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23.5位似图形　
位似图形
1.在下列各图中,不添加任何辅助线,若每个图所给出的两个三角形都是相似的,则位似图形的个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2025重庆沙坪坝区月考)如图,已知△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且OC∶OF=3∶2,则线段AB∶DE的值为 (　　)
A.3∶2
B.5∶3
C.9∶4
D.9∶5
3.如图,△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形,点A在线段OA'上.若OA∶AA'=1∶2,则△ABC与△A'B'C'的周长之比为　　　　.
4.四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是位似图形,点A与点A1对应,点B与点B1对应,点O是位似中心,如果OA∶OA1=1∶3,AB=2,那么A1B1=　　　　.
画位似图形
5.(2025简阳月考)在平面直角坐标系中,A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2).
(1)写出点C关于点B成中心对称的点C1的坐标.
(2)以原点O为位似中心,相似比为2∶1,在y轴的左侧画出△ABC放大后的△A2B2C2,并直接写出点C2的坐标.
1.如图,画出一个矩形,使所画的矩形与矩形ABCD关于点O成位似关系,且相似比为1∶2,则所画的矩形可以是 (　　)
A.① B.② C.③ D.④
2.如图,在小正方形网格中,两个阴影部分的格点三角形位似,则位似中心为 (　　)
A.点N B.点K
C.点R D.点Q
3.在研究相似问题时,嘉嘉和淇淇两同学的观点如下:
图1　图2
嘉嘉:将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张,得到新正方形,它们的对应边间距为1,则新正方形与原正方形相似,同时也位似;
淇淇:将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张,得到新正方形,每条对角线向其延长线两个方向各延伸1,则新正方形与原正方形相似,同时也位似.
对于两人的观点,下列说法正确的是 (　　)
A.两人都对
B.两人都不对
C.嘉嘉对,淇淇不对
D.嘉嘉不对,淇淇对
4.(数学文化)《墨子·天志》记载:“执规矩,以度天下之方圆”.度方知圆,感悟数学之美.如图,以面积为1的正方形ABCD的对角线的交点为位似中心,作它的位似图形A'B'C'D',若AB∶A'B'=1∶2,则四边形A'B'C'D'的面积为 (　　)
A.9
B.6
C.4
D.3
5.如图,在平行四边形ABCD中,以C为位似中心,作平行四边形ABCD的位似平行四边形PECF,且与原图形的相似比为2∶3,连结BP、DP,若平行四边形ABCD的面积为20,则△PBE与△PDF的面积之和为　　　　.
6.(教材P82习题23.5 T2变式)在如图所示的小正方形网格中,每个小正方形的边长均为1.格点三角形ABC(顶点是网格线的交点的三角形叫做格点三角形)的两个顶点坐标分别是B(-4,2),C(-1,1).
(1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系xOy,并写出点A的坐标.
(2)以O为位似中心在网格内画出△ABC的位似图形△A1B1C1,使△ABC与其位似图形的相似比为1∶2,并计算△A1B1C1的周长.
7.(几何直观)如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,-2).
(1)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出△OAB的一个位似图形△OA1B1,使它与△OAB的相似比为2∶1.
(2)画出将△OAB向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2.
(3)判断△OA1B1和△O2A2B2是不是位似图形.若是,请在图中标出位似中心点M,并写出点M的坐标;若不是,请说明理由.
【详解答案】
基础达标
1.C　解析:根据位似图形的定义可知,第1、2、4个图形是位似图形,而第3个图形对应点的连线不能交于一点,故位似图形有3个.故选C.
2.A　解析:∵△ABC与△DEF位似,
∴△ABC∽△DEF,AC∥DF,
∴△AOC∽△DOF,∴AC∶DF=OC∶OF=3∶2,∴△ABC与△DEF的相似比为3∶2,∴AB∶DE=3∶2.故选A.
3.1∶3　解析:∵OA∶AA'=1∶2,
∴OA∶OA'=1∶3,
∵△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形,
∴AC∥A'C',△ABC∽△A'B'C',
∴△AOC∽△A'OC',∴AC∶A'C'=OA∶OA'=1∶3,∴△ABC与△A'B'C'的周长之比为1∶3.
4.6　解析:根据题意,得,∴A1B1=3AB=6.
5.解:(1)点C1的坐标为(1,6).
(2)△A2B2C2如图所示,
点C2的坐标为(-6,4).
能力提升
1.C　解析:如图,分别连结并延长AO、BO、CO、DO,根据图形可得只有③中矩形的各点在延长线上.故选C.
2.B　解析:如图,连结两个格点三角形的对应点,发现对应点的连线相交于点K,则位似中心为点K.故选B.
3.A　解析:嘉嘉:将边长为1的正方形按题图1的方式向外扩张,得到新正方形,各边与原正方形的边平行,因此各角与原正方形的角对应相等,扩张后四条边依然相等,即新正方形与原正方形相似,同时也位似,所以嘉嘉的观点正确;淇淇:将边长为1的正方形按题图2的方式向外扩张,得到新正方形,各边与原正方形的边平行,因此各角与原正方形的角相等,扩张后四条边依然相等,即新正方形与原正方形相似,同时也位似,所以淇淇的观点正确.故选A.
4.C　解析:∵AB∶A'B'=1∶2,∴正方形ABCD的面积∶四边形A'B'C'D'的面积=1∶4.∵正方形ABCD的面积为1,∴四边形A'B'C'D'的面积=4.故选C.
5.　解析:如图,连结AC,∵平行四边形PECF与平行四边形ABCD是以C为位似中心的位似图形,相似比为2∶3,∴A、P、C三点在同一条直线上,PF∥AD,PE∥AB,CF∶CD=2∶3,
∵平行四边形ABCD的面积为20,
∴△ABC和△ADC的面积都是10,
∵PF∥AD,∴△CFP∽△CDA,
∴,∴S△CFP=,
∵CF∶FD=2∶1,∴S△PDF=,同理可得S△PBE=,∴△PBE与△PDF的面积之和为.
6.解:(1)平面直角坐标系如图1,点A的坐标为(-3,3).
图1
(2)如图2,△A1B1C1即为所求.
图2
∵A1B1==2,
A1C1==4,
B1C1==2,
∴△A1B1C1的周长为6+2.
7.解:(1)如图,△OA1B1即为所作图形.
(2)如图,△O2A2B2即为所作图形.
(3)△OA1B1和△O2A2B2是位似图形,如图,点M为所求位似中心,点M的坐标为(-4,2).

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