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第二章　实　数
2．1　认识实数
学习目标
【知识与技能】
1．通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。
2．能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由。
3．了解实数的意义，会对实数进行分类，了解实数范围内绝对值、倒数和相反数的意义。
【过程与方法】
1．亲自动手实践，感受无理数存在的必要性和合理性，培养动手能力和合作精神。
2．通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练思维判断能力。
3．通过讲解及练习，正确理解实数的意义以及实数的分类。
学习重难点
【重点】
1．感知生活中确实存在着不同于有理数的数。
2．会判断一个数是否为有理数或无理数。
3．理解实数的概念。
【难点】
1．把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程。
2．判断一个数是否为有理数。
3．运用所学知识解决问题。
学习过程
一、创设情境，引入新课
我们已经学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？
二、学习新课
1．拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。
做法总结如下：
(1)假设拼成的大正方形的边长为a，那么a应满足什么条件呢？
分析：①a是正方形的边长，所以a肯定是正数。
②因为两个小正方形的面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形的面积公式可知a2＝2。
③由a2＝2可判断a应是1点几。……
(2)前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？a是分数吗？
分析：①因为12＝1，22＝4，32＝9，…，可知整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数。
②因为×＝，×＝，×＝，…，两个相同分数的乘积都为分数，所以a不可能是分数。
因此在等式a2＝2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了。
2．(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
(2)设该正方形的边长为b，那么b应满足什么条件呢？
(3)b是有理数吗？
先回忆一下勾股定理的内容。
在直角三角形中，若两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则有a2＋b2＝c2。
在这道题中，两条直角边长分别为1和2，斜边长为b，根据勾股定理得b2＝12＋22，即b2＝5，那么b是有理数吗？
讨论①：因为22＝4，32＝9，22讨论②：没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数。
讨论③：因为没有一个整数或分数的平方为5，所以b不是有理数。
3．面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
(1)如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由；
(2)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索；
(3)小明将他的探索过程整理如下，你的结果呢？
边长a 面积S
11.41.411.4141.414 2　　事实上，a＝1.414 213 56…是一个无限不循环小数。同样，对于体积为2的正方体，借助计算器，可以得到它的棱长为1.259 921 05…，它也是一个无限不循环小数。把下列各数表示成小数：
3，，，－，。
通过计算，发现了什么？
这些数可以用有限小数表示，或者可以用无限循环小数表示。
事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。我们把无限不循环小数称为无理数。我们十分熟悉的圆周率π＝3.141 592 65…也是一个无限不循环小数，因此它也是一个无理数。还有如0.585 885 888 588 885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)，也是无理数。
有理数和无理数统称实数。
实数
像有理数一样，无理数也有正负之分。
无理数
由于非零有理数和无理数都有正、负之分，所以实数可以这样分类：
实数
每个有理数都可以用数轴上的点来表示，无理数也可以用数轴上的点来表示。
4．阅读下列问题：
(1)如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？
解：因为这个圆的周长为π。
所以点O′在数轴上对应的数是π。
(2)如何在数轴上表示a，使a2＝2
解：如图所示。
归纳：
(1)每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，即数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数；
(2)实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数；
(3)在数轴上，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于倒数、相反数和绝对值的意义同样适合于实数。
三、例题学习
【例1】　下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3．14，－，0.，0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)。
解：有理数：3.14，－，0.；
无理数：0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)。
【例2】　把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“<”连接)。
，－π，1.5，－1.7。
分析：对于π等无理数，可以取其适当的近似值，把它们近似地表示在数轴上，如取π≈3。
解：把，－π，1.5，－1.7表示在数轴上，如图所示，
所以－π<－1.7<1.5<。
四、巩固练习
1．填空：
－π的相反数是____，0的相反数是____，
π的倒数是____，|－π|＝____，
|0|＝____。
解：π　0　　π　0
2．完成下面的题目：
(1)分别写出π－3.14的相反数和倒数；
解：相反数：3.14－π；倒数：。
(2)若a2＝16(a＜0)，求 a的绝对值和倒数；
解：绝对值：4，倒数：－。
(3)已知一个数的绝对值是π，求这个数。
解：±π。

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