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专题训练五　相似三角形的判定与性质　　　
相似三角形判定定理的综合运用
1.如图,在平行四边形ABCD中,E是边AD的延长线上一点,连结BE交边CD于点F,交对角线AC于点G.
(1)求证:△BGC∽△EGA.
(2)若,求的值.
2.(2025上海浦东新区月考)如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,AF⊥CD,垂足为F.
(1)求证:△ABE∽△ADF.
(2)若EF∥BD,求证:AB=AD.
用相似三角形的性质证比例式
3.如图,在△ABC中,点D在边AB上,点E在线段CD上,且∠BAE=∠ACD=∠B.
(1)求证:.
(2)当E为CD的中点时,求证:.
用相似三角形的性质证等积式
4.如图所示,在平行四边形ABCD中,点E是边CD上一点,点F是边AD的中点,BE=DE+AB.
(1)求证:EF⊥BF.
(2)如果BE平分∠CBF,求证:DF·AD=CD·CE.
用相似三角形的性质求线段的长度
5.如图,在△ABC中,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,DE∥AC,EF∥AB.
(1)求证:△BDE∽△EFC.
(2)若,且BC=20,求线段BE的长.
6.如图,在△ABC中,AB=2,将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN,且CN∥BM,线段MA的延长线与CN交于点P,AM=3,CN=.
(1)求证:△ABM∽△CBN.
(2)求AP的长.
用相似三角形的性质求面积
7.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且BD=AD,CE=AE.
(1)求证:△ADE∽△ABC.
(2)连结BE、CD交于点F,若S△DEF=2,求四边形DBCE的面积.
用相似三角形的性质解决实际生活问题
8.△ABC表示一块直角三角形空地,已知∠ACB=90°,边AC=4 m,BC=3 m.现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池,现有方案一、方案二分别如图1、图2所示,请你分别计算两种方案中水池的边长,并比较哪种方案的正方形水池的面积更大.
图1　图2
【详解答案】
1.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD.
∴∠GAE=∠GCB,∠GEA=∠GBC.
∴△BGC∽△EGA.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD.
设BC=AD=2x,
∵△BGC∽△EGA,∴.
∴AE=3x,∴DE=x.
同(1)可证△DEF∽△CBF,
∴.
2.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABE=∠ADF,∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°,
∴△ABE∽△ADF.
(2)∵EF∥BD,∴,又∵BC=AD,DC=AB,∴,
∵△ABE∽△ADF,∴,
∴,∴AB2=AD2,
∴AB=AD.
3.证明:(1)∵∠ACD=∠BAE,
∠BAC=∠BAE+∠CAE,
∠AED=∠ACD+∠CAE,
∴∠AED=∠BAC,∵∠DAE=∠B,
∴△AED∽△BAC,∴.
(2)∵∠ADE=∠CDA,∠DAE=∠ACD,
∴△DAE∽△DCA,
∴,∵DE=CE,
∴,∴,
∵∠DAC=∠BAC,∠ACD=∠B,
∴△ACD∽△ABC,
∴AC2=AD·AB,∴.
4.证明:如图,延长EF交BA的延长线于点M.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,∴∠D=∠MAF,
∵点F是边AD的中点,∴AF=DF,
又∵∠MFA=∠EFD,
∴△MFA≌△EFD,
∴EF=MF,DE=AM,∵BE=DE+AB,∴BE=AM+AB=BM,
∴EF⊥BF.
(2)∵BE平分∠CBF,
∴∠EBC=∠EBF,
由(1)得BM=BE,EF=MF,
∴∠MBF=∠EBF,
∴∠MBF=∠EBF=∠EBC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠C=∠BAF,AD=BC,AB=CD,
∴△BCE∽△BAF,∴,
∵AF=DF,∴,
∴DF·AD=CD·CE.
5.解:(1)证明:在△ABC中,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,DE∥AC,EF∥AB,
∴∠B=∠CEF,∠BED=∠C,
∴△BDE∽△EFC.
(2)若,
则,∵EF∥AB,
∴△EFC∽△BAC,∴,
∵BC=20,∴,∴EC=12,
∴BE=BC-EC=20-12=8.
6.解:(1)证明:∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN,∴AB=MB,BC=BN,∠ABC=∠MBN,∴,∴∠MBN+∠ABN=∠ABC+∠ABN,即∠ABM=∠CBN,∴△ABM∽△CBN.
(2)由(1)知,△ABM∽△CBN,
∴∠BMA=∠BNC,
∵CN∥BM,∴∠BMA=∠APN,
∴∠APN=∠BNC,又∵BC=BN,
∴∠BNC=∠BCN,
∴∠APN=∠BCN,∴BC∥MP,
∴四边形BCPM为平行四边形,
∴BC=PM,∵△ABM∽△CBN,
∴,即,
∴CB=5,∴PM=5,
∴AP=PM-AM=5-3=2.
7.解:(1)证明:∵BD=AD,CE=AE,
∴AD=AB,
AE=AC,∴.
又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC,
∴,∠ADE=∠ABC,
∴DE∥BC,∴△DEF∽△CBF,
∴,
∴BF=2EF,CF=2DF,
.∵S△DEF=2,
∴S△DBF=2S△DEF=2×2=4,
S△CEF=2S△DEF=2×2=4,
S△CBF=4S△DEF=4×2=8,
∴S四边形DBCE=S△DEF+S△DBF+S△CEF+S△CBF=2+4+4+8=18.
∴四边形DBCE的面积是18.
8.解:设正方形的边长为x m.
方案一:∵DE∥BC,∴,
∴,∴x=.
方案二:如图,作CH⊥AB于点H,交DG于点P,
则四边形DPHE是矩形,
∵∠ACB=90°,AC=4 m,BC=3 m,
∴AB==5 m,
∵S△ABC=AB·CH=AC·BC,
∴CH= m.
∵PH=DE=x m,
∴CP=CH-PH=m.
∵DG∥AB,∴△CDG∽△CAB,
∴,∴,
解得x=.∵,
∴方案一的正方形水池的面积更大.

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