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山东省济南市 2025 届高三下学期 5 月高考针对性训练（三模） 6. 一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 p1, p2 , p3 , p4，且 p1 p2 p3 p4 1．设这组数据的平均数为
数学试卷 x ，中位数为 m．下列条件一定能使得 x m的是（ ）
本试卷共 4 页，19题，全卷满分 150分.考试用时 120分钟. A. p1 : p2 : p3 : p4 1:1:1:1 B. p1 : p2 : p3 : p4 1: 4 : 4 :1
注意事项： C. p1 : p2 : p3 : p4 1: 4 : 3 : 2 D. p1 : p2 : p3 : p4 2 :3 : 4 :1
1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. x2 y27. 已知焦点在 x 轴上的椭圆C : 2 1，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线 y 3x 4相交，则 C
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后， 9 b
的离心率的取值范围是（ ）
再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. (0, 2 2A. ) B. (0, 5 ) C. ( ,1) D. 53 3 ( ,1)3 3
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
2 2
5.考试结束后，只将答题卡交回. 8. 已知函数 f (x)及其导函数 f (x) x y的定义域均为R ，且满足 f ( ) f (x) f (y)．若 f (x)在 (0, )单
2
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
调递增，则（ ）
目要求的.
2 A. x0 R, f (x0 ) 0 B. x R, f (x) f ( x) 0z 3
1. 设复数 1 i ，则 z （ ）
A. 1 i B. 1 i C. 1 i D. 1 i C. x R, f (x) 0 D. x, y R, f (
x y ) f (x) f (y)
2 2

2. 已知在空间直角坐标系Oxyz中，三点 A(1,1,0),B(0, 2,1),C(2,1, 1)，则向量 AC与OB夹角的余弦值为（ ） 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
A. 6 B. 3 C. 3 D. 6 6
6 6 6 6 1 9. 在 2x 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
x
3. 已知集合 A x∣x2 x 2 0 ,B {y∣y 1 x}，则 A B （ ）
A. 常数项为 120 B. 各二项式系数的和为 64
A. [ 1,1] B. [0,2] C. [ 1, ) D. ( , 1] C. 各项系数的和为 1 D. 各二项式系数的最大值为 240
4. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 MN 和 PQ 为异面直线的是
10. 已知偶函数 f (x) sin( x + ) + cos( x )
π
0,| | + 2
的最小正周期为 π，下列说法正确的是（ ）
（ ）
A. f (x)
π
在 0, 单调递减
2
A. B. C. D. π
B. 直线 x 是曲线 y f (x)的一条对称轴
4
C. 直线 4x + 2y - π = 0是曲线 y f (x)的一条切线
tan 3 1 sin 2 3 75. 已知 ，则 2 （ ） D. 若函数 g(x) f (ax)(a 0)在 (0,π)上恰有三个零点、三个极值点，则 a 2cos sin 2 2 4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
AD / /BC, AB AD,SA BA DA 111. 在四棱锥 S ABCD中， SA 底面 ABCD， BC 3，P 为平面 SAB 内 * k
2 （3）若 n N ,an 3T 成立，求实数 k 的最小值．n
一动点，且直线 CP，DP 分别与平面 SAB 所成的角相等，则（ ）
A. BC BP
a
17. 已知函数 f (x) ln x．
B. 平面 SAB 与平面 SCD 夹角的正切值为 2 x
（1）当 a 1时，求曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程；
C. P SCD 6 3点 到平面 距离的最大值为
3
D. 当三棱锥 P ABC的体积最大时，其外接球的表面积为 61π （2）讨论 f (x)的单调性；
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数 f (x) 3 x ，则 f log2 1 2 3 f log2 3 _________． （3）记 f (x)的极小值为 g(a)，证明： g(a) ea 1．
x2 y2
13. 双曲线C : - =1的左焦点为 F，点 A(0,4) ，若 P 为 C 右支上的一个动点，则 | PA | | PF |的最小值为
4 5
_________．
18. 甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率
14. 已知数列 an 满足 a1 3,an 1 a1a2Lan 2，则 a1a2La2025除以 16 的余数为__________ 都是 p（ 0 p 1），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （1） p 1 时，若两人共进行 5 局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为 X，求 X 的分布列和数学期望；
2
15. 记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ABC的平分线 BD 交 AC 于点 D，acos2 B bsin Asin B 2b．
b
（1）求 ；
a
p 2（2） 时，若两人共进行 2n +1（n N* 且 n 2）局比赛．记事件 Ak 表示“在前 2n 1局比赛中甲赢了3
1 n 2 2n 1
（2）若 cosC ,BD 2，求VABC 的面积．
4 k (k 0,1,2,L, 2n 1)局”．事件 B 表示“甲最终获胜”．请写出 P(B∣ Ak ),P(B∣An 1),P(B∣An ),P(B∣ Ak )的
k 0 k n 1
值（直接写出结果即可）；
a S 1 16. 记等差数列 n 的前 n项和为 n，数列 的前 n 项和为Tn ，已知 a1 1,S3 6．
Sn
（1）求 an 的通项公式； 1
（3）若两人共进行了 2n 1(n N*)局比赛，甲获胜的概率记为 Pn．证明： p 1时， P2 n
Pn 2 2Pn 1．
（2）求Tn ；
19. 记由直线构成的集合 L ∣l l : a(x 1) by 0,a2 b2 0 ．规定： l1 l2当且仅当 l1, l2表示同一条直线．若
l1 : a1(x 1) b1y 0, l2 : a2 (x 1) b2 y 0，定义：l1 l2 l3，其中 l3 : a1b2 a2b1 (x 1) b1b2 a1a2 y 0．已
知存在 l0 L满足 l L，有 l l0 l0 l l ．
（1）若 l1 : (x 1) 3y 0, l2 : 3(x 1) y 0，计算 l1 l2 ，并求 l0；
（2）记抛物线C : y2 4x，‖l‖表示直线 l被C 所截得的弦长的倒数，并规定 l0 0．
① 若 l1 l0且 l2 l0，且 l1 l2 l1 l2 ，求 l1 l2 ；
3
② 若 l1 l2 l3 0，求证：至少存在一个 i {1, 2,3}，使得 li ．16
参考答案及解析
1. 答案：B
2 2 2 1 i
解析：因为 z 3 1 i ，故 z 1 i .1 i 1 i 1 i 1 i
故选：B.
对于 D，如图， PQ 平面MPQ， N 平面MPQ，M 平面MPQ，M 直线 PQ，
2. 答案：A
uuur uuur 则MN与 PQ是异面直线，D是.
解析：依题意， AC (1,0, 1),OB (0, 2,1)，
uuur uuur
AC OB 1 6
所以向量 AC与OB夹角的余弦值为 uuur uuur .
| AC ||OB | 3 2 6
故选：A
3. 答案：C
2
解析：由题意有 A x x x 2 0 1,2 ， B y y 1 x 0 0, ， 故选：D
5. 答案：B
所以 A B 1, ，
1 sin 2 sin 2 cos 2 2sin cos tan 2 1 2 tan 32 1 2 3
故选：C. 解析： 2 2 .2cos sin 2 2cos2 2sin cos 2 2 tan 2 2 3
4. 答案：D
故选：B.
解析：对于 A，如图， PQ / /CD / /AB / /MN ，M ,N ,P,Q四点共面，A 不是； 6. 答案：C
解析：令样本数据总个数为 20n,n N
1 5n 2 5n 3 5n 4 5n 5 5
对于 A， x ,m ，A 不是；
20n 2 2
x 1 2n 2 8n 3 8n 4 2n 5 5对于 B， ,m ，B 不是；
20n 2 2
x 1 2n 2 8n 3 6n 4 4n 13对于 C， ,m 5 ，C 是；
对于 B，如图，MP / /GH / /EF / /NQ，M ,N ,P,Q 20n 5 2四点共面，B 不是；
x 1 4n 2 6n 3 8n 4 2n 12对于 D， ,m 5 ，D 不是.
20n 5 2
故选：C
7. 答案：B
4
解析：依题意，b 2，又椭圆焦点在 x轴上，则 a 3，b 3，则 2 b 3，
( 3)2 ( 1)2
对于 C，如图，MP / /KL / /NQ，M ,N ,P,Q四点共面，C 不是；
C a
2 b2 9 b2 5 1x 1 (2 1 )6 6因此 的离心率 e (0, ) . 要求各项系数的和，可令 ，则 (2 1) 1，所以各项系数的和为1，选项 C 正确.
a 3 3 1
故选：B 6 6 5 4
因为 n 6 3，所以二项式系数最大的是中间项，即第 1 4项，其二项式系数为C6 20 240，选项
8. 答案：D 2 3 2 1
解析：由函数 f (x)及其导函数 f (x)的定义域均为R ，得 f (x)的图象在R 上连续不断， D 错误.
故选：BC.
2 2
对于 A，取 y x 0 f ( x y，由 ) f (x) f (y)，得 f (x) [ f (x)]2 0，
2 10. 答案：ACD
解析：已知 f (x) sin( x + ) + cos( x + )，根据辅助角公式可得：
当 x 0时，取 y x， f ( x) f (x) f ( x) ，而 f (x)在 (0, )上单调递增，
f ( x) (0, ) f (x) f ( x) 0 x R, f (x) 0 f (x) 2 sin( x
π
)
则 在 上不恒为 0，因此 ，即 ，A 错误； 4
对于 B， x R ，取 y x， f ( x) f (x) f ( x) ，由选项 A 知， f ( x) f (x)， f (x) π π π因为 是偶函数，则 kπ (k Z)，即 kπ (k Z) .
4 2 4
x R, f (x) f ( x) 2 f (x)不恒为 0，B 错误；
π π π
f (x) (0, ) f (x) 0 又因为 | | < ，所以 k 0， ，那么 f (x) 2 sin( x ) 2 cos x .对于 C，由 在 上单调递增，得当 x 0时， ； 2 4 2
x 0 f ( x) f (x) f (x) f ( x) 0 2π当 时，由 ，得 ，C 错误； 由 f (x)的最小正周期T π（ 0），可得 2，所以 .
f (x) 2 cos 2x
x2 y2 2 x y 2 2 22 (x y) x y x y 对于选项 A，当 x (0,
π )时， 2x (0, π)，根据余弦函数的性质， y cos t在 (0,π)上单调递减，
对于 D， ( ) ( ) 0，则 | | 0， 2
2 2 4 2 2 π
所以 f (x) 2 cos 2x在 (0, )单调递减，A 选项正确.2
f ( x y x y
2 2
因此 ) f (| |) f ( x y ) f (x) f (y) f (x) f (y) ，D 正确.
2 2 2 2 f (π) π π对于选项 B，因为 2 cos(2 ) 2 cos 0，而余弦函数的对称轴处函数值应取到最值
4 4 2 2
，
故选：D
π
9. 答案：BC 所以直线 x 不是曲线 y f (x)的一条对称轴，B 选项错误.4
解析：对于二项式 (2x
1
)6 ，根据二项式展开式的通项公式可得： 对于选项 C，对 求导，可得 .
x f (x) 2 cos 2x f (x) 2 2 sin 2x
r
T Cr 2x 6 r 1
r 3r
r
1 26 r r 6 r
r 6 2
r 1 6 C6x x 1 26 rCr x 26 ， r 0,1, ,6 .
2
直线 4x 2y 0可化为 y 2 2x ，其斜率为 2 2 .
x 2
6 3r 3r π π令 0，则 6，解得 r 4 . 令 f (x) 2 2 sin 2x 2 2，则 sin 2x 1，2x 2k (k Z)，即 x kπ (k Z) .
2 2 2 4
4
r 4 1 26 4C4将 代入通项公式可得常数项为 6 4
6 5
60 120，所以选项 A 错误. x kπ π (k Z) f (k π) 2 cos(2(kπ π)) 2 cos(kπ π2 1 当 时， ) 0 .
4 4 4 2
根据二项式系数和的性质，所以 (2x
1
)6 的各二项式系数的和为 26 64，选项 B 正确.x
x π 由 kπ 2π π 2π CPB DPA
CB DA
，得 ，则 BP 2AP，设点 P(x, 0, z)，
把 代入直线方程
4 y 2 2x
得 y 2 2(kπ ) 2 2kπ， BP AP
2 4 2
则 4x2 4z2π (x 3)
2 z2 ，整理得 (x 1)2 z 2 4，令 P(2cos 1,0, 2sin )，
当 k 0时，直线与曲线有公共点 ( ,0)，且在该点处切线斜率与直线斜率相等，
4 | 2sin 2cos 2 |
y f (x) DP (2cos 1, 3,2sin )，则点 P到平面 SCD 的距离
d
所以直线 4x 2y 0是曲线 的一条切线，C 选项正确. 3
对于选项 D， g(x) f (ax) 2 cos2ax(a>0)，当 x (0, π)时， 2ax (0, 2aπ) . | 2 2 sin( 45 ) 2 | 2 6 2 3 ，当且仅当 sin( 45 ) 1时取等号，C 错误；
3 3
因为 g(x)在 (0,π)上恰有三个零点、三个极值点，
对于 D， S ABC 9，当且仅当点 P到直线 AB距离最大，即点 P( 1,0, 2)时，
根据余弦函数图象性质可知3π<2aπ 7π 3 7 ，解得 2 2 4
故选：ACD. 三棱锥 P ABC的体积最大，此时 PB 2 5,PA
2 1
5,sin PBA ，
PB 5
11. 答案：ABD PA 5
PAB外接圆半径 r ，而VABC 外接圆圆心为 AC中点，
解析：在四棱锥 S ABCD中， SA 底面 ABCD， AB AD，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 2sin PBA 2
令过此中点与平面 ABC垂直的直线为 l，则三棱锥P ABC外接球球心O l，
1
可得 l / /平面 SAB，因此点O到平面 SAB的距离 d BC 3，
2
球半径 R r2 d 2 61 ，所以外接球的表面积为 4πR2 61π，D正确.
2
故选：ABD
12. 答案：3
3 3 3 3 2 x
则 A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,6,0),D(0,3,0),S(0,0,3) 解析：由题意有 f x f x x 3，， 2 1 2 x 1 2x 1 2x 1

对于 A， AB (3,0,0), AS (0,0,3),BC (0,6,0)， AB BC 0, AS BC 0， 又 log2 3 log2 3 0，所以 f log2 3 f log2 3 3，
则 AB BC, AS BC，而 AB AS A, AB, AS 平面 SAB，因此 BC 平面 SAB， 故答案为：3.
13. 答案：9
又 BP 平面 SAB，则 BC BP，A 正确；
2 2
对于 B，平面 SAB的法向量 BC (0,6,0)，DC (3,3,0),DS (0, 3,3) x y， 解析：设双曲线C : - =1的右焦点为F .
4 5 2

DC

n 3a 3b 0
设平面 SCD的法向量 n (a,b,c)，则 ，取 c 1，得 n ( 1,1,1)， x2 y2DS n 3b 3c 0 对于双曲线C : - =1，可得 a2 4，则 a 2 .4 5

| BC n | 6 1
SAB SCD cos tan 1 cos
2
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ， 2 ，B 正确； 因为点 P在双曲线的右支上，所以 | PF | | PF2 | 2a 4，即 | PF | | PF2 | 4 .| BC || n | 6 3 3 cos
则 | PA | | PF | | PA | | PF2 | 4 .
对于 C，DA 平面 SAB，CP,DP与平面 SAB所成角分别为 CPB, DPA，
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得 PA PF2 AF
1
2 ，当且仅当A， P，F2三点共线时取等号. 15. 答案：（1） 2
已知 F2 (3,0)， A(0,4)，根据两点间距离公式，可得 | AF 2 22 | (3 0) (0 4) 5 . 2 4 15（ ）
15
所以 PA PF PA PF2 4 AF2 4 5 4 9，即 | PA | | PF |的最小值为9 .
解析：
故答案为： 9
（1）已知 sin Acos2 B sinBsin AsinB 2sinB，
14. 答案：15
a a a a 2 a 2 a a a 根据同角三角函数的平方关系 sin
2 cos2 1，对等式左边提取公因式 sin A 可得：
解析：由 n 1 1 2 n 可得 n 1 1 2 n，
a sin A(cos
2 B sin2 B) 2sin B ，
n 2 a 2 a a a n 1
2 a1a2 an
易知当 时， n 1 2 n 1，所以 aan 2 a1a2 a
n，
n 1 因为 cos2 B sin2 B 1，所以 sin A 2sin B .
整理可得 an 1 2 a
2
n 2a a 1 a
2 2a 2n，即 n 1 n n 1 an 1 ， a b由正弦定理 sin B b b 1，可得 ，所以 .
sin A sin B sin A a a 2
因为 a1 3，易知 an 1 an a1a2 an 1 an 1 0，即数列 an 为递增数列， a2 b2 c2 4b2 b2 2
（2
c 1
）已知 cosC ，
2ab 4b 2 4
因此 an 1 0，
log a 2 4b
2 b2 c2 1
所以 2 n 1 1 log2 an 1 2log2 an 1 ， 化简 ：4b2 4
即可得数列 log2 an 1 是以 log2 a1 1 1为首项，公比为2的等比数列； 5b2 c2 1
2 5b
2 c2 b2 4b2 c2 c 2b
log a 1 1 2n 1 2n 1所以 ，即 a 2n 1 2n 1 4b 42 n n 1 2 ，可得 an 2 1
因为 a 2b，所以 a c，VABC 为等腰三角形，等腰三角形三线合一，所以BD AC .
当 n 1时， a1 3符合上式，
a 2n 1 在Rt△BCD
15 BD 2 15 2 4 15
中， sinC ，即 ，解得 .
可得数列 n 的通项公式为 an 2 1
b
； 4 BC 2b 4 2b 15
a a 1 2 4 2
2024 4 22024
所以 1 2 a2025 2 1 2 1 2 1 2 1 15 2 1 2 1 ； 1 1
根据三角形面积公式 S△ABC ac sin B，因为a 2b， c 2b，所以 S ABC 2b bsinC，2 2
n 1 n 1
易知当 n 3 *时， 22 都能被 16 整除，即可表示为 22 16kn， kn N ；
4 15 15 1 4 15 4 15 15 4 15
24 2024记 1 22 1 16k3 1 16k 1 16k 1 k N*, i 将 ， 代入可得：4 2025 ， i 3,4, , 2025 b sinC S 2 ； 15 4 ABC 2 15 15 4 15
*
结合二项式定理可得 16k3 1 16k4 1 16k2025 1 16K 1,K N ； 16. 答案：（1） an n
a a a * 2n所以 1 2 2025 15 16K 1 15 16K 15,K N ， （2）Tn n 1
因此 a a La （3）21 2 2025除以 16 的余数为 15.
解析：
故答案为：15
（1）设数列 an 的公差为 d ，
所以 S3 a1 a2 a3 3a2 3 a1 d 6 a1 d 2，又 a1 1，所以 d 1， 所以当 a 0时，函数 f (x) 在 (0, )上单调递增；
所以 an a1 n 1 d 1 n 1 1 n， 当 a 0时，函数 f (x)在 (0,a)上单调递减， (a, )上单调递增.
即 an n； （3）由（2）知，若 f (x)有极小值，则 a 0，极小值 g(a) f (a) 1 ln a，
n n 1 1 1 2 1 1 2 令函数 h(a) e
a 1 ln a 1 a 1，求导得 h (a) e ，函数 h (a)在 (0, )上单调递增，且h (1) 0，
（2）由（1）有 Sn ，所以2 Sn n n 1 n n 1
，
a
则当 0 a 1时， h (a) 0，当 a 1时， h (a) 0，
T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n所以 n 2

1

2

1 ，S1 S2 Sn 2 2 3 n n 1 n 1 n 1 函数 h(a)在(0,1)上单调递减， (1, )上单调递增，则h(a) h(1) 0，即 ea 1 ln a 1 0，
所以T 2n ； 所以 g(a) ea 1n .n 1
a k
k n 1=n 3 k 6n 2n
2
t n 1 n t 1 15（3）由（1）（2）有 n ，令 ， 18. 答案：（1）分布列见解析，期望为 ；Tn 2n n 1 8
6n 2n2 6 t 1 2 t 1 2 2 n 2 2n 1k 2t 10t 8 10 2t 8 所以 ， （2）P(B | Ak ) 0,P(B | A
4
n 1) ,P(B | An )
8
,P(B |
9 9 Ak ) 1；n 1 t t t k 0 k n 1
8 8 8 （3）证明见解析；
由 2t 2 2t 8，当且仅当 2t ，即 t 2时等号成立，
t t t 解析：
所以 k 10 8 2， （1） X 的可能取值为 1，3，5，
所以实数 k的最小值为 2. P(X 1) C2 (1)2 (1)3 2 5 P(X 3) C1 1 (1)4 2 5 1 1 5 ； 5 ； P(X 5) ( )
5 2
2 2 8 2 2 16 2 16
17. 答案：（1） y 1； X的分布列为
（2）答案见解析； （3）证明见解析. X 1 3 5
解析：
5 5 1
1 1 1 P
（1）当 a 1时， f (x) ln x，求导得 f (x) ，则 f (1) 0，而 f (1) 1， 8 16 16
x x2 x
5 5 1 15
所以曲线 y f (x)在点 (1, f (1)) y 1. 数学期望 E(X ) 1 3 5 .处的切线方程的为 8 16 16 8
f (x) a（2）函数 ln x 的定义域为 (0, )，求导得 f (x) a 1 x a 2，
x x2 x x2 （2）当 p 时共进行 2n +1（ n N
*且 n 2）局比赛，
3
当 a 0时， f (x) 0，函数 f (x)在 (0, )上单调递增； n 2
前 2n +1局，甲赢的局数不足n 1局，再赢 2 局，甲不能获胜，因此 P(B | Ak ) 0；
当 a 0时，由 f (x) 0，得0 x a；由 f (x) 0，得 x a， k 0
2 2 4
函数 f (x)在 (0,a)上单调递减， (a, ) 前 2n +1局，甲已赢n 1局，最后 2 局全赢，甲能获胜，因此 P(B | An 1) ( ) ；上单调递增， 3 9
1 2 8
最后 2 局甲至少赢 1 局，甲能获胜，因此 P(B | An ) 1 ( ) ； a0b ab0 a3 9 所以 ， 为非零常数.
b0b a0a b
2n 1
前 2n +1局，甲已赢 n 1局，甲必胜，因此 P(B | Ak ) 1 .
k n 1 化简得： b0
2 a20 ，要使得该式有解，只能两边为 0，所以 a0 0,b0 .
（3）由全概率公式得， 所以 l0 : y 0 .
P n 1 n 1n 1 C2n 1p (1 p)
n p2 Cn n2n 1p (1 p)
n 1 [1 (1 p)2 ] [Pn C
n n
2n 1p (1 p)
n 1]
（2）① 因为 l1 l0 , l2 l0 ，所以 a1 0,a2 0 .
P Cn 1 pn 1(1 p)n p2 Cn pn (1 p)n 1n 2n 1 2n 1 (1 p)
2
b 0,b 0 1当 1 2 时，弦长为 4，此时 l1 l2 .4
P Cn pn 1(1 p)n Cn n n 1n 2n 1 2n 1p (1 p) 当b1 0,b2 0时，先求 l1 , l2 .
P Cn pnn 2n 1 (1 p)
n (2p 1) a1 x 1 b1y 0 a2 x 1 b2 y 0
1 联立方程组 2 ， 2P P Cn pn (1 p)n则 n 1 n 2n 1 (2p 1)，当 p 1
y 4x y 4x
时， Pn 1 Pn 0， 2 a 2 a 2
(2n 1)! 化简得：
1 y b1y a 0， 21 y b4 4 2
y a2 0
n 1 n 1 n 1 n 1 p(1 p)Pn 2 Pn 1 C2n 1p (1 p) (2p 1) C 2n 1p(1 p) (n 1)!n! 根据韦达定理可得：
P P Cn p n (1 p)n (2p 1) Cn (2n 1)!n 1 n 2n 1 2n 1
n!(n 1)! y 4b 4b 1 y2 1

y1 y2 2
a1 ， a2 .
(2n 1)2n p(1 p) 4n 2 p(1 p) 4p(1 p) 4[ p (1 p)

] 2 1 y y 4 y y 4， 1 2 1 2
(n 1)n n 1 2
直线 l1被抛物线C 所截的弦长为：
因此 Pn 2 Pn 1 Pn 1 Pn，所以 Pn Pn 2 2Pn 1
d x x 2 y y 2 1 2 2 2y y y y 2 1 y y 2 y y 2 4y y y y 2 4y y 16b
2 b2 b2
1 1 2 1 2 1 2 1
1 1 1
16 2

16 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 16 1 4 1 a
2 a2 1 1 a
2
1
19. 答案：（1） l1 l2 : x 1； l0 : y 0
同理，直线 l2被抛物线C1 所截的弦长为：
（2）（i） ；（ii）证明见解析
4 16b22 b
2
2 b
2
解析： d2 2 16a 2
1 4a
2
2 1 .
2 2 a2
（1）根据已知条件，因为 l1 : x 1 3y 0, l2 : 3 x 1 y 0 直线 l3被抛物线C 所截的弦长为：
所以 l1 l2 : 1 1 3 3 x 1 3 1 1 3 y 0 2 2 2 16b3 b3 b23 b1b2 a1a d 13 16a2 2 1 4 2 1 4 2 1
化简得： 4 x 1 0 a a，即 x 1 . 3 3 3 a1b2 a2b1
设 l0 : a0 x 1
l
b0 y 0
因为 表示直线 l被C 所截的弦长的倒数，
.
1 a2 1 a2
因为对于任意的 l : a x 1 by 0，有 l l 1 20 l . 所以 l1 , l d1 4 a2 b2 21 1 d2 4 a2 b2 .2 2
所以 a0b ab0 x 1 b0b a0a y a x 1 by 0 .
2
1 a1b2 a2bl 1 l2 1 .d3 4 a1b2 a2b1
2
4 b1b
2
2 a1a2
因为 l1 l2 l1 l2 ，
l l a1b2 a
2
2b1 a21 a22
所以 1 2 .
4 a1b2 a b
2
2 1 4 b1b2 a1a
2 4 a2 b2 4 a2 b22 1 1 2 2
2a2a2 a2b2 a2b2 a2 2 2 21 2 1 2 2 1 1b2 a2b1 2a1a2b1b2化简得： a2 b2 a2 b21 1 2 2 .a 21b2 a2b1 b1b2 a1a2 2
进一步化简可知，分母相同，要使得等式成立，则分子相等.
a2 21 a2 a1a2b1b2，因为 a1 0,a2 0，所以 a1a2 b1b2
a b a b 2 l a b
2
l 1 2 2 1 1 2
a2b1 1
所以 1 2
4 a b a b 2 2
2 .4
1 2 2 1 4 b1b2 a1a2 4 a1b2 a2b1
② 因为 l1 l2 : a1b2 a2b1 x 1 b1b2 a1a2 y 0， l3 : a1b2 a2b1 x 1 b1b2 a1a2 y 0 .
所以 l1 l2 l3 : 2 a1b2 a2b1 b1b2 a
2 2
1a2 x 1 b1b2 a1a2 a1b2 a2b1 y 0 .
4 a b 21 2 a2b1 b1b2 a a
2
l l l 1 2
所以 1 2 3
4 b b a a 2 a 2
2
.
1 2 1 2 1b2 a2b1 4 a1b2 a2b1
2 b b a a 2
1 2 1 2
4 a 2 21b2 a2b1 b1b2 a1a2
因为 l1 l2 l 0 03 ，所以 24 b1b2 a1a2
2
a1b2 a b
2
2 1 4 a b
2
1 2 a2b1 bb
2
1 2 a

1
a2
所以 a1b2 a2b
2
1 b1b2 a1a2
2 0，所以b1b2 a1a2 0或者 a1b2 a2b1 0 .
a b a b 2
当 a1b2 a
1 2 2 1
2b1 0时， l3 l1 l2
4 a b a b 2
0 .
1 2 2 1 4 b1b2 a1a
2
2
3
所以至少存在一个 i 1,2,3 ，使得 li .16