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2024-2025学年山东省德州市庆云县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x≤1 B. x≥1 C. x≥-1 D. x≤-1
2.四边形ABCD的部分数据如图所示（其中度数为对应角的大小，数字为对应边的边长），在①或②处添加恰当的数据，使得四边形ABCD是平行四边形，两同学给出了如下回答.
嘉嘉：①处应添加数据3，②处无须添加；
淇淇：②处应添加数据4，①处无须添加.
对于两位同学的回答，下列判断正确的是（　　）
A. 只有嘉嘉的回答正确 B. 只有淇淇的回答正确
C. 两人的回答都正确 D. 两人的回答都不正确
3.下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
4.校合唱社团共有30名球员，下表是该社团成员的年龄分布统计表：
年龄（单位：岁） 12 13 14 15
频数（单位：名） 6 14 x 10-x
对于不同的x,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　）
A. 平均数、中位数 B. 平均数、方差 C. 众数、中位数 D. 众数、方差
5.已知直线y=-3x+m过点A（-1，y1）和点（-3，y2），则y1和y2的大小关系是（　　）
A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1=y2 D. 不能确定
6.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则 ABE的面积为（　　）
A. 3cm2 B. 4cm2 C. 6cm2 D. 12cm2
7.如图，在平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线，若AE=4，BE=3，则平行四边形ABCD的面积为（　　）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 24
8.一次函数y=ax+b的自变量和函数值的部分对应值如下表所示：
x 0 5
y 3 5
则关于x的不等式ax+b＞x的解集是（　　）
A. x＜5 B. x＞5 C. x＜0 D. x＞0
9.如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是8cm和12cm,将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为4cm和2cm,则铅笔的长为（　　）
A. 19cm B. 21cm C. 23cm D. 25cm
10.如图，以Rt△ABC的各边为边向外作等边△ABD，等边△ACE和等边△BCF，∠BAC=90°，点G，H均在边BC上，且BG=AB，CH=AC，过点G作GF的平行线，交BF于点l,过点H作BF的平行线，交CF于点J，交GI于点K.若已知四边形KIFJ的面积，则下列面积一定能求出来的是（　　）
A. S△ACE
B. S△BCF
C. S△ABC
D. S△HGK
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知n为正整数，且，写出一个满足条件的n的值______.
12.小明早上从家骑自行车到学校，x min后他离学校的路程为ym,已知y与x之间的函数表达式为y=4500-300x,则小明从家到学校所用时间是______min.
13.某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的5次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是______（填“甲”或“乙”）.
14.已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止当t=______时，△PBQ是直角三角形．
15.如图，在矩形ABCD中，已知AB=5，BC=10，P是BC边上一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为______.
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
（1）；
（2）.
17.(本小题10分)
为培养学生的网络安全意识，提高学生防诈反诈能力，某学校开展了“防范于心，反诈于行”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：0≤x＜85，B：85≤x＜90，C：90≤x＜95，D：95≤x≤100，得分在90分及以上为优秀）.下面给出了部分信息：
七年级C组同学的分数分别为：94，92，93，91；
八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94.
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七 91 a 95 m
八 91 93 b 65%
（1）填空：a= ______，b= ______，m= ______；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防范于心，反诈于行”知识竞赛中，哪个年级学生的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校现有学生七年级1200名，八年级1000名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数.
18.(本小题10分)
某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米.
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降11米到点M，则他应该往回收线多少米？
19.(本小题12分)
为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司小金、小衢两位员工每天骑共享单车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计）.每次支付费用y元与骑行时间xmin之间的对应关系如图所示.其中A种共享单车支付费用对应的函数为y1；B种共享单车支付费用是10min之内，起步价6元，对应的函数为y2.请根据函数图象信息，解决下列问题：
（1）小金每天早上骑行A种共享单车或B种共享单车去公司上班.已知两种共享单车的平均行驶速度均为300m/min,小金家到公司的距离为9000m,那么小金选择______种电动车更省钱（填“A”或“B”）.
（2）当x＞10时，求A、B两种共享单车的支付费用的函数表达式.
（3）一天，小金骑行A种共享单车从家到公司上班，小衢骑行B种共享单车从家到公司上班，若两人支付费用同为7.6元，求小金和小衢骑行的时间差.
20.(本小题10分)
如图，已知点E是 ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF=BC.
（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积.
21.(本小题12分)
A，B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢.某超市销售A，B两种型号的吉祥物，有关信息见下表：
成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个）
A型号 35 a
B型号 42 b
若顾客在该超市购买8个A种型号的吉祥物和7个B种型号的吉祥物，一共需要670元；购买4个A种型号的吉祥物和5个B种型号的吉祥物，一共需要410元.
（1）求a,b的值；
（2）若某公司计划从该超市购买A，B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号的吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号的吉祥物数量的，又不超过B种型号的吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值.（注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本价的差）
22.(本小题12分)
课本再现：如图正方形ABCD对角线AC与BD相交于点O，E为BC上任意点（不与B，C重合），作OF⊥OE交CD于点F.
（1）在图1中解答下列问题；
①.求证：BE=CF.
②.当正方形ABCD的面积为4时，小明发现以下结论：①；②S四边形OECF=1；③EC2+CF2=2OF2.其中正确的是______（填序号）.
（2）当点P为线段OC上任意点时（P不与O，C重合），E，F为分别为边BC，CD上两点，且PE⊥PF，问：EC，CF，CP之间有何数量关系，并说明理由.
23.(本小题14分)
在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“合成矩形”．如图为点P，Q的“合成矩形”的示意图．
（1）若A点坐标为（2，0），
①当B点坐标为（5，1）时，点A，B的“合成矩形”的面积是______；
②若点C在y轴上，且点A，C的“合成矩形”为正方形，则直线AC的表达式为______；
③若点P在直线y=-2x+2上，且点A，P的“合成矩形”为正方形，求P点的坐标；
（2）点O的坐标为（0，0），点D为直线y=x+b（b≠0）上一动点，若O，D的“合成矩形”为正方形，且此正方形面积不小于2时，求b的取值范围．
1.C．
2.B．
3.D．
4.C．
5.B．
6.C．
7.C．
8.A．
9.C．
10.D．
11.1（答案不唯一）．
12.15．
13.乙．
14.1或2．
15.．
16.解：（1）原式=
=
=；
（2）原式==．
17.解：（1），
∴中位数是第10位、第11位的平均数，观察条形统计图可得，中位数在C组，
∴a==92.5，
观察扇形统计图和八年级C组同学的分数可得，b=94，
m=×100%=60%，
故答案为：92.5，94，60%；
（2）∵65%＞60%，
∴八年级学生了解情况更好．
（3）七年级优秀人数为1200×60%=720（人），
八年级优秀人数为1000×65%=650（人），720+650=1370（人），
∴这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数约为1370人．
18.解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，
CD2=BC2-BD2=202-122=256，
∴CD=16（负值舍去），
∴CE=CD+DE=16+1.6=17.62（米），
答：风筝的高度CE为17.6米；
（2）由题意得，CM=11 米，
∴DM=5 米，
∴BM===13 （米），
∴BC-BM=20-13=7（米），
∴他应该往回收线7米．
19.解：（1）小金从家到公司所用时间为9000÷300=30（min），
由图象可知，当x=30时，y1＞y2，
∴小金选择B电动车更省钱．
故答案为：B．
（2）当x＞10时，A种共享单车每分钟的费用为8÷20=0.4（元），B种共享单车每分钟的费用为（8-6）÷（20-10）=0.2（元），
则y1=0.4x,y2=6+0.2（x-10）=0.2x+4，
∴当x＞10时，A种共享单车的支付费用的函数表达式为y1=0.4x（x＞10），B种共享单车的支付费用的函数表达式为y2=0.2x+4（x＞10）．
（3）当y1=7.6时，得0.4x=7.6，解得x=19，
当y2=7.6时，得0.2x+4=7.6，解得x=18，
19-18=1（min）．
答：小金和小衢骑行的时间差为1min.
20.
21.解：（1）根据题意，得，
解得，
∴a的值是40，b的值是50．
（2）购买B种型号的吉祥物（90-x）个，
根据题意，得，
解得51≤x≤60，
y=（40-35）x+（50-42）（90-x）=-3x+720，
∵-7＜0，
∴y随x的减小而增大，
∵51≤x≤60且x为非负整数，
∴当x=52时y值最大，y最大=-3×52+720=564，
∴y的最大值为564．
22.（1）①证明：∵正方形ABCD，
∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OBC=∠OCF=45°，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°=∠BOC，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE=CF；
②∵正方形ABCD的面积为4，
∴BC==2，
∵△BOE≌△COF，
∴BE=CF，S△BOE=S△COF，OE=OF，
∴CE+CF=CE+BE=BC=2；故①错误；
S四边形OECF=S△BOC=S正方形ABCD=1；故②正确；
连接EF，则在Rt△CEF中，CE2+CF2=FE2，如图1，
∵OE=OF，OF⊥OE，
∴EF2=OE2+OF2=2OF2，
∴CE2+CF2=2OF2；故③正确；
故答案为：②③；
（2）CE+CF=CP，理由如下：
如图2，过点P作PH⊥BC，PG⊥CD，则∠PHE=∠PGF=90°，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，
∴PH=PG，四边形PHCG为正方形，
∴CP=CH，∠HPG=90°，CH=CG，
∵PE⊥PF，
∴∠EPF=∠HPG=90°，
∴∠EPH=∠GPF，
又PH=PG，∠PHE=∠PGF=90°，
∴△PHE≌△PGF（AAS），
∴HE=FG，
∴CE+CF=CH+HE+CG-FG=2CH，
∴CE+CF=2×CP=CP．
23.解：（1）①点A，B的“合成矩形”如图1，
∵A的坐标为（2，0），B的坐标为（5，1），
∴AM=5-2=3，BM=1．
∴点A，B的“合成矩形”AMBN的面积S=AM BM=3．
故答案为：3．
②如图2，
A的坐标为（2，0），点C在y轴上，且点A，C的“合成矩形”为正方形时，
当C在x轴上方时，
∵点A，C的“合成矩形”为正方形AMCO，
∴OA=OC=2，
∴C（0，2），
设直线AC解析式为y=kx+b，
将A（2，0），C（0，2）代入表达式得：
，
解得．
∴直线AC解析式为y=-x+2．
同理可得当C在x轴下方时，
∴C′（0，-2），
此时AC′解析式为y=x-2．
综上所述，点A，C的“合成矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=-x+2或y=x-2；
故答案为：y=-x+2或y=x-2；
③如图3，当点P在直线y=-2x+2上，
设点P（a，-2a+2）．
当点P在x轴上方时，
点A，P的“合成矩形”为正方形，
则正方形的边长为2-a和-2a+2，
可得方程2-a=-2a+2，
解得a=0，
∴点P的坐标为（0，2）．
当点P在x轴下方时，
同理可得2-a=2a-2，
∴a=，
∴点P（，-），
∴点P在直线y=-2x+2上，且点A，P的“合成矩形”为正方形时，P点的坐标为（0，2）或（，-）；
（2）点O的坐标为（0，0），
如图4，O，D的“合成矩形”为正方形OMDN时，
且点N在x轴上，点M在y轴上．
当点D在x轴的上方，
且正方形面积等于2时，
DN=ON=．
∴D（-，）．
点D代入直线y=x+b得：
b=2．
∵正方形面积不小于2，
∴b的取值范围为b≥2．
同理可得，
当点D在x轴下方时，
∴b的取值范围为b≤ 2．
综上所述，b的取值范围为b≥2或b≤ 2．
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