资源简介 (共18张PPT)幂 函 数环节一 幂函数问题1 在前两个单元的学习中,我们为研究函数设定了一个基本框架,你能说说研究一个函数从哪些方面入手吗?答案:首先结合实际背景抽象出函数模型,能够用解析法、表格法、图象法恰当地表示函数,当厘清概念之后,着手研究函数的图象与性质,最后应用函数解决实际问题.引入新课问题2 观察(1)~(5)中的函数解析式,你能发现它们的共同特征吗?(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数;(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数;(3)如果立方体的边长为b,那么立方体的体积V=b3,这里V是b的函数;(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么正方形的边长c= ,这里c是S的函数;(5)如果某人t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v= ,这里v是t的函数.引入新课追问1 你还能举几个相同结构的函数的例子吗?答案:y=x0,y=x4,y=x-2,y= 等.共同特征是:函数解析式是幂的形式,且指数是常数,底数是自变量.问题2 观察(1)~(5)中的函数解析式,你能发现它们的共同特征吗?引入新课幂函数定义:一般地,函数y=xα叫做幂函数(power function),其中x为自变量,α为常数.对于幂函数,我们只研究α=1,2,3, ,-1时的图象与性质.引入新课问题3 按照问题1中搭建的框架,接下来我们需要研究幂函数的图象与性质了,你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究幂函数性质的方法吗?答案:通常先根据函数解析式求出函数的定义域,画出函数的图象;再利用图象和解析式,讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题.探究新知图1问题4 请你在同一坐标系中画出函数y=x,y=x2,y=x3,y= 和y= 的图象,结合解析式观察函数图象,将你发现的结论填写在表内.y=x y=x2 y=x3 y= y=定义域值域奇偶性单调性探究新知y=x y=x2 y=x3 y= y=定义域值域奇偶性单调性在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增RRRRR{x|x≥0}{x|x≠0}{y|y≥0}{y|y≥0}{y|y≠0}奇函数奇函数奇函数奇函数非奇非偶函数在(-∞,+∞)上单调递增在(-∞,+∞)上单调递增在[0,+∞)上单调递增在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减问题4 请你在同一坐标系中画出函数y=x,y=x2,y=x3,y= 和y= 的图象,结合解析式观察函数图象,将你发现的结论填写在表内.表1探究新知追问1 结合图1和表1,你能总结出这5个幂函数的共性吗?答案:图象都过点(1,1),图象都经过第一象限.追问2 这5个幂函数的图象均过第一象限,如何确定是否过第二或第三象限?如果定义域包含(-∞,0),可以结合奇偶性判断,如果为偶函数,则过第二象限,比如y=x2;如果为奇函数,则过第三象限,比如y=x和y=x3.答案:如果定义域为{x|x≥0},则不过第二、三象限,比如y= ;探究新知追问3 在第一象限中,如何区分这5个函数的图象?向右与x轴无限接近,其余均单调递增.其余全是曲线;y=x 的图象位于该直线的上方;当x>1时,y=x 的图象答案: y= 在(0,+∞)上单调递减,图象向上与y轴无限接近,y=x的图象是一条直线,当0<x<1时,位于该直线的下方.图2反(如图2),相比y= 的图象,y=x2和y=x3的图象与y=x的图象的位置关系正好相探究新知追问3 在第一象限中,如何区分这5个函数的图象?答案:即:当0<x<1时,y=x2的图象位于y=x3的图象的上方,当x>1时,y=x2的图象位于y=x3的图象的下方(如图3).图3探究新知例1 证明幂函数 f(x)= 是增函数.证明:函数的定义域是[0,+∞). x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,f(x1)-f(x2)===所以f(x1)<f(x2),因为x1-x2<0, >0,即幂函数f(x)= 是增函数.探究新知例2 利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:(1)(-1.5)3,(-1.4)3; (2)解:(1)(-1.5)3和(-1.4)3可看作函数y=x3当x分别取-1.5和-1.4时所对应的两个函数值.y=x3在(-∞,+∞)上单调递增,因为-1.5<-1.4,所以(-1.5)3<(-1.4)3.探究新知(1)(-1.5)3,(-1.4)3; (2)对应的两个函数值.解:(2) 和 可看作函数y= 当x分别取-1.5和-1.4时所y= 在(-∞,+∞)上单调递增,因为-1.5<-1.4,所以知识应用例2 利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:归纳总结问题5 (1)你能用结构图的形式小结本单元的内容吗?(2)至此,本章的内容已经全部学习完毕,你能画一个思维导图梳理本章的研究内容和研究方法吗?(1)本单元结构图如图4:归纳总结(1)本章思维导图如图5:归纳总结再 见 展开更多...... 收起↑ 资源预览