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2025年四川省自贡市富顺县富顺第二中学校一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在，，，四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
4．年政府工作报告提到：年，高技术制造业、装备制造业增加值分别增长、，新能源汽车年产量突破万辆．其中数据“万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
7．为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是
A．2.2，2.2 B．2.1，2.2 C．2．15，2.2 D．1.7，2.7
8．《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，位似比为，把缩小，则点A的对应的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在矩形中，，，点E在矩形的对角线上，连接．过点C作，过点D作，与相交于点F，连接，点H是线段的中点，连接和，下列结论：①，且相似比为：②点D，E，C，F在同一个圆的圆周上：③的面积随线段长度的增大而增大；④当面积大于9时，线段长的范围是．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
13．因式分解：2a2﹣8= ．
14．已知，则整数 ．
15．代数式有意义，则x的取值范围为 ．
16．如图，为直径，点为上一点，连接，过点作交于点，连接，．若，则的度数为 ．
17．网格中点、、均为格点，且点在坐标轴上，连接、，，则满足条件的点有 个．
18．如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．

三、解答题
19．计算：；
20．在平行四边形中，E为上一点，点F为的中点，连接并延长，交的延长线于点G，求证：．
21．某校为了解九年级同学的体考准备情况，随机抽取了部分九年级男生进行米跑测试，并根据测试成绩（按测试成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级）绘制了如下两幅尚不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：
(1)扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是_____；请补全条形统计图；
(2)该校九年级共有名男生，请你根据抽查结果估计成绩为合格的男生人数；
(3)班甲、乙两位成绩获“优秀”的男生报名参加即将举行的学校运动会米跑比赛，预赛分为，，三组进行，由抽签确定分组情况．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好分在同一组的概率．
22．某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍．
(1)求该店两次购进这款书签各多少个？
(2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)在反比例函数图象上有一点P，使得，求点P的坐标．
24．如图，是圆的直径，交圆于点，且与圆的切线互相垂直，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长度．
25．阅读下面三段素材，完成以下任务：
素材一：图1是某越野车的侧面示意图，图2是打开后备箱时的示意图，已知，，连接AC，，该车的高度，其中O为轮胎与地面的切点（地面l）．当后备箱打开到最大时，与水平面的夹角
素材二：挡车器可以有效提醒正在倒车的驾驶员．使其不能再继续倒车．防止发生意外．对于保障停车场安全管理起到了重要的作用．当车恰好停在挡车器位置时，轮胎与挡车器的位置关系如图2所示．挡车器上的点M在轮胎所对圆上，轮胎与地面相切于点O．如图，某款挡车器，，．高．
素材三：图3是某厂家的露天停车棚的侧视图．顶棚HG与与支撑杆夹角即，FE与地面IE垂直，，．
参考数据：，，，．
任务1：求【素材一】中AC的长为_______．
任务2：【素材一】中的越野车停在挡车器位置时，其轮胎所在圆的圆心与挡车器点M的水平距离为．则该越野车的轮胎所在圆的半径是多少？
任务3：将【素材一】中的越野车停在【素材三】中的停车棚内，能保证越野车的后备箱盖可以完全打开吗？请说明理由．
26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的坐标；
(3)动直线图象交该抛物线于，两点，以为直径作圆与抛物线始终交于一定点，求出点的坐标．
2025年四川省自贡市富顺县富顺第二中学校一模数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B B C A A B D A
题号 11 12
答案 D B
1．D
【详解】解：，
∴四个数中，最大的数是
故选：D．
2．A
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项合题意；
B、不轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：A．
3．B
【详解】解：由由展开图可得，改几何体由三个面的长方形，两个面是三角形，
所以该几何体是三棱柱
故选：B．
4．B
【详解】解：根据科学记数法可得：万．
故答案为：．
5．C
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
6．A
【详解】∵，
∴，，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴
故选：A．
7．A
【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
则中位数是，众数是．
故选：A ．
8．B
【详解】解：根据题意，得，
故选：B．
9．D
【详解】解：∵，相似比为，
∴点的对应点的坐标是，即或，即，
故选：D．
10．A
【详解】解：根据题意可知：，
解得，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
11．D
【详解】解：解：由题意得，二倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
∴，
解得，
把代入得，代入得，
，解得；
把代入得，代入得，
，解得：，
综上，c的取值范围为：．
故答案为：．
故选：D．
12．B
【详解】解：①如图：
∵矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，且相似比为，即①正确；
②如图：连接，
∵，点H是线段的中点，
∴，
∴点D，E，C，F在同一个圆的圆周上，即②正确；
③由②可得：，
∴点H在的垂直平分线上，
如图：过点H分别作，，垂足分别是M、N，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∴的面积不随线段长度的增大而增大，即③错误；
④由①可知，且相似比为，
设，则，，
∴，
当面积大于9，即，
∵，
∴抛物线开口方向向下，
当时，解得：或，
∴的x的取值范围为：，
∴，即④正确；
综上，正确的有①②④共3个．
故选B．
13．2（a+2）（a－2）．
【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）．
故答案为2（a+2）（a－2）．
考点：因式分解．
14．
【详解】解：∵
∴，
∴，
同理：，可得，
∴
∵，是整数，
∴，
故答案为：．
15．
【详解】解：代数式有意义，
，解得．
故答案为：．
16．/35度
【详解】解：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
17．3
【详解】解：如图，
，，
网格中点、、均为格点，且点在坐标轴上，
图中只有符合题意；
则满足条件的点有个
故答案为：3．
18．/
【详解】解：∵为高上的动点．
∴
∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形，
∴
∴
∴，
∴点在射线上运动，
如图所示，

作点关于的对称点，连接，设交于点，则
在中，，则，
则当三点共线时，取得最小值，即
∵，，
∴
∴
在中，,
∴周长的最小值为，
故答案为：．
19．
【详解】解：
20．见详解
【详解】证明：∵点F为的中点，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．(1)，图见解析；
(2)估计成绩为合格的男生人数为名；
(3)甲、乙两人恰好分在同一组的概率是．
【详解】（1）解：“良好”所对应的圆心角度数是，
抽取的总人数为（人），
合格人数为（人），
则补全条形统计图如图：
故答案为：；
（2）解：成绩为合格的男生人数为（名）．
答：估计成绩为合格的男生人数为名．
（3）解：画树状图可得：
共有种等可能结果，其中两人恰好分在同一组的结果有种，
（甲乙同组），
即甲、乙两人恰好分在同一组的概率是．
22．(1)该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个；
(2)第一次销售时每个书签的售价至少为8元
【详解】（1）解：设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签个，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个．
（2）设第一次销售时每个书签的售价为m元，
由题意得：
解得：，
答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元．
23．(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为
(2)点或
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数图象交于点，，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵一次函数图象过，，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：在一次函数中，当时，；当时，，
∴
∴，
∴，
设点P的坐标为，
∴，
解得，
∴点或．
24．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接．
是的切线，
，
又，
，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，连接，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴
∵
∴，
∵，，
∴，
∵
∴
∵，
∴
在中，
在中，
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
25．任务1：
任务2：该越野车的轮胎所在圆的半径是
任务3：当的长为时，后备箱能完全打开．
【详解】解：任务一：如图所示，过点作交于点，
∵，，
∴，
即，
解得，
∴，
即，
解得，
∵，
∴，
∴；
任务二：如图所示，设轮胎的圆心为，过点作，过点作，过点作，
∴四边形是矩形，
∵挡车器高，轮胎所在圆的圆心与挡车器点的水平距离为，
∴，，
∴设的半径，则，
∴在中，，
∴，
解得，
∴该越野车的轮胎所在圆的半径是；
任务三：由素材一知，，，即，过点作的垂线，垂足为，
∵当后备箱打开到最大时，与水平面夹角，
在中，如图，，
∴，
∴，
如图中，作，，
∵，，，，
∴保证越野车的后备箱可以完全打开，则，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即的长为时，后备箱能完全打开．
26．(1)
(2)或
(3)点的坐标为
【详解】（1）解：抛物线：（），
当时，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
代入得，，
解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：如图，连接交于点，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
设，
∵，
∴，
∵点在直线上，
∴，
解得：，，
当时，，
设，则，
解得：，，
∵点在点的左侧，
∴；
∴
当时，，
设，则，
解得：，，
∵点在点的左侧，
∴；
∴
∴综上所述，点的横坐标为或．
（3）解：如图，过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为，
设，，
联立，
消去整理得：，
∴，，
∴，
，
设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵点是定点，
∴，，，
解得：，，
经检验，在抛物线上，符合题意；
∴抛物线上存在定点，点的坐标为．

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