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22.2　一元二次方程的解法
3.公式法
用公式法解一元二次方程
1.用公式法解方程x2-4x-11=0时,b2-4ac= (　　)
A.-43 B.-28
C.45 D.60
2.方程x2+x-1=0的一个根是 (　　)
A.1- B.
C.-1+ D.
3.若关于x的一元二次方程的根为x=,则这个方程是 (　　)
A.x2+4x-3=0 B.x2-4x-1=0
C.x2+4x-5=0 D.x2-4x-2=0
4.利用公式法可得一元二次方程3x2-11x-1=0的两根为a、b,且a>b,则a的值为 (　　)
A. B.
C. D.
5.用公式法解下列方程:
(1)2x2-2x-1=0.
(2)(x-5)(x+7)=1.
选择合适的方法解方程
6.认真观察下列方程,指出使用何种方法求解比较适当.
(1)4x2=5,应选用　　　　法.
(2)x2+16x=5,应选用　　　　法.
(3)2(x+2)(x-1)=(x+2)(x+4),应选用　　　　法.
(4)2x2-3x-3=0,应选用　　　　法.
7.用适当方法解下列方程:
(1)x2+4x-1=0.
(2)x2-6x-7=0.
(3)(x-1)2=.
(4)x2-3x+1=0.
1.(新定义试题)对于实数a、b,定义运算“△”:a△b=a2-2b,例如:5△1=52-2×1=23.若x△x=-1,则x的值为 (　　)
A.1 B.0
C.0或1 D.1或-1
2.(新定义试题)对于实数a、b,定义运算“※”:a※b=a2-5b-3,如3※1=32-5×1-3=1.若3x※2x=-5,则x的值为 (　　)
A. B.
C.或 D.
3.(数学文化)欧几里得的《几何原本》中记载了形如x2-2px+4q2=0(p>2q>0)的方程根的图形解法:如图,画Rt△ABC,使∠ACB=90°,AC=2q,AB=p,以B为圆心,BC为半径画圆,交射线AB于点D、E,则该方程较大的根是 (　　)
A.CE的长度 B.CD的长度
C.AE的长度 D.DE的长度
4.关于x的一元二次方程3x2-7x+m=0,b2-4ac的值是6,则此方程的根为　　　　　　　　.
5.小明在解方程x2-5x=1时出现了错误,解答过程如下:
∵a=1,b=-5,c=1,(第一步)
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21,(第二步)
∴x=,(第三步)
∴x1=,x2=.(第四步)
(1)小明解答过程是从第　　　　步开始出错的,其错误原因是　.
(2)写出此题正确的解答过程.
6.用公式法解下列方程:
(1)4x2-3x-1=0.
(2)2x2-3x+3=0.
(3)4x2+4x-1=-10-8x.
(4)3x2+5(2x+1)=0.
7.(运算能力)阅读下列例题的解答过程:
解方程:3(x-2)2+7(x-2)+4=0.
解:设x-2=y,则原方程可以化为3y2+7y+4=0.
∵a=3,b=7,c=4,
∴b2-4ac=72-4×3×4=1>0,
∴y=,
∴y1=-1,y2=-.
当y=-1时,x-2=-1,
∴x=1;
当y=-时,x-2=-,
∴x=.
∴原方程的解为x1=1,x2=.
请仿照上面的例题解方程:2(x2-3)2-5(x2-3)+2=0.
【详解答案】
基础达标
1.D　解析:x2-4x-11=0,∵a=1,b=-4,c=-11,∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-11)=60.故选D.
2.D　解析:∵a=1,b=1,c=-1,
∴b2-4ac=12-4×(-1)=5,
∴x=,∴x1=,
x2=.故选D.
3.D　解析:∵关于x的一元二次方程的根为x=,
∴二次项系数为1,一次项系数为-4,常数项为-2,∴这个方程为x2-4x-2=0.故选D.
4.D　解析:3x2-11x-1=0,这里a=3,b=-11,c=-1,∴b2-4ac=(-11)2-4×3×(-1)=133>0,
∴x=,∵一元二次方程3x2-11x-1=0的两根为a、b,且a>b,∴a的值为.故选D.
5.解:(1)∵a=2,b=-2,c=-1,
∴b2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12>0.∴x=,
即x1=,x2=.
(2)将方程整理成一般形式,
得x2+2x-36=0.
∵a=1,b=2,c=-36,∴b2-4ac=
22-4×1×(-36)=148>0.
∴x==-1±,
即x1=-1+,x2=-1-.
6.(1)直接开平方　(2)配方　(3)因式分解　(4)公式
解析:(1)可直接开平方,故选择直接开平方法;
(2)x2+16x=5的两边都加上64,易配方得(x+8)2=69,故选配方法;
(3)方程2(x+2)(x-1)=(x+2)(x+4),移项得2(x+2)(x-1)-(x+2)·(x+4)=0,直接提公因式(x+2)求解即可;
(4)2x2-3x-3=0,二次项系数不为1,不易用配方法和因式分解法,故应选用公式法求解.
7.解:(1)x2+4x-1=0,x2+4x=1,
x2+4x+4=1+4,(x+2)2=5,
∴x1=-2+,x2=-2-.
(2)x2-6x-7=0,(x-7)(x+1)=0,
解得x1=7,x2=-1.
(3)方程变形,得(x-1)2=3,
直接开平方,得x-1=±,
解得x1=1+,x2=1-.
(4)x2-3x+1=0,
a=1,b=-3,c=1.
∵b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0,
∴x=,∴x1=,x2=.
能力提升
1.A　解析:由题意可得x2-2x=-1,整理得x2-2x+1=0,则(x-1)2=0,∴x=1.故选A.
2.C　解析:3x※2x=(3x)2-5×2x-3=9x2-10x-3=-5,即9x2-10x+2=0,解得x=或x=.故选C.
3.C　解析:由x2-2px+4q2=0(p>2q>0),得=
=2,∵AC=2q,AB=p,∴=2.
在Rt△ABC中,AB2-AC2=BC2,
∴=2=2BC.
∴x==AB±BC,则较大的根为AB+BC,
∵BC=BE,∴AB+BC=AB+BE=AE,即该方程较大的根是AE的长度.故选C.
4.x1=,x2=
解析:由题意得x=
,
解得x1=,x2=.
5.解:(1)一　原方程没有化成一般形式
(2)把原方程化为一般形式为x2-5x-
1=0,∵a=1,b=-5,c=-1.
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29.
∴x=,
即x1=,x2=.
6.解:(1)4x2-3x-1=0,
b2-4ac=(-3)2-4×4×(-1)=25,
x=,
∴x1=1,x2=-.
(2)2x2-3x+3=0,
b2-4ac=(-3)2-4×2×3=3,
x=,
∴x1=,x2=.
(3)4x2+4x-1=-10-8x,
4x2+12x+9=0,
b2-4ac=122-4×4×9=0,
x=,
∴x1=x2=-.
(4)3x2+5(2x+1)=0,
3x2+10x+5=0,
b2-4ac=102-4×3×5=40,
x=,
∴x1=,x2=.
7.解:设x2-3=y,则原方程可以化为2y2-5y+2=0,∵a=2,b=-5,c=2,∴b2-4ac=(-5)2-4×2×2=9>0,∴y=,∴y1=2,y2=.当y=2时,x2-3=2,
∴x1=,x2=-;当y=时,x2-3=,∴x3=,x4=-.∴原方程的解为x1=,x2=-,x3=,x4=-.22.2　一元二次方程的解法　
2.配方法　　
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
1.用配方法解一元二次方程x2+4x+1=0,下列变形正确的是 (　　)
A.(x-2)2-3=0 B.(x+4)2=15
C.(x+2)2=15 D.(x+2)2=3
2.对下列各式进行配方:
(1)x2+8x　　　　=(x+　　　　)2.
(2)x2-10x　　　　=(x-　　　　)2.
(3)x2-x+　　　　=(x-　　　　)2.
(4)x2+bx+　　　　=(x+　　　　)2.
3.用配方法解方程:
(1)(2024徐州中考)x2+2x-1=0.
(2)x2-2x=35.
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
4.(2025昆山月考)用配方法解一元二次方程2x2-2x-1=0,下列配方正确的是 (　　)
A. B. C. D.
5.某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程,每人负责完成一个步骤,如图所示,老师看后,发现有一位同学所负责的步骤是错误的,则这位同学是 (　　)
原方程　　甲　　乙　　　 丙　　　丁
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6.用配方法解方程:
(1)3x2-6x+2=0.
(2)4x2-4x-1=0.
(3)2x2-6x-1=0.
(4)(x-3)(2x+1)=-5.
1.用配方法解方程x2-6x+1=0时,将方程化为(x-3)2=a的形式,则a的值是 (　　)
A.8 B.9 C.10 D.12
2.(2024河北中考)淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则a= (　　)
A.1 B.-1
C.+1 D.1或+1
3.在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方,图1是小思做的,图2是小博做的,对于两人的做法,说法正确的是 (　　)
A.两人都正确
B.小思正确,小博不正确
C.小思不正确,小博正确
D.两人都不正确
4.对于两个不相等的实数a、b,我们规定符号max{a,b}表示a、b中的较大值,如:max{3,5}=5,max{-3,-5}=-3.按照这个规定,若max{x,-x}=x2-3x-5,则x的值是 (　　)
A.5 B.5或1- C.-1或1- D.5或1+
5.已知关于x的方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,则(m-n)2 025=　　　　.
6.用配方法解方程:
(1)2x2-4x+1=0.
(2)(x+1)(x+3)=5+6x.
7.已知关于x的方程3x2-6x+3p=0,其中p是常数.请用配方法解这个一元二次方程.
微专题3 用配方法求二次三项式的最值
用配方法求二次三项式的最值时,需要把二次三项式配方成a(x+h)2+k的形式,当a<0,x=-h时,该二次三项式有最大值k;当a>0,x=-h时,该二次三项式有最小值k.
1.将代数式x2-10x+5配方后,发现它的最小值为 (　　)
A.-30　　　　　B.-20 C.-5 D.0
2.将x2+6x+4进行配方变形后,可得该多项式的最小值为　　　　.
3.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用.
例:已知x可取任何实数,试求二次三项式2x2-12x+14的值的范围.
解:2x2-12x+14
=2(x2-6x)+14
=2(x2-6x+32-32)+14
=2[(x-3)2-9]+14
=2(x-3)2-18+14
=2(x-3)2-4.
∵无论x取何实数,总有(x-3)2≥0,
∴2(x-3)2-4≥-4.即无论x取何实数,2x2-12x+14的值总是不小于-4的实数.
问题:已知x可取任何实数,求二次三项式-3x2+12x-11的最大值.
【详解答案】
基础达标
1.D　解析:x2+4x+1=0,x2+4x=-1,x2+4x+4=-1+4,(x+2)2=3.故选D.
2.(1)+16　4　(2)+25　5　(3)　
(4)　
3.解:(1)x2+2x-1=0,x2+2x=1,
x2+2x+1=1+1,(x+1)2=2,x+1=±,∴x1=-1,x2=--1.
(2)x2-2x=35,x2-2x+1=35+1,
(x-1)2=36,x-1=±6,x-1=6
或x-1=-6,∴x1=7,x2=-5.
4.C　解析:方程2x2-2x-1=0,整理得x2-x=,配方得x2-x+,即.故选C.
5.B　解析:2x2+4x-1=0,2x2+4x=1,x2+2x=,x2+2x+1=+1,(x+1)2=,x+1=或x+1=-,x1=-1+,x2=-1-,
∴这位同学是乙.故选B.
6.解:(1)原方程可化为3x2-6x=-2,
x2-2x=-,
x2-2x+1=1-,即(x-1)2=,
∴x-1=±,∴x=1±,
∴x1=,x2=.
(2)原方程可化为x2-x=,
配方得x2-x+,
即,
∴x-=±,
解得x1=,x2=.
(3)原方程可化为x2-3x=,
∴x2-3x+,
即,∴x-=±,
则x1=,x2=.
(4)原方程可化为x2-x=-1,
∴x2-x+,
即.
∴x-=±,∴x1=2,x2=.
能力提升
1.A　解析:x2-6x+1=0,x2-6x=-1,x2-6x+9=-1+9,(x-3)2=8,∴a=8.故选A.
2.C　解析:根据题意得,a2-2a=1,∴a2-2a+1=2,∴(a-1)2=2,∴a=1±,∵a>0,∴a=+1.故选C.
3.A　解析:由题图知,两人的做法都正确.故选A.
4.B　解析:分两种情况:当x>-x,即x>0时,∵max{x,-x}=x2-3x-5,∴x=x2-3x-5,整理,得x2-4x-5=0,x2-4x=5,x2-4x+4=5+4,(x-2)2=9,x-2=±3,x1=5,x2=-1(舍去);当x<-x,即x<0时,∵max{x,-x}=x2-3x-5,∴-x=x2-3x-5,整理,得x2-2x-5=0,x2-2x=5,x2-2x+1=5+1,(x-1)2=6,x-1=±,x-1=或x-1=-,x1=1+(舍去),x2=1-.综上所述,x=5或x=1-.故选B.
5.1　解析:x2+4x+n=0,∴x2+4x+4=-n+4,∴(x+2)2=-n+4,∵方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,∴m=2,4-n=3,∴n=1,∴(m-n)2 025=1.
6.解:(1)原方程可化为x2-2x=-,
配方,得x2-2x+1=,
即(x-1)2=.直接开平方,得x-1=±.∴x-1=或x-1=-,∴x1=1+,x2=1-.
(2)原方程可化为x2-2x=2,
配方,得x2-2x+1=2+1,
即(x-1)2=3,∴x-1=±,
∴x1=1+,x2=1-.
7.解:原方程可化为x2-2x=-p.
配方,得x2-2x+1=1-p,
即(x-1)2=1-p.
当1-p>0,即p<1时,
x-1=±,
∴x1=1+,x2=1-;
当1-p=0,即p=1时,(x-1)2=0.
∴x1=x2=1;
当1-p<0,即p>1时,方程无实数根.
微专题3
1.B　解析:x2-10x+5=x2-10x+25-20=(x-5)2-20,当x=5时,代数式的最小值为-20.故选B.
2.-5　解析:∵x2+6x+4=(x+3)2-5,∴当x=-3时,多项式x2+6x+4取得最小值-5.
3.解:-3x2+12x-11=-3(x2-4x)-
11=-3(x2-4x+4)-11+12=-3(x-2)2+1,
∵-3(x-2)2≤0,∴-3(x-2)2+1≤1,∴-3x2+12x-11≤1,∴无论x取任何实数,二次三项式-3x2+12x-11都有最大值1.22.2　一元二次方程的解法
4.一元二次方程根的判别式　
一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程x2-4x+3=0的根的情况是 (　　)
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
2.(2024吉林中考)下列方程中,有两个相等实数根的是 (　　)
A.(x-2)2=-1 B.(x-2)2=0 C.(x-2)2=1 D.(x-2)2=2
3.(2024淮安中考)若关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 (　　)
A.k≥4 B.k>4 C.k≤4 D.k<4
4.关于x的一元二次方程2x2-3x+k=0有实数根,则实数k的取值范围是 (　　)
A.k< B.k≤ C.k≥ D.k<-
5.下列方程中,无实数根的方程是 (　　)
A.x2+3x=0 B.x2+2x-1=0 C.x2+2x+1=0 D.x2-x+3=0
6.已知关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 (　　)
A.m<-1
B.m>1
C.m<1且m≠0
D.m>-1且m≠0
7.若一元二次方程x2-2x+c=0无实数根,则实数c的取值范围为　　　　.
8.不解方程,判断下列方程根的情况:
(1)16x2+9=24x.
(2)5(x2+1)-7x=0.
(3)3(x2-1)=5x.
1.关于x的一元二次方程(m-2)x2+4x+2=0有两个实数根,则m的取值范围是 (　　)
A.m≤4 B.m≥4
C.m≥-4且m≠2 D.m≤4且m≠2
2.已知关于x的一元二次方程x2-mx-n2+mn+1=0,其中m、n满足m-2n=3,关于该方程根的情况,下列判断正确的是 (　　)
A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法判断
3.(新定义试题)规定:对于任意实数a、b、c,有【a,b】★c=ac+b,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如【2,3】★1=2×1+3=5.若关于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围为 (　　)
A.m< B.m>
C.m>-且m≠0 D.m<且m≠0
4.明明在解关于x的方程ax2-3x+2=0(a≠0)时,抄错了a的符号,解出其中一个根是x=1,则原方程的根的情况是 (　　)
A.没有实数根
B.有一个实数根是x=-1
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
5.已知关于x的一元二次方程x2-mx+n=0,其中m、n在数轴上的对应点如图所示,则这个方程的根的情况是 (　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
6.(新定义试题)对于实数a、b定义运算“☆”为a☆b=a2-a+b,例如:4☆5=42-4+5=17,则关于x的方程(x-2)☆2=x-1的根的情况,下列说法正确的是 (　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
7.(2024广州中考)关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不等的实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)化简:·.
8.设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0,已知①b=2,c=1;②b=-2,c=-3;③b=1,c=2.请在上述三组条件中选择其中一组b、c的值,使这个方程有两个实数根,并解这个方程.
9.(运算能力)已知关于x的一元二次方程x2-(m-2)x+2m-8=0.
(1)求证:不论m取何实数,此方程总有两个实数根.
(2)若平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于该方程的两个实数根.
①当m为何值时,四边形ABCD是菱形 求出这时菱形的边长.
②若AB的长为3,那么平行四边形ABCD的周长是多少
【详解答案】
基础达标
1.B　解析:∵Δ=(-4)2-4×1×3=4>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选B.
2.B　解析:A.(x-2)2=-1,化简为方程x2-4x+5=0,∵a=1,b=-4,c=5,∴Δ=(-4)2-4×1×5=-4<0,此方程没有实数根,不符合题意;B.(x-2)2=0,化简为x2-4x+4=0,∵a=1,b=-4,c=4,∴Δ=(-4)2-4×1×4=0,∴此方程有两个相等实数根,符合题意;C.(x-2)2=1,化简为方程x2-4x+3=0,∵a=1,b=-4,c=3,∴Δ=(-4)2-4×1×3=4>0,∴此方程有两个不相等的实数根,不符合题意;D.方程(x-2)2=2,化简为x2-4x+2=0,∵a=1,b=-4,c=2,∴Δ=(-4)2-4×1×2=16-8=8>0,∴此方程有两个不相等的实数根,不符合题意.故选B.
3.D　解析:∵关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根,
∴Δ>0,∴(-4)2-4×1×k>0,
即16-4k>0,∴k<4.故选D.
4.B　解析:因为关于x的一元二次方程2x2-3x+k=0有实数根,所以Δ=(-3)2-4×2×k≥0,解得k≤.故选B.
5.D　解析:A.∵Δ=32-4×1×0=9>0,∴方程x2+3x=0有两个不相等的实数根,选项A不符合题意;B.∵Δ=22-4×1×(-1)=8>0,∴方程x2+2x-1=0有两个不相等的实数根,选项B不符合题意;C.∵Δ=22-4×1×1=0,∴方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根,选项C不符合题意;D.∵Δ=(-1)2-4×1×3=-11<0,∴方程x2-x+3=0没有实数根,选项D符合题意.故选D.
6.D　解析:∵关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,∴m≠0且Δ>0,即22-4·m·(-1)>0,解得m>-1且m≠0,∴m的取值范围为m>-1且m≠0.故选D.
7.c>1　解析:∵一元二次方程x2-2x+c=0无实数根,∴Δ=(-2)2-4c<0,∴c>1.
8.解:(1)16x2+9=24x化为一般形式为16x2-24x+9=0,Δ=b2-4ac=576-4×16×9=0,故方程有两个相等的实数根.
(2)5(x2+1)-7x=0化为一般形式为5x2-7x+5=0,Δ=b2-4ac=49-4×5×5=-51<0,故方程没有实数根.
(3)3(x2-1)=5x化为一般形式为3x2-5x-3=0,Δ=b2-4ac=(-5)2-4×3×(-3)=61>0,所以此方程有两个不相等的实数根.
能力提升
1.D　解析:根据题意得
解得m≤4且m≠2.故选D.
2.C　解析:∵m-2n=3,
∴Δ=(-m)2-4(-n2+mn+1)=m2+4n2-4mn-4=(m-2n)2-4=32-4=9-4=5>0,∴原方程有两个不相等的实数根.故选C.
3.D　解析:根据题意得x(mx)+x+1=0,整理得mx2+x+1=0,∵关于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等的实数根,∴Δ=12-4m·1>0且m≠0,解得m<且m≠0.故选D.
4.D　解析:将x=1代入方程得,a-3+2=0,解得a=1,所以a的正确值为-1,则原方程为-x2-3x+2=0,所以Δ=(-3)2-4×(-1)×2=17>0,所以原方程有两个不相等的实数根.故选D.
5.A　解析:观察数轴可知m>0,n<0,∴m2>0,-4n>0,∵x2-mx+n=0,a=1,b=-m,c=n,∴Δ=b2-4ac=(-m)2-4×1×n=m2-4n>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选A.
6.B　解析:∵(x-2)☆2=x-1,∴方程为(x-2)2-(x-2)+2=x-1,即x2-6x+9=0,Δ=b2-4ac=36-36=0,∴有两个相等的实数根.故选B.
7.解:(1)根据题意得Δ=(-2)2-4(4-m)>0,解得m>3.
(2)∵m>3,∴m-3>0,
∴·=
··=-2.
8.解:∵Δ=b2-4c≥0时,一元二次方程x2+bx+c=0有两个实数根,∴选①②均可.当b=2,c=1时,这个方程有两个实数根,此时方程为x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1.(答案不唯一)
9.解:(1)证明:∵Δ=(m-2)2-4(2m-8)=m2-12m+36=(m-6)2≥0,∴无论m取何值,方程总有两个实数根.
(2)①∵平行四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∴Δ=0,即(m-6)2=0,解得m=6,方程化为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2,
∴菱形的边长为2.
②∵AB=3,且AB、AD的长是方程x2-(m-2)x+2m-8=0的两个实数根,∴把x=3代入方程,得9-3(m-2)+2m-8=0,解得m=7,∴x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3,即AD=2,
∴平行四边形ABCD的周长为2(AB+AD)=2×(3+2)=10.22.2　一元二次方程的解法
*5.一元二次方程的根与系数的关系
利用根与系数的关系求方程的另一个根及其某些字母的值
1.若4是关于x的一元二次方程x2+mx-4=0的一个根,则另一个根是 (　　)
A.1 B.-1 C.3 D.-3
2.若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0的两根为x1、x2,且=3,则p的值为 (　　)
A.- B. C.-6 D.6
3.已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-2=0.
(1)证明:方程总有两个不相等的实数根.
(2)设这个方程有一个实数根为2,求m的值及方程的另一个根.
利用根与系数的关系求代数式的值
4.若x1、x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则 (　　)
A.x1+x2=6 B.x1+x2=-6
C.x1x2= D.x1x2=7
5.(2024眉山中考)已知方程x2+x-2=0的两根分别为x1、x2,则的值为　　　　.
6.若一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m、n,则3m2-4m+n2的值为　　　　.
7.已知关于x的一元二次方程x2-px+1=0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2.
(1)填空:x1+x2=　　,x1x2=　　　　.
(2)填空:=　　　　,x1+=　　　　.
(3)已知=2p+1,求p的值.
1.若x1、x2是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则x1+x2-4x1x2的值为 (　　)
A.4 B.-3 C.0 D.7
2.关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则nm的值为 (　　)
A.16 B.-16
C.8 D.-8
3.小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是 (　　)
A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0
C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0
4.如图,菱形ABCD的边长是5,两对角线交于点O,且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+(2m+1)x+m2-4=0的两根,则m的值为(　　)
A.-4 B.2
C.2或-4 D.-2或4
5.(2024巴中中考)已知方程x2-2x+k=0的一个根为-2,则方程的另一个根为　　　　.
6.(2024泸州中考)已知x1、x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个实数根,则(x1-x2)2+3x1x2的值是　　　　.
7.已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m-1=0.如果方程的两个实数根为x1、x2,且-x1x2=9,求m的值.
8.已知关于x的一元二次方程x2-4x-2m+5=0有两个实数根x1、x2,并且x1≠x2.
(1)求实数m的取值范围.
(2)若x1x2+x1+x2=m2+6,求m的值.
9. (创新意识)阅读材料:
材料1:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x1、x2和系数a、b、c,有如下关系:x1+x2=-,x1x2=.
材料2:已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m、n,求m2n+mn2的值.
解:∵m、n是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根,
∴m+n=1,mn=-1.
则m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1.
根据上述材料,结合你所学的知识,解答下列问题:
(1)应用:一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1、x2,则x1+x2=　　　　,x1x2=　　　　.
(2)类比:已知一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为m、n,求m2+n2的值.
(3)提升:已知实数s、t满足2s2+3s-1=0,2t2+3t-1=0且s≠t,求的值.
【详解答案】
基础达标
1.B　解析:设关于x的一元二次方程x2+mx-4=0的另一个根为x2,则4·x2=-4,解得x2=-1.故选B.
2.A　解析:∵关于x的一元二次方程x2+2x+p=0的两根为x1、x2,∴x1+x2=-2,x1x2=p.∵=3,∴=3,即=3,
解得p=-.故选A.
3.解:(1)证明:∵Δ=(m-3)2+8>0,
∴方程总有两个不相等的实数根.
(2)将x=2代入方程,得4-2(m-3)-2=0.∴m=4.将m=4代入x2-(m-3)x-2=0,得x2-x-2=0.设方程的另一个根为x2,则2+x2=1.∴x2=-1,∴另一个根是-1.
4.A　解析:∵x1、x2是方程x2-6x-7=0的两个根,∴x1+x2=6,x1x2=-7.故选A.
5.　解析:∵方程x2+x-2=0的两根分别为x1、x2,∴x1+x2=-1,x1x2=-2,∴.
6.6　解析:∵一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m、n,∴2m2-4m=1,m+n=-=2,mn=-,∴3m2-4m+n2=2m2-4m+m2+n2=1+(m+n)2-2mn=1+22-2×=6.
7.解:(1)p　1　(2)p　p
(3)由(1)得x1+x2=p,x1x2=1,
∵=2p+1,∴(x1+x2)2-2x1x2=2p+1,∴p2-2=2p+1,解得p1=3,p2=-1,当p=3时,Δ=p2-4=9-4=5>0,符合题意;当p=-1时,Δ=p2-4=-3<0,不符合题意,∴p=3.
能力提升
1.D　解析:∵x1、x2是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,∴x1+x2=-=-1,x1x2==-2,
∴x1+x2-4x1x2=-1-4×(-2)=7.故选D.
2.A　解析:∵关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,∴-=
-1,=-2,∴m=2,n=-4,
∴nm=(-4)2=16.故选A.
3.B　解析:设原来的方程为ax2+bx+c=0(a≠0),由题知,-=6+1=7,=-2×(-5)=10,所以b=-7a,c=10a,所以原来的方程为ax2-7ax+10a=0,则x2-7x+10=0.故选B.
4.A　解析:设OA=a,OB=b,则a+b=-(2m+1)>0,ab=m2-4>0,Δ=(2m+1)2-4(m2-4)≥0,解得-≤m<-2.
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
在Rt△AOB中,OA2+OB2=AB2,
即a2+b2=52,∴(a+b)2-2ab=25,
∴[-(2m+1)]2-2(m2-4)=25,
∴2m2+4m-16=0,(m+4)(m-2)=0,解得m1=-4,m2=2(舍去),
∴m的值为-4.故选A.
5.4　解析:设方程的另一个根为m,因为方程的一个根为-2,所以-2+m=2,解得m=4,所以方程的另一个根为4.
6.14　解析:∵x1、x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个实数根,∴x1+x2=3,x1·x2=-5.∴(x1-x2)2+3x1x2=+x1x2+=(x1+x2)2-x1x2=32-(-5)=9+5=14.
7.解:∵方程x2-(m+2)x+m-1=0的两个实数根为x1、x2,∴x1+x2=m+2,x1x2=m-1.
∵-x1x2=9,即(x1+x2)2-3x1x2=9,∴(m+2)2-3(m-1)=9.
整理,得m2+m-2=0.
∴(m+2)(m-1)=0.
解得m1=-2,m2=1.
∴m的值为-2或1.
8.解:(1)∵方程有两个实数根x1、x2,并且x1≠x2,∴(-4)2-4×1×(-2m+5)>0,∴m>.
(2)∵x1、x2是该方程的两个实数根,
∴x1+x2=4,x1x2=-2m+5,
∵x1x2+x1+x2=m2+6,∴-2m+5+4=m2+6,解得m=-3或m=1,∵m>,∴m=1.
9.解:(1)-　-
(2)∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根分别为m、n,
∴m+n=-,mn=-.∴m2+
n2=(m+n)2-2mn=+1=.
(3)∵实数s、t满足2s2+3s-1=0,2t2+3t-1=0且s≠t,
∴s、t是一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根.∴s+t=-,st=-.
∵(t-s)2=(t+s)2-4st=-
4×,∴t-s=±.
∴=±.22.2　一元二次方程的解法　
1.直接开平方法和因式分解法　
第2课时　因式分解法
解形如ab=0的方程
1.(2025定西月考)方程(x-1)(x+2)=0的根是 (　　)
A.x1=1,x2=2 B.x1=-1,x2=2
C.x1=1,x2=-2 D.x1=-1,x2=-2
2.方程(x-4)(3-2x)=0的两个根是x1=　　　　,x2=　　　　.
利用提公因式法分解因式再解一元二次方程
3.一元二次方程3x2-6x=0的根是 (　　)
A.x1=3,x2=1 B.x1=2,x2=0
C.x1=3,x2=-2 D.x1=-2,x2=-1
4.方程(x+9)(x+1)=x+9的根为 (　　)
A.x1=x2=-1 B.x1=0,x2=9
C.x1=0,x2=-9 D.x1=-1,x2=-9
5.用提公因式法分解因式再解方程:
(1)(x+4)2-5(x+4)=0.
(2)(x-3)2-2x(3-x)=0.
(3)3x(x-7)=2(7-x).
(4)(x-5)2=2x-10.
利用公式法分解因式再解一元二次方程
6.由4y2-9=0,可得　　　　2-32=0,则(2y+3)　　　　=0,所以　　　　=0或　　　　=0,解得y1=　　　　,y2=　　　　.
7.由方程x2-4x+4=0可得(　　　　)2=0,则　　　　=0,解得x1=x2=　　　　.
8.用公式法分解因式再解方程:
(1)(x-1)2=9.
(2)2x2-4x=-2.
(3)25x2=10x-1.
(4)(x-3)2-4x2=0.
1.一元二次方程x(x+4)=3x+12的根是 (　　)
A.x=3 B.x=-4
C.x1=3,x2=-4 D.x1=-4,x2=-3
2.关于x的一元二次方程x2+4x+4=0的根为 (　　)
A.x1=2,x2=-2 B.x1=x2=-2
C.x1=x2=2 D.x1=-1,x2=-2
3.(2025宿州期中)对于实数a、b,定义运算“※”如下:a※b=a2-ab,例如:5※3=52-5×3=10.若(x+1)※(3x-2)=3,则x的值为 (　　)
A.0 B.-
C.0或- D.0或
4.已知方程x2+mx-2m=0的一个根为-1,则方程x2-6mx=0的根为 (　　)
A.x=2 B.x=0
C.x1=2,x2=0 D.以上答案都不对
5.三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2-3x=7x-21的一个根,则该三角形第三边的长是 (　　)
A.6 B.3或7 C.3 D.7
6.阅读下列解3x(x-1)=2(1-x)的过程,并解决相关问题.
解:方程两边都除以(x-1),
得3x=-2,……第一步
解得x=-.……第二步
(1)解方程的过程从第　　　　步开始出现错误,错误的原因是　
　.
(2)写出此解方程的完整过程.
微专题2 利用十字相乘法分解因式解一元二次方程
1.将2x2-3x-2进行因式分解,我们可以按下面的方法解答:
解:(1)竖分二项式与常数项:2x2=x·2x,-2=(-2)×1.
(2)交叉相乘,验中项(交叉相乘后的结果相加,其结果须等于多项式中的一次项):
(3)横向写出两因式:2x2-3x-2=(x-2)(2x+1).
我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.
2.根据乘法原理:若ab=0,则a=0或b=0.
1.已知x2+xy-6y2=0(x≠0且y≠0),则的值是　　　　.
2.用十字相乘法解下列方程:
(1)x2+5x+4=0.　(2)x2+2x-24=0.
(3)2x2+x-10=0. (4)6x2+19x-36=0.
【详解答案】
基础达标
1.C　解析:∵(x-1)(x+2)=0,∴x-1=0或x+2=0,解得x1=1,x2=-2.故选C.
2.4　　解析:(x-4)(3-2x)=0,
x-4=0或3-2x=0,所以x1=4,
x2=.
3.B　解析:3x2-6x=0,3x(x-2)=0,则x-2=0或3x=0,解得x1=2,x2=0.故选B.
4.C　解析:∵(x+9)(x+1)=x+9,
∴(x+9)(x+1)-(x+9)=0,∴(x+9)(x+1-1)=0,∴x(x+9)=0,解得x1=0,x2=-9.故选C.
5.解:(1)方程左边分解因式,
得(x+4)(x+4-5)=0.
∴x+4=0或x-1=0.
∴x1=-4,x2=1.
(2)方程变形,得(x-3)2+2x(x-3)=0,方程左边分解因式,得(x-3)(3x-3)=0.∴x-3=0或3x-3=0,
∴x1=3,x2=1.
(3)移项,得3x(x-7)-2(7-x)=0,
即3x(x-7)+2(x-7)=0,方程左边分解因式,得(x-7)(3x+2)=0,
∴x-7=0或3x+2=0,解得x1=7,
x2=-.
(4)移项,得(x-5)2-2(x-5)=0.方程左边分解因式,得(x-5)(x-5-2)=0,即(x-5)(x-7)=0,∴x-5=0或x-7=0.解得x1=5,x2=7.
6.(2y)　(2y-3)　2y+3　2y-3　-
7.x-2　x-2　2
8.解:(1)原方程可化为(x-1)2-32=0,
所以(x-1+3)(x-1-3)=0,
所以x-1+3=0或x-1-3=0,
所以x1=-2,x2=4.
(2)原方程可化为2x2-4x+2=0,
两边同时除以2,得x2-2x+1=0,
所以(x-1)2=0,所以x1=x2=1.
(3)原方程可化为25x2-10x+1=0,
所以(5x-1)2=0,所以x1=x2=.
(4)原方程可化为(x-3+2x)(x-3-2x)=0,所以3x-3=0或-x-3=0,
所以x1=1,x2=-3.
能力提升
1.C　解析:x(x+4)=3x+12,x(x+4)-3(x+4)=0,(x-3)(x+4)=0,∴x-3=0或x+4=0.解得x1=3,x2=-4.故选C.
2.B　解析:x2+4x+4=0,(x+2)2=0,∴x1=x2=-2.故选B.
3.D　解析:∵a※b=a2-ab,(x+1)※(3x-2)=3,∴(x+1)2-(x+1)·(3x-2)=3.∴(x+1)[(x+1)-(3x-2)]=3.∴(x+1)(-2x+3)=3,整理可得2x2-x=0,解得x=0或.故选D.
4.C　解析:将x=-1代入x2+mx-2m=0,得(-1)2+m×(-1)-2m=0,解得m=.当m=时,x2-6mx=0化为x2-6×x=0,即x2-2x=0.方程左边分解因式,得x(x-2)=0,解得x1=2,x2=0.故选C.
5.D　解析:方程x2-3x=7x-21可化为(x-3)(x-7)=0,解得x1=3,x2=7.∴三角形的第三边的长为3或7,当第三边的长为3时,由3+3=6,得到三边不能构成三角形,舍去,∴第三边的长为7.故选D.
6.解:(1)一　方程两边都除以(x-1),没考虑(x-1)为0的情况
(2)方程变形,得3x(x-1)+2(x-1)=0,
(x-1)(3x+2)=0,x-1=0或3x+2=0,所以x1=1,x2=-.
微专题2
1.-3或2　解析:由x2+xy-6y2=0得(x+3y)(x-2y)=0,∴x+3y=0,x-2y=0,∴=-3或=2.
2.解:(1)x2+5x+4=0,
(x+4)(x+1)=0,
x+4=0或x+1=0,
∴x1=-4,x2=-1.
(2)x2+2x-24=0,
(x+6)(x-4)=0,
x+6=0或x-4=0,
∴x1=-6,x2=4.
(3)2x2+x-10=0,
(2x+5)(x-2)=0,
2x+5=0或x-2=0,
∴x1=-,x2=2.
(4)6x2+19x-36=0,
(2x+9)(3x-4)=0,
∴x1=-,x2=.22.2一元二次方程的解法
1.直接开平方法和因式分解法
第1课时　直接开平方法
解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程
1.方程x2=8的根是 (　　)
A.x=2 B.x=-2
C.x1=2,x2=4 D.x1=2,x2=-2
2.用直接开平方法解下列方程:
(1)x2-49=0. (2)-5x2+180=0.
(3)3y2-24=0. (4)x2=3-x2.
解形如(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)的一元二次方程
3.方程(x-1)2=16的根是 (　　)
A.x1=5,x2=2 B.x1=-5,x2=3
C.x1=-3,x2=5 D.x1=-4,x2=4
4.如图是一个简单的数值运算程序,则输入x的值为 (　　)
A.±2 B.±3 C.3或-1 D.2或-1
5.关于x的方程(x-2)2=1-m无实数根,那么m满足的条件是 (　　)
A.m>2 B.m<2
C.m>1 D.m<1
6.(2025烟台期末)一元二次方程(x+1)2=16用直接开平方法可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+1=4,则另一个一元一次方程是 (　　)
A.x-1=-4 B.x-1=4
C.x+1=-4 D.x+1=4
7.用直接开平方法解下列方程:
(1)(2025兰州期中)(x+5)2=16.
(2)(3x-1)2=25.
(3)(3x-4)2=(4x-3)2.
(4)(2x+4)(2x-4)=48.
1.(2024凉山州中考)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为 (　　)
A.2 B.-2
C.2或-2 D.
2.已知2x2+3与2x2-4互为相反数,则x的值为 (　　)
A.± B.±
C. D.
3.如果一个一元二次方程的根是x1=x2=2,那么这个方程是 (　　)
A.x2=4 B.x2+4=0
C.(x-2)2=0 D.(x+2)2=0
4.若(x2+y2-1)2=4,则x2+y2=　　　　.
5.已知关于x的方程m(x+a)2+n=0的根是x1=-3,x2=1,则关于x的方程m(x+a-5)2+n=0的根是　　　　　　　　.
6.用直接开平方法解下列一元二次方程:
(1)(x-2)(x+2)=21.
(2)(x-)2=(1+)2.
(3)2(x+1)2-49=1.
7.(新定义试题)将4个数a、b、c、d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成,规定=ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式.若=6,求x的值.
8.(运算能力)阅读下面的文字,解答问题.
是一个无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分无法全部写出来,但是我们可以想办法把它表示出来.因为1<<2,所以的整数部分为1,将减去其整数部分后,得到的差就是小数部分,于是的小数部分为-1.
请解答下列问题:
(1)的整数部分是　　　　,小数部分是　　　　.
(2)如果7+的小数部分为a,7-的小数部分为b,(x+1)2=a+b,求x的值.
【详解答案】
基础达标
1.D　解析:∵x2=8,∴x1=2,
x2=-2.故选D.
2.解:(1)x2-49=0,x2=49,x=±7,
∴x1=7,x2=-7.
(2)-5x2+180=0,-5x2=-180,
x2=36,x=±6,∴x1=6,x2=-6.
(3)3y2-24=0,y2=8,y=±2,
∴y1=2,y2=-2.
(4)x2=3-x2,x2=3,x2=2,
x=±,∴x1=,x2=-.
3.C　解析:∵(x-1)2=16,∴x-1=±4,即x-1=-4或x-1=4.解得x1=-3,x2=5.故选C.
4.C　解析:根据题意,得2(x-1)2=8,∴(x-1)2=4.∴x-1=±2.
∴x1=3,x2=-1.故选C.
5.C　解析:当1-m<0时,方程无实数根.所以m>1.故选C.
6.C　解析:∵(x+1)2=16,∴x+1=±4,∴x+1=4或x+1=-4.故选C.
7.解:(1)(x+5)2=16,x+5=±4,
∴x1=-1,x2=-9.
(2)(3x-1)2=25,3x-1=±5,
∴x1=2,x2=-.
(3)(3x-4)2=(4x-3)2,
3x-4=±(4x-3),3x-4=4x-3或3x-4=-4x+3,∴x1=-1,x2=1.
(4)(2x+4)(2x-4)=48,
4x2-16=48,4x2=64,x2=16,
x=±4,∴x1=4,x2=-4.
能力提升
1.A　解析:∵关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,∴a2-4=0且a+2≠0,解得a=2.故选A.
2.A　解析:根据题意知2x2+3+2x2-4=0,整理,得4x2-1=0,则4x2=1,x2=,∴x=±.故选A.
3.C　解析:如果一个一元二次方程的根是x1=x2=2,那么这个方程是(x-2)2=0.故选C.
4.3　解析:两边开平方得x2+y2-1=±2,∴x2+y2=1±2.∵x2+y2≥0,∴x2+y2=3.
5.x1=2,x2=6　解析:∵关于x的方程m(x+a)2+n=0的根是x1=-3,x2=1,∴关于(x-5)的方程m(x+a-5)2+n=0的根满足x-5=-3或x-5=1,解得x1=2,x2=6.
6.解:(1)原方程可化为x2-4=21.
移项,得x2=25.
直接开平方,得x=±5.
∴x1=5,x2=-5.
(2)直接开平方,得x-=±(1+).
∴x1=1+2,x2=-1.
(3)2(x+1)2-49=1,移项,得2(x+1)2=50,方程两边都除以2,得(x+1)2=25,直接开平方,得x+1=±5.∴x1=4,x2=-6.
7.解:根据题意得(x+1)(x+1)-(1-x)(x-1)=6,整理得2x2+2=6,即x2=2,∴x=±.
8.解:(1)2　-2
(2)∵,∴3<<4.
∴7+的整数部分为10.
∴a=7+-10=-3.
∵7-的整数部分为3,
∴b=7--3=4-.
∴a+b=-3+4-=1.
∴(x+1)2=1,两边开平方,
得x+1=1或x+1=-1,
∴x=0或-2.

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