象的一条
C. x 2 x 3 D. x x 3 3 3
对称轴方程为（ ）
2. 已知 i为虚数单位，若 z i5 i4 i3，则 z （ ）
A. 1 2i B. 1 2i C. 2 i D. 2 i x 17 17 23 23A. π B. x π C. x π D. x π
12 14 10 18
y2 x2
3. 双曲线 1 a 0,b 0 的离心率为 3，则其渐近线方程为（ ）
a2 b2 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
2 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．A. y 2x B. y x
2 9. 堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图 1，把一块长方体分成相同的两块，
C. y 3x D. y 3 x 得到两个直三棱柱（堑堵）．如图 2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称
2
为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（ ）
4. 已知向量 a，b满足 a 2， a b b 2 a ，则 2b 等于（ ）
A. 12 B. 10 C. 2 3 D. 10
5. 等比数列 an 中， a1 0，则“ a1 a4 ”是“ a2 a4 ”的（ ）
A. 阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
B. 鳖臑的四个面均为直角三角形
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
C. 阳马的体积是鳖臑的体积的两倍
6. 近日，数字化构建社区服务新模式成为一种趋势．某社区为了优化数字化社区服务，通过问卷调查的方式调研数
D. 堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等 是白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3、4、5、6，则从
π 1
10. 已知VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， AB AC 2， BAC ，点 M 为VABC 内一动点，且 乙箱中随机摸出2个球．已知掷1次骰子后，摸出的球都是红球的概率是 ．3 3
1 （1）求m的值；S△MBC S△ABC，则（ ）2 （2）记摸到红球的个数为随机变量 X ，求 X的分布列和数学期望．
A. bc 4 B. S ABC 3
2
17. 21 1 已知圆 N : x 3 y
2 25，抛物线G : y 2px p 0 的准线与圆 N 相切，过抛物线焦点 F 的动直线 l与抛
C. a 8 3的最大值为 2 D. S S 的最小值为△MAB △MAC 3 物线交于A、 B两点，线段 AB的中点为M ．
x2 y2 FA （1）求抛物线G的方程；
11. 已知点 A1，A2分别是椭圆C : 1 a b 0 的左、右顶点，F 1,0 1为椭圆的右焦点，且 3，点a2 b2 FA2 （2）当MN x轴时，求直线 l的斜率；
P 是椭圆上异于 A1， A2的一动点，直线 PA1，PA2 分别与直线 x 4交于点 B1， B2，则下列说法正确的有（ ） （3）求证： AB 2 MN 为定值，并求出该定值．
3 9
A. kPA k1 PA B. kPA kB A 2 4 2 1 2 4
1 18. 已知函数
f x π ax 6sinx ， x 0, ．
B B 2

C. 1 2 的最小值为 4 3 D. cos A1PA2的最小值为 2
π
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． （1）已知 f x 在 x 处的切线斜率为5，求实数a的值；3
4x , x 0, 1 （2）若 a 3，且关于 x的方程 f x b有2个不相等的实数解，求b的取值范围；
12. 已知函数 f x ，则 f f 的值等于_____．
log2x, x 0 2
（3）若函数 F x f x x2 2xcosx 在 0,
π
上单调递增，求a的取值范围．
13. 函数 f x cos2x 6cos π x 2 的最小值为_____ ．
2
19. 如图所示，在直角梯形 BCEF中， CBF BCE 90 ，A，D 分别是 BF ，CE上的点，且 AD / /BC ，
14. 已知过点 P 2025,1 的直线 l在 x轴和 y轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线 l的条数为_____．
ED 2AF 2，CD t 0 t 3 ，BC CD 3，将四边形 ADEF 沿 AD向上折起，连接 BE ，BF ，CE，在
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
折起的过程中，记二面角 E AD C的大小为 0 π ，记几何体 EFABCD的体积为 V．
a a 3 a 15 a15. n 已知数列 n 中， 1 ， 3 ，且数列 为等差数列．
n
（1）求 an 的通项公式；
1 3
（2）记 Sn为数列 的前 n 项和，证明： Sn ． （1）求证： BF //平面CDE；
an 4
（2）当 t 2时，请将 V 表达为关于 的函数，并求该函数的最大值；
（3）若平面 EFB和平面EBC垂直，当 取得最大值时，求 V 的值．
16. 甲、乙两个箱子中，各装有6个球，其中甲箱中有3个红球和3个白球，乙箱中有m 2 m 6 个红球，其余都
参考答案及解析 6. 答案：C
1. 答案：C 解析：由题意可得10 a 0.015 0.035 3a a 1，解得 a 0.01，
解析：因为 A x 2 x 2 ， B x 1 x 3 ， 且第一个小矩形面积为10 0.01 0.1，
第二个小矩形面积为10 0.015 0.15，0.1 0.15 0.25
则 A B x 2 x 3 .
则第一四分位数即第 25百分位数为70 .
故选：C
故选：C
2. 答案：B
7. 答案：D
解析：因为 z i5 i4 i3 i 1 i 1 2i，故 z 1 2i . 解析：设储物盒所在球的半径为R ，如图，
故选：B.
3. 答案：B
c 2 b
解析：由 e 1 b 3 2 a 2 ，得 ， ，
a a2 a b 2
y 2故渐近线方程为 x．
2 R
故选：B. 小球最大半径 r 满足 2 1 r R，所以 r 2 1 R ，2 1
4. 答案：C
2
2 a 2a 2 a 2正方体的最大棱长 满足 R 2，解得 a R ，解析：由 a b b 2有a b b 2 2 a b b 2， 2 3
2 2 2所以 a 2b a 2b a 2 4a b 4b 2 a 2 4 a b b 4 4 2 12 ， r 2 1 3 2 1
所以 a 2 2 .
所以 a 2b 2 3 ， 3
故选：C. 故选：D.
5. 答案：A 8. 答案：B
解析：设等比数列 an 的公比为q， π x π 0 π π π解析：当 时，且 ， x π π ，
3 3 3 3 3
3
由 a1 a4 可得 a1 a1q ，因为 a1 0，则 q3 1，解得 q 1，
kπ π π k 1 π
由 a 3 32 a4 可得 a1q a1q ，因为 a1 0，则 q q q q 1 q 1 0，解得 1 q 0或 q 1 π

，
由 f x 0 3 3可得 sin x 0，所以 ， k Z ，
3 π
因为 q q 1 q 1 q 0 q 1 k 1 π π k 2 π是 或 的真子集， 3
因此，“ a1 a4 ”是“ a2 a4 ”的充分不必要条件. 3k 1 3k 4
解得 4 ， k Z ，
故选：A. k k
7

3 3
3k 4 k 4 k 7 4
点，
若 无解，则 或 3k 1，解得 k 或 k 2 ，
3 3 3 3 所以堑堵、阳马与鳖臑均可以补成原长方体，
1 4 2 1 所以它们的外接球的半径都等于原长方体外接球的半径，所以 D 正确.
4 7 1
由于 0且 存在，故 k 0或 k 1，即 4 7 或 1 4 ，则有 或 1，
3 3 3
故选：BCD
3 3 3 3
7故 的最大值为 ，此时 f x 2sin 7x π

，
3 3 3
7x π π mπ m Z x 5π 3m由 可得 π m Z ，
3 3 2 14 7 10. 答案：ABD

当m 2 时，函数 f x 17 π 1的一条对称轴方程为 x π， 解析：对于 A，由 AB AC 2可得 AB AC cos bc 2，则bc 4，故 A 正确；
14 3 2
故选：B. 1对于 B， S ABC bc sin
1 3
4 3，故 B 正确；
2 3 2 2
9. 答案：BCD
C 2 2 2
π 2 2
对于 ，由余弦定理可得 a b c 2bc cos b c bc 2bc bc bc 4，
解析：对于 A，如图，由题意可知DD1 平面 ABCD， AD,DC 平面 ABCD， 3
DD AD,DD 即 a
2 4，则 a 2，当且仅当b c时，等号成立，
所以 1 1 DC ，
所以a的最小值为2，故 C 错误；
因为 AB 平面 ADD1， AD1 平面 ADD1，所以 AB AD1，
1
因为 BC 平面CDD 对于 D，因为 S ABC S MBC S MAB S MAC ，且 S S ，1，CD1 平面CDD1，所以 BC CD ， △MBC 2 △ABC1
所以阳马的四个侧面都是直角三角形，所以 A 错误， 1 3 2
则 S MAB S MAC S ABC ，即 S MAB S△ MAC 1，
对于 B，如图由题意可知 BC 平面CC1D ，CC ,CD 2 2
3
1 1 1 平面CC1D1，
1 1 1 1
所以 BC
2
CC1,BC CD1， 所以 S S S S MAB MAC MAB MAC S MAB S MAC 3
因为C1D1 平面 BCC1， BC1,CC1 平面 BCC1， 2 2 S MAC S
2
MAB 2 2
S
MAC
S
MAB
8 8 3
，
C D BC ,C D CC 3 S S
3
S S 3 3
所以 MAB MAC MAB MAC 1 1 1 1 1 1 ，
S S
所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以 B 正确， MAC MAB当且仅当 S SS S 时，即 △MAB MAC 时，等号成立，故 D正确； MAB MAC
对于 C，设长方体的长，宽，高分别为 a,b,c，则 AB a,BC b,DD1 c，
故选：ABD.
所以阳马的体积V
1
D ABCD abc
1 1 1
，鳖臑的体积V
1 3 D1 BCC
abc abc，
1 3 2 6 11. 答案：AB
所以阳马的体积是鳖臑的体积的两倍，所以 C 正确，
对于 D，由题意可知堑堵、阳马与鳖臑都是由同一个长方体分割而成，且堑堵、阳马与鳖臑的顶点都是原长方体的顶
tan A PA tan k2 k即 1 2 1 0 A PA1 k k ，即 1 2 为钝角，1 2
3
3 k1
又由 k k 3 ，得 k2
4k1 3
1 2 4k ，则 tan A1PA2 1 4 k1 4 3
，
4 4k
解析： 1 1
4
k 3当且仅当 1 时，等号成立，此时 tan A1PA2 取最大值 4 3，即 A1PA2 最大，2
1
因此 cos A1PA2的最小值为 ，故 D 错误；7
设点 P x , y ，设直线 PA 的倾斜角为 ，斜率为 k ，直线 PA 的倾斜角为 ， 故选：AB0 0 1 1 2
12. 答案： 1
斜率为 k2，
1 1 2 1 f 1 1 1FA a c 解析：因为 f 4 ，则 f 2 2 2
f log2 1.
1
对于 A，由题意可得 3，且 c 1，所以 a 2,b2 3， 2 2FA2 a c
故答案为： 1
x2 y2 x2 2
则椭圆方程为 1，又由 P x , y 为椭圆上的动点，所以 0 y 00 0 1， 13. 答案： 74 3 4 3
y2 3 y y y2 3 解析： f x cos2x 6cos
π
x

1 2sin
2 x 6sin x，
0 0 0
即 ，又由 k1 ,k2 2 ，所以 kPA kPA k1 k2
0
2
2
，
x 1 20 4 4 x0 2 x0 2 x0 4 4
令 t sin x 1,1 3， y 2t 2 6t 1，且该二次函数的对称轴为直线 t ，
故 A 正确； 2
y y 6y 故函数 y 2t
2 6t 1在 1,1 上单调递增，
对于 B，由 k1 0 ，得 PA1 : y 0 x 2 0，令 x 4得， yB 6kx 2 x 2 1 x 2 1，0 0 0 2故 ymin 2 1 6 1 7，即函数 f x 的最小值为 7 .
B 4,6k k 6k1 0 3k k k k 3k 3 3 9所以 1 1 ，则 B A 1，所以 PA B A 2 1 ， 故答案为： 7 .1 2 4 2 2 1 2 4 4
14. 答案：15
故 B 正确；
解析：设直线 l在 x轴和 y轴上的截距分别为a x y、b，则a、b N ，则直线 l的截距式方程为 1，
y y a b
C 0 0对于 ，同理 k2 PAx 2，得 2
: y x 2
x 2 ，令 x 4，0 0 2025 1 2025b 2025 b 1 2025 2025由于直线 l过点 P，则 1，故 a 2025 ，
a b b 1 b 1 b 1
y 2y 0 2k 3 3得 B2 x 2 2，所以
B2 4,2k2 ，又由 k1 k k 2 ，得4 20 4k
，
1 所以b 1为 2025的正约数，故b 1 1,3,9,27,81,5,15,45,135,405,25,75,225,675,2025 .
即满足条件的正整数b的个数为15.
则 B1B2 6k1 2k2 6k
3
1 6
1
，当且仅当 k1 时，等号成立，故 C 错误；2k1 2 因此，满足题设条件的直线 l的条数为15.
对于 D，不妨设 x0 0且 y0 0，则 k1 0,k2 0，设 , 分别为直线PA1,PA2的倾斜角，则 A1PA2 ， 故答案为：15.
15. 1 a n2答案：（ ） n 2n P X 2 1 P X 0 P X 1 1 ，
3
（2）证明见解析
所以，随机变量 X的分布列如下表所示：
a a 3 a 15 an （1）因为数列 n 中， 1 ， 3 ，且数列 为等差数列，
n X 0 1 2
an a
设数列 的公差为 d ，则 2d 3 a1 5 3 2，故 d 1， 1 5 1 n 3 P 9 9 3
a
所以 n a1 n 1 d 3 n 1 n 2，故 a 2n n n 2n . 则 E X 0 1 5 1 11 1 2 .
9 9 3 9
1 1 1 1 1
（2）因为

a n n 2 2 n n 2 ， 17. 答案：（1） y
2 8x
n
（2） 2
S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 n 2
1 L
3 2 4

3 5 n 1 n 1 n n 2 （3）证明见解析，定值为6
N N 3,0 5 p1 1 1 1 3 2n 3 3 （1）由题意可得，圆 的圆心为 ，半径为 ，且抛物线的准线为 x ，与圆 N 详相切， 1 22 2 n 1 n 2 4 2 n 1 n 2 4，故原不等式成立.
3 p 则 5，因为 p 0，解得 p 4，故抛物线的方程为 y2 8x .
16. 答案：（1）m 4 2
2 E X 11 （2）设点 A x1, y1 、 B x2 , y2 、M x0 , y ，（ ）分布列答案见解析， 0
9
显然直线 AB的斜率不为零，设直线 l的方程为x ty 2，
（1）设事件A为“掷出骰子的点数为1或2”，则事件 A为“掷出骰子的点数为3、4、5、6”， x ty 2
1 2 联立 2 可得 y
2 8ty 16 0 ，则 2 ，
P A P A y 8x
64t 64 0
则 ， ，
3 3
C2 2 由韦达定理可得 y1 y2 8t， y1y2 16，
B P B A 3 3 1 Cm m m 1 设事件 为“摸出的球都是红球”，则 2 ， P B A 2 ，C6 15 5 C6 30
y y 1 y2 4t x ty 2 4t2则 0 ， 0 0 2，即点M 4t 2 2,4t ，
1 1 m m 1 2 1 2
由全概率公式可得 P B P A P B A P A P B A ，5 3 30 3 3
因为MN x轴，则 x0 4t
2 1 2 3，解得 t ，
2
整理可得m2 m 12 0，解得m 4或m 3（舍去），故m 4 .
l 1因此，直线 的斜率为 2 .
（2）由题意可知，随机变量 X的可能取值有：0、1、2， t
2 2 1 1 1 1
则 P X 0 1 C3 2 C2 1 P X 1 1 C C 3 3 2 C C 5， 4 2 ，
3 C2 3 C2 2 26 6 9 3 C6 3 C6 9
因为关于 x的方程 f x b有2个不相等的实数解，
则直线 y b与函数 f x π 在 0, 上的图象有两个交点，如下图所示：2
（3 ）
由抛物线焦点弦长公式可得 AB x1 x2 4 t y1 y2 8 8 t 2 1 ，
2
由（2）可得 MN 4t 2 2 3 16t 2 16t 4 8t 2 1 4t 2 1，
所以 AB 2 MN 8 t 2 1 2 4t 2 1 6 .
18. 答案：（1）a 8
π 3 3, 3π 6 （2） 2
3π
由图可知，实数b的取值范围是 π 3 3, 6 .
2
（3） 2π,
π
（3）由题意，当 x 0, 时， F x ax 6sin x x2 2xcos x，
（1）因为 f x ax 6sinx，则 f x a 6cos x 2 ，
则 F π π x a 2x 4cos x 2x sin x 0恒成立，f 由题意可得 a 6cos a 3 5，解得 a 8 .
3 3
令 g x F x ，则 g x 2sin x 2xcos x 2，因为 2sin x 2 0， 2xcos x 0，
（2）当 a 3时， f x 3x 6sin x π， x 0,

， π π
2 所以 g x 0对任意的 x 0, 2 恒成立，故函数
F x 在 0, 上单调递减，
2
则 f x 3 6cos x，由 f x 0可得 x π ，列表如下：
3 所以 F x a 2π,a 4 ，
x 0, π π π , π
3 3 3 2 因为 F x 0 x
0, π
对任意的
恒成立，所以 a 2π 0，解得 a 2π .
2
f x 0 因此，实数a的取值范围是 2π, .
19. 答案：（1）证明见解析
f x 单调递减 极小值 π 3 3 单调递增 5 5
（2）V sin ；
3 3
又因为 f 0 0， f π 3π 6 0， 15 2 10
2 2 （3） 18
（1）在梯形 BCEF中，因为 BF / /CE，所以翻折后有 AB / /DC，且 AF / /ED，
因为 AB 平面CDE，DC 平面CDE，故 AB / /平面CDE，同理可得 AF / /平面CDE， （3）
因为 AB AF A， AB, AF 平面 ABF ，
所以平面 ABF / /平面CDE，又因为 BF 平面 ABF ，所以 BF //平面CDE .
（2）

过点D作DC的垂线，交直线CE于点G，分别以DA,DC,DG为 x, y, z轴
正方向建立空间直角坐标系，则D 0,0,0 , A 3 t,0,0 ,C 0, t,0 ,B 3 t, t,0 ,E 0,2cos , 2sin ，
F 3 t,cos ,sin ，

在平面 EFB中， BF 0, cos t, sin ,EF 3 t, cos , sin ，
由题意，在梯形 BCEF中， CBF BCE 90 ， AD / /BC，即 AD CE，

且 AD FB，所以翻折后有 AD ED， AD DC，且 ED∩DC D， 设平面 EFB的一个法向量为 n x, y, z ，

所以 AD 平面CDE，同理， AD 平面 ABF ， n

BF y cos t z sin 0
则 ，
由二面角 E AD C的大小为 ，得 EDC FAB ， n EF 3 t x y cos z sin 0
过点 E作CD的垂线，交直线CD于H ，由 AD 平面CDE，HE 平面CDE， 令 y sin z t t，则 cos , x sin ，
3 t
所以 AD EH ，且 AD DC D，所以 EH 平面 ABCD，
t
即 EH 是四棱锥 E ABCD的高， 所以 n sin , sin , t cos ， 3 t
由 ED 2,CD t 2,BC 3 CD 3 t 1，
在平面 EBC中，CB 3 t, 0, 0 ,CE 0, 2 cos t, 2 sin ，
V 1 1 4所以 E ABCD SABCD EH 2 1 2sin sin ， 3 3 3 设平面 EBC的一个法向量为m x1, y1, z1 ，
由 ED / /AF，ED 平面 ABF ， AF 平面 ABF ，所以 ED / /平面 ABF ，
m CB 3 t x1 0
又因为 AD 平面 ABF ，且 AF 1， 则 ，
m

CE y1 2cos t z1 2sin 0
V V 1 1 1 1所以 E ABF D ABF S ABF DA 2 1 sin 1 sin ，3 3 2 3 令 y1 2sin ，则 z1 t 2cos , x 0 m

1 ，所以 0,2sin , t 2cos ，
所以V 5 VE ABCD VE ABF sin ， 0,π ， 3 因为平面 EFB和平面EBC垂直，所以 n m 0，
π 5当 时，V 取得最大值 .
2 3
即 2sin2 t cos t 2cos 1 2 0，整理可得 cos
3
t ，
t
因为 0, ，0 t 3 2 2 2，所以 cos t 2，
3 t 3
当且仅当 t 2 时，等号成立，
故当 取得最大值时，即 cos 2取得最小值 2，
3
此时V V 2 1 5E ABCD VE ABF t 3 t sin t 3 t sin t 3 t sin ，3 6 6
cos 2由 t 2 ， 2 ， 0,π ，所以 sin 1 V 15 2 10，则3 3 .18

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