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河南省驻马店市正阳县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、单选题
1．要使式子有意义，字母x的取值范围必须满足（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．1 B．2 C．5 D．6
3．如图，要使成为矩形，则可添加一个条件是（　　）
A． B． C． D．
4．已知点在直线上，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
5．某校八年级名学生一周的体育锻炼时间小时为这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．8 B．8 C．8 D．9
6．下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知平行四边形ABCD中，∠B＝5∠A，则∠D的度数为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
8．如图，点在数轴上，其表示的数为，过点作，且，以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为（ ）

A． B． C． D．4
9．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数（N）与石块下降的高度之间的关系如图所示（温馨提示：当石块位于水面上方时，，当石块入水后，）．则以下说法不正确的是（ ）
A．当时，（N）与之间的函数表达式为
B．石块的高度为
C．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底
D．石块下降高度时，此时石块所受浮力是
10．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：）与无人机上升的时间（单位：）之间的关系如图所示．下列说法：①甲无人机上升的速度为；②时，两架无人机都上升了；③时，乙无人机距离地面的高度是；④时，两架无人机的高度差为．正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题
11．请写出一个图象不经过第二象限的一次函数解析式 ．
12．如图，在中，是中点，则的长是： ．
13．甲、乙两名射击运动员参加预选赛，他们每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是s2甲＝1.2，s2乙＝2.4，如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参赛，那么应选 （填“甲”或“乙”）．
14．如图，在中，，点为斜边上的一个动点，过分别作于点，作于点，连接，则线段的最小值为 ．
15．如图，四边形是边长为4的正方形，F为边上一点且，E为边上一点，把沿着折叠，得到，若为直角三角形，则的长为 ．

三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．如图，一艘轮船向正东方向航行，在处测得灯塔在的北偏东方向，航行40海里到达处，此时测得灯塔在的北偏东方向上．

(1)直接写出的度数；
(2)小刚想知道轮船行驶到处时，该轮船距灯塔的距离，他过做于点．请帮小刚画出图形并求的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，n）为直线上一点，以OA为边作菱形OABC，点C在轴上，直线AC的解析式为．
（1）求出n的值；
（2）求直线AC的解析式；
（3）根据图象，写出的解集．
19．如图，在矩形中，点是对角线的中点，过点作直线交于点，交于点，连接、．
(1)请你判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，求四边形的面积．
20．某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为20元，建B类摊位每平方米的费用为40元，用150平方米建A类摊位的个数恰好等于用90平方米建B类摊位个数．
(1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
(2)该社区拟建A，B两类摊位共100个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的2倍，建造多少个A类摊位，多少个B类摊位，才能使总费用最少？并求出建造这100个摊位的最少费用．
21．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
(1)化简： ______；______；
(2)矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长；
(3)当时，化简：．
22．综合与实践
问题背景：
我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢？

已知：如图1，在中，D、E分别是的中点，求证：，．
思路分析：问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半，我们可以用“倍长法”将延长一倍：即延长到F，使得，连接，通过证明四边形与四边形是平行四边形从而得出最后结论．
问题解决：
（1）上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是______．（填入选项前的字母代号即可）
A．数形结合思想　B．转化思想　C．分类讨论思想　D．方程思想
（2）请根据以上思路分析，完成“三角形中位线定理”的证明过程．
方法迁移：
（3）如图3，四边形和均为正方形，连接，N是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长．
参考答案
1．B
要使式子有意义，
∴
∴．
故选：B．
2．A
解：A.∵，∴能构成直角三角形，故选项符合题意；
B. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．D
解：根据矩形的判定方法，
A、添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到平行四边形为矩形，所以本选项错误，不符合题意；
B、添加，不能得到平行四边形为矩形，所以本选项错误，不符合题意；
C、由平行四边形的性质得到，添加多余，不能得到平行四边形为矩形，所以本选项错误，不符合题意；
D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到平行四边形为矩形，所以本选项正确，符合题意；
故选：D．
4．A
解：∵一次函数解析式为，，
∴y随x增大而减小，
∵点在直线上，，
∴，
故选：A．
5．A
解：数据为7，8，8，9，10，其中8出现2次，次数最多，因此众数为8．
数据已按顺序排列为7，8，8，9，10，共有5个数据．中间位置为第3个数，即8，因此中位数为8．
综上，众数和中位数均为8，
故选：A．
6．D
解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项正确，符合题意；
故选：D
7．D
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠A=∠C
∴∠A+∠B=180°
∵∠B=5∠A
∴∠A+5∠A=180°
解得:∠A=30°
∴.∠D=150°
故选D
8．C
解：在中，，
∴，
∴以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为，
故选：C．
9．D
解：A、当时，设，代入，得，故A不符题意；
B、由图得，当石块下降时，拉力才变化，故石块的高度为，故B不符合题意；
C、将代入，得，故C不符合题意；
D、，将代入，得，故D符合题意；
故选：D．
10．B
解：由函数图象可知，甲无人机上升的速度为，故①正确；
由函数图象可知，时，甲、乙两架无人机距离底面的高度都为，则甲无人机上升了，乙无人机上升了，故②错误；
乙无人机的速度为：，
∴时，乙无人机距离地面的高度是，故③错误；
时，两架无人机的高度差为：，故④正确；
故选：B．
11．y=x﹣2等（k＞0，b≤0即可）
因为一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，所以k＞0，b＜0．所以满足条件的解析式有很多，如y=x﹣2，y=10x﹣1等．
12．
解：在中，，
，
是中点，
，
故答案为：．
13．甲
解：∵s2甲＝1.2，s2乙＝2.4，
∴s2甲＜s2乙，
则甲的成绩比较稳定，
故答案为：甲．
14．
解：连接，如图所示：
在中，，
四边形是矩形，
，
点为斜边上的一个动点，
线段的最小值为线段的最小值，由点到直线的距离中垂线段最短，过作，如图所示：
在中，，
∴，
由等面积法可得，即，
解得，
故答案为：．
15．3或
解：当时，如图，

则，
∵是折叠得到的，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）当时，如图，

∵是折叠得到的，
∴，，，
∴，
∴点在上，
在中，
由勾股定理，得，
∴，
设，则，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得，
∴；
（3）当时，
∵E为边上一点，
∴此时点应在上，
∴，
这与折叠时矛盾，
∴此种情况不存在，
综上所述，或．
故答案为：3或．
16．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)
(2)的长为海里，图见解析
（1）解：由题意得：，，，，
∴，，
∴；
（2）解：如图，过做于点，则，

由题意得：海里，
由（1）可得，，
∴海里，
∴海里，
∴海里，
∴的长为海里．
18．（1）8；（2）；（3）
解：(1)把代入得y=8 ∴n的值为8．
（2）过点A作AD⊥OC于点D，由（1）得A（6，8）
∴OD＝6，AD＝8
在Rt△OAD中，
OA＝＝＝10
∵四边形OABC为菱形
∴OC＝OA＝10
∴C（10，0）
把A（6，8）、C（10，0）代入函数解析式，得
解得
∴直线AC的函数解析式为
（3）由图象可得，当x>6时，，
所以，的解集为：x>6
19．(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)
（1）解：四边形是菱形，理由如下：
四边形是矩形，
，
．
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴．
20．(1)每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位占地面积为3平方米；
(2)建造33个A类摊位、67个B类摊位时，费用最小，最小费用为11340元
（1）解：设B类摊位占地面积平方米，则A类占地面积平方米，
根据题意，得：，
解得，，
经检验，是上述分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位占地面积为3平方米；
（2）解：设建造A类摊位a个，则建造B类摊位个，
根据题意，得，解得：，
∵a是整数，
∴，
设建造这100个摊位的费用为，
∴，
∵，
∴随着的增大而减小，
∴要想使建造费用最小，需使a取最大值，
∴当时，最小，此时，，
∴建造33个A类摊位、67个B类摊位时，费用最小，最小费用为11340元．
21．(1)，
(2)
(3)
（1）解：，
（2）矩形的另外一边长为：
∴矩形的周长为：．
（3）当时
22．（1）B；（2）见解析；（3）4．
解：（1）述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是转化思想，
故选B．
（2）证明：延长到F，使得，连接，
∵E是的中点，
∴
∵
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵D是的中点，
∴
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵
∴，
（3）延长到M，使得，连接，

∵N是的中点，
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴，，
∴，
∵四边形和都是正方形，
∴
∴，
∴
∴
∴．

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