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四川省绵阳市梓潼县梓潼五校联考2024-2025学年九年级上学期开学数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．数据3，4，6，6，5的众数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．若实数a，b满足，则的值为（　　）
A．1 B．0 C． D．1或
4．如图，线段 AB的长为10，点 D在 AB 上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点 D作与 CD垂直的射线 DP，过 DP上一动点 G（不与 D重合）作矩形 CDGH，记矩形 CDGH的对角线交点为 O，连接 OB，则线段 BO的最小值为（ ）
A．4 B．5
C．3 D．4
5．甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮测试，共分4个投篮点，每个投篮点投10个球，投中次数如表（单位：次）：
甲 8 6 9 9
乙 7 8 9 8
则下列结论正确的是（ ）
A．甲的平均成绩较好 B．乙的平均成绩较好
C．甲的投篮成绩较稳定 D．乙的投篮成绩较稳定
6．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线BD＝6，则菱形的边AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．3 D．8
7．定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数，例如：一次函数与就是一对交换函数．现有一次函数，当时，这个一次函数的图象与其交换函数图象交点的横坐标（ ）．
A． B．2 C．1 D．无法确定
8．在中，，，，则边上的高为（ ）
A． B． C． D．
9．港口 A、B、C 依次在同一条直线上，甲、乙两艘船同时分别从 A、B两港出发，匀速驶向 C 港，甲、乙两船与 B 港的距离 y（海里）与行驶时间 x 时）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是( )
A．甲船平均速度为 60 海里/时 B．乙船平均速度为 30 海里/时
C．甲、乙两船在途中相遇两次 D．A、C 两港之间的距离为 120 海里
10．如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为8：③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值为；⑥．其中正确结论的序号为（ ）
A．①②④⑤⑥ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．②④⑤⑥
11．如图，函数和的图像相交于点P(1，m)，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，等腰中，，，动点在边上，点关于、的对称点分别为点、，连接，分别交、于点、．
甲：我发现线段的最大值为2，最小值为；
乙：我连接，，发现的大小不变，始终是．
则下列判断正确的是（　　）
A．甲对乙对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲错乙错
二、填空题
13．已知，，则 ．
14．一次函数y＝x﹣2的图象向上平移3个单位，平移后的直线关系式为 ．
15．已知的顶点A在第三象限，对角线的中点在坐标原点，一边与x轴平行且，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ．
16．暑假假期，小明和小亮两家相约自驾车从重庆出发前往相距172千米的景区游玩两家人同时同地出发，以各自的速度匀速行驶，出发一段时间后，小明家因故停下来休息了15分钟，为了尽快追上小亮家，小明家提高速度后仍保持匀速行驶（加速的时间忽略不计），小明家追上小亮家后以提高后的速度直到景区，小亮家保持原速，如图是小明家、小亮家两车之间的距离s（km）与出发时间t（h）之间的函数关系图象，则小明家比小亮家早到景区 分钟．
17．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用 秒钟．
18．【资料】如图，这是根据公开资料整理绘制而成的年中美两国国内生产总值的直方图及发展趋势线．（注：趋势线由系统根据数据自动生成，趋势线中的y表示，x表示年数）
（1）依据【资料】中所提供的信息，年中国的平均值大约是 ，A．12.30 B．14.19 C．19.57 D．19.71
（2）依据【资料】中所提供的信息，可以推算出中国的要超过美国，至少要到 ，A．2052年 B．2038年 C．2037年 D．2034年
三、解答题
19．计算
(1)
(2)
20．某体校准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
甲、乙两人射箭成绩折线图
小宇的作业：
解：
．
甲、乙两人射箭成绩统计表
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲成绩 9 4 7 4 6
乙成绩 7 5 7 a 7
(1) ，
(2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线：
(3)①观察图表，参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差；
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
21．如图，在中，，，是边上的中线，，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的面积．
22．某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共30台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价2500元，售价3000元．
（1）设该商店采购甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数解析式；
（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过60000元，全部售出所获利润不低于12500元，问共有几种采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．
23．直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C，D分别是点A，B关于原点的对称点，求直线CD的解析式．
24．（1）如图①，已知正方形，点E，F分别在边上，且．此时与有怎样的数量关系？
（2）如图②，绕点B顺时针旋转，当时，连接，此时与仍有（1）中的数量关系吗？如果成立，请说明理由，否则，请举出反例；
（3）当时（图③），连接．当直线是的垂直平分线时，与有什么数量关系，试说明理由．
四川省绵阳市梓潼县梓潼五校联考2024-2025学年九年级上学期开学数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A B D B C C C A
题号 11 12
答案 B A
1．A
【详解】A.，是最简二次根式，故答案正确；
B.不是最简二次根式，故答案错误；
C.,不是最简二次根式，故答案错误；
D. ，不是最简二次根式，故答案错误；
故选A．
2．D
【详解】解：数据3，4，6，6，5中6出现2次，次数最多，
所以其众数为6，
故选：D．
3．A
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
4．B
【详解】解：连接AO，
∵四边形CDGH是矩形，
∴CG=DH，OC=CG，OD=DH，
∴OC=OD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
在△ACO和△ADO中
，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠OAB=∠CAO=×60°=30°，
∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，所以当OB⊥AO时，OB的长最小，
∵∠OAB=30°，∠AOB=90°，
∴OB=AB=×10=5，
即OB的最小值为5，
故选：B．
5．D
【详解】解：甲的平均数是：（次），
乙的平均数是：（次），
甲的方差，
乙的方差，
，
乙的投篮成绩较稳定．
故选：D．
6．B
【详解】∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD.
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝BD＝6．
故选：B．
7．C
【详解】解：由题意可得，
当2x-b=-bx+2时，
(2+b)x=2+b，
∵，
∴，
解得x=1，
即当时，一次函数的图象与其交换函数图象交点的横坐标是x=1，
故选C．
8．C
【详解】，
，
故边上的高，
，
故选：C．
9．C
【详解】由图可得，
甲船的平均速度为：30÷0.5＝60（海里/小时），故选项A正确；
乙船的平均速度为：90÷3＝30（海里/小时），故选项B正确；
甲乙两船在途中相遇一次，故选项C错误；
A、C两港之间的距离为30＋90＝120海里，故选项D正确；
故选：C．
10．A
【详解】解：①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，
∵GF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC＝45°
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，
∴DP=EC．
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45度，
∴当∠PAD＝45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
由正方形为轴对称图形，
∴AP＝PC，
∴AP＝EF，
故④正确；
⑤由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP=BD=×=时，EF的最小值等于，
故⑤正确；
⑥∵GF∥BC，
∴∠AGP＝90°，
∴∠BAP+∠APG＝90°，
∵∠APG＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴AP⊥EF，
故⑥正确；
本题正确的有：①②④⑤⑥；
故选：A．
11．B
【详解】解：∵y=kx+b的图象经过点P（1，m），
∴k+b=m，
当x=-1时，kx-b=-k-b=-（k+b）=-m，
即（-1，-m）在函数y=kx-b的图象上．
又∵（-1，-m）在y=mx的图象上．
∴y=kx-b与y=mx相交于点（-1，-m）．
则函数图象如图．
则不等式-b≤kx-b≤mx的解集为-1≤x≤0．
故选：B．
12．A
【详解】解：连接，，，，，如图：
因为动点在边上，点关于、的对称点分别为点、，
所以，，，
则，，
所以，，
因为等腰中，，，
所以，
即，
因为，
所以是等腰直角三角形，
则，
当最小时，即，此时，
所以的最小值为；
当最大时，即点与点重合，，此时，
所以；
故甲对；
因为，动点在边上，点关于、的对称点分别为点、，
所以，，，，，
则，，
所以，，
因为，
则，
故乙对，
故选：A．
13．0.228/
【详解】解：∵，算术平方根的根号内的数的小数点向左移动两位，则结果的小数点向左移动一位，
∴
故答案为：0.228．
14．y＝x+1
【详解】解：由题意得：平移后的解析式为：y＝x﹣2+3，即y＝x+1；
故答案为：y＝x+1．
15．或
【详解】解：当B点在A点的右边时，如图1，
∵与x轴平行且，，
∴，即，
∵对角线的中点在坐标原点，
∴点A、C关于原点对称，
∵四边形为平行四边形，
∴点B、D关于原点对称，
∴；
当B点在A点的左边，如图2，
同理可得，则．
故点D的坐标为或．
故答案为：或．
16．6．
【详解】设出发时小明家的速度是a千米/小时，小亮家的速度是b千米/小时，且a＞b，
由题意得：0.8（a﹣b）＝8，
a＝b+10，
小明家因故停下来休息了15分钟，可知A（1.05，12），
小亮的速度为：＝80（千米/小时），
∴小明家的速度是90千米/小时，
设小明加速后的速度为m千米/小时，
根据题意得：×80＝（﹣1.05）m+0.8×90，
m＝100，
＝0.1（小时），
＝6（分），
即小明家比小亮家早到景区6分钟．
故答案为：6．
17．2.5秒．
【详解】解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB＝cm；
（2）展开底面右面由勾股定理得AB＝＝5cm；
所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2＝2.5秒．
18． A B
【详解】解：（1）（万元）．
∴年中国的平均值大约是12.30万元．
故答案为：A；
(2) ∵，
∴，
解得，
故，
中国的GDP要超过美国，至少要到2038年．
故答案为： B．
19．(1)
(2)6
【详解】（1）解：
；
（2）
．
20．(1)4，6
(2)见解析
(3)①；②乙
【详解】（1）解：由题意知，甲乙的总成绩相同，均为，
∴，
∴，
故答案为：4，6；
（2）解：补全折线图如下；
（3）①解：由题意知，
，
∴乙成绩的方差为；
②解：由题意知，甲、乙成绩的平均数相同，甲成绩的方差大于乙成绩的方差，乙的成绩更稳定，
∴乙将被选中．
21．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，，
∴，
又∵是边上的中线，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）由（1）可知，四边形是菱形，
∴，
过作，

∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴．
22．（1）y＝﹣100x+15000；（2）共有九种采购方案，采购甲型电脑17台，乙型电脑13台时商店获得最大利润，最大利润是13300元
【详解】解：（1）由题意得：，
全部售出后该商店获利与之间函数表达式为；
（2）由题意得：，
解得，
为正整数，
、18、19、20，21，22，23，24，25，
共有九种采购方案，
，且，
随的增大而减小，
当取最小值时，有最大值，
即时，最大值，
采购甲型电脑17台，乙型电脑13台时商店获得最大利润，最大利润是13300元．
23．
【详解】直线交x轴于点A，交y轴于点B，
当时，,当时，
点C，D分别是点A，B关于原点的对称点，
，
设直线的解析式为，则
解得
直线CD的解析式为：
24．（1），理由见解析（2），理由见解析；（3），理由见解析
【详解】解：（1），理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，即；
（2），理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
由旋转的性质可得，
又∵，
∴，
∴；
（3），理由如下：
如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，且点F在上，
∴三点共线，
∵直线是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，即．

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