资源简介

1．2　一定是直角三角形吗
学习目标
【知识与技能】
了解勾股定理的逆定理。
【过程与方法】
1．经历探究勾股定理的逆定理的过程，发展逻辑思维能力和空间想象能力。
2．经历勾股定理的逆定理的探究过程，培养严谨的学习态度和实事求是的求学精神。
学习重难点
【重点】
勾股定理的逆定理的探究。
【难点】
理解并掌握勾股定理的逆定理。
学习过程
一、创设情境，引入新课
以下列各组线段为边长，能构成三角形的是①③④⑥⑦，能构成直角三角形的是①④⑥⑦。(均选填序号)
①3，4，5　②1，3，4　③4，4，6　④6，8，10
⑤5，7，2　⑥13，5，12　⑦7，25，24
以每组数为三边长画出三角形，并量一量判断它们是否是直角三角形。
构成直角三角形的每组数中三个数之间有什么关系？
①④⑥⑦中的两个数的平方和等于另一个数的平方。
由此我们得到勾股定理的逆定理：如果三角形中的两边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
二、学习新课
该如何证明勾股定理的逆定理呢？
思路：△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2。如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形能够重合，实际情况是这样吗？
我们画一个Rt△A′B′C′，使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°(如图)，把画好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，它们能重合吗？
通过操作我们发现两个三角形能重合，∠C＝∠C′＝90°，所以△ABC为直角三角形。
所以勾股定理的逆定理得证。
定义：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数。
三、例题学习
【例1】　根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形。
(1)a＝7，b＝24，c＝25；
(2)a＝，b＝1，c＝。
解：(1)因为72＋242＝252，所以以7，24，25为边的三角形是直角三角形。
(2)因为＋＝≠12，所以以，1，为边的三角形不是直角三角形。
【例2】　已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m>n，m，n是正整数)。△ABC是直角三角形吗？请说明理由。
解：因为a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m>n，m，n是正整数)，所以a2＋b2＝(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝m4＋2m2n2＋n4，c2＝(m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4。所以a2＋b2＝c2。所以△ABC是直角三角形。
【例3】　将一根30 m长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比短边长7 m，比长边短1 m，请判断这个三角形的形状。
分析：(1)若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；(2)设未知数列方程，求出三角形的三边长分别为5，12，13；(3)根据勾股定理的逆定理，由52＋122＝132，知三角形为直角三角形。
解：略。
【例4】　一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量出了这个零件各边的尺寸，那么这个零件符合要求吗？
分析：这是一个利用勾股定理的逆定理判定直角三角形解决实际问题的例子。
解：在△ABD中，AB2＋AD2＝25＝BD2，
所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。
在△BCD中，BD2＋BC2＝169＝132＝CD2，
所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角。
因此这个零件符合要求。
【例5】　判断以a＝10，b＝8，c＝6为边组成的三角形是不是直角三角形。
解：因为a2＋b2＝100＋64＝164≠c2，
即a2＋b2≠c2，所以以a，b，c为边不能组成直角三角形。
请问：上述解法对吗？为什么？
解：上述解法是不对的。因为a＝10，b＝8，c＝6，b2＋c2＝100＝102＝a2，即b2＋c2＝a2。所以由a，b，c组成的三角形两边的平方和等于第三边的平方，利用勾股定理可知a，b，c可构成直角三角形的三边，其中a是斜边，b，c是两直角边。
小结：在解题时，我们不能简单地看两边的平方和是否等于第三边的平方，而应先判断哪一条边有可能作为斜边。往往只需看最大边的平方是否等于另外两边的平方和。
四、巩固练习
1．一根24 m长的绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为________，此三角形的形状为________。
解：6 m，8 m，10 m　直角三角形
2．如图，一根12 m长的电线杆AB，用铁丝AC，AD固定，现已知用去铁丝AC＝15 m，AD＝13 m，又测得地面上B，C两点之间距离是9 m，B，D两点之间距离是5 m，则电线杆和地面是否垂直，为什么？
解：△ABC，△ABD都是直角三角形，电线杆和地面垂直。
3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地，种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB＝4 m，BC＝3 m，CD＝13 m，DA＝12 m，又已知∠B＝90°，请帮小明计算一下。
解：连接AC。AC2＝AB2＋BC2＝25，
AC2＋AD2＝CD2，因此∠CAD＝90°，
S四边形ABCD＝S△ADC＋S△ABC＝36 m2。

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