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Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025 届高三第三次联考 6. 已知数列 an 的前 n项和为 Sn，则下列说法正确的是（ ）
数学试卷 A. 若 Sn 0，则 an 0 B. 若 Sn 0，则 an Sn 0
注意事项: C. 若 Sn an，则 an 0 D. 若an Sn 0 ，则 S3 a3
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形
x2 y2
码粘贴在答题卡上的指定位置. 7. 已知 F1,F2 分别是双曲线 1 a 0,b 0 的左 右焦点，A 为左顶点，B是双曲线在第四象限上一点，BF2 2 2a b
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草
的斜率为 3 ，且 AB BF2 ，则双曲线的离心率为（ ）
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、 草稿纸和 A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
答题卡上的非答题区域均无效.
8. 定义在 0, 上的函数 f x f 1 满足 f x , f
2
f 2x ，当 x 1, 2 时， f x x 1 x 2 ，
4. 考试结束后， 请将本试卷和答题卡一并上交. x x
第Ⅰ卷 1则函数 y f x 在区间 1,100 内的零点个数为（ ）
4
一 选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
求.
二 多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
M x Z∣2x 8 ,N {x∣x 2 2}
1. 已知集合 ，则M N （ ） 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0 分.
A. 0,1, 2,3 B. 1,2,3 C. 0,1, 2 D. 1,2 9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量 X N 2,1 ，则 P x 3 0.5
2. 已知复数 z满足 iz 1 i(i为虚数单位 ) ，则 z （ ）
B. 若随机变量 X N 2,1 ，则 P(3 x 4) P(1 x 2)
A. 2 B. 2 C. 1 D. 2 2
3. “ k 0”是“直线 y kx 2 与圆 x2 y2 2y 0 相切”的（ ） C. 若随机变量 X B n,
1
，且 E X 2，则D X 1
2
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
1
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 D. 若随机变量 X B n, ，且D X 1，则D 2X 1 4 2
4. 尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E
10. 已知函数 f x sin 4x cos2x，则下列正确的是（ ）
（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为：lgE 4.8 1.5M .若记 2025 年 1 月 7 日西藏日喀则发生里氏 6.8
A. π是 f x 的一个周期
级地震释放出来的能量为 E1 ，2022 年 5 月 20 日四川雅安发生里氏 4.8 级地震释放出来的能量为E
E1
2 ，则 E （ ）2 π
A. 100 B. 200 C. 1000 D. 2000 B. f x 的图象关于点 , 0 对称 4
a

a

5. 已知非零向量 ,b 满足 2 b a
b ，则 a在b方向上的投影向量为（ ）
C. f x π的图象关于直线 x 对称
r 21 b 3 b 1

A. B. - C. b D. b
2 2 4
D. f x π在区间 , π

上单调递减
2
11. 设正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1，点 E、F 分别为棱 AB、 AD上的动点（含端点），且 EF 1，则下
列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥 A1 AEF的体积有最大值 （1）当 E为PC中点时，求证： ED∥平面 PAB；
B. 三棱锥 A1 AEF的外接球的体积为定值
A EFC （2）若 PD 3 ，当CE 2EP时，求平面EBD与平面CBD夹角的余弦值.C. 三棱锥 1 1 的体积为定值
D. 三棱锥 A1 EFC1 的外接球的体积有最大值
第 II 卷
x 1
17. 已知函数 f x x e 1 .
三 填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分.
f x 1,0
12. 若 a x (1 x)4 （1）求函数 图象在点 处的切线方程；的展开式中 x3的系数为 6，则实数 a的值为__________.
13. 一个袋中装有大小质地相同的 9 个小球，其中白球 2个，红球 3 个，黑球 4 个，现从中不放回地摸球，每次摸一
球，则前三次能摸到红球的概率为__________. （2）若不等式 f x lnx ax恒成立，求实数 a的取值范围.
a 2b 1
14. 已知实数 a,b满足a b 2，则 2 2 的最大值为__________.a b
四 解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. x2 y2 1
18. 已知 F 是椭圆 E : 1 a b 0 的右焦点，椭圆离心率 e ，且椭圆上任意一点与点 距离的最大2 2 F
15. VABC中，角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c, A B 2C ,acos C A bcosC ccosB a b 2，
值为 3.
（1）求角A ；
2 7
（2）若点D在边 AC上， BD 且 cos BDC 7 ，求△BCD的面积.
3 14
16. 已知四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是梯形，AD∥ BC, AB AD,BC 2, AB AD AP 1，△APB是
（1）求椭圆 E的方程；
等腰直角三角形， E为棱PC上一点.
xx yy
（2）点M x1, y1 x1 0, y 1 11 0 在椭圆 E上，椭圆在点M 处的切线 l : 1交 x轴于点 P.4 3
①求 FP 4 FM 的最小值；
②设 A1, A2 分别为椭圆 E的左 右顶点，不垂直 x轴的直线MF交椭圆于另一点N ，直线NA1与直线MA2 交于点Q，
问直线MN与直线 PQ的交点 R是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.
19. 若数列中某相邻三项成等差数列，则称该三项为“等差组”；若数列中某相邻三项成等比数列，则称该三项为“等
比组”.现有一个 12 项的正项数列 an :a1,a2 , ,a12 ，其共有 10 组相邻三项，记第 i组相邻三项为
Ai ai ,ai 1,ai 2 , i 1,2, ,10 .
（1）若数列 an 满足 a1 1,a2 2 ，
① A1为“等差组”， A2 为“等比组”，求 a4；
② A1为“等比组”， A2 为“等差组”，求 a4 .
（2）若数列 an 满足a1 1,a4 4 ，且 Ai i 1,2, ,10 为“等差组”或“等比组”，求满足条件的数列 an 的
个数；
（3）若数列 an 满足 a1 1,a2 2 ，且 Ai i 1,2, ,10 中恰有 5 组“等差组”和 5 组“等比组”，求 a12 的最大
可能值.
2 2 2 参考答案及解析 因为 | a | 2 | b |，所以a (2 |b |) 4b ，将其代入上式可得： 2a b b 2 0 ，
1 1. 答案：D 1 即 2a b b 2 ，即 a b b 2 | b |2 ，2 2
M x Z∣2x解析： 8 1 a b b 1 | b |2
根据投影向量公式 ，将 a b | b |2 代入可得： 2 b

1 b ，
M x Z∣2x 23 x Z∣x 3 ..., 1,0,1,2 | b | | b | 2 | b | | b | 2
1
N {x x 2 2} a

在b方向上的投影向量为
b .
∣ 2
故选： A.
N {x∣ 2 x 2 2} {x∣0 x 4}
6. 答案：D
M N 1,2
解析：当 n 1时， a1 S1 0；当 n 2时， an Sn Sn 1 .
故选：D.
仅知道 Sn 0，无法确定 Sn 1的大小，也就不能确定 an Sn Sn 1的正负.
2. 答案：B
{a }
iz 1 i z 1 i 1 i z 1 1 2 例如数列 n 为3, 1, 1, 1, ，
S1 3 0， S2 3 ( 1) 2 0 ，但 a2 1 0 ，所以A 选项错误.
解析： ，则 ，
i
故选：B． 当 n 1时， a1 S1 0，则 a1 S1 2S1 0 ；当 n 2时， an Sn Sn Sn 1 Sn 2Sn Sn 1 .
3. 答案：C 仅知道 Sn 0，无法确定 Sn 1 的大小，也就不能确定 2Sn Sn 1的正负.
解析：圆 x2 y2 2y 0的圆心为(0,1)，半径 r 1，
例如数列{an}为1, 0.5, 2， S1 0 ， S2 0.5 0 ， S3 0 ，
1
由直线 y kx 2 与圆 x2 y2 2y 0相切，得 1，解得 k 0， 当 n 2时， a2 S2 02 ，所以B 选项错误.k 1
k 0 y 2 x2 y2
S a
2y 0 当 n 1时， 1 1，由
S1 a1可得 a1 S1，但不能得出 a1 0；
反之，当 时，直线 与圆 相切，
k 0 y kx 2 x2 当 n 2时，
S a 即 S S S ，可得 S
y2 2y 0 的 n n n n n 1 n 1
0 ，同样无法得出 an 0 .
所以“ ”是“直线 与圆 相切” 充要条件.
故选：C 例如数列{an}为0,0,0, ， Sn 0，满足 Sn an，但 an 0，所以C选项错误.
4.答案：C 已知 an Sn 0 ，当 n 1时， a1 S1 2a1 0，即 a1 0 ；
解析：由题设有 lgE1 4.8 1.5 6.8 ， lgE2 4.8 1.5 4.8 ，
当 n 2时， a2 S2 a2 a1 a2 a1 2a2 0 ；
故 lgE1 lgE 3
E
12 即 1000E ，2 S3 a3 a1 a2 ，由 a1 2a 0
a a a
2 可得 a 1 1 12 ，那么a1 a2 a1 0，所以 S3 a3 0 ，即 S3 a3 ，2 2 2
故选：C.
D 选项正确.
5. 答案：A
故选：D.

| a | 2 |b | | a

解析：已知 b |，由 | a | | a b | 两边同时平方可得：a2 (a b)2 ， 7. 答案：A

根据完全平方公式展开得： a2 a2 2a b b 2 ， 解析：由题意 F1 c,0 ,F2 c,0 , A a,0 ，设 B m,n m 0,n 0 ，
n
由 BF2 的斜率为 3 得 3 ，又 AB BF
n
2 ，所以 kAB kBF 3 1
1 3
， 故 f x 在 1, 2 有有且只有一个实数解为 x ；
m c 2 a m 4 2
3 m c 3c a 3 2
所以 3 1，解得m ，则 n 3 m c a c ， 当 x 2,4 时， f x (4 1)(4 2) 4 3 1 ，a m 4 4 x x x 2 4
3c a 2 3 a c 2 4 1
代入双曲线方程得 1，结合b2 c2 a2 ， 而 1,2 ，故 f x 0, f x
1
，此时 在 2,4 上无解；16a2 16b2 x 4 4
化简得3c4 2c3a 9c2a2 4a4 0， k k 1 x k 1 x
故当 x 4 , 4 k 1 时， 4 , 4
k
4
，则 f x f ，
4
有3e4 2e3 9e2 4 0，即 e 2 3e3 4e2 e 2 0 ，而 e 1，
结合 1,4 上 f x 的性质可得 f x 1 在 4k 1, 2 4k 1 上有且只有一个实数解，
f x 3x3 4x2 x 2, x 1 4

构造 ，
3 4k 1 3
f x 9x2 8x 1 4 且该实数解为 x 4
k 1，在 2 4k 1, 4k
则 ，其开口向上，且对称轴为 x 无实数解， ，
9 2 2
故当 x 1时， f x 0，所以 f x 在 1, 上单调递增，所以 f x f 1 4 0 ， 而 43 100 44 且100 3 43 ，
2
所以方程3e3 4e2
1 3 3
e 2 0无解，所以 e 2 . 故 f x 在 1,100 上的实数解为 x ， x 4 6， x 3 42 24，
4 2 2 2
故选：A x 3 43 96，共 4 个实数解，
2
8. 答案：B
故 f x 1 共有 4 个不同的零点.
2 1 4
解析：因为 f f 2x ，故 f f 4x ，故 f x f 4x ，
x x 故选：B.
9. 答案：BCD
即 f x f 4x ，
解析：对于 A，因为随机变量 X N 2,1 ，则 2, 1，所以 P x 3 P x ，因为 P x 0.5，
而当 x 1, 2 时， f x x 1 x 2 ，
所以 P x 3 P x P x 0.5 ，故 A 错误；
4 4 4
故当 x 2, 4 时， 1, 2 ，故 f x f ( 1)(
4
2)，
x x x x 对于 B，因为随机变量 X N 2,1 ，则 2, 1，
x 1 x 2 , x 1, 2 所以 P 3 x 4 P x 2 ， P 1 x 2 P x ，
故 f x
(4 4
，
1)( 2), x 2, 4 x x 根据正态分布曲线的对称性可知： P x 2 P x ，故 B正确；
2
x 1, 2 3 1 1 1 n当 时， f x x 1 x 2 x ,0 ， 对于 C，因为随机变量 X B n, ，所以 E X ， 2 4 4 2 2
1 1
f x 1, 3 3 ,2 又因为 E X 2，所以 n 4，则有D X 4 1，故 C 正确；而 在 上为减函数，在 为增函数，2 2 2 2
对于 D，由D X 1，则D 2X 1 4D X 4 ，故 D正确；
故选：BCD.
10. 答案：AC
2 2
f x sin4 x cos2 x 1 cos 2x 1 cos 2x 1 2cos 2x cos 2x 1 cos 2x
解析： 2 2 4 2
cos2 2x 2cos 2x 1 cos 4x 3 1
cos 4x
3
，
4 8 8 8
设三棱锥 A1 AEF2 的外接球半径为 R，则 2R AE
2 AF 2 AA21 1 1 2 ，
cos 4x的周期为 ，但常数项不影响周期性。因此， f x 的周期为 的整数倍， 是其周期，故 A正确；
4 2 2
2
1 3 1 所以 R ，故三棱锥 A1 AEF
4 4 2 2
的外接球的体积为V πR
3 π π 为定值，B对；
f f cos 4 cos 4
3

2 3 3 4 3
4 4 8 4 8 8 4 8
对于 C 选项，作正方体 BCQP B1C1Q1P1 3 1 1 ，如下图所示：
cos 4 cos 4 cos 4 cos 4
3 cos 4 3
0，故 B错误；
8 4 8 4 4 4
f 1 3 1 3 1 3 cos 4 cos 2 4 cos 4 ，
2 8 2 8 8 8 8 8
f 1 3 1 cos

4

cos 2 4
3 1
cos 4 3 ，
2 8 2 8 8 8 8 8
f f 0 ，故 C 正确；
4 4
设平面 A1C1E 交线段CQ于点U ，连接UE、UC1 ，
f x 1 sin 4x 在区间 ,

内， 4x 2 ，4 ， sin 4x在 2 ，3 内为负，即 f x 0，2 2 因为平面 ABB1A1 // 平面CC1Q1Q，平面 A1C1E 平面 ABB1A1 A1E，
sin 4x在 3 ，4 内为正，即 f x 0，故 D 错误. 平面 A1C1E 平面CC1Q1Q C1U ，所以 A1E //C1U ，同理可得 A1C1 //EU ，
故选：AC. 故四边形 A1C1UE为平行四边形，
11. 答案：ABD
因为 AA1 //CC1 ， A1E //C1U ，由等角定理结合图形可得 AA1E CC1U ，
解析：对于 A 选项，因为 AE AF，由勾股定理可得 AE 2 AF 2 EF 2 1，
1 又因为 AA CC A ，
由基本不等式可得1 AE 2 AF 2 2AE AF 1 1，可得 AE AF ， 1
AE C1CU 90 ，故△A1AE≌△C1CU ，则CU AE，
2
1 1 设 AE a，
AF b，则 a2 b2 1，
当且仅当 AE AF 2 时，等号成立，则 S
2 △AEF
AE AF ，
2 4 S 2 S S S 2 1 ab 1 a 1 1 b 1 EFU AEF FDU 梯形EPQU 3 2a 1
1 2 2 2
故VA AFE S△AEF AA
1 1 1
1 1 ，即三棱锥 A1 AEF的体积有最大值，A对； a b1 3 3 4 12 不是定值，2
对于 B选项，将三棱锥 A1 AEF补成长方体 AEGF A1HMN ，
因为C1U //A1E，C1U 平面 A1EF ， A1E 平面 A1EF ，则C1U // 平面 A1EF ，
所以点U 到平面 A1EF 的距离等于点C1到平面 A1EF
6 2
的距离， 解析：袋中有非红球 6 个，则第一次没有摸到红球的概率为 P1 ，9 3
V 1 a b 5 4故 A EFC VC A EF VU A EF VA EFU S△EFU AA1 不为定值，C 错； 第二次没有摸到红球的概率为 P2 ，第三次没有摸到红球的概率为 P1 1 1 1 1 1 3 6 8 3
，
7
2 5 4 40 5
对于 D选项，以点A 为坐标原点， AB、 AD、 AA1所在直线分别为 x、 y、 z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 所以前三次均未摸到红球的概率为 P P1 P2 P3 ，3 8 7 168 21
5 16
所以前三次至少有一次摸到红球的概率为1 P 1 .
21 21
16
故答案为： .
21
10 1
14. 答案： ## 10
2 2
a 2b 1 2a 4b 2 2a 4b a b a 3b
解析： ，
2 2 2 2 2 2 2
π a b 2 a b 2 a b 2 a b
2
设 AEF ，其中0 ，则 A1 0,0,1 、 E cos ,0,0 、 F 0,sin ,0 、C2 1 1,1,1 ，
设向量OA (a,b),OB 1,3 ，则OA OB a 3b OA OB 10 a2 b2 ，
设三棱锥 A1 EFC1 的外接球球心为O x, y, z ，设球O的半径为 r ，
a 3b
故 10 1 3 2 2 2 2 ，当且仅当a ,b 时等号成立，cos sin 2sin a b 2 2
r 2 x2 2 y2 z 1 x
2 cos sin
r
2 x 2 1 y 2 1 z 1 2 sin2 2
a 2b 1
y cos 2cos
10
故 2 2 的最大值为 ,则 ，解得 ，2 a b r x cos 2 y2 z2 2 cos sin
2

r 2 x2
3 3
y sin
2
z2 z sin cos 2sin cos 10
2 cos sin
故答案为： .
2
π
设 f r 2 x2 y2 z 1 2 ，其中 0,
π 15. 答案：（1）
， 3 2
3
π （2）
则函数 f 在 0, 上连续，由闭区间上的连续函数有最值可知 R有最大值，D对. 3 2
解析：
故选：ABD.
（1）由三角形内角和定理可知： A B π C 2C C π ，
12. 答案：3 3
1+x 4 T Ck k
acos C A bcosC ccosB
解析：由 有： k 1 4x ，所以 x3的系数为 a C
3
4x
3 x C2x2 4a 6 x3 再由 ，利用正弦定理边化角得：4 ，
所以 4a 6 6 a 3， sin Acos C A sin BcosC sinCcosB sin B C sin A，
故答案为：3. 因为 sin A π 0，所以有 cos C A 1，则C A 0 A C ；
16 3
13. 答案：
21 （2）
又 AD BC AD 1∥ ， BC ，所以 EF∥ AD 且
2 EF AD，
则四边形 EFAD是平行四边形，所以 ED∥FA，
又 ED 平面 PAB，FA 平面 PAB，所以 ED∥平面 PAB .
（2）
7 189 3 21
由 cos BDC ，在 BDC中，可得 sin BDC ，
14 14 14
2 7
BC BD BC
再由正弦定理得： 3 BC 2 ，
sin BDC sinC 3 21 3
14 2 在平面 PAD内，过点A 作直线 AM AD，
再由余弦定理可得： BD2 BC 2 CD2 2BC CD cosC， 由已知 AB AD且 AB PA，又 AD PA A， AD,PA 平面 PAD，
2
2 7 1 8 所以 AB 平面 PAD，又 AM 平面 PAD，所以 AB AM ，
即 4 CD
2
4 CD CD
2 2 CD 0 ，
3 2 9 由 AM AD， AB AM ， AB AD A， AB, AD 平面 ABCD，
CD 2 CD 4解得 或 ，
3 3 可得 AM 平面 ABCD，
以A 为原点， AB, AD, AM 分别为 x, y, z轴建系，
因为 cos BDC 7 ，所以 BDC为钝角，
14

则 B2 1,0,0 ,C 1,2,0 ,D 0,1,0 ,P 0,
1 3
, ，
CD 1 2 3 3 2 2

故 ，所以△BCD的面积 S 2 . 3 2 3 2 3
uur 2 uur 2 5 3 2 5 3 1 1 3
16. 答案：（1）证明见解析 由CE CP可得CE 3
1, , , , ，则 E , , ，3 2 2 3 3 3 3 3 3


7
（2）
7 则 BD 1,1,0 ,BE
2 , 1 3 , ，
3 3 3


解析：
设平面 BCE的法向量为n x, y, z ，
n BC x y 0

则 2 1 3 ，取 x 3 ，则 y 3, z 1，（1） n BE x y z 0
3 3 3

所以 n 3, 3,1 ，
1
取 PB中点 F ，连接 EF , AF，则 EF∥BC，且 EF BC， 不妨取平面 BCD的一个法向量m 0,0,1 ，
2
设平面 EBD与平面CBD夹角为 ， 2 2
所以b2 x y a2 c2 3，所以椭圆方程为 + =1；
m n 4 3
则 cos
1 7
，m n 7 7 xx1 yy1 4 4（2）①因为切线 l : 1交 x轴于点 P，所以 P ,0 ， FP 1x ，4 3 x1 1
所以平面 EBD 7与平面CBD夹角的余弦值为 .
7 2 2
因为点M x1, y1 x 0, y x y 2
3
1 1 0 在椭圆 E上，所以 1 + 1 =1，即 y1 3 x21 ，
17. 答案：（1） y x 1 4 3 4
（2） , 0 2
又 FM x1 1
2 y21 x
2
1 2x1 1 3
3
x2 1 x 2 11 1 x1 2 ，4 2 2
解析：
f x ex 1 4（1） 1 xex 1 x 1 ex 1 1， 因为 FP 1 0，所以0 x 4 1x 1 ，所以 x1 2 0 FM 2
1
， 所以 x ，
1 2 2
1
所以 f 1 1，
所以 FP 4 FM
4
1 4 1 4 4 2 x1 2x1 9 2 2x1 9 4 2 9 ，x 2 x x
所以在点 1,0 处的切线方程为 y x 1 1 1 1
f x lnx ax x e
x 1 4 1 ln x x ex 1 1 ln x 当且仅当 2xx 1，即 x（2）又 ，参变分离得： a ， 令 g x ， 1 2 时等号成立，所以
FP 4 FM 的最小值为 4 2 9；
1
x x
2 x 1 1 ②由已知设直线MN：
x my 1 m 0 ， N x2 , y ，x e ln x 1 22 x 1 2 x 1
得 g x ，令 h x x e ln x 1， h 1 0， h x 2x x e 0，
x2 x x2 + y
2
=1
h x 0, 由 4 3
2 2
消元得 3m 4 y 6my 9 0 ，
在 上单调递增，所以当 x 0,1 时， h x 0，当 x 1, 时， h x 0 ，
x my 1
即当 x 0,1 时， g x 0，当 x 1, 时， g x 0， y y 6m 9 3则 1 2 ， y y3m2 4 1 2 2 ， 所以my y y y ，3m +4 1 2 2 1 2
所以当 x 0,1 时， g x 单调递减，当 x 1, 时， g x 单调递增，最小值为 g 1 0 y2
因为 A1(-2,0)， N x2 , y2 ，所以 lA N : y x 2 1
a x 2
，
所以 a 0，即实数 的取值范围是 , 0 . 2
y
x2 y2 1因为 A2 2,0 ，M x1, y1 ，所以 l+ =1 A2M
: y x 2 ，
18. 答案：（1） x
4 3 1
2
2y2 x1 2 2y xx 1 2 2 4my1y2 2y2 6y（2）① 4 2 9；②是，直线方程为 x 2 1，理由见解析 所以 Q y1 x2 2 y2 x1 2 3y1 y2
解析：
6y1 6y2 2y 6y 2 1 12y1 4y 2 4
c 1 a 2 3y1 y2 3y1 y
，
2
（1）由已知 a 2 ，解得 ，
a c 3
c 1 2y1 x y 4
即点Q 4, ，所以直线 PQ的方程为 y 1 1 x ，
x1 2 2 x1 2 x

1 1 x1
mx1y1 4 与直线MN x 2 1 33 17 33联立，得
2 x 2 x 1
x 1， 故 2a2 a2 4 ，而 a2 0，故x a2
， a2 .
1 1 1 4 8
因为 x1 my 1
x
，所以 y 1
1
1 1 ，代入上式可得 从而 A3 开始的相邻三项，要么为“等比组”，要么为“等差组”，m
mx x1 1 对于确定的 A1、 A2 ，此后等比组的公比、等差组的公差均确定，1
x m x 4 1 x1 x 4 1 x1 x 2 1 ，
2 x 2 x 81 1 1 x1 2 x 2 x 2 x 2 x 2 故此时有 2 个满足条件的数列，1 1 1 1
8
x 故满足条件的数列的个数为 4 2 1024.
即 1 1 x
2 1 4 x 1 ，解得 x 2， 2 x1 2 x1 2 x1 2 （3）先考虑一个一般命题：
即点 R 在直线 x 2上. 若 a2 a1 0，若正项数列 a1,a2 ,a3 ,a4 中 A1, A2 中一个“等差组”，另一个为“等比组”，则先“等比组”再“等差
9
19. 答案：（1）① a4 ；②a4 6；2 组”得到的 a4较大.
（2）1024 ；
2a a 2
（3） 224 . 证明：若先“等差组”，再“等比组”，则 a4
2 1 ，
a2
解析：
2a2
A a ,a ,a 2a a a a 3 若先“等比组”，再“等差组”，则 a4
2 a2 ，其中 2a2 a1，
（1）①因为 1为“等差组”，故 1 2 3 成等差数列，故 2 1 3 ，故 3 ， a1
9 2
而 A2 为“等比组”，故 a2 ,a ,a
2
3 4 成等比数列，故 a a a ，故 a . 2a a 2a23 2 4 4 2 1 2 a 2a a
2 a2 2a a
2 此时 a
1 2 1 2 2 1
a2 a
2
1 a1a2
②若 A1为“等比组”， A2 为“等差组”，则 a1,a2 ,a3 成等比数列，故 a3 4，
2
2a2 a1 a2 a1
且 a2 ,a3 ,a
0 ，
4 成等差数列，故a4 2a3 a2 6 . a1a2
（2）因为 A1, A2 为“等差组”或“等比组”，故有 4 种情形： 故先“等比组”再“等差组”得到的a4较大..
4 1
若 A1为“等差组”， A2 为“等差组”，则 a2 a1 1 2,a3 3,a4 4； 再考虑另一个一般命题：若 a2 a1 0，若正项数列 a1,a2 ,a3 ,a4 中的 A1, A2 为“等差组”或“等比组”，则当 a3 2
增
A 2若 1为“等差组”， A2 为“等比组”，则 2a2 a1 a3 1 a3 ,a3 a2a4 4a2 ， 大时， a4也增大.
而 an 为正项数列，故 2a2 1
2 4a 22 即 4a2 8a2 1 0， 证明：若 A1, A2 均为“等差组”或“等比组”，
a 8 4 3 2 3故 ，而 2a2 1 0 a
1
a 2 3
a a
2 ，故 2 ，故 2 ， a3 1 3
由等差数列的性质和等比数列的性质可得当 2增大时， 4也增大. ；
8 2 2 2
2a a 2 a2
1 若先“等差组”，再“等比组”，则 a4
2 1 4a2 1 4a1 ，
若 A为“等比组”， A 为“等比组”，则 a 4 a
3 2 4 a a
1 2 2 1 23 ， a3 23 ；
2 2
1 a
由 a3 2a 12 a1 0 得 a2 ，
A 2 2若 1为“等比组”， A2 为“等差组”，则 a2 a1a3 a3 , 2a3 a2 a4 a2 4，
故由双勾函数的性质可得 a2增大时， a4也增大；
2a2 1 2 a
若先“等比组”，再“等差组”，则 a 2 a a 1 14 a 2 a 2
，
1 1 4

16a1
而 a2 a1，故 a2增大时， a4也增大，故命题成立.
对于数列 an 满足 a1 1,a2 2 ， a2 a1 ，
而 Ai i 1,2, ,10 中恰有 5 组“等差组”和 5 组“等比组”，
要使得 a12 的最大，则前述两个命题可得需前 5组为“等比组”，
后 5 组为“等差组”，此时12个数分别为1, 2, 4,8,16,32,64,96,128,160,192, 224 ，
故 a12 的最大可能值为 224 .

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