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2．2　平方根与立方根
第1课时　算术平方根
学习目标
【知识与技能】
理解并掌握算术平方根的定义，会求一个数的算术平方根。
【过程与方法】
掌握求一个数的算术平方根的方法。
学习重难点
【重点】　　
算术平方根的概念及其符号表示。
【难点】　　
求一个数的算术平方根。
学习过程
一、创设情境，引入新课
学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴。想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
解：这个正方形画布的边长应取 5 dm。
二、学习新课
填表：
正方形的面积 1 9 16 36
边长 1 3 4 6
上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根。记作，读作“根号a”，a叫作被开方数。
规定：0的算术平方根是0，即＝0。
三、例题学习
【例1】　求下列各数的算术平方根：
(1)100；(2)；(3)0.000 1；(4)14。
解：(1)因为102＝100。所以100的算术平方根是10，即＝10。
(2)因为＝，所以的算术平方根是，即＝。
(3)因为0.012＝0.000 1，所以0.000 1的算术平方根是0.01，即＝0.01。
(4)14的算术平方根是。
【例2】　自由下落物体下落的距离s(m)与下落时间t(s)的关系为s＝4.9t2。有一铁球从19.6 m高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解：将s＝19.6代入公式s＝4.9t2，得 t2＝4，
所以t＝＝2(s)，即铁球到达地面需要2 s。
第2课时　平方根
学习目标
【知识与技能】
数的开方意义、平方根的意义、平方根的表示方法。
【过程与方法】
理解数的开方、平方根的概念。
学习重难点
【重点】
平方根。
【难点】
正确理解平方根的意义。
学习过程
一、创设情境，引入新课
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
3
除此之外，还有没有别的数的平方也等于9呢？
－3
所以，若一个数的平方等于9，那么这个数是3或－3。
二、学习新课
填表。
x2 1 16 36 49
x ±1 ±4 ±6 ±7 ±
通过填表，我们不难得出：
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根或二次方根．用字母叙述为：
如果x2＝a，则x叫作a的平方根。
例如：3和－3是9的平方根，简记为±3是9的平方根。
求一个数a的平方根的运算，叫作开平方。
如图。
平方与开平方互为逆运算。
我们可以根据这种运算关系，来求一个数的平方根。
三、例题学习
【例1】　求下列各数的平方根：
(1)64；(2)；(3)0.000 4；(4)(－25)2；(5)11。
解：(1)因为(±8)2＝64，所以64的平方根是±8，即±＝±8。
(2)因为＝，所以的平方根是±，即±＝±。
(3)因为(±0.02)2＝0.000 4，所以0.000 4的平方根是±0.02，即±＝±0.02。
(4)因为(±25)2＝(－25)2，所以(－25)2的平方根是±25，即
±＝±25。
(5)11的平方根是±。
正数、负数、0的平方根有何特点？
正数的平方根有两个，它们互为相反数，正的平方根是这个数的算术平方根。
因为负数的平方是正数，所以在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数。所以负数没有平方根。因为02＝0，所以0的平方根是0。
归纳：
(1)正数a有两个平方根，一个是算术平方根，另一个是－，它们互为相反数；
(2)负数没有平方根；
(3)0的平方根是0；
(4)正数a的平方根表示为±，读作“正、负根号a”；
如：± 读作正、负根号9。
(5)只有当a≥0时有意义，a<0时无意义。因为负数没有平方根。
【例2】　求下列各式的值：
(1)；(2)－；(3)±。
解：(1)因为122＝144，所以＝12。
(2)因为0.92＝0.81，所以－＝－0.9。
(3)因为＝，所以±＝±。
第3课时　立方根
学习目标
【知识与技能】
掌握立方根的定义以及正数、负数、0的立方根的特点。
【过程与方法】
正确理解立方根的定义。
学习重难点
【重点】　　
掌握立方根的定义。
【难点】　　
运用所学知识解决问题。
学习过程
一、创设情境，引入新课
1．要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
解：设这种包装箱的边长为x m，则
x3＝27。因为33＝27，所以x＝3。
即这种包装箱的边长为3 m。
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根或三次方根。
即：如果x3＝a，那么x叫作a的立方根。比如：
因为33＝27，所以3是27的立方根。
求一个数的立方根的运算，叫作开立方。
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。
2．根据立方根的意义填空，看看正数、0和负数的立方根各有什么特点？
因为23＝8，所以8的立方根是(　2　)；
因为(　0.5　)3＝0.125，所以0.125的立方根是(　0.5　)；因为(　0　)3＝0，所以0的立方根是(　0　)；因为(　－2　)3＝－8，所以－8的立方根是(　－2　)；因为＝－，所以－的立方根是。
归纳：
正数的立方根是正数。
负数的立方根是负数。
0的立方根是0。
3．请说说数的平方根与数的立方根有什么不同？
每一个数均有一个立方根，而负数没有平方根。
4．一个数a的立方根的表示方法：
，读作“三次根号a”。
其中a是被开方数，3是根指数。
如 表示8的立方根，即 ＝2。
表示－8的立方根，即＝－2。
中的根指数3不能省略。
注：算术平方根的符号，实际上省略了2中的根指数2，因此也可读作“二次根号a”。
二、例题学习
【例1】　求下列各数的立方根：
(1)27；(2)－27；(3)； (4)－0.064；(5)0。
解：(1)因为33＝27，所以27的立方根是3，
即＝3。
(2)因为(－3)3＝－27，所以－27的立方根是－3，
即3＝－3。
(3)因为＝，所以的立方根是，
即 ＝。
(4)因为(－0.4)3＝－0.064，所以－0.064的立方根是－0.4，即＝－0.4。
(5)因为03＝0，所以0的立方根是0，即3＝0。
【例2】　求下列各式的值：
(1)3；(2)3；(3)－3；
(4)(3)3。
解：(1)＝＝－2。
(2)＝3＝0.4。
(3)－＝－＝－。
(4)()3＝9。
三、巩固练习
1．填空：
因为＝____，＝____。
所以____－。
因为＝____，－＝____。
所以____－。
一般地，____－3。
解：－2　－2　＝　－3　－3　＝　＝
2．求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)。
解：(1)＝4。(2)＝－5。
(3)＝＝。
通过计算可知(3)3＝a，＝a。
注：其实，很多有理数的立方根是无限不循环小数。
如，等都是无限不循环小数，可以用有理数、近似数表示它们。
第4课时　估算与用计算器开方
学习目标
【知识与技能】
1．掌握估算的方法，能估计一个无理数的大致范围，培养估算的意识，发展数感。
2．会用计算器求平方根和立方根。
【过程与方法】
1．通过估算检验计算结果的合理性，估计一个无理数的大致范围，并通过估算比较两个数的大小。
2．鼓励自己探索计算器的使用方法，经历用计算器探求数学规律的活动，发展探究能力和合情推理的能力。
3．体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
学习重难点
【重点】
1．理解估算的意义，发展数感。
2．掌握估算的方法，并能通过估算比较两个数的大小。
3．会用计算器求平方根和立方根。
【难点】
1．用计算器探究数学规律。
2．经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力。
学习过程
一、创设情境，引入新课
前几节课分别学方根和立方根的定义，知道了乘方与开方互为逆运算。比如23＝8，2叫作8的立方根，8叫作2的立方，有时可以根据逆运算来求方根。对于10以内数的立方、20以内数的平方要牢记在心，这样可以根据逆运算快速地求出这些特殊数的平方根或立方根，那么对于非特殊的数我们应怎样求出它们的平方根或立方根呢？
我们可以用计算器开方。
二、学习新课
1．某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2。
(1)公园的宽大约是多少？它有1 000 m吗？
(2)如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少？
(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，你能估计它的半径吗？(结果精确到1 m)
解：(1)(2)略。
(3)设半径为x m，则有
πx2＝800，所以x2＝，即x2≈255。
因为102＝100，1002＝10 000，
所以x应是两位数。
又因为152＝225，162＝256，
所以x就比15大比16小，应为15点几。
估算的步骤如下：
①估计是几位数。
②确定最高位上的数字。(如百位)
③确定下一位上的数字。(如十位)
④依此类推，直到确定出个位上的数字，或者按要求精确到小数点后的某一位。
2．(1)下列计算结果正确吗？
≈0.066；3≈96；≈60.4。
(2)你能估算3的大小吗？(结果精确到1)
解：(1)第1个错。因为0.652＝0.422 5，
0．662＝0.435 6，而0.43大于 0.422 5小于0.435 6，
所以 应大于0.65小于0.66，所以估算错误；
第2个错。因为10的立方是1 000，900比1 000小，所以900的立方根应比1 000的立方根小，即小于10，所以估算错误；
第3个错。因为60的平方是3 600，而2 536小于3 600，所以 应比60小，所以估算错误。
(2)首先确定位数：因为1的立方为1，10的立方为1 000，900大于1小于1 000，所以应是一位数。然后确定个位上的数字：因为9的立方为729，所以个位上的数字应为9。
3．熟悉计算器的操作步骤。
三、例题学习
【例1】　生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定，现有一长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6 m高的墙头吗？
解：设梯子稳定摆放的高度为x m，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的，根据勾股定理，有x2＋＝62，即x2＝32，x＝。
因为5.62＝31.36<32，所以>5.6。
因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6 m高的墙头。
【例2】　利用计算器比较3和的大小。
解：按键，显示1.442 249 57。
按键，显示1.414 213 562。
所以3>。
【例3】　利用计算器，求下列各式的值(结果保留4个有效数字)：
(1)；(2)；(3)；(4)。
解：(1)≈28.28。 (2)≈1.639。
(3)≈0.761 6。
(4)≈－0.756 0。
【例4】　请判断下面求立方根与平方根的结果是否正确。
(1)≈35.1；(2)≈10.6；
(3)≈9.5；(4)≈231。
解：(1)正确。
(2)正确。
(3)错。≈94.6。
(4)错。≈23.1。
归纳：
(1)任何一个正数，不管它是大于1的正数，还是小于1的正数，一直进行开平方运算，运算的结果越来越接近1；
(2)任何一个正数，利用计算器进行开立方计算，对所得结果再进行开立方运算……随着开方次数的增加，结果越来越接近1。

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