资源简介

成都市 2022级高中毕业班第三次诊断性检测 x2 y2 1 x
2 2 2 2
A. B. y2 1 C.
x y 1 D. x y2 1
9 8 9 25 24 25
数学试卷
6. 已知正四棱台的上底面边长为 4，下底面边长为 8，侧棱长为 17 ，则其体积为（ ）
本试卷满分 150分，考试时间 120分钟.
A. 108 B. 112 C. 120 D. 124
注意事项：
1. x答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 7. 已知实数 ， y满足 2
x 3y ，则下列不等式一定成立的是（ ）
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后， A. x y 2 xy B. (x y)(x y) 0
再选涂其它答案标号.
C. 0 xy 1 D. xy x y
3.答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
2π
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 8. 在VABC 中， BAC ， BAC的角平分线 AD交 BC于点 D，若3 CD 6AB
，则 tan ABC （ ）
5.考试结束后，只将答题卡交回. 2A. 12 B. C. 1 D.3 2
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
要求的.
全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
A {x 1 x 3} B {x x m}
1. 已知集合 ， ，若 A B，则实数m的取值范围是（ ） 9. 已知某地社交媒体用户的日活跃时长 X （单位：小时）服从正态分布 N (2.4,0.72)，则（ ）
A. m m 1 B. m m 1 C. m m 3 D. m m 3
A. E(X ) 2.4，D(X ) 0.72
2. 在复平面内，复数 z对应的点的坐标是 ( 2,1)，则 z的共轭复数对应的点位于（ ）.
B. 若 P(X 1) P(X b)，则b 3
A. 第一象限. B. 第二象限. C. 第三象限. D. 第四象限.
3. 设 x R ,则“ cosx 1”是“ sinx 0 ”的（ ） C. P(X 0.3) P(X 4.5) P(0.3 X 4.5)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 D. P( X 2 0.7) P( X 3 0.7)
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 对于空间中一组向量 ai (i 1,2,3)，若存在不全为零的实数 ki (i 1,2,3)

sin πx 使得 k1a1 k2a2 k3a3 0，则称这
4. 函数 f (x) x x 的部分图象大致为（ ）e e 组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（ ）

A. 若 a ( 1,1,1)

，b ( 2,2, 2)， c (3,1, 4) ，则 a ，b， c线性相关A. B.

B. 若 a ( 1,1,1)，b (1, 2,3)， c (2,3, 4) a ，则 ，b， c

线性无关
a a a a 2a 3a a a C. 若 1， 2， a3 线性无关，则 1 2， 1 2 ， 3 1线性相关C. D.
a D. a a x y a 2

对于非零向量 1， 2， 3，若存在实数 ， 使得 1 xa1 a2 ya

a 1 3，则 a1，a2， a3线性相关
5. 已知动圆C与圆 (x 1)2 y2 1外切，同时与圆 (x 1)2 y2 25内切，则动圆C 的圆心轨迹方程为（ ） 11. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音一般都是纯音合成的复合音.已知纯音的数学
模型是函数 y Asin x .复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为 f 的基音的同时，其各部分，如二分
之一，三分之一，四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如 2f，3f，4f等.即我们听到的声音 n
xi x yi y
的函数是 fn (x) sin x
1
sin 2x 1 sin 3x 1 sin nx . y b x a i 1则（ ） 附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘法公式分别为：b n ， a y b x .2 3 n x x 2i
A. fn (x)的图象关于 (kπ,0)(k Z)对称 B. f3 (x)在 (0,π)上有 2个极大值点，1个极小值点 i 1
C. y y f3(x) y y f2 (x) D. fn (x) 0在 (2kπ, π 2kπ)(k Z)上恒成立
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
16. 已知正项数列 an 的前 n项的和为 Sn，且 an (2Sn an ) 1 .
y212. 双曲线 x2 1的离心率为_________．
3 （1）求 S1， S2；
2
13. 若函数 f x x 2x, x 0 的值域为 1, ，则实数 a3 的取值范围是__________.
x 3x a, x 0 2 S 2（ ）证明： n 是等差数列；
14. 如图，一电路中，Si (i 1,2,3,4,5,6,7)为未闭合的开关，L j ( j 1,2,3)为能正常工作的灯泡，现每次等可能地闭
合一个未闭合的开关，直到 7个开关全部闭合，则L1最先亮起的概率为__________. 1
（3）求数列 的前 n项的和Tn .
Sn Sn 1
17. 如图，在矩形 ABCE中，AB 2，BC 1，D 为EC中点，将 EAD沿 AD翻折至△PAD，使得 PB PC .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 随着粤港澳大湾区建设、黄河流域生态保护和高质量发展等区域重大战略实施取得新成效，城乡融合和区域协调发
展继续推进，2024年末全国常住人口城镇化率增长至 67.00% .下图为2020 2024年年末常住人口城镇化率的折线图.
（1）证明：平面 PAD 平面 ABCD；
PT
（2）线段 PB上是否存在一点T ，使得 AT 6与平面 PAD所成角的正弦值为 ，若存在，求出 的值；若不存
6 TB
在，请说明理由.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合常住人口城镇化率 y与年份代码 x的关系.请建立 y关于 x的回归方程； 18. 已知函数 f (x) ax2 (a 2)x ln x .
（1）讨论 f (x)的单调性；
（2）从这5年中任取 2年，记常住人口城镇化率超过 65.00%的年数为 X ，求 X 的分布列与数学期望.
（2）若 f (x)有两个零点， f (x)为 f (x)的导函数.
① 求实数 a的取值范围；
② 记 f (x)较小的一个零点为 x0，证明： x0 f (x0 ) 2 .
19. 如图，在直角坐标系 xOy中，已知 F 是拋物线 : x2 2py( p 0)的焦点，过点 F 的直线交抛物线 于A， B两

点，且满足OA OB 3 .
（1）求 p的值；
（2）已知点T (0,3)，直线 AT ，BT 与拋物线 的另一个交点分别为C，D，直线CD交 y轴于点 P，交直线 AB于
点 N .抛物线 在C，D处的切线交于点K，过点 P作平行于 x轴的直线，分别交直线 KD，KC于点 E，G .
① 求证：点 P为定点；
② 记△ENK ， GNK 的面积分别为 S1， S2，求S1 S2的最小值.
参考答案及解析 2 2
故动圆圆心 C x y的轨迹方程为 1.
9 8
1. 答案：D
6. 答案：B
解析：由于 A B，所以m 3，
解析：取正四棱台过侧棱的轴截面 ABCD，上、下底面中心分别为O,O1，如下图所示：
2. 答案：C
解析：复数 z对应的点坐标为 2,1 ，因此 z可表示为： z 2 i
所以 z 2 i，对应的点坐标为 2, 1 ，位于第三象限.
3. 答案：A
解析：当 cosx 1时, x 2kπ k Z ,此时 sinx 0 ;
当 sinx 0时, x kπ k Z ,此时 cosx 1或 cosx 1；
所以“ cosx 1”是“ sinx 0 ”的充分不必要条件.
4. 答案：D 依题意可得 AD 4 2,BC 8 2, AB CD 17，
2
解析：根据题意，函数 f x 定义域为R，
OO 17 8 2 4 2

因此可得 1 3，

2
sin πx
f ( x) sin πx且 ，
e x x
x x f x e e e 1 42 82 42 2所以其体积为 8 3 112 .3
所以函数 f x 为奇函数，图象关于原点对称，
7. 答案：B
又 x 0,1 时， πx 0, π ，所以 sin πx 0，且 ex e x 0恒成立，
x ln 2 y ln3 y ln 2 x ln 2解析：两边取对得 ，则 且0 1，即 x, y同号或 x y 0，
则 f x 0 D . ln3 ln 3，所以只有 满足
5. 答案：A 所以，当 x, y 0时， x y 2 xy不成立，A错；
解析：设圆 (x 1)2 y2 1圆心C2 且与圆C切于点 P，圆 (x 1)2 y2 25圆心C1与圆C切于点 Q， (x y)(x y) x2 y2 x2[1 (ln 2由 )2 ] 0，B对；
ln3
由题意得： C1C 5 CQ ， C2C 1 CP ，其中 CQ CP ，
ln 2 2 2 ln3
CC C C 5 CQ xy 1所以 1 2 1 CP 6 2 CC
由 xy x ，若 x 时， ，C错；
1 2 ， ln3 ln 2
x2 y2 ln 2 ln 2 2 ln 2
由椭圆定义可知：动圆圆心 C的轨迹为以C1,C2 为焦点的椭圆，设 1， 由 x y 1 x ，且 xy x | x | | x |，a2 b2 ln 3 ln3 ln3
则 2a 6,c 1，解得： a 3,b2 a2 c2 9 1 8， ln 2 ln 2
当 | x | 时， |1 | | x |，此时 xy x y ，D错.
ln3 ln3
8. 答案：C 由对称性可知 P 1.3 X 2.3 P 2.7 X 3.7 ，
π π
解析： AB c，则CD 6c，设 ABC , 0, ，则 ACB ， 所以 P( X 2 0.7) P( X 3 0.7)，D正确.
3 3
AB BD 10. 答案：AB

在△ABD中，由正弦定理， sin ADB sin π ， 解析：若 a ( 1,1,1)，
3 b ( 2,2, 2)
， c (3,1, 4)，
AC DC
根据题意，设 k
在△ADC中，由正弦定理， sin ADC π ， 1
a1 k2a2 k3a3 0，
sin
3
即 k1 2k2 3k3 ,k1 2k2 k3 ,k1 2k2 4k3 0 ，
因 sin ADC sin ADB AB BD，两式相比，可得 ，
AC DC k1 2k2 3k3 0
k1 2
BD AB DC 6c
2 6c2 k1 2k2 k3 0 k1 2k2 0
所以 ，所以BC a 6c ， 所以 ，解得 ，取 k 1，AC b b k1 2k2 4k3 0
k 0 2 3
k3 0
c b a sin π
3 所以 ，A正确；
由正弦定理得 sin π sin
2π 3 2a a，所以 6 1 ， 1 2 0 a3 0
sin π
3 3
sin


2sin

3 若 a ( 1,1,1)

，b (1, 2,3)， c (2,3, 4)，
π

2 2 sin sin 2 2 sin2 π所以
根据题意，设 k a k a k a 0，
3 3
sin ，化简得 4sin2 2 sin 3 0， 1 1 2 2 3 3

即 k1 k2 2k3 ,k1 2k2 3k3 ,k1 3k2 4k3 0，
2 3 2 π π
所以 sin 或 sin （舍去），又 0, 3
，所以 ，
2 4 4 k1 k2 2k3 0 k 0
k1 2k2 3k3 0
1

所以 tan ABC tan 1. 所以 ，解得 k2 0， k1 3k2 4k3 0 k3 0
9. 答案：ACD

解析：因为 X （单位：小时）服从正态分布N (2.4,0.72) ， 2.4, 0.7 a ， 所以 ，b， c线性无关，B正确；
E(X ) 2.4 根据正态分布知识， ，D(X ) 0.72 ，A正确； 假设 a1 a2， 2a1 3a2 ， a3 a1线性相关，
P(X 1) P(X b) 1 b

若 ，则 2.4，得b 3.8，B错误； 则存在不全为零的实数 ki (i 1,2,3)使得 k1 a1 a2 k2 2a1 3a2 k3 a3 a1 0，2

P(X 0.3) P(X 4.5) P(X 2.4 3 0.7) P(X 2.4 3 0.7)， 则 k1 2k2 k3 a

1 k1 3k2 a2 k3a3 0，
根据3 原则，可得P(X 0.3) P(X 4.5) P(0.3 X 4.5)，C正确； k 2k k 1 2 3
0 k1 0
因为 a1，a

2， a3 线性无关，则 k1 3k2 0 ，得 k2 0，
P X 2 0.7 P 1.3 X 2.7 P 1.3 X 2.3 P 2.3 X 2.7 ， k3 0 k3 0
P X 3 0.7 P 2.3 X 3.7 P 2.3 X 2.7 P 2.7 X 3.7 ， 与假设矛盾，C错误；

对于非零向量 a1，a

a 2 2， 3 ，若存在实数 x， y使得 a1 xa1 a2 ya1 a3，
a 2 x a a cos a ,a y a a 即 1 1 2 1 2 1 3 cos a1 a3 ， 当 x 0时， f x x3 3x a 2，则 f (x) = 3x - 3，
a x a 所以 1 2 cos a1,a2 y a3 cos a1 a3 ， 由 f x 0可得0 x 1，由 f x 0可得 x 1，

但不能确定 a1， a2， a3是否线性相关，D错误. 所以函数 f x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，
11. 答案：ABD 故当 x 0时， f x f 1 a 2，即函数 f x 在 0, 上的值域为 a 2, ，
n
解析： fn (x) sin x
1 1
sin 2x sin 3x 1 sin nx 1 sin mx ， 由题意可得 a 2, 1, ，即 a 2 1，解得 a 1 .2 3 n m 1m
n n 因此，实数a的取值范围是 1, .
所以对任意 k Z有 fn (kπ
1 1
x) fn (kπ x) sin m kπ x m sin m kπ x m 1 m 1m 故答案为： 1, .
n 1 n
sin mkπ mx sin mkπ mx
1
2sin mkπ cos mx 0，所以 fn (x)
27
的图象关于 (kπ,0)(k Z)对 14. 答案：
m 1m m 1m 70
称，所以 A正确； 解析：先考虑L2最先亮起的概率，则Si (i 1,2)中至少有一个开关闭合在L2亮起之后，
f (x) cos x cos2x cos3x，令 f
π 3π 2π Si (i 6,7)x , , 中也至少有一个开口闭合
L2亮起之后，
3 3 (x) 0，则 ，4 4 3
下面分三种情况讨论，
f (x) 0, π π 3π 3π 2π 2π 3 在 上单调递增，在 , 上单调递减，在 , 上单调递增，在 , π 上单调递减， 情况 1：Si (i 1,2,6,7)都闭合在L 亮起之后，这种情况相当于S ,S ,S 全排列，依次闭合，
4 4 4 4 3 3 2 3 4 5
f (x) x π 2π x 2π
3 4
再将剩余的四个开关全排列之后依次闭合，可能的情况有A A 144种；
所以 3 在 和 处有极大值，在 出有极小值，所以 B在正确；
3 4
4 3 3
情况 2：S1,S2和S6 ,S7 中都恰好有 1个开关闭合在L2亮起之后，
f3(x) f2 (x)
1
sin3x 1，叠加项 sin3x可正可负，故 f (x)的范围比 f (x)范围大，所以 C错误；
3 3 3 2
这种情况要求S3 ,S4 ,S5中有一个开关闭合顺序排在第 5位，其余两个排在前四位，
当 k为奇数时， sin kx 0， 当 k为偶数时， sin kx在 (0, π)先正后负，但振幅逐渐减小，所有项叠加后，正项占主导
前四位剩下的两个空位分别在S1,S2和S6 ,S7 中各选一个进行排列，剩下的两个排在末两位，
地位，
可能的情况有C1A2 1 1 2 23 4C2C2A2A2 576种，
所以函数值始终为正，由周期性，结论推广到 (2kπ, π 2kπ)(k Z)，所以 D正确.
情况 3：S1,S2 ,S6 ,S7 中恰好有三个开关闭合在L2亮起之后，
12. 答案：2
a 1,b 3 c a2 b2 2,e c 2 这种情况要求
S3 ,S4 ,S5中有一个开关闭合顺序排在第四位，其余两个排在前三位，
解析：
a
剩下四个开关全排列，可能的情况有C1A2A4 432种，
13. 答案： 1, 3 3 4
x 0 2 7
7
个开关依次全部闭合共有A 5040种情况，
解析：当 时， f x x 2x x 1 2 1 1，当且仅当 x 1时，等号成立， 7
L 144 576 432 8
所以，函数 f x 在 0, 上的值域为 1, 故 2最先亮起的概率为 ，的子集， 5040 35
而L1和L3的情况是一样的，故两者最先亮起的概率相等， （1）由 an 2Sn an 1，
L 1 8 27 令n 1 a
2
，有 1 1，因为 an 0，所以a1 1 .所以 1最先亮起的概率为 2
1 .
35 70
令 n 2，有 a2 a2 2a1 1 227 ，即 a2 2a2 1，由 a2 0，解得 a2 2 1 .
故答案为：
70
所以 S1 1， S2 2 .
15. 答案及解析：
1 2 3 4 5 （2）当 n 2时，由 an Sx 3 n
Sn 1，代入an 2Sn an 1，（1）设年份代码的平均数为 x，则 .5
63.9 64.7 65.2 66.2 67.0 化简得 Sn Sn 1 S S 2 2n n 1 1，即 Sn Sn 1 1 n 2
设常住人口城镇化率的平均数为 y，则 y
，
65.4 .
5
n 所以 S 2n 是首项为 1，公差为 1的等差数列.
因为 2xi x 2 2 1 2 02 12 22 10，
i 1 2（3）由（2）可知 Sn n .因为 an 是正项数列，所以 Sn 0，从而 Sn n .
n
xi x yi y 2 1.5 1 0.7 0 0.2 1 0.8 2 1.6 7.7， 1 1
i 1 由 n 1 n Sn S
，
n 1 n n 1
n
xi x yi y 7.7 所以Tn 2 1 3 2 n 1 n n 1 1 .i 1
所以b n 0.77 .
2 x x 10i 1
i 1 所以数列 的前 n项的和TS S n
n 1 1 .
n n 1
所以 a y b x 65.4 0.77 3 65.4 2.31 63.09 . 17. 答案及解析：
所以 y关于 x的回归方程为 y 0.77x 63.09 . （1）如图，设线段 AD的中点为M ，线段 BC的中点为 N ，连接 PM ，MN， PN ，
（2）由图可知，第3、 4、5年常住人口城镇化率超过 65.00%，
由题意可知， X 的取值可能为0、1、 2，
0 2 1
P X 0 C3C2 1 P X 1 C3C
1 3 2 0
因为 ； 2 ； P X 2 C C 3 3 2 . 依题意， PD PA 1，则 PM AD，由 PB PC，得 PN BC，
C25 10 C
2
5 5 C
2
5 10
而CD //AB ， AB BC，MN是梯形 ABCD的中位线，于是MN //AB，MN BC，
所以 X 的分布列为：
而MN ,PN 平面 PMN，MN PN N，则 BC 平面 PMN，
X 0 1 2
而PM 平面 PMN，于是BC PM ，又 AD,BC 平面 ABCD，且 AD和 BC一定相交，
1 3 3
P 因此 PM 平面 ABCD，而PM 平面 PAD，所以平面 PAD 平面 ABCD .
10 5 10
（2）依题意， AD BD 2 ，则 AD2 BD2 4 AB2，即 AD BD，
E X 1 3 3 6所以 X 的数学期望为 0 1 2 .
10 5 10 5 由（1）知 PM 平面 ABCD， BD 平面 ABCD，则 PM BD，
16. 答案及解析：
由 AD,PM 平面 PAD， PM AD M ，得 BD 平面 PAD，过D作Dz 平面 ABCD，
以D为原点，直线DA,DB,Dz分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系D xyz，如图： 1 1
当a 0时，函数 f x 在 0, 上单调递减，在 , 单调递增.
a a
（2）① 若a 0，由（1）知， f x 至多有一个零点；
1 1 1
若a 0，由（1）知，当 x 时， f x 取得最小值，最小值为 f 1 lna .a a a

则 A( 2,0,0),B(0, 2,0),P( 2 ,0, 2) PB ( 2 , 2, 2 ), AP ( 2， ,0, 2 )，
2 2 2 2 2 2 1 1
因为当 x , 时， f x 1 lna, a a ；

令 PT PB ( 2 , 2 , 2 ),0 1，
2 2 x 0, 1 f x 1 1 当 时， lna, ，
a a

AT AP PT ( 2 2则 ( 1), 2 , ( 1))，
2 2
所以函数 f x 1 有两个零点当且仅当 f 0 .
n
a
由 BD 平面 PAD，得平面 PAD的法向量 0,1,0 ，
设 g a lna 1 1，函数 g a 在 0, 单调递增.
设直线 AT 与平面 PAD所成角为 ， a
因为 g 1 0， g a 0的解集为 a 0,1 .
sin | cos n , AT | | n A T | 2 6 1
则 | n || AT | 1 ( 1)2 2 2 1
6 ，解得 ，
( 1)2 3 综上所述，a的取值范围是 0,1 .
2 2
② 因为 f x x2 x a 2x lnx，由 f 1 2a 2 0，结合（i）知0 x 1PT 1 ，
AT PAD 6
0
所以当 时，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
TB 2 6 要证 x0 f x0 2，即证 2x0 1 ax0 1 2，即 ax0 2x0 1 2x0 1，
18. 答案及解析： 1
当0 x0 时，因为 ax0 2x0 1 0，2x0 1 0，不等式恒成立；
1 f x 0, ax 1f x 2ax a 2 1 2x 1
2
（ ）函数 的定义域为 ， ，
x x 1
当 x0 1时，由 f x0 0得 ax0 x0 1 lnx0 2x2 0 .
①当 a 0时， f x 0，函数 f x 在 0, 单调递减；
即证 2x0 1 lnx0 2x0 2x0 1 x0 1 .
②当 a 0时，令 f x 0 1，解得 x ，
a 2x0 1 x0 1lnx 2x
2
0 x0 1 1
即证 0 2x0 x .2x0 1 2x
0
0 1 2x0 1
x 1 当 0, 时， f x 0，函数 f x 单调递减；
a
即证 lnx0 x
1
0 02x .0 1
x 1当 ,

时， f x 0，函数 f x 单调递增.
a p x 1 2 1 2 1 1 0
设 p x 1 1 lnx x 2 2， x ,1 ，由 x 2x 1 x 2 1 1 ，
综上所述，当 a 0 2x 1 2 时，函数 f x 在 0, 单调递减； 2
1 1 y y x x所以 p x 在 ,1 单调递增.所以 p x p ln2 1 0 3 4，故原不等式成立. ② 由 kCD 3 4 ，且 x x 2 2 x x 4 1 3 x2x4 12， x1x2 4， 3 4
所以 x0 f x0 2 . k x3 x4 1 12 12 3得 CD x1 x2 3k .4 4 x1 x2 4
19. 答案及解析：
（1）由题意，直线 AB斜率必存在， 所以直线CD的方程为 y 3kx 9 .由直线CD与直线 AB相交，可得 k 0 .
设 AB : y kx p ， A x1, y1 ， B x2 , y2 ， y 3kx 9 4 2 联立 解得 N , 3 .
y kx 1 k

y kx
p

联立 2 得 x2 2pkx p2 0，Δ 4p2 k 2 1 0 . x 2 x
2 x 2py
因为抛物线方程为y ，所以 y .
4 2
所以 x1 x
2 x x 1 2
2 2pk， x1x2 p . 抛物线在点C处切线方程为 y 3 x x3 y 33 x x .2 2 4 3
1 22 2 2 p 18 x3 E ,9 G 18 x

由OA OB x1x2 y1y2 x1x2 2 x1 x2 p 3 . 所以 .同理
4 ,9 .
4p 4 x3 2

x4 2
解得 p 2或 p 2（舍）.所以 p 2 . 18 x3 x4 18 18 x3 x4 x x
又 3 4 0，所以 EG的中点为 P .
x3 2 2 x4 x3x4 2
（2）① 直线 AC斜率必存在，设 AC : y k1x 3，C x3, y3 ，D x4 , y4 ，
y x 3 1 2 x2 4y x x
x2 4k x 12 0 x x 12 . 2 4
3 x3 x4 x x
联立 3 4得 1 ，所以 1 3 联立 得K ,y k x 3
，
1 y x 4 x 1 x 2 2 4
2 4 4
同理 x2x4 12 .又因为 x1x2 4，所以 x3x4 36 .
由 x3 x4 3 x1 x2 及 x3x4 36，所以K 6k, 9 .
直线CD斜率必存在，设CD : y k2x m，
过N 作平行于 x轴的直线交PK 于点H ，则H 4k, 3 .
x2 4y 2
联立 得 x 4k2x 4m 0，所以 x x 4m 36 .
y k x m
3 4
所以 S1 S2 2S PNK HN yP yK x2 N xH yP yK
解得m 9，所以直线CD过定点 0,9 .即 P的坐标为 0,9 . 18 4k 4 72 k 1 1 144 k 144 .k k k
当且仅当 k 1时，即直线 AB方程为 y x 1或 y x 1时等号成立.

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