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第一章　勾股定理
1．1　探索勾股定理
第1课时　探索勾股定理
学习目标
【知识与技能】
经历勾股定理的发现过程，了解并掌握勾股定理的内容。
【过程与方法】
通过对勾股定理的探索，在探索实践中理解并掌握勾股定理。
学习重难点
【重点】
勾股定理的内容及探究。
【难点】
勾股定理的探究。
学习过程
一、创设情境，引入新课
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言。这个事实说明了勾股定理的重大意义。尤其在两千年前，这是非常了不起的成就。
画一个直角边分别为3 cm和4 cm的Rt△ABC，用刻度尺量出斜边的长。
勾股定理是三千多年前我国古代一个叫商高的人发现的，他说：“将一把直尺折成直角，两段连接得一直角三角形，勾广三，股修四，径隅五。”后面这句话的意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3，长的直角边(股)的长是4，那么斜边(弦)的长是5。再画一个两直角边长分别为5和12的Rt△ABC，用刻度尺量出斜边的长。
你是否发现32＋42与52的关系，52＋122和132的关系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有勾2＋股2＝弦2。
再画出几个三角形，分别测量它们的三条边，看看它们是否也有这个性质。
二、学习新课
1．观察并思考：
(1)图①中三个正方形之间会有什么样的关系？你是用什么方法得到的？试说一说你的方法。
(2)以等腰直角三角形的两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么样的关系？
归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
思考：其他一般的直角三角形三边之间是否也具备这种特殊关系呢？
(3)计算图②中三个正方形的面积，它们之间有什么关系？试说一说你的想法。
用数格子的方法初步体验结论。
归纳验证，得出定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
a2＋b2＝c2。
2．命名“勾股定理”，介绍“勾，股，弦”的含义，即在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦。
三、例题学习
【例1】　勾股定理的具体内容是：__________________。
解：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2
【例2】　已知△ABC的三边长分别为a，b，c，若满足b2＝a2＋c2，则________＝90°；若满足b2>c2＋a2，则∠B是________角；若满足b2解：∠B　钝　锐
【例3】　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，它的主要性质是：(用几何语言表示)
(1)两锐角之间的关系：________；
(2)三边之间的关系是________。
解：(1)∠A＋∠B＝90°
(2)AC2＋BC2＝AB2
【例4】　已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c。
(1)若a＝6，b＝8，求c；
(2)若a＝15，c＝17，求b。
解：(1)根据勾股定理，得c2＝a2＋b2＝62＋82＝100。因为c>0，所以c＝10。
(2)根据勾股定理，得b2＝c2－a2＝172－152＝64。因为b>0，所以b＝8。
四、巩固练习
1．已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，a，b，c是△ABC的三边，则
(1)c2＝________(已知a，b，求c)；
(2)a2＝________(已知b，c，求a)；
(3)b2＝________(已知a，c，求b)。
解：(1)b2－a2　(2)b2－c2　(3)c2＋a2
2．如下表，表中所给的每行的三个数a，b，c，有a3，4，5 32＋42＝52
5，12，13 52＋122＝132
7，24，25 72＋242＝252
9，40，41 92＋402＝412
…… ……
19，b，c 192＋b2＝c2
解：则b＝，c＝；
当a＝19时，b＝180，c＝181。
3．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝10 cm，一动点P沿BC边从B向C以每秒 2 cm的速度移动，则当P点移动多少秒时，PA与腰垂直？
解：5 s或10 s。
第2课时　验证勾股定理及简单应用
学习目标
【知识与技能】
勾股定理的面积证法；会用勾股定理进行简单的计算。
【过程与方法】
1．数形结合，鼓励运用数形结合的方法进一步探究勾股定理，并在做题时，尽量画出图形，逐渐做到灵活运用。
2．分类讨论，画好图后进行标示，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高灵活应用的能力。
学习重难点
【重点】
勾股定理的面积证法。
【难点】
勾股定理的灵活运用。
学习过程
一、创设情境，引入新课
1．复习勾股定理的文字叙述、勾股定理的符号语言及变形。
2．用割补法验证勾股定理。
前面用测量和数方格的方法验证了勾股定理，实际上对于勾股定理的证明，到目前为止，已有几百种之多，下面看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个定理的。
a．以Rt△ABC的两条直角边a，b为边作两个正方形，你能通过剪、拼把它拼成下图的样子吗？
b．它们的面积分别怎样表示？它们之间有什么关系？
c．利用自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证法。想一想：还有什么方法？
3．学习勾股定理重在应用。
(1)在解决问题时，需知道每个直角三角形的几个条件？
(2)直角三角形中哪条边最长？
(3)在长方形ABCD中，宽AB为1 m，长BC为2 m，求AC的长。在长方形ABCD中，AB，BC，AC之间的大小关系是怎样的？
(4)Rt△ABC的三边a，b，c满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，求Rt△ABC斜边上的高；
(5)已知△ABC的三边分别为a，b，c且a＋b＝4，ab＝1，求斜边c的长度。
二、例题学习
【例1】　填空题。
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，则c＝________；
(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝5，则c＝________；
(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，则a＝________，b＝________；
(4)一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的三边长分别为________。
解：(1)17　(2)4　(3)6　8　(4)6，8，10
【例2】　已知，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c。试说明a2＋b2＝c2。
分析：(1)准备多个三角形模型，最好是有颜色的纸，拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
(2)拼图如图所示，其等量关系为4S三角形＋S小正方形＝S大正方形，(a＋b)2－4×ab＝c2，化简可证。
解：略。
【例3】　在Rt△ABC中，∠C＝90°。
(1)已知a＝b＝5，求c2；
(2)已知a＝1，c＝2，求b2；
(3)已知c＝17，b＝8，求a；
(4)已知a∶b＝1∶2，c＝5，求a2。
解：(1)50。　(2)3。　(3)15。　(4)5。
【例4】　已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边的长的平方。
分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进行计算。考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
解：119或169。
【例5】　已知等腰三角形的腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
解：设等腰三角形底边上的高为h，由题意得
＋h2＝102，所以h＝6。
所以该等腰三角形的面积为×16×6＝48。
【例6】　如图，一个5 m长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为 m。
(1)求梯子的底端B到墙角O的距离；
(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑 m至C。算一算底端滑动的距离。
解：(1)OB＝(m)。
(2)BD＝(m)。
【例7】　我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽车与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出示意图，其中点A表示小王所在位置，点C、点B表示两个时刻敌方汽车的位置。由于小王距离公路400 m，因此∠C是直角，这样就可以由勾股定理来解决这个问题了。
解：画示意图如图所示，由勾股定理，可以得到AB2＝BC2＋AC2，也就是5002＝BC2＋4002，所以BC＝300。
敌方汽车10 s行驶了300 m，那么它1 h行驶的距离为300×6×60＝108 000(m)，即它行驶的速度为108 km/h。
【例8】　根据下图，利用面积法证明勾股定理。
解：因为S梯形ABCD＝S△ABE＋S△BCE＋S△EDA，
又因为S梯形ABCD＝(a＋b)2，
S△BCE＝S△EDA＝ab，S△ABE＝c2，
所以(a＋b)2＝2×ab＋c2，
所以a2＋b2＝c2，
所以勾股定理得证。
三、巩固练习
1．填空题。
在Rt△ABC中，∠C＝90°。
(1)如果a＝7，c＝25，则b＝________；
(2)如果∠A＝45°，a＝3，则c2＝________；
(3)如果c＝10，a－b＝2，则b＝________；
(4)如果a，b，c是连续整数，则a＋b＋c＝______；
(5)如果b＝8，a∶c＝3∶5，则c＝________。
解：(1)24　(2)18　(3)6　(4)12　(5)10
2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B＝45°，CD＝1 cm，求BC的长。
解：BC的长为2 cm。

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