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2025 届高三年级 TOP 二十名校猜题大联考 7. 已知 2tan tan2 ， tan 8，则 tan （ ）
数学试卷 A. 3 B. 2 C. -2 D. -3
x2全卷满分 150分，考试时间 120 分钟 8. 过双曲线C : y2 1 a 0 右支上的点 P作C的切线 l， F1，F2分别为C的左、右焦点， N 为切线2 l上的一a
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位 点，且ON / /F1P（O 为坐标原点）.若 ON 2，则 a （ ）
置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡 A. 2 B. 2 C. 3 D. 4
皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
4.本卷命题范围：高考范围.
9. 记 Sn为首项为 2 的数列 an 的前 n项和，已知 an anan 1 1，则（ ）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的. A. 2a2 1 B. a4 3
A x y 9 x 2 C. a2025 1 0 D. 2S2025 2023
1. 已知集合 ，则 A N （ ）
25 20i z 5,
2, 1, 0,1, 2 3, 2, 1,0,1, 2,3 0,1, 2,3 1,2,3 10. z k R 已知关于复数 的方程组 有且仅有一个复数解，则 k 的值可能是（ ）A. B. C. D. z 4 k z 3i k
23 15 123 65
2. 已知平面向量 a 1,3 ，b 2,1 ，则 cos a,b （ ） A. B. C. D.
8 4 8 4
2 2 11. 已知函数 f x cosxsin2x， g x sinxsin2x，则（ ）A. B. C. 2 D. 2
10 5 10 5
A. f x g x
1 1 与 的值域相同
3. 设甲： 0；乙： 2a 2b，则甲是乙的（ ）a b B. f x g x 与 f x g x 的值域相同
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2
4. 2 2若把满足 a b c2 a b c 的正整数组 a,b,c C. f 1 g 2 f 2 g 1 称为“勾股平方数组”，则在不大于 13 的正整数中随机选取 3
2 2
个不同的数，能组成“勾股平方数组”的概率为（ ） D. f 1 g 2 f 2 g 1
1 3 2 3
A. B. C. D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
143 286 143 143
x2 y2
5. 棱长均为 2的正三棱柱 ABC A1B1C1的各个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（ ） 12. 已知椭圆C : 1 a b 0 的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的 2倍，则C的离心率为_____.a2 b2
A. 14 21π B. 23 21π C. 7 7π D. 28 21π 13. 曲线 y x3 3x2 1的对称中心为_______．
27 54 24 27
14. 现有各项均为正整数的递增数列 2，3，4， x， y，20，30，40，若从中任取 4 项构成的递增数列都不是等差数
6. 已知首项为1的等比数列 an 的前 n项和为 Sn，若 Sn an 1 也为等比数列，则 an 的公比为（ ）
列，则有序数对 x, y 的个数为_____.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （2）若 3n 个点中任意三点都不共线，在所有互异的点之间连线，端点颜色相同的线段赋值 1，端点颜色不同的线段
15. 设抛物线C : y 2 4x 的焦点为 F ，过 F 的直线 l与C交于 A，B 两点. 赋值 2.
① 记每条线段的赋值为随机变量 X，在所有线段中任取一条线段，按两个端点的颜色进行分类（端点无序），求 X 的
（1）求C的准线方程；
分布列及数学期望；
（2）设M t, 2 为C准线上一点，且MF l ，求 AB .
② 从 3n 个点中任取三个点构成三角形，记构成的三角形三边的赋值之和的数学期望为 En ，证明：En 5 .
π
16. 记VABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 A .
3
3
（1）证明： sinBsinC ；
4
（2）若BC边上的中线长为 3，求bc的最大值.
17. 如图，四棱锥 P ABCD中， PA PD AD CD 2， AB 1， AB∥CD且 AB AD .
（1）当平面 PAD 平面 ABCD时，证明：平面 PBC 平面 PCD；
（2）若 BC PB，求平面 PBC 与平面 PCD的夹角的余弦值.
18. 已知平面内有 n 个红点、n 个蓝点、n 个黄点（ n N*），这 3n 个点中任意两点都不重合.
（1）在颜色不同的任意两点之间连接一条线段，颜色相同的两点之间不连接线段，直接写出连接线段条数的最大值；
2
参考答案及解析 1 2 2 3 2 3 7
可得 r O A ，则 R O A21 OO
2 12 ，
2 sin60 3 1 1 3 3
3
1. 答案：C
所以正三棱柱 ABC A BC V 4 π 7 28 21π1 1 1外接球O的体积为 .3 3 27
解析：因为 A x y 9 x 2} x∣ 3 x 3 ，故 A N 0,1,2,3 .
故选：D
故选：C.
2. 答案：A

解析：由题意可得 cos a
,b a b 1 2 .
a b 5 2 10
故选：A.
3. 答案：D
6. 答案：B
1 1
解析：由 0可得0 a b，由 2aa b 2
b可得 a b，
n 1
解析：设 an 的公比为 q，当 q 1时， an a1q 1， Sn n，
1 1
所以由 0推不出 a b，即充分性不成立；
a b 2 2
可得 Sn an 1 n 1 1 n，
a b 1 1由 2 2 也推不出 0，即必要性不成立.a b
所以 Sn an 1 不是等比数列，
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
a 1 qn n
故选:D 当 q 1时， an a
n 1 n 1 1 1 q
1q q ， Sn 1 q 1 q
4. 答案：B
3 S a 1 1 q
n
n 1 2 q 1 n 1
解析：由题意可知基本事件的总数为 n C13 286， 可得 n n q 1 q ，1 q 1 q 1 q
能组成“勾股平方数组”的有 3,4,5 , 6,8,10 , (5,12,13)，共 3个，
2 q
3 因为 Sn an 1 是等比数列，所以 0，所以 q= 2 .
故所求概率为 . 1 q
286
故选:B. 故选：B
5. 答案：D 7. 答案：C
解析：如图所示，因为正三棱柱 ABC A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形， 2tan tan2 tan 解析：由 ，得 tan ①，
1 tan2
设VABC的外接圆的半径为 r ，正三棱柱的外接球的半径为 R，
由 tan 8 tan tan ，得 8，
1 tan tan
即 tan 8tan 1 tan 8， 1
解析：由题意可得 an 1 1 a ，可得下表：n
所以 tan tan 8 ②，
1 8tan n 1 2 3 4 5 L
tan 8 tan
由①②得 ，化简得 tan3 8， 1 1
1 8tan 1 tan2 an 2 1 2 L2 2
所以 tan 2 .
所以数列 an 的最小正周期T 3，
故选：C.
2a 12 2 1，故 A 正确， a4 a1 2，故 B 错误，
8. 答案：B 2
P x , y , x 0 x0xC y y 1 由 2025 3 675，则 a2025 1 a 1 0，故 C 正确；解析：设 0 0 0 ，则双曲线 在点 P处的切线方程为 ， 3a2 0
x x a2 a2 a2 2S2025 2 675 a1 a2 a3 2025，故 D 错误.
在 0 y0 y 1中，令 y 02 ，得 x ，故 B ,0 ，故 OB ，a x0 x0 x0 故选：AC.
a2 10. 答案：AC
又 OF c a21 1，故 BF1 a
2 1，
x0 解析：由方程组在复平面上的几何意义可知，
2
F P x c 2 y2 2 2 2 x0 y2 1 问题等价于以 25,20 为圆心，5为半径的圆与点 4 k,0 与 k,3 所连线段的垂直平分线相切，其中 1 0 0 x0 a 1 y 0 ，又 ，a2 0
易求得垂直平分线为 l :8x 6y 8k 7 0，
2
2 x2 a
2 1 x2 2 2
F P x 0
a 1x a 1x
故
1 0 a
2 1 0 1 2 a22 2 1x
2
0 a 0 a 0 a， 8 25 6 20 8k 7a a a a 由点到直线距离公式有 5， 82 62
a2 即 73 8k 50 23 123，解得 k 或 .
ON OB 8 8
因为ON / /F1P
2 x0
，所以 ，即 ，整理得 a 2
F P BF 2 a2 a2 a2 1x0 0，a 1x 故选：AC.1 1 0 a a2 1
a x0 11. 答案：ABD
显然 a2 a2 1x0 0，所以 a 2 0，解得a 2 . g x π π π解析：对于 A， sin
x
2 2
sin 2x π sin x sin π 2x cosxsin2x f x ，
2
故选：B.
故 f x π的图象可看作 g x 的图象向右平移 个单位长度得到的，左右平移不影响值域，故 A 正确；
2
对于 B， f x g x sinx cosx sin2x sinx cosx 2 sinx cosx 1
sinx cosx 3 sinx cosx ， f x g x cosx sinx sin2x cosx sinx 1 cosx sinx
2

cosx sinx (cosx sinx)3
9. 答案：AC
sinx cosx 3 sinx cosx ， 13. 答案： 1,1
3
π π π π sin x π cos x π 解析：设 f x x
3 3x2 1
，设函数
f x 的对称中心为 a,b ，则 f a x f a x 2b，
f x g x sin x cos2 2 2
x
2 2 2
等式 f a x f a x 2b两边求导得 f a x f a x 0，即 f a x f a x ，
sinx cosx 3 sinx cosx f x g x ，
所以，函数 f x 的图象关于直线 x a对称，
故 f x g x 的图象可看作 f x g x π的图象向左平移 个单位长度得到的，左右平移不影响值域，故 B 正确；
2
因为 f x 3x2 6x，故函数 f x 的图象关于直线 x 1对称，则 a 1，
2 2
对于 C， f 1 g 2 cos
21sin32sin4， f 2 g 1 sin1sin2cos
22sin 24，
因为 f 1 x f 1 x 1 x 3 3 1 x 2 1 1 x 3 3 1 x 2 1 2，
由1 0,
π
， 2
π ,π 3π ， 4 π, 可知 sin1 0， cos1 0， sin2 0， cos2 0，sin4 0， 3 2
2 2 2 所以，函数 y x 3x 1的对称中心为 1,1 .
2 2 2 2
所以 f 1 g 2 0， f 2 g 1 0， f 1 g 2 f 2 g 1 ，故 C 错误； 故答案为： 1,1 .
对于 D， f 1 2 g 2 cos1sin
32sin 24， f 2 2 g 1 sin
21sin 22cos2sin4， 14. 答案：76
2 2 解析：由题意可知
x的取值可从 6，7，8，9，11，12，13，14，15，16，17，18 中选取（ x 5时，2，3，4，5 成
f 1 2 g 2 f 2 g 1 sin 2sin4 cos1sin2sin4 sin 21cos2
等差数列， x 10时，10，20，30，40 成等差数列，不合题意），
=sin22sin4 4sin1cos21sin2cos2 sin21cos2 y的取值可从 7，8，9，11，12，13，14，15，16，17，18，19 中选取（ y 10时，10，20，30，40 成等差数列，
sin1cos2sin22sin4 4cos21sin2 sin1 不合题意），且需满足 x y，
=sin1cos2sin22sin4 8cos31sin1 sin1 sin21cos2sin22sin4 8cos31 1 y， 当 x 6时， 的取法有 12 种；
当 x 7时， y的取法有 11 种；
1 0, π
3
而 1
2 2
，故3 8cos
31 8 1，故 f 1 g 2 f 2 g 1 0，故 D正确. 当 x 8时， y 2 的取法有 10 种；
当 x 9时， y的取法有 9种；
故选:ABD
当 x 11时， y的取法有 8种，
2 1
12. 答案： ## 2
3 3 依次类推，当 x 18时，
y的取法有 1 种，
12 12 1
x2 y2 c2 2 此时 x, y 的取法有12 11 2 1 78（种），
解析：设椭圆C : 1的半焦距为c，由题意可得 2 22 2 a b 2 2c，整理得 2a
2 c2 8c2，因此 e2 ， 2
a b a2 9
其中当 x 6， y 8时，2，4，6，8成等差数列，不合题意；
C 2所以 的离心率为 e . 当 x 8， y 14时，2，8，14，20 成等差数列，不合题意.
3
综上所述，满足题意的 x, y 有78 2 76（个）
2
故答案为： .
3 故答案为：76
15. 答案：（1） x 1
（2） AB 8
解析：
（2）
（1）因为抛物线C的方程为 y2 4x，所以抛物线C的准线方程为 x 1
（2）因为M t, 2 在C的准线上，所以 t 1，即M 1,2 ，
0 2 1 易得 F 的坐标为 1,0 ，此时 kMF 11 1 ， 设D为BC的中点，则有 AD AB AC ，2
2 1 2 2k k 1 k 1 两边平方得， AD AB 2 AB AC cosA AC ，因为MF l ，所以 MF l ，解得 l ， 4
2 1 2 2
所以 l的方程为 y x 1，设 A x1, y1 ， B x2 , y2
即 AD b c bc 3，
， 4
故12 b2 c2 y2 4x, bc 2bc bc 3bc，即bc 4，当且仅当b c 2时等号成立，
联立 消去 y并整理得 x2 6x 1 0，由韦达定理得 x x 6，
y x 1,
1 2
所以bc的最大值为 4.
所以 AB x x 2 8 17. 答案：（1）证明见解析1 2
105
（2）
35
解析：
（1）证明：因为平面 PAD 平面 ABCD，且平面 PAD 平面 ABCD AD， AB AD， AB 平面 ABCD，
可得 AB 平面 PAD，
又 AP， PD 平面 PAD，故 AB AP， AB PD，又 AB∥CD，所以PD CD
16. 答案：（1）证明见解析 由 PA PD AD CD 2， AB 1，得 PB PA2 AB2 5，
（2）4 2 2 BC AD2 CD AB 2BD AD AB 5， 5，
解析：
PC PD2 CD2 2 2，
2 2
cosA 1 b c a
2 2bc a2 a2
（1）由余弦定理，得 1 ，
2 2bc 2bc 2bc 如图 1，取PC中点M ，连接 BM，DM，有 PC BM ， PC DM ，
1
1 a2 a2 DM PC 2 2 1
2
2 2 2
b c 又 ， ，所以 ，故 BM DM故 1 ，即 1，当且仅当 时等号成立， 2 BM PB PC 3 BD BM DM
2 2bc bc 2
因为 BM DM ， BM PC， PC DM M ， PC 平面 PCD，DM 平面 PCD，所以 BM 平面 PCD，
sin2A
由正弦定理可得 1，
sinBsinC 又BM 平面 PBC ，故平面 PBC 平面 PCD
又 A π 3 1 3 ，故 1，即 sinBsinC .
3 4 sinBsinC 4
解析：
（1）红蓝、蓝黄、黄红三对里，每对中两种颜色均有 n个点，则当3n个点中任意三点都不共线时，连接线段条数取
最大值C23n n 3n
2
.
（2）① 端点颜色的所有可能情况为红蓝、蓝黄、黄红、红红、蓝蓝、黄黄，
2 3n n 1 2 2
端点颜色相同的线段有3Cn 条，端点颜色不同的线段有C3n n 3n 条，线段总条数为2
2 3n 3n 1C 3n ，2
（2）取 AD中点O，以O为原点，OD为 y轴，过O且平行于 AB的直线为 x轴，过O且垂直于平面 ABCD的直线
n 1 2n
为 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 则 P X 1 ，P X 2 ，3n 1 3n 1
因为 PA PD，O 为 AD的中点，所以OP PD2 OD2 3,P在平面 xOz内. X 的分布列为：
可设 POx ， 0, ，可得 P 3cos , 0, 3sin ，C 2,1,0 ， B 1, 1,0 X 1 2，D 0,1,0 ，
n 1 2n
BC 1, 2, 0 ， PB 1 3cos , 1, 3sin ， P 3n 1 3n 1

因为 BC PB 5n 1，所以 BC PB 0， 所以数学期望 E X .
3n 1
即 1 3cos 1 1 2 3sin 0 0 3 n n 1 n 2，解得 cos ，得 P 1,0, 2 ， ② 共有三种可能，当三个同色点构成三角形时，赋值和为 3，有3C3n 种可能，3 2

PB 2, 1, 2 ， PC 3,1, 2 ， PD 1,1, 2 ， 1 1 2 1 2当两个同色点和一个异色点构成三角形时，赋值和为 5，有C3C2CnCn 3n n 1 种可能，

设平面 PBC 与平面 PCD的法向量分别为 n1 x1, y1, z1 ， n

2 x2 , y2 , z2 ， 当三个异色点构成三角形时，赋值和为 6，有 n3种可能，

n1 PB 0, 2x1 y1 2z1 0, n 3n 1 3n 2
由题意可得 即 从3n个点中任取三个点，共有C3 种可能，
n1 PC 0, 3x1 y1 2z1 0,
3n 2
n 可取 1 2 2, 2,5 ，同理可得 n2 0, 2, 1 ， n
3 n 1 n 2 5 3n2 n 1 6 n3
2 45n
2 39n 6
3 则 En ，
设平面 PBC 与平面 PCD的夹角为 ，故 cos cos n1,n
105
n 3n 1， 3n 2 3n 1 3n 2 2 35 3 35 2
2
故平面 PBC PCD 105 45n 39n 6 2与平面 的夹角的余弦值为 .
35 所以 En 5 5 ，3n 1 3n 2 3n 1
18. 答案：（1）3n2
因为 n N*，所以3n 1 0， En 5 0，即En 5.
5n 1
（2）① 分布列见解析， E X ；② 证明见解析
3n 1

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