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2024-2025学年福建省厦门市海沧区北附学校八年级（下）段考数学试卷（5月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x＞-3 B. x≥-3 C. x＞3 D. x≥3
2.下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（　　）
A. 1，1，2 B. 1，2，3 C. 1，，2 D. 4，5，6
3.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则∠DAC的内错角是（　　）
A. ∠ABD
B. ∠BDC
C. ∠DOC
D. ∠ACB
4.计算正确的是（　　）
A. 4 B. 2 C. -2 D. ±2
5.在平行四边形ABCD中，已知AB=5，BC比AB小2，则它的周长是（　　）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A. AB∥DC，AD∥BC B. AB=DC，AD=BC
C. OA=OC，OB=OD D. AB∥DC，AD=BC
7.下面命题中，其逆命题是真命题的是（　　）
A. 全等三角形的对应角相等
B. 矩形的四个角都是直角
C. 正方形是对角线互相垂直且相等的四边形
D. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
8.如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE=AF，则∠CDF的度数为（　　）
A. 45° B. 60° C. 67.5° D. 77.5°
9.如图，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的形状为（　　）
A. 平行四边形
B. 菱形
C. 矩形
D. 正方形
10.如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的对角线BD∥x轴，若A（1，0），D（0，2），则AC与BD的交点E的坐标为（　　）
A. （2，2）
B.
C.
D. （2.5，2）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在四边形ABCD中，边AB的对边是______.
12.计算：
（1）= ______；
（2）= ______.
13.如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是CD边的中点，连接OM，若OM=2，则BC的长是______．
14.在如图所示的数轴上，以单位长度为边长画一个正方形，以实数1对应的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，则点A所表示的实数是______．
15.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H．连接OH，若HO=1，菱形的面积为6，则AD的长为______．
16.在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接EA，ED．F是线段EC上的定点，M是线段ED上的动点，若AD=6，AB=4，AE=2，且△MFC周长的最小值为6，则FC的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题8分)
如图.已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：BE=DF.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中.
20.(本小题8分)
如图，在四边形ACBD中，AC=4，BC=3，BD=12，AD=13，若∠ACB=90°，求四边形ACBD的面积.
21.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是菱形，分别延长AD，CD到点E，F，连接AC，AF，CE，EF.若AF∥CE，AF=CE，求证：四边形ACEF是矩形.
22.(本小题8分)
如图1是某学校的篮球架实物图，其侧面示意图如图2所示，“综合与实践”小组开展了测量篮板AB长度的实践活动.在不便于直接测量的情况下，“综合与实践”小组设计了如下方案：
课题 测量篮板的长度
成员 组长：×××组员：×××，×××，×××
工具 竹竿，皮尺，计算器等
测量示意图 方案：如图3，AB垂直于地面于点C，线段AD，BE表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合，另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处.
测量数据 测量项目 数值
竹竿的长度 5米
CD的长度 3.062米
CE的长度 4.073米
参考数据
根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校篮板AB的长度（结果精确到0.01米）.
23.(本小题8分)
将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题：
a 3 8 15 24 35 48 …
b 4 6 8 10 12 14 …
c 5 10 17 26 37 50 …
（1）当b=90时，直接写出a的值；
（2）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；
（3）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例.
24.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，P是AD边上一点，将△ABP沿着直线PB折叠，得到△EBP.
（1）尺规作图：在AD边上作出一点P，使P，E，C三点在一直线上（不写作法，保留作图痕迹），则此时AP的长为______；
（2）尺规作图：在AD边上作出一点P，使BE平分∠PBC（不写作法，保留作图痕迹），此时△BEC的面积为______.
25.(本小题8分)
（1）方法回顾
在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：
第一步添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE（D，E分别是AB，AC的中点）到点F，使得EF=DE，连接CF；
第二步证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到中位线DE与BC的关系是______.（直接写结果）
（2）问题解决
如图2，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，G，F分别为AB，CD边上的点.若AG=3，，∠GEF=90°，求GF的长.
（3）拓展探究
如图2，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G，F分别为AB，CD边上的点.若AG=3，，∠GEF=90°，求GF的长.
1.B．
2.C．
3.D．
4.B．
5.B．
6.D．
7.B．
8.C．
9.B．
10.D．
11.CD．
12.（1）；
（2）．
13.4．
14.1+．
15.．
16.1．
17.解：（1）原式=
=
=；
（2）
=
=．
18.
19.解：
=
=
=；
当时，原式=．
20.解：连接AB，
在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，
∴AB===5，
∵AB2+BD2=52+122=169，AD2=132=169，
∴AB2+BD2=AD2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ABD=90°，
∴四边形ABCD的面积=△ABD的面积-△ABC的面积
=AB BD-AC BC
=×5×12-×4×3
=30-6
=24．
21.证明：由题意可得：AD=CD，
∵AF∥CE，AF=CE，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴∠DAF=∠DEC，
在△DAF和△DEC中，
，
∴△DAF≌△DEC（AAS），
∴DE=DA，DF=DC，
∴AE=2AD，CF=2CD，
∴AE=CF，
∴四边形ACEF是矩形．
22.解：在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC==≈3.953（米），
在Rt△BEC中，由勾股定理得：BC==≈2.899（米），
∴AB=AC-BC≈3.953-2.899≈1.05（米），
答：篮板AB的长度约为1.05米．
23.解：（1）观察表格可知，a=m2-1，b=2m,c=m2+1（m≥2，且m为整数），
∴当b=90时，
∴m=45，
∴a=m2-1=452-1=2025-1=2024；
（2）不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71，理由如下：
当m2-1=71时，此时m2=72，则m不为整数，
当2m=71时，此时m=35.5，则m不为整数，
当m2+1=71时，此时m2=70，则m不为整数，
∴不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71；
（3）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由如下：
对于一组数：m2-1，2m,m2+1（m≥2，且m为整数）．
∵（m2-1）2+（2m）2=m4+2m2+1=（m2+1）2
∴若一个三角形三边长分别为m2-1，2m,m2+1（m≥2，且m为整数），则该三角形为直角三角形．
∵当m≥2，且m为整数时，2m表示任意一个大于2的偶数，m2-1，m2+1均为正整数，
∴以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．
24.解：（1）如图，点P为所作；
∵CP=CB=10，
∴，
∴AP=AD-DP=10-8=2；
故答案为：2；
（2）如图，点P为所作，
过E作EH⊥BC于H，
∵△ABE为等边三角形，
∴∠ABE=60°，BE=BA=6，
∴∠EBC=30°，
∴，
∴．
故答案为：15．
25.解：（1）中位线DE与BC的关系是，DE∥BC；理由如下：
D，E分别是AB，AC的中点，如图1，延长DE到点F，使得EF=DE，即，连接CF，
∴AD=BD，AE=CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠ADE=∠CFE，AD=CF，
∴AD∥CF，
∴BD=CF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴BC=DF，BC∥DF，
∴，DE∥BC，
故答案为：，DE∥BC；
（2）在正方形ABCD中，E为边AD的中点，AG=3，，∠GEF=90°，如图2，延长GE、FD交于点H，
∴EA=ED，∠A=∠ADC=90°，
∴∠A=∠EDH=90°，
在△AEG和△DEH中，
，
∴△AEG≌△DEH（ASA），
∴AG=HD=3，EG=EH，
∵∠GEF=90°，
∴EF⊥GH，即EF垂直平分GH，
∴；
（3）在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，AG=3，，∠GEF=90°，如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，则∠HPD=90°，
同（2）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，
∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=3，
∵∠ADC=120°，
∴∠HDF=360°-105°-120°=135°，
∴∠HDP=45°，
∴∠HDP=∠PHD=45°，
∴△PDH为等腰直角三角形，
由勾股定理得：PH2+PD2=HD2，
∴PH2+PH2=32，
∴，
∴，
在直角三角形PFH中，由勾股定理得：，
∴．
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