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21.3二次根式的加减
第1课时　二次根式的加减　　
同类二次根式
1.下列二次根式中能与3合并的是 (　　)
A. B.
C. D.
2.(2025兰州城关区期中)与最简二次根式能合并,则m的值为 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
3.在下列二次根式中:
2,,4,.
(1)与是同类二次根式的是　.
(2)与是同类二次根式的是　.
二次根式的加减运算
4.下列计算中,正确的是 (　　)
A.2+=2
B.=3
C.3-2=(3-2)
D.3
5.若,则M= (　　)
A.5 B.10
C.20 D.25
6.(2024长春中考)计算:=　　　　.
7.若=3,则a=　　　　.
8.计算:
(1)2+3.
(2).
9.已知a=4+2,b=4-2,分别求下列代数式的值.
(1)a2-b2.
(2)a2-2ab+b2.
1.(2025武威期中)下列二次根式:①;;;④中,能与合并的是 (　　)
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
2.下列式子中计算正确的是 (　　)
A.
B.=a+b
C.a+b=(a+b)
D.+2
3.若a<0,则= (　　)
A.(a-b) B.(a+b) C.(-ab) D.(-a+b)
4.已知最简二次根式与可以合并成一项,则a、b的值分别为 (　　)
A.1、2 B.-1、0
C.1、0 D.-1、2
5.若最简二次根式-4与3能够合并,则x=　　　　.
6.(新定义试题)我们规定运算符号“△”的意义如下:当a>b时,a△b=a+b;当a≤b时,a△b=a-b,其他运算符号的意义不变.计算:(△)-(2△3)=　　　　.
7.(教材P12习题21.3T1变式)计算:
(1)15.
(2)+6-x.
8.先化简,再求值.
(1)6x,其中x=,y=27.
(2)x,其中x=8,y=.
9.一个三角形的三边长分别为5,,.
(1)求它的周长(要求结果化简).
(2)请你给出一个适当的x的值,使它的周长为整数,并求出此时三角形的周长.
10.(运算能力)嘉琪准备完成题目“计算:-■”时,发现“■”处的数字印刷不清楚.
(1)他把“■”处的数字猜成4,请你计算-4的结果.
(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到这个题的正确答案是3.”通过计算说明题目中的“■”处的数字是几
【详解答案】
基础达标
1.A　解析:A.=2,则与3可以进行合并,符合题意;B.=3,则与3不可以进行合并,不符合题意;C.=3,则与3不可以进行合并,不符合题意;D.,则与3不可以进行合并,不符合题意.故选A.
2.C　解析:=2,∵与最简二次根式能合并,∴m+1=3,∴m=2.故选C.
3.(1)4　(2),
解析:×
4=2;4=4=4×
=2;.因此,(1)4与是同类二次根式;(2),与是同类二次根式.
4.D　解析:A、B、C都不是同类二次根式,不能合并,故错误;D.3 ,正确.故选D.
5.C　解析:∵=2,∴M=20.故选C.
6.　解析:原式=2.
7.2　解析:∵=3,
∴+2=3,∴,∴a+1=3,解得a=2.
8.解:(1)原式=4+12=16.
(2)原式=2+3=5.
9.解:(1)∵a=4+2,b=4-2,
∴a+b=4+2+4-2=8,a-b=(4+2)-(4-2)=4.
∴a2-b2=(a+b)(a-b)=8×4=32.
(2)a2-2ab+b2=(a-b)2=(4)2=32.
能力提升
1.C　解析:①=2,能与合并;②,不能与合并;③,不能与合并;④=3,能与合并.故选C.
2.C　解析:A.和不是同类二次根式,不能合并,故该选项不正确,不符合题意;B.≠a+b,故该选项不正确,不符合题意;C.a+b=(a+b),可以合并,故该选项正确,符合题意;D.≠+2,故该选项不正确,不符合题意.故选C.
3.D　解析:∵a<0,∴b<0.
∴=|a|-
|b|=-a+b=(-a+b).故选D.
4.C　解析:∵最简二次根式与可以合并成一项,=2,
∴解得故选C.
5.2　解析:∵最简二次根式-4与3能够合并,∴3x+5=2x+7,∴x=2.
6.-+4　解析:∵当a>b时,a△b=a+b;当a≤b时,a△b=a-b,,2<3,
∴(△)-(2△3)=-(2-3)=-+4.
7.解:(1)15=
15+3-4=14.
(2)+6-x=
2+3=4.
8.解:(1)原式=6+3-
(4+6)=
(6+3-4-6)=-,
当x=,y=27时,
原式=-=-.
(2)原式=x·+2--y·=+2-=+3.
当x=8,y=时,原式= +
3×2+3× .
9.解:(1)∵一个三角形的三边长分别为
5,,,
∴这个三角形的周长是5+
+
.
(2)当x=20时,这个三角形的周长是×10=25.(答案不唯一)
10.解:(1)-4-3-4=4-4×-3×+4×=3.
(2)设“■”处的数字为a,则
-a=
4-a×-3×+4×=4-
+2=3,
∵这个题的正确答案是3.
∴2-=0,解得a=8,
即“■”处的数字是8.21.3　二次根式的加减　
第2课时　二次根式的混合运算
二次根式的混合运算
1.计算的结果是 (　　)
A.7 B.6 C.7 D.2
2.计算()×的结果是 (　　)
A. B.1 C. D.3
3.计算÷(-)的结果为 (　　)
A.-5 B.5 C.7 D.-7
4.若4,则y的值为 (　　)
A.3 B.12 C.15 D.27
5.下列运算正确的是 (　　)
A. B.3=3
C.=4 D.
6.(2024威海中考)计算:=　　　　.
7.计算-6×的结果是　　　　.
8.计算:
(1).
(2)()2.
(3).
(4)(-3)2+2+|-|.
9.已知式子+2有意义,b是64的立方根.
(1)求a、b的值.
(2)求的值.
1.(2024济宁中考)下列运算正确的是 (　　)
A. B.
C.2÷=1 D.=-5
2.(教材P12习题21.3T3变式)如图,矩形内有两个相邻的正方形,其面积分别为8和32,则图中阴影部分的面积为 (　　)
A.8 B.8 C.10 D.12
3.(2024天津中考)计算(+1)(-1)的结果为　　　　.
4.若3-的整数部分为a,小数部分为b,则代数式(2+a)·b的值是　　　　.
5.(2025陇南礼县月考)计算:
(1).
(2)(2-π)0+|4-3|-+(2)2.
6.已知x、y都是实数,且y=+8,求+6-x的值.
7.已知线段a、b、c,且线段a、b满足|a-|+(b-)2=0.
(1)求a、b的值.
(2)若a、b、c是某直角三角形的三条边的长度,求c的值.
8.(2025武威凉州区期末)如图,李明家有一块长方形空地ABCD,长BC为 m,宽AB为 m,现要在空地中挖一个长方形的水池(即图中阴影部分),其余部分种植草莓,其中长方形水池的长为(+1)m,宽为(-1)m.
(1)求长方形空地ABCD的周长.(结果化为最简二次根式)
(2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg,且每平方米产草莓15 kg,若李明家将所种的草莓全部销售完,销售收入为多少元
9.(推理能力)观察下列一组等式,回答问题.
①(+1)×(-1)=1;
②()×()=1;
③()×()=1;
④()×()=1;
…
(1)观察以上规律,请写出第n(n为正整数)个等式.
(2)利用上面的规律,计算:
+…+.
【详解答案】
基础达标
1.B　解析:原式==7=6.故选B.
2.B　解析:()×=3-2=1.故选B.
3.C　解析:原式=(-2-6)÷(-)=-7÷(-)=7.故选C.
4.B　解析:∵4,
∴4=6,∴=2,
∴y=12.故选B.
5.D　解析:A.与不能合并,所以A选项不符合题意;B.原式=2,所以B选项不符合题意;C.原式==2,所以C选项不符合题意;D.原式=,所以D选项符合题意.故选D.
6.-2　解析:原式=2=
2-4=-2.
7.　解析:=3,6×=2,所以-6×=3-2.
8.解:(1)=2-
+4=5.
(2)()2=-2+
=5-2+3=8-2.
(3)=
2.
(4)(-3)2+2+|-|=9+2-2+=7+3.
9.解:(1)由题意,得
解得a=3.∵b是64的立方根,
∴b==4.
(2)=
2-4=-2.
∵a=3,b=4,
∴原式=-2=-12.
能力提升
1.B　解析:A.和不是同类二次根式,不能合并,错误,不合题意;B.,正确,符合题意;C.2÷≠1,错误,不合题意;D.=5,错误,不合题意.故选B.
2.A　解析:由题意得,两个正方形的边长分别为2、4,∴阴影部分的面积为2×(4-2)=8.故选A.
3.10　解析:原式=()2-12=11-1=10.
4.2　解析:∵1<<2,∴1<3-<2.∵3-的整数部分为a,小数部分为b,∴a=1,b=3--1=2-.
∴(2+a)·b=(2+)(2-)=2.
5.解:(1)=
4×2-2=4+-2=4-.
(2)(2-π)0+|4-3|-+
(2)2=1+3-4-3+(12+
2-4)=-3+14-4=11-4.
6.解:+6-x=
2+3=2+2.
由题意得解得x=2,
所以y=8,
所以原式=2+2=8+2.
7.解:(1)∵线段a、b满足|a-|+
(b-)2=0,∴a=4,b=4.
(2)∵a、b、c是某直角三角形的三条边的长度,∴c==4或c==4.
8.解:(1)长方形空地ABCD的周长为2×()=2×(6+4)=20(m).
答:长方形空地ABCD的周长为20 m.
(2)种草莓的面积为-(+1)×(-1)=48-(10-1)=39(m2),39×15×8=4 680(元).
答:销售收入为4 680元.
9.解:(1)由题可得,第n个等式为
()()=1.
(2)原式=-1+-
+…+-
1=10-1=9.

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