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(共27张PPT)
函数的基本性质
环节三 函数的奇偶性
问题1
单调性是刻画函数变化趋势的一个性质，最大（小）值是刻画函数
变化上（下）限的一个性质，其实在有些问题中，变化还呈现了对称性，
你能举出具有对称性的函数的例子吗？
答案：
还有形如图1的函数．
结论：
问题1中我们所举的例子主要涉及两类特殊的对称性，关于原点对称
和y轴对称，这种性质我们称之为奇偶性．
引入新课
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问题2
类比函数单调性的探究思路，你能说说如何研究奇偶性吗？
答案：
先分析具体函数的图象特征（对称性），获得函数奇偶性的
直观定性认识，然后利用动图或表格研究发现数量变化特征，再
用符号语言定量刻画，抽象出奇偶性的定义．
问题3
观察函数f(x)＝x2和g(x)＝2－|x|的图象（图2），思考以下问题:
（1）你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
（2）你能用符号语言描述该特征吗？
探究新知
问题3
追问1 宏观上看，这两个图象关于y轴对称；微观上看，除了y轴上
的点，其余的点都是成对出现．任取函数f(x)＝x2的图象上一点A，
你能在图象上作出该点关于y轴的对称点吗？
答案：若点A在y轴上，则对称点就是它本身；若点A不在y轴上，过
A作y轴的垂线与函数图象交于另一点A′，此时点A与点A′就是一组
对称点．
探究新知
问题3
追问2 你能说说这组对称点的坐标之间的关系吗？
答案： 横坐标相反，纵坐标相同（如图3）．
追问3 你能用函数语言描述该特征吗？
答案：当函数的自变量取一对相反数时，相应
的两个函数值相等．
探究新知
问题3
问题3答案：（1）这两个的图象都关于y轴对称．
（2） x∈R，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．
探究新知
问题3
追问4　你能仿照上述过程，说明函数g（x）＝2－|x|也是偶函数吗？
首先，图象关于y轴对称，
任取图象上的一组关于y轴对称的点，
它们的横坐标相反，纵坐标相同（如图）；
其次，从函数符号的角度，
当函数的自变量取一对相反数时，
即： x∈R，g（－x）＝2－|－x|＝2－|x|＝g（x），
相应的函数值相等，
g（x）＝2－|x|是偶函数．
答案：
探究新知
问题3
结论
一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f（－x）＝f（x），那么函数就叫做偶函数．
追问5　“ x∈D，都有－x∈D”说明定义域D具有什么性质？
定义域关于原点对称．
答案：
探究新知
问题4
　观察函数f(x)=x和 的图象（图5），思考以下问题：
（1）你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
（2）你能用符号语言描述该特征吗？
探究新知
问题4
追问1　宏观上看，这两个图象关于原点中心对称；微观上看，除了原点（如果原点在图象上），其余的点都是成对出现．任取函数f(x)=x的图象上一点A，你能在图象上作出该点关于原点的对称点吗？
若点A是原点O，则对称点就是它本身；
若点A不是原点，将A绕原点O旋转180°得到A′，
此时点A与点A′就是一组对称点．
答案：
探究新知
问题4
追问2　你能说说这组对称点的坐标之间的关系吗？
坐横标相反，纵坐标相反（图6）．
追问3　你能用函数语言描述该特征吗？
当函数的自变量取一对相反数时，
相应的两个函数值相反．
答案：
答案：
探究新知
问题4的答案：
（1）两个的图象都关于原点成中心对称图形．
（2） x∈R，f(－x)＝－x＝－f(x)．
结论：
x∈R，f(－x)＝－f(x)，这时称函数f(x)＝x为奇函数．

探究新知
问题4
追问4　你能仿照上述过程，说明函数 也是奇函数吗？
首先，图象关于原点中心对称，
任取图象上的一组关于原点轴对称的点，
它们的横坐标相反，纵坐标也相反（如图）；
答案：
探究新知
问题4
其次，从函数符号的角度，
当函数的自变量取一对相反数时，
即： x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），
相应的函数值相反，
g（－x）＝ ＝ ＝－g（x），函数g（x）＝ 是奇函数．
探究新知
探究新知
结论：
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，
且f(－x)＝－f(x)，那么函数就叫做奇函数．
例1
判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x4； （2）f（x）＝x5；
（3）f（x）＝x＋ ； （4）f（x）＝ ．
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
x∈R，都有－x∈R，
函数f（x）＝x4为偶函数．
且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
知识应用
例1
判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x4； （2）f（x）＝x5；
（3）f（x）＝x＋ ； （4）f（x）＝ ．
解：
（2）函数f（x）＝x5定义域为R．
x∈R，都有－x∈R，
函数f（x）＝x5为奇函数．
知识应用
例1
判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x4； （2）f（x）＝x5；
（3）f（x）＝x＋ ； （4）f（x）＝ ．
解：
x∈D，都有－x∈D，
（3）函数f（x）＝x＋ 的定义域D为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
函数f（x）＝x＋ 为奇函数．
知识应用
例1
判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x4； （2）f（x）＝x5；
（3）f（x）＝x＋ ； （4）f（x）＝ ．
解：
x∈D，都有－x∈D，
（4）函数f（x）＝ 的定义域D为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
且f（－x）＝ ＝ ＝f（x），
函数f（x）＝ 为偶函数．
知识应用
例1
追问1　你能总结用定义法判断奇偶性的步骤吗？
第一步，求函数的定义域D．
第二步，判断定义域是否关于原点对称．
若否，则函数不具有奇偶性，结束判断；
若是，则进行第三步．
第三步， x∈D，计算f（－x）．
若f（－x）＝f（x），则为偶函数；
若f（－x）＝－f（x），则为奇函数；
若f（－x）与f（x）既不相等也不相反，则既不是奇函数也不是偶函数．
知识应用
例1
追问2　思考
（1）判断函数f（x）＝x3＋x的奇偶性．
（2）图8是函数f（x）＝x3＋x图象的一部分，你能根据f（x）的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？
（3）一般地，如果知道y＝f（x）为偶（奇）函数，
那么我们可以怎样简化对它的研究？
知识应用
知识应用
例1
答案：
（1） x∈R，都有－x∈R，
且f（－x）＝（－x）3＋（－x）＝－（x3＋x）＝－f（x），
函数f（x）＝x3＋x为奇函数．
（2）因为是奇函数，所以图象关于原点中心对称，
我们可以先将图象沿着y轴翻折，
再沿着x轴翻折就可以得到y轴左边的
图象（右图）．
（3）一般我们只需要研究y轴一侧的性质，
然后根据对称性推断得到
它在整个定义域内的性质．
归纳总结
问题5　回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：
（1）什么是奇（偶）函数？用定义判定奇偶性的步骤是怎样的？
（2）请你比较奇函数的定义与偶函数的定义，说说这两者的异同．
（3）这三课时中我们研究了函数的基本性质，你能用一个思维导图来表示一下这些内容和研究方法吗？
问题5答案：　
（1）概念和步骤略；
（2）相同点：①定义域关于原点对称；②都是函数的整体性质．
不同点：①偶函数的图象关于y轴对称，而奇函数的图象关于原点对称；
②当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相同，而奇函数的函数值相反．
归纳总结
问题5答案：　
（3）思维导图：
归纳总结
再 见

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