资源简介

2．3　二次根式
第1课时　二次根式的定义与乘除运算
学习目标
【知识与技能】
1．了解二次根式及最简二次根式的概念。
2．会化简二次根式。
3．会进行简单的二次根式乘除运算。
【过程与方法】
经历观察、分析、讨论、归纳二次根式及最简二次根式的过程，提高归纳概括能力和语言表达能力。
学习重难点
【重点】
理解并掌握二次根式及最简二次根式的概念，化简二次根式。
【难点】
二次根式的乘除运算。
学习过程
一、创设情境，引入新课
1．什么叫作平方根？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根。
2．什么叫作算术平方根？
正数的正的平方根以及零的平方根，统称算术平方根。
3．非负数a的算术平方根用 (a≥0)表示。一般地，例如(a≥0)的式子，我们叫作二次根式。
二、学习新课
1．一般地，形如 (a≥0)的式子，叫作二次根式，a叫作被开方数。那么二次根式具有什么性质呢？请完成以下填空：
＝6，×＝6；
＝10，×＝10；
＝1，
×＝1；
＝，÷＝。
2．根据上面的猜想，估计下列式子是否相等，再借助计算器验证。
与÷。
3．通过探究，我们可以发现积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质。即：
(1)积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积(各因式必须是非负数)，即＝·(a≥0，b≥0)；
(2)商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。(被除式必须是非负数，除式必须是正数)，即＝(a≥0，b＞0)。
4．二次根式的乘除运算法则。
·＝(a≥0，b≥0)，
＝(a≥0，b>0)。
即将二次根式的性质等式左右两边对换，就得到二次根式的乘法法则和除法法则。
三、例题学习
【例1】　化简：
(1)；(2)；(3)。
解：(1)＝×＝9×8＝72。
(2)＝×＝5。
(3)＝＝。
例1的化简结果5，中，被开方数中都不含分母，也不含能开得尽方的因数。一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。
化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。
【例2】　化简：
(1)；(2)；(3)。
解：(1)＝＝×＝5。
(2)＝＝＝。
(3)＝＝。
小结：判断最简二次根式的方法：通常将不含分母的被开方数分解因数或因式后，不含能开得尽方的因数或因式，即为最简二次根式。
【例3】　先化简，再求出下面算式的近似值(精确到0.01)。
(1)；
(2)；　(3)。
解：(1)＝＝
＝·＝12≈20.78。
(2)＝＝＝≈1.01。
(3)＝＝
＝10－2×＝0.01×≈0.02。
【例4】　计算：
(1)×；　(2)；　(3)。
解：(1)×＝
＝＝。
(2)＝＝。
(3)＝＝＝＝。
小结：二次根式的乘除运算的一般步骤：(1)运用法则，化归为根号内的实数运算；(2)完成根号内乘除运算；(3)化简二次根式。
四、巩固练习
1．计算：
(1)；(2)；(3)。
解：(1)165。　(2)4。　(3)。
2．化简：－。
解：原式＝－＝。
3．若b>0，x<0，化简：－。
解：原式＝－＝－
＝－＝。
第2课时　二次根式的性质与加减运算
学习目标
【知识与技能】
1．了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的。
2．会进行简单的二次根式加减运算。
【过程与方法】
进一步了解数学知识之间是相互联系的。
学习重难点
【重点】
二次根式的加减运算。
【难点】
熟练地进行二次根式的加减运算。
学习过程
一、创设情境，引入新课
1．二次根式的性质：(1)()2＝a(a≥0)；
(2)＝·(a≥0，b≥0)；
(3)＝
(4)＝(a≥0，b>0)。
2．想一想：你能计算吗？
(1)×　；
(2)×　。
3．提出问题。
(1)两列火车分别运煤2x t和3x t，问这两列火车共运煤多少吨？
(2)两列火车分别运煤2x t和3y t，问这两列火车共运煤多少吨？
这是以前学过的多项式加减法，同类项可以合并，想一想在计算二次根式加减法的时候能运用此类方法吗？
4．请尝试计算以下几题。
(1)3＋4；(2)＋；
(3)＋＋4。
二、学习新课
1．二次根式的加减运算法则。
与合并同类项类似，我们可以把相同二次根式的项合并。
2．下列计算结果哪些正确，哪些不正确？
＋＝；a＋＝a；－＝；
a＋b＝(a＋b)；
－＝－＝0。
三、例题学习
【例1】　先化简，再求出近似值(精确到0.01)。
－－。
解：原式＝－－
＝2－－
＝＝≈1.73。
【例2】　计算：
(1)－；(2)－＋；
(3)＋－。
解：(1)－＝－＝
－＝。
(2)－＋＝－＋＝
3－2＋＝。
(3)＋－＝＋－＝＋－3＝－＋3。
第3课时　二次根式的混合运算
学习目标
【知识与技能】
1．巩固对二次根式的四则混合运算的掌握。
2．进一步学会应用整式的运算法则进行二次根式的运算。
【过程与方法】
引导从特殊到一般，用总结归纳的方法以及类比的方法解决数学问题。
学习重难点
【重点】
进一步应用二次根式的运算法则进行二次根式的四则混合运算。
【难点】
熟练进行二次根式的四则混合运算。
学习过程
一、创设情景，引入新课
1．二次根式的四则混合运算。
二次根式既可以进行乘除运算，也可以进行加减运算。以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用。
2．说说下列算式的运算顺序，并计算出结果。
(1)(＋)×；(2)×56；
(3)×＋×。
二、例题学习
【例1】　计算。
(1)－3×；
(2)×；
(3)(－)÷。
分析：(1)二次根式混合运算的运算次序：先乘除，后加减；(2)整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用；(3)二次根式的运算结果能化简的必须化简。
解：(1)原式＝3－6
＝－3。
(2)原式＝×－3×
＝－3
＝－9。
(3)原式＝÷－÷
＝－
＝4－3
＝1。
【例2】　计算：
(1)3×2；(2)×－5；
(3)(＋1)2；(4)(＋3)(－3)；
(5)×；(6)。
解：(1)3×2＝3×2×＝6。
(2)×－5＝－5＝6－5＝1。
(3)(＋1)2＝5＋2＋1＝6＋2。
(4)(＋3)(－3)＝()2－32＝4。
(5)×＝×－×＝5。
(6)＝＋＝＋＝2＋3＝5。

展开更多......

收起↑