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陕西省汉中市西乡县2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．年春《哪吒之魔童闹海》横空出世，我们共同见证了中国影视首部百亿影片登顶全球动画电影榜，大量传统的中国色彩，唤醒了刻在我们骨子里的极致审美，《哪吒2》在部分关键镜头中甚至达到了每秒帧，每帧画面仅用时大约，使得画面效果更加震撼，数据可用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，已知直线相交于点，点为垂足，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（ ）
A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖
6．社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程与时间的图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（ ）
A．小王实际骑行时间为
B．内，小王派送快递的平均速度是
C．小王骑行的平均速度比快
D．点表示小王出发，共骑行
7．如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
8．如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
9．已知，则 ．
10．如图，点在同一直线上，，且，已知，，则的长为 ．
11．二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为 ．
12．如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，．则的长为 ．
13．如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等．
三、解答题
14．计算：
15．先化简，再求值：，其中．
16．如图，在中，，用尺规作图法，在上求作一点，使点到的距离相等．
17．如图，在所给网格图中每小格均为边长是1的正方形．的顶点均在格点上，请完成下列各题：（用直尺画图）．
(1)画出关于直线对称的；
(2)在直线上画出点，使最小．
18．如图，的底边，当边上的高由小到大变化时，的面积也随之发生了变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是____________；
(2)如果边上的高为，请写出的面积与高的关系式：____________；
(3)当边上的高由变到时，的面积怎么变化？
19．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图1是某单车实物图，图2是其示意图，其中，，已知，试说明．
20．我县某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成个扇形．商场规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．
(1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是____________；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”）
(2)计算：转动一次转盘获得元、元、元购物券的概率分别是多少？
(3)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的概率和未得到购物券的概率，哪个大？
21．《几何原本》的第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)观察图②，直接写出下列三个式子“”之间的等量关系式为：____________；
(2)若m，n均为实数，且，运用（1）所得到的公式，求的值；
22．如图，在等腰中，是边上的中线，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接．
(1)试判断线段与的数量关系，并说明理由；
(2)求的度数．
23．“五一”假期，小明和父母开车到距家180千米的西乡旅游．出发前，汽车油箱内储油36升；行驶途中，小明发现油量随着里程均匀变化；当行驶160千米时，发现油箱余油量为20升．
(1)求：
①汽车平均每千米的耗油量；
②行驶路程x（千米）与剩余油量（升）的关系式；
(2)当千米时，求剩余油量（升）的值；
(3)当油箱中剩余油量低于4升时，汽车将自动报警．若往返途中，都未加油．小明一家能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
24．如图，在中，点是上一点，，过点作，且．
(1)求证：；
(2)若点是的中点，的面积为9，求四边形的面积．
25．根据以下素材，探索完成任务．
荡秋千问题
素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．
素材2 如图，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．
问题解决
任务1 与全等吗？请说明理由．
任务2 当爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面有多高？
26．【新知】在中，若，则，即是等腰三角形．
【解决问题】如图，已知正方形中点E为边上异于点A、B的一动点，，交于点，连接．点为延长线上一定点，满足．的延长线与交于点，连接．（备注：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
(1)判断的形状；
(2)试说明：；
(3)探究是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由．
参考答案
1．D
解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．C
解：∵，
故选：C．
3．D
解：．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算正确，故该选项符合题意；
故选：D．
4．B
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：B．
5．D
解：原卡片中不可能事件有3个（水中捞月、一步登天、刻舟求剑），必然事件有2个（水满则溢、水涨船高），增加一张卡片后总数为6张；若新增卡片为必然事件，则必然事件数量变为3，与不可能事件数量3相等，此时两者的概率均为；
选项D“瓮中捉鳖”是必然事件，满足条件；
故选：D.
6．D
解：A、由函数图象可得，小王实际骑行时间为，原说法错误，不符合题意；
B、由函数图象可得，内，小王派送快递的平均速度是
，原说法错误，不符合题意；
C、由函数图象可得，小王骑行的平均速度为，小王骑行的平均速度为，由于，故原说法错误，不符合题意；
D、由函数图象可得，点表示小王出发，共骑行，原说法正确，符合题意；
故选：D．
7．A
解：，
∴需要类卡片的张数为6，
故选：A．
8．B
解：∵平分，恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，即是的高，故①正确；
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，即是的中线，故②正确；
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
但不能证明，故③错误；
过点D作于点G，如图所示：
∵平分，平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可知，
∵，
∴，故④正确，
∴正确的有①②④，
故选：B．
9．/
解：．
故答案为：．
10．
解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，即
∵，，
∴，
∴．
故答案为：8.5．
11．
解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为，
故答案为：．
12．4
解：如图所示，过点作于点，
∵是的角平分线，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4 ．
13．1或
解：在长方形中，，，
∴，
当点P在上时，若，
∵，，，
∴，满足条件，
此时；
当点P在上时，若，
∵，，，
∴，满足条件，
此时；
综上所述，当t的值为1或秒时，和全等．
故答案为：1或．
14．1
解：原式
．
15．；3
解：
；
当时，原式．
16．见解析
解：如图：点P即为所求．
17．(1)见详解；
(2)见详解．
（1）解：如图，分别作出点的对应点，顺次连接得，即为所求；
（2）解：如图，连接，交直线于点，连接，此时最小，则点即为所求。
18．(1)边上的高；的面积
(2)
(3)由变化到
（1）解：∵的面积也随高线的变化而变化，
∴边上的高是自变量，的面积是因变量．
故答案为：边上的高；的面积．
（2）解：由三角形的面积公式可得：
故答案为：．
（3）解：当时，的面积为；
当时，的面积为；
所以的面积由变化到．
19．见解析
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
20．(1)不可能事件
(2)
(3)得不到购物券的概率大
（1）解：∵转盘只设置了红色、黄色或绿色区域，分别对应元、元、元的购物券，
∴“转动一次转盘获得100元的购物券”是不可能事件；
（2）解：转动一次转盘共有16种等可能的结果．
其中：转动一次转盘获得50元购物券的结果，有1种；
转动一次转盘获得30元购物券的结果，有2种；
转动一次转盘获得20元购物券的结果，有3种．
转动一次转盘获得50元购物券的概率为，
转动一次转盘获得30元购物券的概率为，
转动一次转盘获得20元购物券的概率为．
（3）解：转动一次转盘共有16种等可能的结果．
其中：转动一次转盘得到购物券的结果有种，得不到购物券的结果有种，
转动一次转盘得到购物券的概率为，
得不到购物券的概率为，
，
得不到购物券的概率大．
21．(1)
(2)
（1）解：由图可得：
大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：，
大正方形边长为，故面积也可表达为：，
∴．
故答案为：．
（2）解：由（1）的结论可得：，
，
．
22．(1)，见解析
(2)
（1）解：，理由如下：
如图，连接．
垂直平分，
，
是边上的中线，
垂直平分，平分，
又点在线段上，
，
即：；
（2）解：，平分，
，，
∵，
∴，
∴．
23．(1)①汽车平均每千米的耗油量为升；②
(2)12升
(3)不能，见解析
（1）解：①∵小明发现油量随着里程均匀变化；当行驶160千米时，发现油箱余油量为20升．
∴（升）
即汽车平均每千米的耗油量为升；
②依题意，汽车平均每千米的耗油量为升；
∴行驶路程x（千米）与剩余油量（升）的关系式为；
（2）解：依题意，把代入，
得，
∴剩余油量升)的值为12升；
（3）解：不能，理由如下：
依题意，把代入，
得，
解得，
则往返途中，（千米） ，
∵，
∴小明一家不能在汽车报警前回到家．
24．(1)证明见解析
(2)27
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：由（1）已证：，
∴，
∵的面积为9，
∴，
∵点是的中点，
∴是的中线，
∴，
∴四边形的面积为．
25．任务1：见解析；任务2：
解：任务1：与全等，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
任务2：如图：∵，
∴，
∴，
∴．
∴小丽距离地面的高度为．
26．(1)是等腰直角三角形
(2)见解析
(3)是定值，为，理由见解析
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴；
（3）解：是定值，为，理由如下：
如图，在取点M使，连接，
由（2）得：，
∴，
∴，
即，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴为等腰直角三角形，
∴．

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