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π
长沙市长郡中学 2025 届高三下学期保温卷（二） D．若 P为圆O上的点，当m 9时，过点 P作圆C的两条切线，切点分别为 A,B，则 APB可能为 2
数学试卷 6．设平面上，动点 P到点 F1 1, 0 , F2 1, 0 的距离的倒数之和等于 1，那么（ ）
注意事项:
A. 2 PE1 2 2 B． | PO |的最小值为 2
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形
x2 y2
码粘贴在答题卡上的指定位置. C．当点 P不在坐标轴上时，点 P在椭圆 1的外部4 3
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草
D．记点 P的横坐标为 x0，则 | PF1 | | PF2 |随着 | x0 |的增大而增大
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. : . 三、填空题填空题和解答题的作答 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 写在试卷、 草稿纸和
π
答题卡上的非答题区域均无效. 7、记VABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，若C ,2bcosA a c，则 A ．
3
4. 考试结束后， 请将本试卷和答题卡一并上交. 1
8．已知甲同学定点投篮，每一次投中的概率均为 ，记甲同学投篮的总次数为 X．规定投中 3次就“通过”并停止
一、单选题 2
z 投篮，则 X = 值为多少时，“通过”的可能性最大，此时“通过”的概率为
1．已知 2 i，则 z z （ ）
1 i
5 四、解答题
A．10 B． 10 C．5 D．
2
9、如图，在三棱锥 P ABC中， PA 平面 ABC， BAC为锐角，动点 D在VABC 的边 AC上， PA 1， AB 3，
2．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 S6 S3 2a1,a8 a7 22，则 an 的公差等于（ ）
A 2 B 1 C D AC 3 3
，三棱锥 P ABC的体积为 2 .
． ． ． 1 ． 2
3．设m,n表示两条不重合的直线， , 表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） (1)证明：平面PBC 平面 PAB.
A．若m∥ ,m n，则 n B．若m ,n ,m∥ ,n∥ ，则 ∥
C．若m n,m ，则 n D．存在一对异面直线m,n,m ,n ,m∥ ,n∥ ，则 ∥ (2)当点 P到直线 BD的距离为 3时，求 PD与平面 ABC所成的角.
4．已知 f (x) x3 2x 2sin x， g (x) f (| x |)．若 a b 0，则（ ）
A． f (a) f ( b) g (b) g ( a) B． f (a) f ( b) g (b) g ( a)
10．为考察某种药物预防和治疗流感的效果，某药物研究所用 100只小白鼠进行了分组试验，该分组试验分两个阶段：
C． f (b) f ( a) g (a) g ( b) D． f (b) f ( a) g (a) g ( b)
第一阶段为 5天的观察预防期，第二阶段为 10天的观察治疗期.第一阶段结束时，统计数据如下：患病小白鼠的比例
二、多选题 9 2为 ，未服药小白鼠的比例为 ，未服药且未患病的小白鼠有 20只.
20 5
5、已知圆O : x2 y2 1 C : x 3 2 y 4 2 ，圆 m m 0 ，直线 l : y kx 2 k R ，下列结论正确的是（ ） (1)完成下面2 2列联表，并依据小概率值 0.1的独立性检验，推断该药物对预防流感是否有效.
A．若直线 l与圆O相切，则 k 3 流感
B 1
药物 合计
．若 k 15 ，则圆O上到直线 l的距离等于 2 的点恰有 3个 未患病 患病
C．若圆O与圆C恰有三条公切线，则m 4
未服用
服用
合计
(2)第一阶段结束时，若在患病的小白鼠中随机抽取 2只，用 X 表示服药的只数，求 X 的分布列和数学期望.
(3)第二阶段结束时，针对第一阶段结束时的服药且患病的小白鼠中有 16%被治愈，未服药患病的小白鼠中有 5%自愈，
服药未患病的小白鼠中有 20%患病，未服药未患病的小白鼠中有 15%患病.用频率估计概率，试验结束后，从这 100
只小白鼠中任选 1只，检测是否患病后放回，若该操作进行 5次，求选出的 5只小白鼠中至少有 2只患病的概率. 附：
2 n ad bc
2
，其中 n a b c d .
a b c d a c b d
0.1 0.05 0.01
x 2.706 3.841 6.635
11 *、设数列 rn 的前 n项和为 Sn n N ，且 r1 1,r2 q(1 q 4),Sn q 1 rn 1 1，定义：S0 0，已知在平面直角
2 2
坐标系中，记圆Cn : x 2Sn 1 r 2n y rn rn，曲线Ω: y 2x .
(1)求 rn 的通项公式；
(2) *求C1与Ω的交点个数；(3)探究当 n 3 n N 时，Cn与Ω是否有交点.
参考答案及解析 对于 B，当 k 15时，圆心O到直线 l的距离 d
1
,1 d 1 ，故圆O 1上到直线 l的距离为 2 的点恰有 3个，B正确；2 2
1．答案：A 2对于 C，圆O与圆C : x 3 y 4 2 m恰有三条公切线，
解析：解法一： z z z 2 (1 i)( 2 i) 2 10， 2 2
则两圆外切，即 3 0 4 0 1 m，解得m 16，C错误；
解法二：因为 z 2 i 1 i 1 3i 2，所以 z z z 10，故选：A. π
对于 D，如图，点 P在 P1位置时，P1C 4，此时 A1P1C ，点 P在 P2位置时P2C 6， 此时4
2．答案：D
A π π 2P2C ，所以中间必然有位置使得 APB ，故 D正确．故选：ABD
6a 6 5
4 2
1 d 3a
3 2
d 2a
解析：设等差数列 an 的公差为 d，因为 S6 S3 2a1 ,a a 22 2
1 1
8 7 ，可得 2 ，整理得
a 7d a 6d 22 6．答案：ACD1 1
1 1 PF
a1 12d 0
1
a 24,d 2 解析：对于 A选项，由题意可知
1 PF
. D. PF PF
，则 2 PF1 1 ，
，解得 故选： PF 1
2a1 13d 22
1 1 2 1
PF1
3．答案：D 因 PF2 PF1 F1F2 2，所以 2 PF 2 2 PF 2 2PF 1 1 ，解得 1 ，故 A正确；1
解析：对于 A，由m∥ ,m n，得直线 n与 可能平行、可能相交，也可能在面内，A错误；
对于 B选项，当 PF2 PF1 2时， PO 3 2，故 B错误；
对于 B，由m ,n ,m∥ ,n∥ ，得 , 可能平行，也可能相交，B错误； 1 1 2
C n 对于 C选项，
PF2 PF1 PF2 PF1
对于 ，要 垂直于 内的两条相交直线，才能推出 n ，C错误； PF PF
2 PF2 PF1 4，
1 2 PF2 PF1
对于 D，过直线m的平面 l，由m / / ，得m / /l，而m , l ，则 l / / ， 当且仅当 PF2 PF1 2时，等号成立，
由m,n是异面直线，得直线 l,n相交，又 n / / ,n, l ，因此 / / ，D正确. 故选 D，
PF PF 4 x
2 y2
所以若点 P不在坐标轴上时， 2 1 ，此时点 P在椭圆 1的外部，故 C正确；
4 B. 4 3．答案：
1 1
解析： f (x) 3x2 2 2cosx 0， f x x 3 2x 2sinx f x ， f x 是在R 上递增的奇函数，又 g(x) f (| x |) 对于 D选项，由 1，得 PF2 PF1 PF2 PFPF1 PF 1
，
2
是偶函数，且 x 0时， g(x) f (x)， x 0时， g(x) f ( x)，故 x ,0 , g x 单调递减； x 0, , g x 单调递
因 PF2 x0 1
2 y20 ， PF1 x0 1
2 2 2 y20 ，则 PF1 PF2 4x0，即 PF1 PF2 PF1 PF2 4x0，所以
增，且 f a g a , f b g b ， f a f b f 0 0, g a g b 0，
2 2PF PF PF PF 16x 2，
f b f a f b f a 1 2 1 2 0 g b g a g a g b g a g b ，
2 2 2 2 2 2
f b f a f b f a g b g a 0 g a g b g a g b 即 PF PF PF PF 4PF PF 16x ，令 PF PF PF PF t 4，则 t t 4t 16x ，令， 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 0
4 3 3 2 2C不成立，D不成立； f b f a f b f a g b g a g a g b g a g b ， y t 4t t 4 ，则 y 4t 12t 4t t 3 0，
f b f a f b f a g b g a 0 g a g b g a g b 则当 x0 增大时， t4 4t3中 t也增大，即 PF1 PF2 随着 x0 的增大而增大，故 D正确.
A不成立，B成立；故选：B． 故选：ACD.
5、答案：ABD 2 7. 答案：
9
解析：易知圆 x2 2
2
y 1的圆心O的坐标为 0,0 ，半径为 1，圆心O到直线 l的距离 d ，
1 k 2 解析：因为 2bcosA a c，由正弦定理得 2sinBcosA sinA sinC sinA sin A B ，
2
对于 A，因为直线 l与圆O相切，所以 d 12 ，解得 k 3，A正确；1 k
所以 2sinBcosA sinA sinAcosB cosAsinB ，即sin B A sinA，所以 B A A或B A A π（舍去），即 B 2A， PA 1 3
由（1）知 PD与平面 ABC所成的角为 PDA，所以 tan PDA ，
AD
π 3
3
π
又因为C ，则 A B C A 2A π A 2π，解得 2π．故答案为：
3 3 9 9
.
所以 PDA
π π
，即 PD与平面 ABC所成的角为 .
6 6
8．答案及解析：
10．答案及解析：
P(X n) C2 (1)2 (1)n 3 1 (n 1)(n 2)（1） n-1 n 1 （n 3）
9 9
2 2 2 2 （1）因为患病小白鼠的比例为 ，所以患病小白鼠有 100 45只，20 20
P(X n 1) P(X n) n(n 1) (n 1)(n 2) (n 1)(4 n)
2
- n 2
则不患病的小白鼠有100 45 55只，又未服药小白鼠的比例为 ，
2 2n 1

2n 2 5
2
令 P(X n 1) - P(X n) 0，可得3 n 4， 所以未服药小白鼠有 100 40，从而完善2 2列联表，如下表：5
可得，当 n 4时， P(X 5) P(X 4) ,
流感
当 n 3时， P(X 4) P(X 3) 0，即 P(X 4) P(X 3) , 合
药物
当 n 5时， P(X n 1) - P(X n) 0，即 P(X n 1) P(X n) , 未患 患 计
3 2 3 病 病
可得， P(X n)max P(X 4) P(X 5) 5 .2 16
未服
9、答案及解析： 20 20 40
用
（1）证明：因为 PA 平面 ABC， AB, AC,BC 平面 ABC，所以 PA AB， PA AC， PA BC，
服用 35 25 60
所以 PB PA2 AB2 2，同理得 PC PA2 AC2 2 7 .
1 1 1 合计 55 45 100
又因为VP ABC PA S ABC PA AB AC sin BAC
3
sin BAC 2 sin BAC 2 2，所以 .
3 3 2 2 3
H . 2 100(20 25 35 20)
2
1 零假设为 0：该药物对预防流感无关联 因为 0.673，显然0.673 2.706，
因为VABC 为锐角三角形，所以 cos BAC . 55 45 40 60
3
根据小概率值 0.1的独立性检验，推断H0成立，没有充分证据表明该药物对预防流感有效.
由余弦定理，可知 BC AB2 AC2 2AB AC cos BAC 2 6 ，所以 PC 2 PB2 BC 2，所以PB BC，
（2）由题意 X的所有可能取值为 0,1,2，
又因为 PA BC， PA PB P，PA， PB 平面 PAB，
C0 C2 1 1 2 0所以 BC 平面 PAB，所以平面PBC 平面 PAB. 则 P X 0 25 20 19 P X 1 C ， 25C20 50 C25C20 102 2 ， P X 2 2 ，所以 X 的分布列为：
C45 99 C45 99 C45 33
（2）如图，以 BA,BC,BB1 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
X 0 1 2
则 A( 3,0,0)，C(0, 2 6,0)， P( 3,0,1) .
19 50 10
P
设 AD AC，则 BD BA AD ((1 ) 3, 2 6 ,0) . 99 99 33
19 50 10 10
BP·BD 3 1 3 1 所以 X 的数学期望为 E X 0 1 2 .
22 3 1 99 99 33 9由 BD 2 2 27 2 6 3 ，24 3 1 （3）第二阶段结束后，服药且患病的小白鼠中有 16%被治愈，那么服药且患病后仍患病的小白鼠的数量为
1解得 或 1（负值舍去），所以 AD 3 . 25 1 16 03 0 25 0.84 21，未服药患病的小白鼠中有 5%自愈，
那么未服药患病后仍患病的小白鼠的数量为 20 1 500 20 0.95 19 q 2,4 2q 2lnq 2lnq， 当 时， 1 5, 4，易得2q 1 恒成立，即 f n f 3 0，ln2 ln2
2S
服药未患病的小白鼠中有 20%患病，那么服药未患病后患病的小白鼠的数量为35 20 00 7 ， 故2
n 1 2rn，故当 n 3时，Cn与Ω无交点.
未服药未患病的小白鼠中有 15%患病，那么未服药未患病后患病的小白鼠的数量为 20 15 00 3，
所以第二阶段结束后患病的小白鼠的总数量为 21 19 7 3 50，
50 1
所以从这 100只小白鼠中任选 1只，患病的概率为 ，
100 2
1
设Y表示选出的 5只小白鼠中患病的只数，则Y ~ B 5, ，
2
“至少有 2只患病”的对立事件为“0只患病”或“1只患病”，
0 5 1 4
所以 P Y 2 1 P Y 0 P Y 1 1 C0 1 1 1 C1 1 1 1 5 135 5 1 1 .
2 2 2 2 32 32 16
11、答案及解析：
（1）由于 Sn q 1 rn 1 1，当 n 2时， Sn 1 q 1 rn 1，作差得 q 1 rn rn 1 rn，即 rn 1 qrn，
又 r1 1, r2 qr1，故 rn q
n 1
；经检验 n 1同样满足，故 rn 的通项公式为 rn qn 1 .
（2）由题易得C1 : (x 1)
2 (y 1)2 1，画出C1与曲线Ω: y 2x的图象，
可知C1与Ω的交点个数为 2.
（3）没有交点. 2S只需证明对任意的 n 3，有2 n 1 2rn，
Ω 2S , 22S这是因为 经过点 n 1n 1 ,Cn经过点 2Sn 1 rn , 2rn ，
22S若 n 1 2rn，说明Ω在2Sn 1处的 y值大于Cn在2Sn 1 rn处的 y值，且 y 2x为增函数，则没有交点，
qn 1 1 qn 12 2 1 1 n 1 lnq f x 2 q
x 1 1 1 x 1 lnq只需证明 2 q 1 2qn 1，即 . 记函数 , x 3，q 1 ln2 q 1 ln2
2 1
2
3
则 q x 1lnq lnq 2q x 1 1 2q2
q
2

f x 2 lnq
2 ，
q 1 ln2 q 1 ln2
2 lnq lnq 0
q 1 q 1
2
故 f x 在 3, 上单调递增. 又 f 3 2 q 1 1 2lnq 2q 2lnq 1 ，
q 1 ln2 ln2
q 1,2 2lnq 2lnq当 时， 2q 1 3, 2，易得 2q 1 恒成立；
ln2 ln2

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