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广东省揭阳市揭西县2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
1．（2025·揭西期末）如图，以下四个图标中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·揭西期末）若，则下列式子中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·揭西期末）已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．11 B．12 C．15 D．12或15
4．（2025·揭西期末）若是关于的一元一次不等式.则的值为（　　）
A．2 B．-1 C．0 D．0或2
5．（2025·揭西期末）下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·揭西期末）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（　　）
A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
7．（2025·揭西期末） 若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是（　　）
A．m≥3 B．m≤3 C．m≥1 D．m≤1
8．（2025·揭西期末） 如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC的长为9cm，的长为6cm，则EC的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
9．（2025·揭西期末）关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．3 B．2 C．－3 D．－2
10．（2025·揭西期末） 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
11．（2025·揭西期末）分解因式：18-2m2=　 　.
12．（2025·揭西期末） 一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是　 　．
13．（2025·揭西期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为　 　．
14．（2025·揭西期末）如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为　 　．
15．（2025·揭西期末） 如图，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移一定的距离得到△DEF．若AB＝2，EC＝2BE，则图中阴影部分的面积为　 　．
16．（2025·揭西期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
17．（2025·揭西期末）先化简，再求值：，其中．
18．（2025·揭西期末） 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
⑴画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
⑵将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
19．（2025·揭西期末）如图，等腰三角形ABD中，AB＝AC．
（1）在线段AC上求作点D，使得点D到AB和BC的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中，连接，若AD＝BD，求∠A的度数．
20．（2025·揭西期末） 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边在AB上方作等边△ABD，点F是线段AD的中点，连接CF．
（1）若AC＝3，求AD的长；
（2）求证：四边形BCFD是平行四边形．
21．（2025·揭西期末） 如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
例如：求代数式x2+4x+6的最小值．
原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值，最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ 　 　 求代数式x2﹣6x+12的最小值为 　 　 ；
（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 　 　 时，y有最 　 　 值（填“大”或“小”），这个值是 　 　；
（3）当a，b，c分别为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0时，求△ABC的周长。
22．（2025·揭西期末）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．
（1）求购买一个种机器人、一个B种机器人各需多少万元？
（2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当A种机器人提价15%，B种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案．
23．（2025·揭西期末）如图1，四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E，使得BE＝AB，连接BD和CE.
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）如图2，将△CBE沿直线BC翻折，点E刚好落在AD的中点F处，延长CF与BA的延长线交于点H，并且CF和BD交于点G，试探究线段CH、FG、GB之间的数量关系；
（3）如图3，将△CBE沿直线BC翻折，点E刚好落在AD的点F处，若AD＝6，DC＝3，且FD＝2FA，求的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、B、C项均不能看作由"基本图案"经过平移得到，故都不符合题意；D项能看作由"基本图案"经过平移得到，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】图形平移前后的大小、形状及方向都不变化，据此判断即可.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 ∵，∴，此项错误，故不符合题意；
B、 ∵，∴ ，此项错误，故不符合题意；
C、 ∵，∴ ，此项正确，故符合题意；
D、∵，∴ ，此项错误，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰为3时，三边分别为3、3、6，
∵3+3=6，∴不能构成三角形，故不符合题意；
当腰为6时，三边分别为3、6、6，
∵3+6＞9，∴能构成三角形，故符合题意，
∴ 这个等腰三角形的周长为：3+6+6=15；
故答案为：C.
【分析】分两种情况：当腰为3或6时，然后根据等腰三角形的性质及三角形三边关系进行解答即可.
4．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，
解得：.
故答案为：C.
【分析】根据一元一次不等式的概念可得：a-2≠0且|a-1|=1，求解可得a的值.
5．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 属于整式乘法，故不符合题意；
B、 ，属于因式分解，故符合题意；
C、 ，不属于因式分解，故不符合题意；
D、 ，不属于因式分解，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
6．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．
故选D．
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
7．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解： 关于x的不等式组
解①得：x＜3，
又∵不等式组的解集为：x＜3，
∴m+2≥3，
∴m≥1.
故答案为：C。
【分析】首先解不等式①，求得解集为x＜3，再根据不等式组的解集为：x＜3，故而得出m+2≥3，解不等式，即可得出m的取值范围 。
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE=6cm，
∴EC=AC-AE=9cm-6cm=3cm.
故答案为：B。
【分析】首先根据线段垂直平分线的性质定理得出AE=BE=6cm，再根据线段的差即可得出 EC的长 .
9．【答案】C
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解： ，
∵ 关于x的分式方程无解，
当x=3时，原方程无解。
把原方程去分母，得：2x=-mx-3，
移向，合并同类项，得：（m+2）x=-3
把x=3代入原方程，得：3（m+2)=-3，
∴m=-3.
故答案为：C。
【分析】根据原分式方程无解，可得出分母为0时的x的值x=3，然后 x=3 代入去分母之后的整式方程中，即可求得m的值。
10．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：观察函数图象：在交点A的右侧，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象在 直线y＝x 的下方，A（3，1）
∴kx+b＜x时， x＞3.
故答案为：A。
【分析】观察函数图象，在交点A的右侧，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象在 直线y＝x 的下方时，即可得出 当kx+b＜x时，x的取值范是 x＞3.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： 18-2m2= 2（9-m2）=。
故答案为：。
【分析】首先提取公因式2，进一步再利用平方差进一步分解，即可得出分解结果为：。
12．【答案】五边形
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解： ∵ 一个多边形的每个内角都是108°，
∴这个多边形的每个外角都是180-108=72°，
∴ 这个多边形 的边数是：.
故答案为：五边形。
【分析】首先根据邻补关系求出这个多边形的外角，进而根据多边形的外角和，即可求得多边形的边数。
13．【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，点A(1，1)平移后的的点B的坐标为（1+2，1+3），即（3，4）.
故答案为：.
【分析】根据直角坐标系中点的平移规律可得答案：向右平移横坐标＋，向上平移纵坐标＋.
14．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
所以， ，
因为，DE是中位线，
所以，.
故答案为：2
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质，得出BC，再由三角形的中位线定理得出DE即可.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：在等边三角形ABC中：AB=3，
∴，
∵ EC＝2BE
∴，
∵AB∥DE，
∴，
∴S阴影=.
故答案为：
【分析】首先求出等边三角形ABC的面积，然后根据阴影三角形和三角形ABC相似，结合EC＝2BE，即可得出他们的相似比为，进而根据相似三角形的性质，求得阴影部分的面积。
16．【答案】解：解不等式①得，≥-2，
解不等式②得，
所以，不等式组的解集为：-2≤＜2
不等式组的解集在数轴表示如下图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】首先解不等式组求出它的解集-2≤＜2，然后根据大于等于是向右，点是实心的圆点，小于是向左，点是空心的小圆圈的方法，正确的在数轴上表示出来即可。
17．【答案】解：原式
∵
∴原式
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】首先根据分式的混合运算法则，正确的进行化简，再把代入原式，即可求得答案。
18．【答案】解：⑴如图所示，△A1B1C1为所求的；⑵如图所示，△A2B2C2为所求的.
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据中心对称点的画法，首先分别描出A，B，C三点关于原点的对称点A1，B1，C1，然后顺次链接起来即可；
（2）根据旋转中心和旋转方向以及旋转角度，即可得出 将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2。
19．【答案】（1）解：如图所示，点D为所求的；
（2）解：∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠C
由（1）知BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠CBD
∵AD＝BD
∴∠A＝∠ABD
∴∠ABC＝∠C＝2∠A
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°
∴∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，
∴∠A＝36°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】(1)根据尺规作图，作∠ABC的平分线，交AC于点D，点D即为所求；
（2）根据AB=AC，可得出∠ABC＝∠C，根据BD平分∠ABC可得∠ABD＝∠CBD，再根据AD=BD，可得∠A=∠ABD，进而可得出∠ABC＝∠C＝2∠A，再根据三角形内角和定理即可求得∠A的度数。
20．【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴ AB＝2BC ， 设BC＝x，则AB＝2x
∴ BC2＋AC2＝AB2∴，解得：∴ AB＝2
∵ △ABD是等边三角形
∴ AD＝AB＝2
（2）证明：∵ 点F是AD的中点，
∴ AD＝2DF，
∵ AB＝2BC，AD＝AB
∴ DF＝BC
在Rt△ABC中，∠CAB＝30°
∴ ∠ABC＝90°－∠CAB＝60°
∵ △ABD是等边三角形
∴ ∠BAD＝60°＝∠ABC
∴ BC∥AD，即DF∥BC，
又∵ DF＝BC
∴ 四边形BCFD是平行四边形．
【知识点】平行线的判定；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）首先根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AB=2BC，可设设BC＝x，则AB＝2x，根据勾股定理，可列出关于x的方程，求得x的值，即可得出AB的长度，根据等边三角形的性质，即可得出AD的长度；
（2）根据AB=2BC，AD=2DF，AB=AD。即可得出BC=DF，再根据∠BAD=60°=∠ABC，可得出BC∥DF，根据一组对边平行且相等，即可得出 四边形BCFD是平行四边形．
21．【答案】（1）解：；3
（2）解：1；大；﹣2
（3）解：∵a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0，
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣10b+25）+（c2﹣6c+9）＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣5）2+（c﹣3）2＝0，
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣5）2≥0，（c﹣3）2≥0，
∴ a﹣3＝0，b﹣5＝0，c﹣3＝0，
∴ a＝3，b＝5，c＝3，
∴ △ABC的的周长＝；
【知识点】配方法的应用；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4-4-5=（m-2)2-9=(m-2+3)(m-2-3)=(m+1)(m-5)；
x2﹣6x+12 =x2﹣6x+9-9+12=(x-3)2+3
∵（x-3）2≥0，
∴当x=3时，x2﹣6x+12有最小值，最小值是3.
故第1空答案为：(m+1)(m-5)；第2空答案为：3；
（2）y＝﹣x2+2x﹣3 =-（x2-2x+1-1）-3=-（x-1）2-2，
∵（x-1）2≥0，
∴-（x-1）2≤0，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为-2，
故第1空答案为：1；第2空答案为：大；第3空答案为：-2；
【分析】（1）首先根据配方法把原式变形为一个完全平方式与一个完全平方数的差，再利用平方差公式，进行因式分解即可得出第1空答案；根据配方法把原式变形为一个完全平方式与一个常数项的和，根据偶次方的非负性，即可得出答案；
（2）根据配方法把右边式子进行变形，得出y＝﹣x2+2x﹣3=-（x-1）2-2，再根据偶次方的非负性，即可得出答案；
（3）根据配方法把等式左边变形为（a﹣3）2+（b﹣5）2+（c﹣3）2＝0，再根据偶次方的非负性，即可得出a＝3，b＝5，c＝3，进一步即可得出 △ABC的周长。
22．【答案】（1）解：设购买一个种机器人需万元，一个种机器人需万元，
由题意得：，解这个方程，得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，，
答：购买一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元；
（2）解：设购进种机器人个，则购进种机器人个，
由题意得：，
解这个不等式组，得：60≤m≤75
设利润为元，
由题意得：，
， 随的增大而减小，
当时，有最大值，此时，，
答：最大利润为1060元，对应的购进方案为购进种机器人60个，种机器人40个.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购买一个种机器人需万元，一个种机器人需万元，根据 用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍． 可得出方程，解这个方程求解并检验，进一步在求出x+5，即可得出答案；
（2）设购进种机器人个，则购进种机器人个，根据总费用不超过6200元，且 且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍 ，可得不等式组：解得，60≤m≤75，再根据题意，得出总利润w与m之间的函数关系式为：，根据一次函数的增减性，即可得出答案。
23．【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD
∵ 延长AB至点E，BE＝AB
∴ BE＝CD，BE∥CD
∴ 四边形BECD是平行四边形
（2）证明：FG＋GB＝CH
证明：由（1）知AB∥CD
∴ ∠CDF＝∠HAF
∵ F是线段AD的中点
∴ AF＝DF
∵ ∠AFH＝∠DFC
∴ △DFC≌△AFH（AAS）
∴ CF＝HF ∴ CH＝2CF
∵ △CBE沿直线BC翻折点E刚好落在线段AD的中点F处
∴ ∠ECB＝∠FCB
由（1）得，四边形BECD是平行四边形 ∴ ∠ECB＝∠DBC
∴ ∠FCB＝∠DBC ∴ GB＝CG
∴2（FG＋CB）＝CH，
∴ FG＋GB＝CH
（3）证明：如图3中，过点B作BM⊥AD于点M
∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC，CD＝AB＝3
由翻折变换的性质可知EF⊥BC ∴ EF⊥AD ∴ ∠AFE＝90°
∵ AB＝BE＝3 ∴ BF＝AB＝BE＝3
∵ DF＝2AF ∴ DF＝4，AF＝2
∵ BM⊥AF ∴ AM＝MF＝1
∴ BM＝
∴ △DFC的面积＝
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等，即可证明四边形BECD是平行四边形；
（2）首先根据AAS可证△DFC≌△AFH，得出CF=HF，进而CH=2CF，然后再根据平行线及翻折的性质得出∠FCB＝∠DBC ，进而GB＝CG ，进一步即可得出FG＋GB＝CH；
（3）如图3中，过点B作BM⊥AD于点M，根据AD=6， FD＝2FA， 可得出DF=4，AF=2，再结合BF＝AB＝BE＝3，根据等腰三角形的性质可得出AM=1，进而根据勾股定理可求得BM的长度，最后根据三角形面积计算公式，即可得出的面积.
1 / 1广东省揭阳市揭西县2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
1．（2025·揭西期末）如图，以下四个图标中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、B、C项均不能看作由"基本图案"经过平移得到，故都不符合题意；D项能看作由"基本图案"经过平移得到，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】图形平移前后的大小、形状及方向都不变化，据此判断即可.
2．（2025·揭西期末）若，则下列式子中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 ∵，∴，此项错误，故不符合题意；
B、 ∵，∴ ，此项错误，故不符合题意；
C、 ∵，∴ ，此项正确，故符合题意；
D、∵，∴ ，此项错误，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
3．（2025·揭西期末）已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．11 B．12 C．15 D．12或15
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰为3时，三边分别为3、3、6，
∵3+3=6，∴不能构成三角形，故不符合题意；
当腰为6时，三边分别为3、6、6，
∵3+6＞9，∴能构成三角形，故符合题意，
∴ 这个等腰三角形的周长为：3+6+6=15；
故答案为：C.
【分析】分两种情况：当腰为3或6时，然后根据等腰三角形的性质及三角形三边关系进行解答即可.
4．（2025·揭西期末）若是关于的一元一次不等式.则的值为（　　）
A．2 B．-1 C．0 D．0或2
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，
解得：.
故答案为：C.
【分析】根据一元一次不等式的概念可得：a-2≠0且|a-1|=1，求解可得a的值.
5．（2025·揭西期末）下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 属于整式乘法，故不符合题意；
B、 ，属于因式分解，故符合题意；
C、 ，不属于因式分解，故不符合题意；
D、 ，不属于因式分解，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
6．（2025·揭西期末）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（　　）
A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．
故选D．
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
7．（2025·揭西期末） 若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是（　　）
A．m≥3 B．m≤3 C．m≥1 D．m≤1
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解： 关于x的不等式组
解①得：x＜3，
又∵不等式组的解集为：x＜3，
∴m+2≥3，
∴m≥1.
故答案为：C。
【分析】首先解不等式①，求得解集为x＜3，再根据不等式组的解集为：x＜3，故而得出m+2≥3，解不等式，即可得出m的取值范围 。
8．（2025·揭西期末） 如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC的长为9cm，的长为6cm，则EC的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE=6cm，
∴EC=AC-AE=9cm-6cm=3cm.
故答案为：B。
【分析】首先根据线段垂直平分线的性质定理得出AE=BE=6cm，再根据线段的差即可得出 EC的长 .
9．（2025·揭西期末）关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．3 B．2 C．－3 D．－2
【答案】C
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解： ，
∵ 关于x的分式方程无解，
当x=3时，原方程无解。
把原方程去分母，得：2x=-mx-3，
移向，合并同类项，得：（m+2）x=-3
把x=3代入原方程，得：3（m+2)=-3，
∴m=-3.
故答案为：C。
【分析】根据原分式方程无解，可得出分母为0时的x的值x=3，然后 x=3 代入去分母之后的整式方程中，即可求得m的值。
10．（2025·揭西期末） 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：观察函数图象：在交点A的右侧，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象在 直线y＝x 的下方，A（3，1）
∴kx+b＜x时， x＞3.
故答案为：A。
【分析】观察函数图象，在交点A的右侧，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象在 直线y＝x 的下方时，即可得出 当kx+b＜x时，x的取值范是 x＞3.
11．（2025·揭西期末）分解因式：18-2m2=　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： 18-2m2= 2（9-m2）=。
故答案为：。
【分析】首先提取公因式2，进一步再利用平方差进一步分解，即可得出分解结果为：。
12．（2025·揭西期末） 一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是　 　．
【答案】五边形
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解： ∵ 一个多边形的每个内角都是108°，
∴这个多边形的每个外角都是180-108=72°，
∴ 这个多边形 的边数是：.
故答案为：五边形。
【分析】首先根据邻补关系求出这个多边形的外角，进而根据多边形的外角和，即可求得多边形的边数。
13．（2025·揭西期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，点A(1，1)平移后的的点B的坐标为（1+2，1+3），即（3，4）.
故答案为：.
【分析】根据直角坐标系中点的平移规律可得答案：向右平移横坐标＋，向上平移纵坐标＋.
14．（2025·揭西期末）如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为　 　．
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
所以， ，
因为，DE是中位线，
所以，.
故答案为：2
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质，得出BC，再由三角形的中位线定理得出DE即可.
15．（2025·揭西期末） 如图，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移一定的距离得到△DEF．若AB＝2，EC＝2BE，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：在等边三角形ABC中：AB=3，
∴，
∵ EC＝2BE
∴，
∵AB∥DE，
∴，
∴S阴影=.
故答案为：
【分析】首先求出等边三角形ABC的面积，然后根据阴影三角形和三角形ABC相似，结合EC＝2BE，即可得出他们的相似比为，进而根据相似三角形的性质，求得阴影部分的面积。
16．（2025·揭西期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：解不等式①得，≥-2，
解不等式②得，
所以，不等式组的解集为：-2≤＜2
不等式组的解集在数轴表示如下图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】首先解不等式组求出它的解集-2≤＜2，然后根据大于等于是向右，点是实心的圆点，小于是向左，点是空心的小圆圈的方法，正确的在数轴上表示出来即可。
17．（2025·揭西期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
∵
∴原式
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】首先根据分式的混合运算法则，正确的进行化简，再把代入原式，即可求得答案。
18．（2025·揭西期末） 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
⑴画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
⑵将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【答案】解：⑴如图所示，△A1B1C1为所求的；⑵如图所示，△A2B2C2为所求的.
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据中心对称点的画法，首先分别描出A，B，C三点关于原点的对称点A1，B1，C1，然后顺次链接起来即可；
（2）根据旋转中心和旋转方向以及旋转角度，即可得出 将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2。
19．（2025·揭西期末）如图，等腰三角形ABD中，AB＝AC．
（1）在线段AC上求作点D，使得点D到AB和BC的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中，连接，若AD＝BD，求∠A的度数．
【答案】（1）解：如图所示，点D为所求的；
（2）解：∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠C
由（1）知BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠CBD
∵AD＝BD
∴∠A＝∠ABD
∴∠ABC＝∠C＝2∠A
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°
∴∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，
∴∠A＝36°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】(1)根据尺规作图，作∠ABC的平分线，交AC于点D，点D即为所求；
（2）根据AB=AC，可得出∠ABC＝∠C，根据BD平分∠ABC可得∠ABD＝∠CBD，再根据AD=BD，可得∠A=∠ABD，进而可得出∠ABC＝∠C＝2∠A，再根据三角形内角和定理即可求得∠A的度数。
20．（2025·揭西期末） 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边在AB上方作等边△ABD，点F是线段AD的中点，连接CF．
（1）若AC＝3，求AD的长；
（2）求证：四边形BCFD是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴ AB＝2BC ， 设BC＝x，则AB＝2x
∴ BC2＋AC2＝AB2∴，解得：∴ AB＝2
∵ △ABD是等边三角形
∴ AD＝AB＝2
（2）证明：∵ 点F是AD的中点，
∴ AD＝2DF，
∵ AB＝2BC，AD＝AB
∴ DF＝BC
在Rt△ABC中，∠CAB＝30°
∴ ∠ABC＝90°－∠CAB＝60°
∵ △ABD是等边三角形
∴ ∠BAD＝60°＝∠ABC
∴ BC∥AD，即DF∥BC，
又∵ DF＝BC
∴ 四边形BCFD是平行四边形．
【知识点】平行线的判定；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）首先根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AB=2BC，可设设BC＝x，则AB＝2x，根据勾股定理，可列出关于x的方程，求得x的值，即可得出AB的长度，根据等边三角形的性质，即可得出AD的长度；
（2）根据AB=2BC，AD=2DF，AB=AD。即可得出BC=DF，再根据∠BAD=60°=∠ABC，可得出BC∥DF，根据一组对边平行且相等，即可得出 四边形BCFD是平行四边形．
21．（2025·揭西期末） 如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
例如：求代数式x2+4x+6的最小值．
原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值，最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ 　 　 求代数式x2﹣6x+12的最小值为 　 　 ；
（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 　 　 时，y有最 　 　 值（填“大”或“小”），这个值是 　 　；
（3）当a，b，c分别为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0时，求△ABC的周长。
【答案】（1）解：；3
（2）解：1；大；﹣2
（3）解：∵a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0，
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣10b+25）+（c2﹣6c+9）＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣5）2+（c﹣3）2＝0，
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣5）2≥0，（c﹣3）2≥0，
∴ a﹣3＝0，b﹣5＝0，c﹣3＝0，
∴ a＝3，b＝5，c＝3，
∴ △ABC的的周长＝；
【知识点】配方法的应用；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4-4-5=（m-2)2-9=(m-2+3)(m-2-3)=(m+1)(m-5)；
x2﹣6x+12 =x2﹣6x+9-9+12=(x-3)2+3
∵（x-3）2≥0，
∴当x=3时，x2﹣6x+12有最小值，最小值是3.
故第1空答案为：(m+1)(m-5)；第2空答案为：3；
（2）y＝﹣x2+2x﹣3 =-（x2-2x+1-1）-3=-（x-1）2-2，
∵（x-1）2≥0，
∴-（x-1）2≤0，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为-2，
故第1空答案为：1；第2空答案为：大；第3空答案为：-2；
【分析】（1）首先根据配方法把原式变形为一个完全平方式与一个完全平方数的差，再利用平方差公式，进行因式分解即可得出第1空答案；根据配方法把原式变形为一个完全平方式与一个常数项的和，根据偶次方的非负性，即可得出答案；
（2）根据配方法把右边式子进行变形，得出y＝﹣x2+2x﹣3=-（x-1）2-2，再根据偶次方的非负性，即可得出答案；
（3）根据配方法把等式左边变形为（a﹣3）2+（b﹣5）2+（c﹣3）2＝0，再根据偶次方的非负性，即可得出a＝3，b＝5，c＝3，进一步即可得出 △ABC的周长。
22．（2025·揭西期末）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．
（1）求购买一个种机器人、一个B种机器人各需多少万元？
（2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当A种机器人提价15%，B种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案．
【答案】（1）解：设购买一个种机器人需万元，一个种机器人需万元，
由题意得：，解这个方程，得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，，
答：购买一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元；
（2）解：设购进种机器人个，则购进种机器人个，
由题意得：，
解这个不等式组，得：60≤m≤75
设利润为元，
由题意得：，
， 随的增大而减小，
当时，有最大值，此时，，
答：最大利润为1060元，对应的购进方案为购进种机器人60个，种机器人40个.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购买一个种机器人需万元，一个种机器人需万元，根据 用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍． 可得出方程，解这个方程求解并检验，进一步在求出x+5，即可得出答案；
（2）设购进种机器人个，则购进种机器人个，根据总费用不超过6200元，且 且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍 ，可得不等式组：解得，60≤m≤75，再根据题意，得出总利润w与m之间的函数关系式为：，根据一次函数的增减性，即可得出答案。
23．（2025·揭西期末）如图1，四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E，使得BE＝AB，连接BD和CE.
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）如图2，将△CBE沿直线BC翻折，点E刚好落在AD的中点F处，延长CF与BA的延长线交于点H，并且CF和BD交于点G，试探究线段CH、FG、GB之间的数量关系；
（3）如图3，将△CBE沿直线BC翻折，点E刚好落在AD的点F处，若AD＝6，DC＝3，且FD＝2FA，求的面积.
【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD
∵ 延长AB至点E，BE＝AB
∴ BE＝CD，BE∥CD
∴ 四边形BECD是平行四边形
（2）证明：FG＋GB＝CH
证明：由（1）知AB∥CD
∴ ∠CDF＝∠HAF
∵ F是线段AD的中点
∴ AF＝DF
∵ ∠AFH＝∠DFC
∴ △DFC≌△AFH（AAS）
∴ CF＝HF ∴ CH＝2CF
∵ △CBE沿直线BC翻折点E刚好落在线段AD的中点F处
∴ ∠ECB＝∠FCB
由（1）得，四边形BECD是平行四边形 ∴ ∠ECB＝∠DBC
∴ ∠FCB＝∠DBC ∴ GB＝CG
∴2（FG＋CB）＝CH，
∴ FG＋GB＝CH
（3）证明：如图3中，过点B作BM⊥AD于点M
∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC，CD＝AB＝3
由翻折变换的性质可知EF⊥BC ∴ EF⊥AD ∴ ∠AFE＝90°
∵ AB＝BE＝3 ∴ BF＝AB＝BE＝3
∵ DF＝2AF ∴ DF＝4，AF＝2
∵ BM⊥AF ∴ AM＝MF＝1
∴ BM＝
∴ △DFC的面积＝
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等，即可证明四边形BECD是平行四边形；
（2）首先根据AAS可证△DFC≌△AFH，得出CF=HF，进而CH=2CF，然后再根据平行线及翻折的性质得出∠FCB＝∠DBC ，进而GB＝CG ，进一步即可得出FG＋GB＝CH；
（3）如图3中，过点B作BM⊥AD于点M，根据AD=6， FD＝2FA， 可得出DF=4，AF=2，再结合BF＝AB＝BE＝3，根据等腰三角形的性质可得出AM=1，进而根据勾股定理可求得BM的长度，最后根据三角形面积计算公式，即可得出的面积.
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