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函数的概念及其表示
环节三 函数的表示（一）
问题1　你能说说函数有哪些表示法吗 它们各自的特点又是什么
我们已经接触过的函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法．
解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，
复习引入
某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时．
这段时间内，列车行进的路程S（单位：h）的关系可以表示为
S＝350t．
问题1　你能说说函数有哪些表示法吗 它们各自的特点又是什么
列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，
复习引入
我们已经接触过的函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法．
表1 我国某居民恩格尔系数变化情况
问题1　你能说说函数有哪些表示法吗 它们各自的特点又是什么
我们已经接触过的函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法．
图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，
复习引入
例1　某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1，2，3，4，5}）个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数 y＝f（x）．
解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}．
用解析法可将函数y＝f（x）表示为
y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．
用列表法可将函数y＝f（x）表示为
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y 5 10 15 20 25
新知探究
解：用图象法可将函数y＝f（x）表示如图．
新知探究
例1　某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1，2，3，4，5}）个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数 y＝f（x）．
追问1　你能说说这个函数与正比例函数y＝5x，x∈R的异同吗？
解析式相同，定义域、值域都不同，从图象上看，
这个函数的图象是由5个离散的点构成的，
正比例函数的图象是一条连续的直线．
新知探究
追问2　比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？
新知探究
追问3　所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请你举出实例加以说明．
不是所有的函数都能用这三种方法表示，
有的函数只能采取某一种表示法．
新知探究
新知探究
追问3　所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请你举出实例加以说明．
图是北京市2016年11月23日空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图．
（1）I是t的函数吗？为什么？
（2）模仿前两个问题，用精确的集合语言和对应关系描述这个实际问题．
列表法
图象法
解析法
追问3　所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请你举出实例加以说明．
狄利克雷函数f（x）＝
新知探究
图象法
例2　 画出函数y＝|x|的图象．
追问1　y＝|x|不属于之前学过的任何一类函数，你能将解析式变形，化为不含绝对值的形式吗？
根据绝对值的定义，分类讨论：
当x＜0时，y＝|x|＝－x；
当x≥0时，y＝|x|＝x．
新知探究
追问2　如何画y＝|x|的图象？
在同一直角坐标系中分别画出y＝－x，
x＜0和y＝x，x≥0的图象，
则y＝|x|的图象就是这两部分图象的组合．
新知探究
追问3　函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？
任意与x轴垂直的直线与图象至多一个交点．
解：由绝对值的概念，我们有
所以，函数y＝|x|的图象如图所示．
y＝
新知探究
例2　 画出函数y＝|x|的图象．
追问4　你能举出生活中可以用分段函数描述的实际问题吗？
像例2中y＝ 这样的函数称为分段函数.
分段函数特点：
在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同．
如出租车的计费、天然气的计费、银行的利率等．
新知探究
例3　给定函数f（x）＝x＋1，g（x）＝（x＋1）2，x∈R，
（1）在同一直角坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象；
（2） x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为
M（x）＝max{f（x），g（x）}．
例如，当x＝2时，M（2）＝max{f（2），g（2）}＝max{3，9}＝9．
请分别用图象法和解析法表示函数M（x）．
新知探究
追问1　如图，你能说说f（x）＞g（x）对应图象上的什么特征吗？
当自变量x的取值相同时，
函数f（x）对应的点比函数g（x）对应的点高．
新知探究
追问2　你能从图象上观察并回答M（x）的取值情况吗？
当x＜－1时，
g（x）＝（x＋1）2的图象位于f（x）＝x＋1的上方，
g（x）＝（x＋1）2为较大者，
此时M（x）＝（x＋1）2；
当－1＜x＜0时，f（x）＝x＋1的图象位于g（x）＝（x＋1）2的上方，
f（x）＝x＋1为较大者，此时M（x）＝x＋1；
新知探究
追问2　你能从图象上观察并回答M（x）的取值情况吗？
当x＞0时，
g（x）＝（x＋1）2的图象位于f（x）＝x＋1的上方，
g（x）＝（x＋1）2为较大者，
此时M（x）＝（x＋1）2；
当x＝－1或x＝0时，g（x）＝（x＋1）2的图象与f（x）＝x＋1相交，
f（x）与g（x）相等，M（x）＝f（x）＝g（x）．
新知探究
追问3　你能用代数方法求出M（x）＝max{f（x），g（x）}的表达式吗？
令f（x）＞g（x），即x＋1＞（x＋1）2，
令g（x）＞f（x），即（x＋1）2＞x＋1，
令f（x）＝g（x），即x＋1＝（x＋1）2，
解得：－1＜x＜0；
解得：x＜－1或x＞0；
新知探究
解得：x＝－1或x＝0．
追问3　你能用代数方法求出M（x）＝max{f（x），g（x）}的表达式吗？
新知探究
综上可得：M（x）＝
例3　给定函数f（x）＝x＋1，g（x）＝（x＋1）2，x∈R，
（1）在同一直角坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象；
（2） x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为
M（x）＝max{f（x），g（x）}．
新知探究
解：（1）在同一直角坐标系中画出函数
图1
f（x）， g（x）的图象（图1）．
例3　给定函数f（x）＝x＋1，g（x）＝（x＋1）2，x∈R，
M（x）＝max{f（x），g（x）}．
新知探究
（2） x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为
解：（2）由图1中函数取值的情况，结合函数M（x）的定义，可得函数M（x）的图象（图2）．
图2
由（x＋1）2＝x＋1，得x（x＋1）＝0．
解得x＝－1，或x＝0．
例3　给定函数f（x）＝x＋1，g（x）＝（x＋1）2，x∈R，
M（x）＝max{f（x），g（x）}．
新知探究
（2） x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为
结合图2，得出函数M（x）的解析式为
图2
问题2　请同学们回顾本节课的内容，回答下列问题：
（1）函数常用的表示法有哪些？它们各自的特点是什么？
（2）结合本节课的学习，你对如何学习函数又有什么体会？
（1）函数常用的表示法有：解析法、表格法和图象法，
其中解析式是精确的、图象是直观的、表格是直接的；
（2）解析式、表格、图象是对应关系f的不同的表现形式，
但实质相同，为了更好地分析和解决问题，
有时需要进行不同表示法的转化和综合使用．
归纳小结
问题2　请同学们回顾本节课的内容，回答下列问题：
（3）在上一课时的基础上，进一步画出本单元学习内容的结构图．
归纳小结

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